Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Le nombre chromatique du plan - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Le nombre chromatique du plan : c’est le nombre minimum de couleurs qu’on doit utiliser afin de colorier entièrement le plan en respectant la condition suivante : deux points de même couleur ne peuvent se trouver à une distance 1 ! Notons N ce nombre. Nous allons démontrer dans cet article que : 47 N≤ ≤ . Pour cela, nous allons nous placer successivement sur une droite, sur un cercle et sur un pavage hexagonal.
Article : La marche de l’ivrogne - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Après avoir bien bu, Monsieur Pierre, ivre, veut quitter le bistro pour rentrer chez lui. Quelle probabilité a-t-il d’arriver à son but sachant qu’il évolue au hasard dans un réseau de rues perpendiculaires ?
Article : The Snake - Collège Henri Sellier (Bondy)
Ce jeu se joue avec 2 personnes ou 2 équipes sur un quadrillage. Le premier joueur doit commencer en avançant d’une case et le deuxième joueur continue. Ils ne peuvent avancer que d’une case à la fois soit horizontalement soit verticalement. Celui qui retouche le serpent a perdu.
Article : Le jeu du serpent - Collège Henri Sellier (Bondy)
Ce jeu se joue à deux joueurs ou bien avec deux équipes de plusieurs joueurs. Il consiste, chacun son tour, à construire un serpent dans un quadrillage.
Article : La riviere - Collège Henri Sellier (Bondy)
Ce jeu consiste à faire passer des indigènes et des explorateurs de l’autre coté de la rivière, sans que les explorateurs se fassent manger par les indigènes.
Article : Les carrelages - Collège Henri Sellier (Bondy)
Notre sujet consiste à faire un pavage avec un modèle de carrelage unique : c'est un carreau carré avec à l’intérieur deux quarts de cercle ayant pour centre deux sommets opposés.
Article : La géolocalisation - Lycée Benjamin Franklin (Auray)
Notre projet est né d'une volonté d'approfondir nos connaissances en mathématiques, plus particulièrement nous voulions aller plus loin que ce qui a été appris en cours. C'est dans cet état d'esprit que notre groupe du lycée Benjamin Franklin d'Auray s'est engagé dans l’expérience MATH.en.JEANS (MeJ). Il s'agit du premier groupe MeJ créé dans le Morbihan et ceci grâce à Mr. Sans, qui a pris ce projet très à cœur. Nos recherches furent effectuées en collaboration avec l'équipe du lycée Victor Hélène Bash de Rennes supervisée par leur professeure, Mme Forgeoux. C'est aussi grâce à Sébastien Gambs, chercheur à l'INRIA et maître de conférences à l'université Rennes 1, que nous avons avancé dans notre travail, ce dernier nous ayant proposé le sujet de recherche suivant :
How to define and quantify the concepts of "anonymity" and "privacy"?
How to define and quantify the concepts of "anonymity" and "privacy"?
Article : Crocnum - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Crocnum est un gentil monstre qui se nourrit de nombres. Il les aime tant qu'il veut en manger le plus possible. Mais Crocnum doit faire très attention : s’il se retrouve avec dans son ventre deux nombres dont la somme est égale à un autre nombre qu’il a aussi avalé, alors il explose !
Dans l'article, les élèves dialoguent avec Crocnum et l'aident à manger le plus de nombres possibles sans exploser. Crocnum est très gourmand et il en veut toujours plus.
Des méthodes sont proposées au glouton en vue d'augmenter ce qu'il peut manger. Certaines sont basées sur la parité, d'autres essayent en parcourant les nombres dans l'ordre croissant à partir d'un nombre donné de le manger dès qu'il ne cause pas directement une indigestion. Cette méthode fait apparaître des périodes qui sont étudiées dans l'article. Dans une première partie, Crocnum est un bonne santé et dans une deuxième partie, il est malade (les nombres peuvent se dupliquer dans son ventre…
Mots clés : nombre entier, somme, proportion, ensemble infini, périodicitéDans l'article, les élèves dialoguent avec Crocnum et l'aident à manger le plus de nombres possibles sans exploser. Crocnum est très gourmand et il en veut toujours plus.
Des méthodes sont proposées au glouton en vue d'augmenter ce qu'il peut manger. Certaines sont basées sur la parité, d'autres essayent en parcourant les nombres dans l'ordre croissant à partir d'un nombre donné de le manger dès qu'il ne cause pas directement une indigestion. Cette méthode fait apparaître des périodes qui sont étudiées dans l'article. Dans une première partie, Crocnum est un bonne santé et dans une deuxième partie, il est malade (les nombres peuvent se dupliquer dans son ventre…
Article : Des coloriages économiques - Lycée Atlantique (Luçon)
Les élèves ont étudiés deux problèmes de coloriage :
1. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier les pays d’une carte de géographie sur une planète sphérique, polyédrique, torique, sans que
deux pays limitrophes soient de la même couleur. Ils conjecturent que quatre couleurs sont suffisantes et ont des idées pour montrer que cela est possible avec cinq couleurs.
2. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier un plan, sans que deux points distants d’une unité soient de la même couleur. Ils donnent une construction avec sept couleurs et montrent que quatre couleurs sont impossible.
Mots clés : coloriage d'un plan, nombre chromatique, théorème des quatre couleurs, graphe planaire1. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier les pays d’une carte de géographie sur une planète sphérique, polyédrique, torique, sans que
deux pays limitrophes soient de la même couleur. Ils conjecturent que quatre couleurs sont suffisantes et ont des idées pour montrer que cela est possible avec cinq couleurs.
2. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier un plan, sans que deux points distants d’une unité soient de la même couleur. Ils donnent une construction avec sept couleurs et montrent que quatre couleurs sont impossible.
Article : Le jeu de Hex - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
Le jeu de Hex se joue sur un damier en forme de losange dont les cases sont hexagonales. Deux côtés opposés du damier sont rouges, les deux autres sont bleus. Il y a un joueur bleu et un joueur rouge. Chaque joueur, à tour de rôle, colorie une case (quelconque mais non coloriée) de sa couleur. Le but du jeu pour chaque joueur est de relier les deux côtés de sa couleur par un chemin constitué de cases adjacentes de sa couleur.
Les élèves des deux ateliers ont d’abord étudié le cas d’un damier 3x3, c’est à dire à 9 cases. Ils ont déterminé dans ce cas le nombre de coloriages possibles du damier (si toutes les cases sont coloriées) lorsque les rouges commencent à jouer. Il ont montré qu’alors il y avait toujours un gagnant et que dans deux tiers des cas, c’était les rouges (qui ont commencé) qui gagnaient. Ils ont aussi déterminé pour un damier à 9 cases une stratégie gagnante. Si celui qui commence colorie d’abord la case centrale, il est assuré de gagner (s’il joue bien).
Les élèves ont…
Mots clés : combinatoire, dénombrement, stratégie de jeuLes élèves des deux ateliers ont d’abord étudié le cas d’un damier 3x3, c’est à dire à 9 cases. Ils ont déterminé dans ce cas le nombre de coloriages possibles du damier (si toutes les cases sont coloriées) lorsque les rouges commencent à jouer. Il ont montré qu’alors il y avait toujours un gagnant et que dans deux tiers des cas, c’était les rouges (qui ont commencé) qui gagnaient. Ils ont aussi déterminé pour un damier à 9 cases une stratégie gagnante. Si celui qui commence colorie d’abord la case centrale, il est assuré de gagner (s’il joue bien).
Les élèves ont…
Article : Le jeu du XXX - Lycée de la mer (Gujan Mestras) Université de Bordeaux (Talence)
Le problème étudié concerne un jeu combinatoire proche du jeu de Nim (jeu des allumettes). Face à divers lignes de jetons, les joueurs peuvent retirer à tour de rôle, un jeton isolé, deux jetons sur le bord d'une ligne ou trois jetons consécutifs. L'objectif est de ne pas prendre le dernier jeton. Cette publication vise à déterminer si une situation est gagnante ou perdante ainsi qu'une stratégie gagnante dans le premier cas. Plus précisément, il est dit que le reste de la division euclidienne par 14 de la longueur d'une plus longue ligne de jetons consécutifs, permet de de classifier les différentes situations. Cette idée s'avère fausse bien qu'étonnamment proche du premier raisonnement (faux également) mené par l'inventeur de ce jeu (faute précisée dans l'épilogue).
Mots clés : jeu combinatoire, analyse des jeux, fonction de Sprague-Grundy, jeu, stratégie gagnante, stratégieArticle : Le solitarium - Collège Robespierre (Epinay) Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
Des cases, disposées en cercle, contiennent chacune un pion Peut-on amener tous les pions dans une même case en s'imposant de déplacer à chaque coup 2 pions en sens contraire, chacun vers un case voisine.? Les auteurs donnent un méthode lorsque le nombre de cases, N, est impair et donnent un formule pour le nombre de coup nécessaire. Ils conjecturent que le problème est impossible pour N pair et établissent cette impossibilité pour N=4.
Mots clés : jeu, combinatoire, solitaire, pion, case, cycle, nombre, invariant, arrangement avec répétitionArticle : Voir sans être vu - Collège Molière (Ivry sur Seine) Collège Romain Rolland (Ivry sur Seine)
Le texte exact du problème traité ne nous est pas parvenu. Il s'agissait d'étudier la visibilité à l'intérieur de diverses formes planes, comme si celles-ci étaient le plan d'une pièce à surveiller. Au lieu de chercher pour une forme donnée la meilleure manière de disposer des caméras (qui permettent d'observer sans être vu), comme dans le problème "des gardiens de musées" , il s'agit ici d'étudier les formes qui permettent la surveillance de tout l'intérieur (bord compris) avec un nombre donné de postes d'observation. Le titre de l'exposé des auteurs au congrès 1998 était "Étude d'écrans"
Article : Chemin minimal - Lycée de La Mure (Isère)
Sujet : A,B,C,D, ... étant des points du plan, on cherche un point M qui rende la somme MA+MB+MC+MD+.... la plus petite possible. Cette question a été appelée "problème du chemin minimal" par les auteurs. Seul le cas de 3 points est abordé ici.
Article : Le centre de la France - Collège Condorcet (Pontault-Combault)
Nous avons commencé par chercher à mettre en équilibre différentes figures sur une épingle, puis sur le tranchant d' une règle.Nous avons observé une figure qui tient en équilibre sur une épingle. Nous avons appelé le point qui permet d'équilibrer la figure "centre de gravité".
Article : La duplication du cube - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
La mission qui m’a été confiée cette année est de construire un cube C’ de volume double d’un cube C avec pour seuls gadgets une règle non graduée et un compas. Je n’étais pas le premier agent à m’ être confronté à cette difficile mission. Celle-ci est apparue au VI ième avant J.-C. et de nombreux autres agents (Platon, Descartes...) ont organisé des interventions pour résoudre le problème. Pour mon rapport, j’ai pris le parti de vous présenter les stratégies d’attaque du sujet des agents Huygens, puis Nicomède, mais après vous avoir fait découvrir plus en détail la situation géométrique et mathématique initiale.
Article : Découpage de polygones - Lycée Georges Braque (Argenteuil) Lycée Romain Rolland (Goussainville)
Deux polygones ont même aire. Est-il possible de passer du premier au second, à l'aide d'un découpage en un nombre fini de morceaux ?
Article : Communiquer dans une grille - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice)
Réussira-t-on à informer tout le monde en respectant les règles de communication en vigueur dans le réseau ?
Des personnes (ou des relais électroniques, si vous préférez) sont régulièrement disposées dans un plan.
Chaque personne peut envoyer des informations à d'autres personnes, à condition de respecter certaines règles.
Ces règles, bien précises et immuables, sont les mêmes pour toutes les personnes. En fait, à proprement parler, c'est l'ensemble de ces règles qui définit le réseau.
Des personnes (ou des relais électroniques, si vous préférez) sont régulièrement disposées dans un plan.
Chaque personne peut envoyer des informations à d'autres personnes, à condition de respecter certaines règles.
Ces règles, bien précises et immuables, sont les mêmes pour toutes les personnes. En fait, à proprement parler, c'est l'ensemble de ces règles qui définit le réseau.
Article : Fractions égyptiennes - Lycée Montaigne (Bordeaux)
Les fractions dites égyptiennes sont celles de la forme 1/n, n étant un entier naturel.Il existe de nombreux problèmes...
Mots clés : fraction égyptienneArticle : Un drôle d arbre - Collège Alain Fournier (Orsay)
Cet article s'intéresse à l'arbre de Pythagore, construit par étapes à partir de carrés et de triangles rectangles isocèles. Il présente une méthode pour calculer la hauteur de l'arbre après n'importe quel nombre d'étapes et permettant de conjecturer que la hauteur totale de l'arbre reste finie. Il est également montré, en utilisant le théorème de Pythagore, que l'aire des carrés ajoutés à chaque étape reste constante, mais que ces carrés se chevauchent à partir de la sixième.
Quelques variantes sont ensuite testées avec des triangles rectangles non isocèles ou avec des hexagones. On constate que l'arbre semble toujours finir par se chevaucher, mais que le nombre d'étapes pour y arriver est variable.
Mots clés : arbre, théorème de Pythagore, géométrie, aireQuelques variantes sont ensuite testées avec des triangles rectangles non isocèles ou avec des hexagones. On constate que l'arbre semble toujours finir par se chevaucher, mais que le nombre d'étapes pour y arriver est variable.
Article : Jeu de Hex et stratégie gagnante - Collège Alain Fournier (Orsay)
Les auteurs expliquent les règles du jeu de Hex et donnent une stratégie
gagnante pour les petits plateaux.
Mots clés : jeu, stratégie gagnante, Jeu de Hexgagnante pour les petits plateaux.
Article : Jeu des différences - Collège Alain Fournier (Orsay)
On dispose d’une suite d’au moins 3 nombres dont on calcule les écarts. On recommence en calculant les écarts de ces derniers et on continue ainsi de suite tant qu’on n’a pas obtenu des écarts tous nuls. L’objectif est donc de savoir s’il est toujours possible d’aboutir à cette suite nulle. Dans l’article, il est prouvé que le jeu se termine obligatoirement dans les cas où l’on démarre avec 2 ou 4 nombres. Pour les cas à 3 ou 5 nombres, une analyse de ce qui empêche la victoire est proposée .Une conjecture est proposée pour le cas général.
Mots clés : jeu numérique, suite numérique, arithmétiqueArticle : Saute-moutons - Collège Alain Fournier (Orsay)
Comment faire se croiser deux troupeaux de moutons en file indienne en les faisant sauter les uns par dessus les autres ? Cet article étudie d'abord les exemples de troupeaux composés de 2, 3 ou 4 moutons avant d'en déduire et de démontrer par récurrence une formule donnant le nombre de coups pour n'importe quel nombre de moutons, puis de décrire une méthode permettant d'atteindre ce nombre de coups. À la fin de l'article la question de l'extension à trois troupeaux est posée avec quelques pistes de réflexion qui restent à explorer.
Mots clés : permutation, dénombrement, saute-mouton, solitaireArticle : Probabilités et pièces d’or - Collège Alain Fournier (Orsay)
On propose l'étude d'un jeu de manière probabiliste. On procède à un tirage de pièces sans remise, et suivant la nature de la dernière pièce tirée, on perd ou on gagne le jeu. On veut déterminer la probabilité de perdre. L'article propose une étude suivant la nature des pièces. Dans des cas particuliers, le problème a été résolu à l'aide d'arbres, et ensuite, la démonstration générale est proposée par récurrence.
Mots clés : probabilité, arbre, récurrence, programmationArticle : Tour de cartes - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Le « tour des 21 cartes » est un tour de magie lors duquel le prestidigitateur utilise un algorithme simple pour déterminer la carte secrètement choisie par un volontaire parmi 21 cartes. L'algorithme consiste à (i) successivement répartir les cartes face visible dans trois piles distinctes (deux cartes consécutives étant placées dans deux paquets différents) ; (ii) demander au volontaire de désigner dans quelle pile se trouve la carte qu'il a choisie ; (iii) empiler les trois paquets de 7 cartes en veillant à ce que la pile désignée par le volontaire soit placée au milieu. Il suffit au prestidigitateur de répéter ces trois étapes trois fois, après quoi il est certain que la carte désignée par le volontaire se trouve en 11ème position. Une recherche exploratoire permet aux auteurs de déterminer le rôle spécial de la « 11ème place » dans cet algorithme; plusieurs extensions (à un nombre pair de cartes, à un nombre différent de piles) sont également discutées.
Mots clés : jeu, carte, tour de cartes, tour de magie, division euclidienneArticle : Jeu de couleurs - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Cet article concerne le remplissage d’une feuille de papier de points de couleurs de sorte que deux points distants d’exactement 2 cm soient toujours de couleurs différentes. Dans un premier temps, les auteurs se sont intéressés à la coloration de certains pavages (triangulaire, carré, trihexagonal), qu’ils ont obtenu par symétries à partir de certaines figures géométriques dont ils ont colorié les sommets. Ils obtiennent ainsi des manières de remplir une feuille de points de couleur avec 6, 3, 2 et 1 couleurs. Les auteurs ont ensuite cherché à colorier entièrement une feuille, en translatant certaines formes
géométriques colorées. Ils obtiennent ainsi des coloriages d’une feuille avec 9, 8 et 7 couleurs. Les auteurs montrent ensuite que le nombre minimal de couleurs nécessaires au coloriage de la feuille (nombre chromatique du plan) est au moins 3.
Mots clés : construction géométrique, couleur, pavage, graphe, coloriage d'un plan, colorationgéométriques colorées. Ils obtiennent ainsi des coloriages d’une feuille avec 9, 8 et 7 couleurs. Les auteurs montrent ensuite que le nombre minimal de couleurs nécessaires au coloriage de la feuille (nombre chromatique du plan) est au moins 3.
Article : La fin des carrés - Lycée Jules Ferry (Coulommiers)
Certains nombres de pions peuvent se mettre en forme carrée : 1=1x1, 4=2x2, 9=3x3, 16=4x4, 25=5x5, 36=6x6, puis 49, 64, 81, 100, 121, etc. On appelle ces nombres des carrés parfaits ou simplement des carrés. Quels sont ces nombres ? Par quels chiffres se terminent-ils ? Comment les reconnaître ?
Mots clés : carré, carré parfaitArticle : Surfaces rectangulaires - Collège Molière (Ivry sur Seine)
On utilise indifféremment les mots "carrelage" ou "pavage" pour parler du découpage d'une surface en plusieurs morceaux juxtaposés, sans vide ni chevauchement : les morceaux sont appelés les "CARREAUX". Dans cet article, les surfaces que l'on cherche à carreler ainsi sont des RECTANGLES et tous les morceaux du carrelage doivent être "égaux" au carreau de base : autrement dit, les carreaux doivent pouvoir être superposés à cette figure, par déplacement direct ou après retournement. On ne peut pas couper les carreaux ; l'unité d'aire est le carré, l'unité de longueur est le côté du carré.
Article : Roulette hollandaise - Lycée Guillaume Apollinaire (Thiais)
On dispose au départ de billes réparties en plusieurs tas de manière arbitraire. L'opération de base, le prélèvement, consiste à prélèver une bille de chaque tas pour constituer un nouveau tas. Que se passe-t-il lorsqu'on enchaîne indéfiniment cette opération de prélèvement ? Précisons qu'à ce jeu de la "roulette hollandaise", les tas qui deviennent vides sont purement et simplement ignorés
Les auteurs mettent en évidence que certaines répartitions réapparaissent périodiquement. L'étude de ces "cycles de configurations", en particulier des configurations invariantes (répartitions qui se reproduisent à l'identique à chaque prélèvement) et de celles de période 2 (qui reviennent tous les 2 coups), aboutit à une conjecture très générale qui déterminerait, avec la seule donnée du seul nombre total de bille, le nombre de configurations cycliques possibles et les période des divers cycles où elles apparaissent. Cette conjecture est vérifiée jusqu'à 45…
Mots clés : roulette, itération, cycleLes auteurs mettent en évidence que certaines répartitions réapparaissent périodiquement. L'étude de ces "cycles de configurations", en particulier des configurations invariantes (répartitions qui se reproduisent à l'identique à chaque prélèvement) et de celles de période 2 (qui reviennent tous les 2 coups), aboutit à une conjecture très générale qui déterminerait, avec la seule donnée du seul nombre total de bille, le nombre de configurations cycliques possibles et les période des divers cycles où elles apparaissent. Cette conjecture est vérifiée jusqu'à 45…
Article : Partie de cache-cache avec le cabricube - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères) Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble)
Comment réaliser, grâce au logiciel Cabri-Géomètre® la vue mobile d'un cube en perspective. L'image de ce "cabricube" est conforme à ce que perçoit l'œil humain.
Mots clés : perspective, cube, Cabri-géomètre, rotation, géométrie, dynamique, vue, logicielArticle : Les brenoms - Collège Pierre de Ronsard (Montmorency) Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice)
Les brenoms généralisent les nombres entiers usuels : un brenom est une succession illimitée de chiffres écrite de droite à gauche. Exemple : ...562951413. On peut additionner et multiplier les brenoms de la manière habituelle, puisque ces opérations (sur les nombres) se font de droite à gauche. Les auteurs cherchent des brenoms qui, multipliés par eux-mêmes, ne changent pas : autrement dit ils étudient l'équation x^2=x. Ils trouvent 4 solutions : ...0000,...0001 et deux autres solutions.
Mots clés : brenom, nombre p-adique, chiffre, addition, soustraction, multiplication, division, carré, solution d'une équation, équation, anneau, anneau de nombresArticle : L algorithme de Kaprekar - Lycée Bartholdi (Colmar)
On part d'un nombre de 4 chiffres N. En rangeant les chiffres par ordre décroissant on obtient un nombre A. En les rangeant par ordre croissant on obtient un nombre B. En complétant éventuellement la différence A-B par des 0 à gauche, on obtient un nouveau nombre de quatre chiffres f(N). Les auteurs montrent que si les 4 chiffres de départ ne sont pas égaux, on finit par tomber, en réitérant le procédé, sur le nombre 6174.
Mots clés : nombre entier, chiffre, algorithme de Kaprekar, soustraction, convergence, itération, KaprekarArticle : L infini - Lycée Racine (Paris) Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Un hôtel au nombre de chambres fini affiche complet ; un voyageur arrive et souhaiterait en obtenir une, mais l'hôtelier ne peut que le renvoyer gentiment. Ce voyageur continue sa route et arrive devant un autre hôtel qui affiche lui aussi complet. Toutefois cet établissement comprend un nombre infini de chambres. Peut-il convaincre l'hôtelier de lui donner une chambre ?
Mots clés : infini, ensemble infini, bijection, cardinal, équivalence, segment, N, Z, Q, R, série harmonique, inverse, somme infinieArticle : Dames sur un échiquier - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Combien peut-on mettre de dames sur un échiquier de nxn cases sans qu'elles se mangent les unes les autres ? Les auteurs prouvent qu'on ne peut en mettre plus de n en général et proposent une méthode simple de placement suivant des mouvements de cavalier, qui donne des solutions lorsque le reste de la division de n par 6 n'est ni 2 ni 3. Pour n=8, 32 solutions sont trouvées et le défi est lancé pour n=9.
Mots clés : problème des dames, dame, échiquier, maximum, indépendant, congruenceArticle : Où est la fausse pièce - Lycée Romain Rolland (Argenteuil) Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
François et Olive disposent d’une pièce étalon (c’est-à-dire une vraie pièce) et d’une balance à plateaux pour trouver en un minimum de pesées une fausse pièce (de poids différent) perdue dans un tas de pièces. Plusieurs méthodes sont proposées : les auteurs expliquent notamment comment François et Olive peuvent repérer une fausse pièce parmi (3^k-1)/2 pièces sans dépasser k pesées.
Mots clés : pesée, fausse pièce, pièce, minimum, étalon, balanceArticle : Les crêpes - Lycée de La Mure (Isère)
Comment avec une simple palette, remettre dans l'ordre les crêpes d'une pile ? Au départ, n crêpes (de tailles toutes différentes) sont empilées n'importe comment. On veut les ranger par ordre décroissant, de la plus grande en bas à la plus petite en haut, en effectuant le moins de manipulation possible. La seule opération permise est d'insérer une palette entre deux crêpes et de retourner en bloc le haut de la pile. En explorant l'arbre des possibilités, les auteurs de cet article obtiennent un minoration du nombre de mouvements nécessaires. Ils proposent une méthode qui, pour n≥5, n'utilise pas plus de 2n-5 mouvements.
Mots clés : tri, pile, permutation, retournement, ordre croissant, algorithme, minimum, arbre de possibilitésArticle : La percolation - Lycée d Altitude (Briancon)
Dans une grille 10*10, on colorie un certain nombre de cases en noir, qui sont appelées obstacles. Le nombre de cases noires en pourcentage est noté d, densité d'obstacles. On cherche à savoir si en versant un fluide en haut de la grille, celui-ci va atteindre le bas de la grille. Si c'est le cas on dit qu'il y a percolation. Grâce à un tableur, puis à un programme en Python, des simulations de grilles ont été réalisées pour différentes densités d . A partir de ces simulations, on a pu observer l'allure de la courbe de la fréquence de percolation en fonction de la densité d d'obstacles.
Mots clés : percolation, simulation, programmation, fréquenceArticle : Les taches des girafes - Lycée d Altitude (Briancon)
Étant donnés n points A1, A2, ..., An , on appelle diagramme de Voronoï de A1, A2, ..., An l'ensemble des cellules Ci={M tel que d(M,Ai)<d(M,Aj) pour tout j ≠ i}. Le but de l'article est de construire et étudier les diagrammes de Voronoï. Les élèves sont arrivés à définir un algorithme pour réaliser le diagramme de Voronoï d'un réseau de points quelconques. Parallèlement ils ont trouvé le nombre maximal de médiatrices de n points. Ils ont aussi élaboré un jeu lié au diagramme de Voronoï et proposé des stratégies gagnantes.
Mots clés : diagramme de Voronoï, médiatrice, jeuArticle : Le pingpong - Collège Jacques Prévert (Saint Orens) Collège Jean Jaurès (Castanet)
Étude d'un jeu sur un plateau rectangulaire dont on cherche à retourner tous les pions. L'unique coup consiste à choisir un pion et retourner tous ses voisins. Recherche des plateaux faisables et des stratégies associées.
Mots clés : théorie des jeux, stratégie gagnanteArticle : Les Feux de l Amour - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
On suppose que plusieurs personnes sont debout dans une salle. Au même instant, ils décident tous de marcher en direction de leur voisin de gauche. Vont-ils finir par se rencontrer ?
Les auteurs démontrent que la forme de la pièce, la distance parcourue à chaque pas et le nombre de participants peuvent influencer le résultat.
Les logiciels Geogebra et Algobox ont été utilisés pour simuler les différentes situations.
Mots clés : vecteur, distance, récurrenceLes auteurs démontrent que la forme de la pièce, la distance parcourue à chaque pas et le nombre de participants peuvent influencer le résultat.
Les logiciels Geogebra et Algobox ont été utilisés pour simuler les différentes situations.
Article : Cryptographie, des textes à décoder... - Lycée Jean Puy (Roanne)
L'article considère plusieurs systèmes de cryptographie. Il présente le principe et la cryptanalyse des codages de César et par substitution, mais aussi du codage de Vigenère sans connaître la longueur de la clé. L'article termine par la mise en œuvre du procédé de Diffie Helman, qui permet à deux personnes de se mettre d'accord à distance sur une clé pouvant servir par la suite à coder un message.
Mots clés : cryptographie, décoder, codage, coder, code, César, substitution, codage de Vigenère, codage de Diffie HellmanArticle : Jeu de Nim et variantes - Lycée Jean Puy (Roanne)
Trois types de jeux combinatoires impartiaux sont abordés dans cet article: tout d'abord le jeu de soustraction {1,2,3} est présenté puis résolu pour une taille de tas quelconque (l'exemple de stratégie gagnante est donné pour 18 jetons). Le second jeu est celui où à partir d'un tas de n jetons, les deux joueurs peuvent retirer soit 1 soit (k+1) jetons, où k est le nombre de jetons retirés par le précédent joueur. Des stratégies gagnantes sont prouvées grâce au graphe des situations de jeu pour n=3,4,8,15. Enfin, les élèves ont résolu le jeu Chomp pour quelques tailles particulières (3x3, 3x2,4x3).Le cas du carré est conjecturé comme toujours gagnant pour le premier joueur.
Mots clés : jeu, stratégie, stratégie gagnante, Chomp, arbre de possibilités, disjonction de cas, jeu combinatoire, jeu de NimArticle : Tas de sable numériques - Lycée Esclangon (Manosque)
Les tas de sables numériques sont un exemple simple de modélisation d'effondrement en chaine. Une question naturelle est de déterminer les configurations stables que l'on peut obtenir après écroulement. Dans cet article on trouvera une description exhaustive de ces positions dans le cas de la dimension un (écroulement sur une ligne). L'implémentation d'un algorithme simulant l'effondrement des tas de sables a également permis d'émettre quelques conjectures en dimension deux (sur un carré), et de faire émerger l'existence de configurations neutres . De tels tas de sables peuvent être superposés à d'autre de tel sorte que l'effondrement qui en résulte ramène à la configuration de départ.
Mots clés : tas de sable, algorithme, nombre entier, groupeArticle : Jeux infinis - Lycée Fustel de Coulanges (Massy)
Deux joueurs choisissent tour à tour un 1 ou un 0 , indéfiniment. Le jeu est déclaré gagné par le premier joueur ou le second selon que certaines séquences de chiffres, convenues à l'avance, apparaissent une infinité de fois ou non. Dans les exemples étudiés ici, des stratégies gagnantes sont fournies par de simples automates.
Mots clés : jeu, infini, mot, binaire, motif, graphe, automate, état, nombre, chiffre, décimaleArticle : Comment plier un triangle - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Comment plier un triangle rectangle de telle façon que l'aire du polygone obtenu soit la plus petite possible (on ne fait qu'un seul pli et le polygone étudié est celui qui est couvert par une ou par deux épaisseurs de papier) ? Les auteurs conjecturent que le meilleur pli est toujours obtenu par un bissectrice et en font l'hypothèse. Si le plus grand des 2 angles aigus est compris entre 45° et 51°, le meilleur pli sera la bissectrice de l'angle droit. Si l'angle est supérieur à 52°, le meilleur pli sera la bissectrice du plus petit des angles aigus. La question des triangles quelconques reste ouverte.
Mots clés : triangle, aire, minimum, triangle rectangle, angle, bissectriceArticle : Le jeu de Gründy - Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
Au départ : plusieurs tas d'allumettes. A chaque tour, un des tas est partagé en deux tas inégaux. Le dernier à jouer gagne. Les auteurs établissent une classification des diverses situations de jeu en "types", ce qui permet d'attribuer une valeur à chaque situation de jeu. Une méthode simple de calcul est conjecturée. Elle permettrait, avec l'aide d'un ordinateur, de jouer parfaitement à ce jeu.
Mots clés : nombre entier, jeu, jeu de Gründy, tas d'allumettes, jeu de Nim, fonction de Sprague-Grundy, Nim-addition, somme, type, stratégie gagnante, situation gagnante, situation perdanteArticle : Géometrie sur la sphère - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Le sujet que nous avons choisi est l'étude de la géométrie sur la sphère et sa comparaison à la géométrie plane. Il s'est d'abord agi d'établir des correspondances entre les deux géométries, de "traduire" les figures élémentaires du plan. Pouvant alors "voyager" du plan à la sphère, nous avons pu comparer des objets plus complexes tels que les polygones. Si la recherche ne fut pas toujours évidente, nos efforts furent bien récompensés par des découvertes parfois étonnantes. Traitant un sujet proche d'un autre proposé il y a quelques années :"Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré ?", notre exposé comporte quelques références à la géographie; elles ont pour but de faciliter la bonne compréhension du lecteur.
Mots clés : géométrie, sphère, sphérique, géodésique, plus court chemin, angle, polygone, trirectangle, biangle, grand cercle, cercleArticle : Droites et Plans - Lycée d’Altitude (Briancon)
En combien de zones (régions), n droites coupent-elles le plan ? Les réponses sont données dans le cas de n droites parallèles, de n droites concourantes et de n droite "en position générale". Il est conjecturé que si p+c-1 droites sont réparties p droites parallèles et c droites concourantes, l'une des c droites concourantes étant confondue avec l'une des p droites parallèles, le nombre de régions est p(c+1).
Mots clés : plan, région, droite, parallèle, concourant, dénombrement, position généraleArticle : L énigme de Goldbach - Lycée Georges Braque (Argenteuil) Lycée Romain Rolland (Goussainville)
En 1742 Goldbach envoya une lettre à Euler pour lui poser la question suivante :" Tous les entiers supérieurs ou égaux à 5 sont-ils somme de trois entiers premiers ?"Alors Euler formula une autre question :"Tous les entiers pairs supérieurs ou égaux à 4 sont-ils somme de deux nombres premiers ?" Les auteurs étudient des représentations graphiques pour l'ensembles L(n) des nombres qui sont somme de deux entiers premiers inférieurs à n et remarquent que tout entier premier a pour reste 1 ou 5 quand on le divise par 6. Ils proposent de chercher des liens autre que l'inclusion entre L(n) et L(n+2).
Mots clés : Goldbach, Euler, nombre premier, conjecture, somme, congruenceArticle : Zelliges - Lycée de l’Hautil (Jouy le Moutier) Lycée Camille Saint Saens (Deuil La Barre)
Les zelliges sont des mosaïques colorées basées sur des dessins géométriques qui apparaissent sur les murs des mosquées au Maroc et en Espagne...
Dans certains cas on peut retrouver avec la règle et le compas les règles empiriques qui ont guidées leur construction.
Mots clés : angle, arabe, compas, Islam, mosaïque, parallèle, règle, rosace, zellige, médiatrice, bissectriceDans certains cas on peut retrouver avec la règle et le compas les règles empiriques qui ont guidées leur construction.
Article : Partitions d un entier - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)
Prenons un nombre entier positif n. De combien de façons peut-on écrire n , comme somme de nombres entiers positifs ? Le sens de la question varie selon que l'on considère des sommes ordonnées ou non : une composition de n sera une suite d'entiers positifs de somme n (ainsi (1,2,2) et (2,1,2) seront deux compositions distinctes de l'entier 5) tandis qu'une partition de n sera une liste d'entiers positifs, de somme n, rangée par ordre croissant (ainsi 1+2+2 et 2+1+2 seront des écritures différentes de la même partition du nombre 5, soit (1,2,2)). Les auteurs montrent que le nombre A( n) de compositions de n vaut 2^(n-1). Pour le nombre P( n) de partitions de l'entier n, ils donnent une expression simple de la série génératrice correspondante, c'est à dire de la somme infinie 1+ P(1)X^1+ P(2)X^2+ P(3)X^3+ ...
Mots clés : nombre entier, somme, partition, partage, décomposition, nombre polygonal, tableau de Young, série génératrice, série formelle, polynôme, produit infini, division par puissances croissantes, suite géométrique, Mac Mahon, Euler, combinatoire, Ramanujan, récurrence, somme infinieArticle : Nœuds - Lycée de l Hautil (Jouy le Moutier) Lycée Camille Saint Saëns (Rouen)
Lorsque deux ou plusieurs boucles de ficelle (on ne considère que des boucles fermées sur elles-mêmes) sont entremêlées dans l'espace, elles forment un entrelacs. Par définition, on considère que l'entrelacs ne change pas lorsqu'on les déforme les boucles ou qu'on en change la position dans l'espace (mais il est exclu de les couper). Pour représenter un entrelacs, on peut dessiner son ombre sur un plan en prenant soin d'indiquer, pour chaque croisement qui apparaît, quelle portion de ficelle passe au dessus et quelle portion passe au dessous. Le dessin obtenu est appelé diagramme de l'entrelacs. Il y a évidemment plusieurs diagrammes possibles pour un même entrelacs.
Les auteurs étudient les diagrammes équivalents et quelques simplifications possibles de ces diagrammes. Ils trouvent un codage pour les diagrammes de nœuds (une seule boucle enmêlée à elle-même). En utilisant l'idée d'enroulement et de torsion, ils prouvent que certains entrelacs sont…
Mots clés : nœud, diagramme d'un nœud, diagramme, entrelacs, code de Gauss, torsion, tourLes auteurs étudient les diagrammes équivalents et quelques simplifications possibles de ces diagrammes. Ils trouvent un codage pour les diagrammes de nœuds (une seule boucle enmêlée à elle-même). En utilisant l'idée d'enroulement et de torsion, ils prouvent que certains entrelacs sont…
Article : Le Dobble - Lycée Esclangon (Manosque)
Ce texte propose une étude du Jeu « Dobble », un jeu de réflexes. Le jeu se compose de 55 cartes portant 8 symboles différents chacune, de plus deux cartes différentes ont toujours un seul symbole en commun. L'auteur commence par étudier des jeux satisfaisant les mêmes contraintes que le « Dooble » mais n'utilisant qu'un nombre réduit de symboles par cartes. Cela permet d'établir des conjecture sur le nombre de cartes des jeux de type « Dobble », complets, à n symboles par cartes. Ces conjectures sont ensuite démontrées. Puis l'article se concentre sur la construction de jeux en utilisant une méthode mêlant arithmétique et géométrie. Les jeux ainsi construit présentent une structure mathématique riche (plus riche que celle du jeu du commerce !), l'auteur présente de nouvelles règles du jeu qui tirent parti de cette richesse.
Mots clés : jeu, Dobble, combinatoire, arithmétique, géométrie projective, corps fini, congruenceArticle : Les interrupteurs défectueux - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Dans cet article, les auteurs étudient les réseaux d'interrupteurs défectueux. Les interrupteurs sont défectueux dans le sens où, appuyer sur un interrupteur changera l'état de celui-ci mais aussi les états de ses plus proches voisins. Partant d'un réseau dont tous les interrupteurs sont fermés, peut-on arriver à avoir tous les interrupteurs ouverts en même temps? Les auteurs ont donné des méthodes de résolutions pour les réseaux cycliques ainsi que ceux formés par deux cycles ayant une suite d'interrupteurs successifs en communs. Dans chacun de ces cas, les auteurs ont montré que le réponse est positive.
Mots clés : graphe, matrice, interrupteur, réseau, cycle, jeuArticle : La Multiplication pour les nuls - Collège Mario Meunier (Montbrison)
Pour quelques nombres entiers n, il s'agit de trouver un moyen de multiplier n'importe quel nombre entier par n, et ce, sans utiliser les tables de multiplication. Plus précisément, on n'a le droit que d’additionner et de soustraire des chiffres, et le but étant d'utiliser le moins d'opérations possibles. L'article propose des méthodes pour n=11 et 6 (avec justifications) puis pour 5,7,8,9 (sans justifications).
Mots clés : multiplication, addition, soustractionArticle : Combien de points faut-il pour définir une courbe? - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)
Comment déterminer une courbe avec quelques points seulement ? Deux approches sont présentées ici : (a) Une parabole d'axe vertical est déterminée par 3 de ses points. (b) 2 points-extrémités et des "points de contrôle" supplémentaires permettent le tracé "vectoriel" des courbes de Bézier. Cette dernière méthode est couramment utilisée par les logiciels de dessin. (Résumé par les éditeurs)
Mots clés : point, courbe, parabole, Bézier, barycentre, triangle de Pascal, dessin vectoriel, équation paramétriqueArticle : Aires et distances - Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
[Résumé. (fait par les éditeurs) Comment déterminer l'aire d'un polygone lorsqu'on n'a accès qu'aux mesures de distances entre sommets du polygone ? Des méthodes simples sont proposées pour les quadrilatères remarquables et une formule est donnée pour les quadrilatère généraux, qui sont partagés en deux triangles.
Mots clés : aire, distance, polygone, quadrilatère, triangulation, triangle, théorème de PythagoreArticle : Combiner deux carrés - Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
Il s'agit de trouver les entiers naturels N pouvant s'écrire sous la forme :
N = x^2+ ay^2
Mots clés : carré, somme, différence, équation de Pell, absurdeN = x^2+ ay^2
Article : Le problème du cavalier - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un cavalier se déplace le long dπune bande, divisée en cases numérotées par les entiers naturels, n étant le numéro attribué la nième case en partant de lπorigine. Le cavalier peut se déplacer soit de p cases, soit de q cases (), en avant ou en arrière. On place sur cette demi-droite un mur, auquel correspond le numéro m (), qui empêche le cavalier de passer par une quelconque case dont le numéro est strictement supérieur à celui du mur.
On demande si lπon peut placer le mur de manière à ce que le cavalier, en partant de la case 0, puisse atteindre toutes les cases situées entre la case 0 et la case m (au sens large), et, si cela est possible, quelles valeurs peut on donner à m.
Mots clés : saut de cavalier, pgcd, vecteur entier, combinaison linéaire, FrobeniusOn demande si lπon peut placer le mur de manière à ce que le cavalier, en partant de la case 0, puisse atteindre toutes les cases situées entre la case 0 et la case m (au sens large), et, si cela est possible, quelles valeurs peut on donner à m.
Article : Les ponts de la ville de Königsberg - Collège des Explorateurs (Cergy)
La ville de Königsberg (Prusse orientale) comptait 7 ponts.
L’histoire veut que Léonard Euler, en visite dans cette ville, ait eu à résoudre le problème qui préoccupait fortement ces habitants.
Est-il possible de trouver un circuit qui emprunte une fois et une seule chacun des 7 ponts de la ville?
Mots clés : pont, Kœnigsberg, Königsberg, graphe, circuit eulérien, Euler, arbreL’histoire veut que Léonard Euler, en visite dans cette ville, ait eu à résoudre le problème qui préoccupait fortement ces habitants.
Est-il possible de trouver un circuit qui emprunte une fois et une seule chacun des 7 ponts de la ville?
Article : Labyrinthes - Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
[Résumé. (par les éditeurs) Un moyen infaillible de sortir d'un labyrinthe situé sur un plan (et donc où les notions de gauche et de droite permettent de s'orienter), au moins dans le cas où la sortie donne sur l'extérieur.]
Mots clés : labyrinthe, graphe, planaire, sortie, algorithmeArticle : Des carrés dans les rectangles. - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Un rectangle a deux dimensions, disons sa largeur et sa hauteur et la proportion largeur/hauteur donne la forme du rectangle. Par exemple, un écran 16/9 est un écran rectangulaire dont la proportion largeur/hauteur est égale à 16/9. Ces écrans peuvent être grands ou petits, mais ils ont tous la même forme. A tout nombre positif correspond une forme de rectangles.
Si vous cherchez à quel nombre correspond un rectangle, vous pouvez bien sûr mesurer sa largeur et sa hauteur avec la règle et faire la division, mais ce n'est pas une méthode exacte.
Voici une méthode géométrique.
Mots clés : fraction continue, nombre rationnel, nombre irrationnel, rectangle, carré, anthyphérèse, racine carrée, approximation, format de papier, découpage, pliageSi vous cherchez à quel nombre correspond un rectangle, vous pouvez bien sûr mesurer sa largeur et sa hauteur avec la règle et faire la division, mais ce n'est pas une méthode exacte.
Voici une méthode géométrique.
Article : Les réceptions de l ambassadeur - Collège Gérard Philippe (Cergy)
Placés autour d'une table circulaire, ni deux hommes ni deux femmes ni mari et femme ne doivent se trouver côte à côte. Pour un nombre de couples fixé, n, combien de dispositions sont possibles ? La réponse est donnée pour n = 2, 3 et 4
Mots clés : permutation, circulaire, couple, enumération, dénombrement, combinatoire énumérativeArticle : Pavable ou pas ? - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Avec des losanges identiques dont les angles sont 60° et 120°, on essaye de "paver" une forme polygonale, c'est à dire de couvrir exactement leur surface sans chevauchement ni lacunes. On trouve des conditions nécessaires liées aux idées de parité et de coloration. On montre que ces conditions suffisent dans le cas des formes convexes. Pour les formes quelconques une conjecture générale est proposée. Elle fait apparaître une certaine "fonction de hauteur", évaluée sur le bord des formes considérées.
Mots clés : pavage, losange, triangle, hexagone, convexe, parité, récurrence, condition nécessaire et suffisanteArticle : Le découpage de la France - Collège Gérard Philipe (Cergy)
En 2050, le ministre de l'intérieur décide de faire un découpage de la France en départements. Pour simplifier son travail, il assimile la France à un hexagone régulier, chaque département doit avoir la forme d'un triangle, et il n'utilise que des diagonales pour faire le découpage . Pouvez-vous l'aider ? (note 2)
Nous avons commencé par étudier le carré, le pentagone [régulier] puis l'hexagone [régulier] car la France peut être considérée comme telle.
[Nous examinons tous les cas, suivant le nombre et la disposition des diagonales.
Nous ne retenons une figure comme découpage possible que si elle est solution de notre problème, c'est à dire si toutes les régions formées sont des triangles. Les triangles des figures-solutions sont colorés].
Mots clés : Erdös, triangle, isocèle, Ramsey, configuration de points, plan, Euler, GoldbachNous avons commencé par étudier le carré, le pentagone [régulier] puis l'hexagone [régulier] car la France peut être considérée comme telle.
[Nous examinons tous les cas, suivant le nombre et la disposition des diagonales.
Nous ne retenons une figure comme découpage possible que si elle est solution de notre problème, c'est à dire si toutes les régions formées sont des triangles. Les triangles des figures-solutions sont colorés].
Article : A la Erdös - Collège des Explorateurs (Cergy)
On considère 4 points distincts dans le plan. Est-on sûr de pouvoir former un triangle non isocèle avec trois d'entre eux ? Et si on considère 5, 6 ou 7 points ? (note 2)
Nous cherchons à faire des figures ne comprenant que des triangles isocèles.
Remarque : Les segments de même longueur ont la même couleur.
Mots clés : Erdös, triangle, isocèle, Ramsey, configuration de points, planNous cherchons à faire des figures ne comprenant que des triangles isocèles.
Remarque : Les segments de même longueur ont la même couleur.
Article : La marelle - Collège Gérard Philipe (Cergy) Collège des Explorateurs (Cergy)
Paul et Virginie aiment jouer à la marelle, mais ils en ont changé les règles [note 1]. On part de la TERRE pour aller au CIEL en passant par 4 cases numérotées de 1 à 4. La règle est la suivante: sur chaque case, le joueur lance une pièce. Si la pièce tombe sur " pile ", le joueur reste sur place. Si elle tombe sur " face ", le joueur avance d'une case. Comme on a une chance sur deux d'avancer, Virginie parie qu'en au plus de 10 coups, elle arrivera au CIEL.
Qu'en pensez-vous? Imaginer d'autres règles et d'autres paris (par exemple avec des dés ou avec une pièce truquée ou si la piste de jeu est un échiquier.
Mots clés : probabilité, modélisation, modèle, marelle, arbre de possibilités, statistiqueQu'en pensez-vous? Imaginer d'autres règles et d'autres paris (par exemple avec des dés ou avec une pièce truquée ou si la piste de jeu est un échiquier.
Article : Approche de la solution de cos(x)=x - Lycée Blanche de Castille (Le Chesnay)
Nous avons cherché à résoudre des équations irrésolvables par le calcul. C'est pourquoi nous avons décidé d'utiliser un autre outil mathématique : la méthode graphique.
Pour illustrer notre démonstration nous avons choisi l'exemple de l'équation : cos(x)=x.
C'est à dire trouver le zéro de la courbe représentative de f(x)=cos(x)-x.
Mots clés : équation, fonction, cosinus, solution, zéro, approximation, résolution numérique, barycentre, dichotomiePour illustrer notre démonstration nous avons choisi l'exemple de l'équation : cos(x)=x.
C'est à dire trouver le zéro de la courbe représentative de f(x)=cos(x)-x.
Article : Une invitation a la topologie symplectique. - IUFM Midi-Pyrénées (Narbonne)
Archimède s’est beaucoup intéressé aux solides de l’espace que sont le cône, le cylindre et la sphère. Sont données ici deux preuves d’un résultat célèbre qui figure dans ses œuvres et qui concerne le cylindre et la sphère: la preuve initiale d’Archimède, datant du 3ème siècle avant Jésus-Christ, utilise des outils du collège aujourd’hui; la seconde preuve utilise des outils de calcul différentiel et intégral appliqués à la géométrie qui ont été construits au dix-septième siècle et que l’on apprend aujourd’hui au lycée. Les outils plus sophistiqués de cette deuxième preuve permettent de comprendre l’essence du résultat qui devient alors un exercice de géométrie différentielle ou symplectique (Voir [McDS], p.82).
Le point de départ de ce travail a été un exposé au colloque “MATh.en.JEANS” 2002 qui s’est tenu à l’université d’Orsay-Paris XI. Ce texte peut intéresser aussi les professeurs de mathématiques de collège et de lycée. Il a été proposé à mes étudiants du PLC1Maths de l’IUFM Midi-Pyrénées, en…
Mots clés : topologie, symplectique, Archimède, sphère, cylindre, calcul différentiel, calcul intégral, géométrie différentielleLe point de départ de ce travail a été un exposé au colloque “MATh.en.JEANS” 2002 qui s’est tenu à l’université d’Orsay-Paris XI. Ce texte peut intéresser aussi les professeurs de mathématiques de collège et de lycée. Il a été proposé à mes étudiants du PLC1Maths de l’IUFM Midi-Pyrénées, en…
Article : Tous les chemins mènent à Rome - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Un marcheur évolue dans un quadrillage en ne faisant que des pas de longueur unité, vers la droite ou vers le haut. Les auteurs montrent comment la formule du binôme permet de trouver le nombre de chemins possibles depuis l'origine jusqu'à un noeud quelconque du quadrillage (point à coordonnées entières positives ou nulles). Une généralisation au réseau cubique (tridimensionnel) est proposée, qui permet une approche du cas (bidimensionnel) du réseau triangulaire. ]
Mots clés : combinatoire énumérative, chemin, réseau carré, réseau triangulaire, réseau cubique, grille, probabilité, coefficient binomial, triangle de PascalArticle : Le meilleur pli - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Comment plier une forme plane donnée en en cachant le plus possible ?
Mots clés : aire, pliage, triangle, symétrie, minimum, bissectriceArticle : Aux antipodes l’un de l’autre - Collège Charles Lebrun (Montmorency) Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice)
Des astronautes escargots sont sur une boîte à chaussures, perdus en plein milieu de l'espace. Ils se rejettent la responsabilité de l'erreur qui les a mis dans une telle situation. Depuis, ils se font la tête au point de chercher à se placer sur cette boîte de manière à être le plus loin possible les uns des autres.
Où peuvent-ils se mettre ?
Mots clés : cube, distance, distance sur un cube, plus courte distanceOù peuvent-ils se mettre ?
Article : Colliers de perles - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)
On dispose de n perles, chaque perle étant grise ou violette. Combien de colliers fermés circulaires différents peut-on constituer avec ces perles ? Les colliers ne différant que par une rotation sont considérés comme identiques. [...]
Mots clés : collier, circulaire, dénombrement, compter, couleur, permutation, pgcd, perleArticle : Le billard circulaire - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)
Deux boules sont placées sur un billard de forme circulaire. Dans quelle(s) direction(s) faut-il frapper la première de sorte qu'elle rebondisse une seule fois sur le bord et touche ensuite la deuxième ? Deux méthodes sont proposées : (1) une méthode mathématique : trouver, en passant par une équation du 4 ème degré, une ellipse qui soit tangente au cercle et qui ait les deux boules pour foyers (2) une méthode physique : remplacer le billard par une tasse circulaire à font plat, la première boule par une source lumineuse et utiliser l'enveloppe des rayons réfléchis (caustique).
Mots clés : billard, circulaire, cercle, ellipse, caustique, bissectrice, foyer, équation, quatrième degréArticle : La cycloïde - Lycée d’Altitude (Briancon)
La cycloïde est la courbe décrite par un point fixe d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite.
Comment tracer une cycloïde sans connaître son équation ?
Mots clés : cycloïde, roulette, cercle, roulementComment tracer une cycloïde sans connaître son équation ?
Article : Construire un surplomb - Lycée d’Altitude (Briancon) Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Les auteurs cherchent à réaliser un empilement stable de n briques de manière à obtenir le plus grand surplomb possible de la n-ième brique par rapport à la première. Les auteurs se placent dans le cas où l'on évolue que dans un seul sens (sans revenir en arrière!) et appliquent le principe suivant. Pour que l'ensemble des briques tienne en équilibre, il suffit que pour chaque brique l'isobarycentre des briques posées au dessus d'elle soit à l'aplomb de son bord. Les auteurs conjecturent que n-1 décalages égaux à 1/n donnent un empilement stable. Ils prouvent, par récurrence, que n-1 décalages successifs de valeur 1/(2k) (k variant de n-1 à 1) donnent une solution stable (solution que l'on peut conjecturer optimale) et posent la question : le surplomb ainsi obtenu devient-il arbitrairement grand quand n augmente ?
Mots clés : surplomb, Kapla, centre de gravité, isobarycentre, série harmonique, équilibre, récurrenceArticle : La période trouble des inverses - Ecole Jules Ferry (Melun) Collège Frédéric Chopin (Melun)
Existe-t-il des nombres de période 1999 ? Plus généralement étant donné un nombre N, peut-on trouver un nombre dont la période est N ?
Peut-on caractériser (trouver des propriétés sur) les nombres de période 0 ? 1 ? 2 ? ...
Les nombres 7,17,19 ont des périodes de 6,16,18. Existe-t-il d'autres nombres N dont la période est N-1 ? En existe-t-il une infinité ? Comment les trouver ?
Peut-on caractériser (trouver des propriétés sur) les nombres de période 0 ? 1 ? 2 ? ...
Les nombres 7,17,19 ont des périodes de 6,16,18. Existe-t-il d'autres nombres N dont la période est N-1 ? En existe-t-il une infinité ? Comment les trouver ?
Article : Les bananes dans le désert - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Dans un désert de 1000 km, nous devons transporter 3000 bananes avec un chameau ne pouvant porter que 1000 bananes sur son dos.
En sachant qu'il consomme 1 banane par km parcouru.
Exemple: 100 km = 100 bananes consommées
Quel est le plus grand nombre de bananes
que vous pouvez ramener au bout du désert?
En sachant qu'il consomme 1 banane par km parcouru.
Exemple: 100 km = 100 bananes consommées
Quel est le plus grand nombre de bananes
que vous pouvez ramener au bout du désert?
Article : Les mathématiques des engrenages - Lycée d’Altitude (Briancon)
On trouve dans de nombreuses machines des systèmes d'engrenages destinés à multiplier ou à démultiplier une vitesse d'entrée pour obtenir une vitesse de sortie bien particulière.
Les exemples sont nombreux, comme les boites de vitesse de nos voitures, ou encore les engrenages des montres et des horloges. Nous disposons d'un arbre tournant à une vitesse angulaire W. A la sortie on veut une vitesse angulaire k.W où k=0,23 (par exemple).
Il faut donc essayer de trouver une méthode générale pour placer des engrenages (dont on définira le plus petit et le plus grand), qui ont par exemple entre 15 et 50 dents pour obtenir le rapport k
Mots clés : engrenage, fraction, rapport, vitesse angulaire, nombre premierLes exemples sont nombreux, comme les boites de vitesse de nos voitures, ou encore les engrenages des montres et des horloges. Nous disposons d'un arbre tournant à une vitesse angulaire W. A la sortie on veut une vitesse angulaire k.W où k=0,23 (par exemple).
Il faut donc essayer de trouver une méthode générale pour placer des engrenages (dont on définira le plus petit et le plus grand), qui ont par exemple entre 15 et 50 dents pour obtenir le rapport k
Article : La géométrie non euclidienne - Lycée d Altitude (Briancon)
En prenant comme "espace plan" un demi-plan bordé par une droite (H), comme "droites" les demi-cercles centrés sur (H) et comme "points" ceux du demi-plan, on obtient une géométrie qui vérifie les axiomes de la géométrie classique euclidienne sauf l'axiome des parallèles. Que deviennent les polygones ? La somme des angles n'est plus constante !]
Mots clés : demi-plan de Poincaré, droite, triangle, angle, perpendiculaire