Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Le pays dont on ne s’échappe jamais - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Dans cet article, les auteurs cherchent à déterminer le plus court chemin reliant deux points à l'intérieur d'un carré en imposant la contrainte suivante : si un chemin rencontre l'un des côtés du carré en un point, alors ce dernier est envoyé sur le point symétrique qui se trouve sur le côté opposé. En utilisant le logiciel de géométrie dynamique « GeoGebra », les auteurs ont traité en détail les cas selon que le chemin rencontre 0, 1 ou 2 côtés du carré.
Mots clés : géométrie des triangles, plus court cheminArticle : Le puzzle qui rend fou - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Il s'agit de comprendre un puzzle formé de neuf pièces carrées qu'il faut assembler en respectant des contraintes de couleurs et de formes. Une méthode de recherche systématique de solution en créant un arbre des possibilités est exposée, celle-ci permet de déterminer les 4 solutions du puzzle. Des variantes du puzzle sont ensuite étudiées (une seule couleur, un seul type de pièces, …). Pour finir divers puzzles sont construits dont un qui ne possède qu'une seule solution.
Mots clés : combinatoire, algorithmeArticle : Une drôle de salle de bain - Collège Alain Fournier (Orsay)
On veut carreler une salle de bain carrée avec n*n carreaux, de telle sorte que (1) sur une même ligne ou sur une même colonne, les carreaux soient tous de couleurs distinctes (2) pour tout carré k×k contenu dans le grand carré n×n, les carreaux des quatre coins soient tous de couleurs distinctes, ou bien soient de deux couleurs distinctes. Quel est le nombre minimal de couleurs dont on a besoin pour satisfaire ces contraintes ? Il est clair que l'on a besoin de n couleurs au minimum, mais peut-on toujours le faire avec n couleurs exactement ? Les élèves donnent des exemples de nombre n où cette borne inférieure est insuffisante, mais présentent également deux techniques pour construire un carrelage optimal (avec n couleurs) pour certains n.
Mots clés : combinatoire, arithmétiqueArticle : Les tours de Futurville - Collège Alain Fournier (Orsay)
Cet article présente une ville imaginaire constituée de tours, de ponts reliant les tours et de tentures colorées entre les ponts. Il énonce et démontre par récurrence une relation entre le nombre de tours, de ponts et de tenture. L'article présente également le nombre maximal de ponts et de tentures que peut contenir une ville ayant un nombre de tours donné.
Mots clés : combinatoire, graphe, récurrenceArticle : Qui mangera le plus de pizza ? - Collège Alain Fournier (Orsay)
Une pizza est découpée en parts de tailles différentes. Deux personnes mangent cette pizza en prenant une part chacun à leur tour : une fois qu'une part a été mangée, on ne peut manger qu'une part adjacente à une part déjà mangée. L'article établit des stratégies pour que la première personne qui se sert en mange au moins la moitié dans les cas de 2, 3, 4, 5 parts et dans le cas d'un nombre pair de parts. Pour le cas d'un nombre de parts impair, un contre-exemple est donné où la seconde personne pourra toujours manger plus de la moitié.
Mots clés : partage, partage équitable, stratégieArticle : Ficelles en folie - Cité scolaire Lacassagne (Lyon) Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne)
Des boules de décoration sont reliées entre elles et suspendues à un plafond. Deux joueurs coupent une ficelle l'un après l'autre. Celui qui retire la dernière ficelle a perdu. Sur une configuration donnée, quelle est la stratégie permettant de savoir lequel des deux joueurs va gagner ? Quel algorithme permet de jouer la partie la plus longue ?
Mots clés : graphe, jeu de Nim, récurrence, algorithmeArticle : Une échelle pour ranger des cartes - Lycée V. et H. Basch (Rennes) Lycée Rabelais (Saint Brieuc)
Cet article décrit un algorithme de tri reposant sur l’échange de deux éléments consécutifs.
Mots clés : algorithmes de tri, complexitéArticle : Etude de la forme des alvéoles des abeilles - Lycée Jules Supervielle (Oloron Sainte Marie)
Il s'agit d'étudier les formes géométriques des alvéoles dans les ruches construites par les abeilles et d'en comprendre les certaines règles d'optimisation.
Mots clés : pavage, aire, volume, optimisation, patronArticle : Jeu de Babylone - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Cet article analyse le jeu de Babylone : jeu de type duel opposant deux joueurs qui doivent tout à tour empiler des tuiles selon certaines règles jusqu’à ce qu’un des joueurs ne puissent plus faire de mouvement. L’article montre la difficulté de décrire tous les mouvements possibles à l’aide d’un arbre malgré l’introduction d’une notation simple. Il étudie ensuite trois versions simplifiées du jeu et démontre pour chacune d’elles que l’un des joueurs a une stratégie gagnante.
Mots clés : jeu de Babylone, jeu de stratégie, combinatoire, algorithmeArticle : Croisements dans un graphe - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Un graphe est constitué de points reliés entre eux par des arêtes. Un graphe étant donné, on cherche la façon de le représenter en utilisant le moins possible de croisements entre ses arêtes.
Les auteurs travaillent sur la représentation d’un graphe avec un nombre minimum de croisements entre les arêtes. Ils s’intéressent plus particulièrement aux graphes complets où, en considérant le nombre de sommets, le nombre d’arêtes et le nombre de régions, ils donnent une borne inférieure du nombre minimal de croisements en fonction du nombre de sommets. Enfin ils s’intéressent aux graphes bipartis où ils montrent qu’il est impossible de relier trois maisons à trois sources (eau, gaz et électricité) sans que les connections se croisent. Ils donnent en fin d’article une conjecture intéressante sur la représentation optimale en termes de nombre de croisements d’un graphe biparti.
Mots clés : graphe, graphe planaire, formule d'EulerLes auteurs travaillent sur la représentation d’un graphe avec un nombre minimum de croisements entre les arêtes. Ils s’intéressent plus particulièrement aux graphes complets où, en considérant le nombre de sommets, le nombre d’arêtes et le nombre de régions, ils donnent une borne inférieure du nombre minimal de croisements en fonction du nombre de sommets. Enfin ils s’intéressent aux graphes bipartis où ils montrent qu’il est impossible de relier trois maisons à trois sources (eau, gaz et électricité) sans que les connections se croisent. Ils donnent en fin d’article une conjecture intéressante sur la représentation optimale en termes de nombre de croisements d’un graphe biparti.
Article : Jeu de Ping - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Une grille est recouverte de pions à deux couleurs (une pour le recto, une pour le verso). Quand on choisit une case, on retourne tous les pions adjacents. L'article étudie si, connaissant les dimensions de la grille, on peut ou non retourner tous les pions. Une réponse complète est donnée pour les grilles 1 x n, 2 x n, et pour certaines grilles carrées.
Mots clés : jeu de réflexion, grille, retournementArticle : Pavage par des tatamis - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
On s'intéresse ici aux pavages de certains rectangles par des tatamis. Les tatamis sont des rectangles de dimension 1*2 mais il ne doit jamais y en avoir 4 qui se rejoignent au même point.
Mots clés : pavageArticle : Winning Bets - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
Dans un casino on parie sur les résultats de 7 rencontres ; deux résultats sont possibles pour cves rencontres : ou bien l'équipe hôte gagne ou bien c'est l'équipe « visiteurs ». Le premier prix est remporté quand on donne les 7 bons résultats, le second lorsqu'on en donne 6 sur 7. Divers problèmes sont abordés : probabilité de gagner le premier prix en remplissnt une liste de résultats au hasard, combien de listes au minimum doit on déposer pour être sûr·e de gagner soit le premier prix soit le deuxième prix. On se demande ce qui change lorsque trois résultats pour chaque rencontre sont possibles (il peut y avoir match nul), ou plus de rencontres.
Mots clés : probabilitéArticle : The Game of Differences - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
On s’intéresse à la transformation qui à 4 nombres a,b,c,d associe les quatres nombres : |a - b|, |b - c|, |c – d|, |d – a|.
En partant de 4 nombres entiers particuliers et en itérant cette transformation on finit par obtenir 0,0,0,0.
La question est de montrer que c’est toujours le cas, puis de généraliser de deux façons :
1) en changeant le nombres d’entiers de départ (et d’arrivée), autrement dit est-ce encore vrai pour 5, 6 voire n nombres ?
2) en prenant 4 nombres rationnels au départ, ou en prenant 4 nombres réels,le résultat est-il encore vrai ?
Mots clés : arithmétique, modulo 2En partant de 4 nombres entiers particuliers et en itérant cette transformation on finit par obtenir 0,0,0,0.
La question est de montrer que c’est toujours le cas, puis de généraliser de deux façons :
1) en changeant le nombres d’entiers de départ (et d’arrivée), autrement dit est-ce encore vrai pour 5, 6 voire n nombres ?
2) en prenant 4 nombres rationnels au départ, ou en prenant 4 nombres réels,le résultat est-il encore vrai ?
Article : Le Dobble - Lycée Henri Matisse (Cugnaux) Lycée Jean Pierre Vernant (Pins-Justaret)
L’article présente le jeu de Dobble et explique comment sont conçues les cartes.
Mots clés : combinatoire, dénombrement, DobbleArticle : Match the Maths - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Our research deals with the mathematical construction of a soccer ball, that is made of regular pentagons and
hexagons. Given the diameter of the ball, we shall approximate the length of the stitch and the area of the ball. Conversely, if the length of the pentagons is given, we shall approximate the size of the ball.
Mots clés : pentagone, hexagone, icosaèdre, aire, volume, ballon de foothexagons. Given the diameter of the ball, we shall approximate the length of the stitch and the area of the ball. Conversely, if the length of the pentagons is given, we shall approximate the size of the ball.
Article : Pyramids - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
The tower is built of matching cubes, of side 1, stacked one over the other and glued to the corner of a wall.
Calculate the number of cubes used to build a tower of height of 30.
A number n≥3 of cubes placed side by side covers perfectly a square. Calculate the values of n such that we can build a pyramid (as the initial tower) rearranging the cubes, without remaining any unused cubes. For every found value of n calculate the height of the built pyramid.
Build a regular triangular pyramid by overlapping some spheres of diameter 1 (instead of cubes). Calculate the height of such a pyramid formed with 1330 balls.
Find the volume of the minimal tetrahedron in which the pyramid found at point c) can be inscribed.
Mots clés : pyramide, cube, empilement, sphère, volume, récurrenceCalculate the number of cubes used to build a tower of height of 30.
A number n≥3 of cubes placed side by side covers perfectly a square. Calculate the values of n such that we can build a pyramid (as the initial tower) rearranging the cubes, without remaining any unused cubes. For every found value of n calculate the height of the built pyramid.
Build a regular triangular pyramid by overlapping some spheres of diameter 1 (instead of cubes). Calculate the height of such a pyramid formed with 1330 balls.
Find the volume of the minimal tetrahedron in which the pyramid found at point c) can be inscribed.
Article : Paths on a grid - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
On imagine une triangulation cartésienne d'un rectangle qui représente les rues d'une ville et les points de la triangulation représentent les points d'intérêt touristique de la ville. La question est de compter le nombre des chemins possibles pour arriver d'un coin de la ville au coin diamétralement opposé, en prenant aussi en compte certaines contraines de circulation (certaines rues sont fermées) ou le passage par un point précis de la ville est imposé. On considère comme règle de déplacement du coin inférieur gauche vers le coin diamétralement opposé, qu'il faut avancer soit en montant soit en se déplaçant vers la droite. Pour résoudre cette question, plusieurs méthodes sont proposées : une comptant le nombre des chemins qui passent par chaque point de la triangulation, méthode qui est aussi programmée sur C++, ainsi qu'une méthode utilisant des arguments combinatoires. Le nombre maximal des rues qui peuvent être fermées de manière concomitante tout en gardant chaque point…
Mots clés : chemin, triangulation, principe d'inclusion-exclusion, probabilitéArticle : Croissance des cristaux - Lycée d’Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
Article franco-roumain qui traite d'une modélisation de croissance d'un cristal.
On part d'un cube. A chaque nouvelle génération, on colle sur chaque face libre un nouveau cube. On s'intéresse au nombre de cubes du cristal à la n-ième génération
Mots clés : suite, évolution, géométrie dans l'espace, récurrenceOn part d'un cube. A chaque nouvelle génération, on colle sur chaque face libre un nouveau cube. On s'intéresse au nombre de cubes du cristal à la n-ième génération
Article : Problème du Carreleur - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)
Ces travaux portent sur le pavage du plan par des pentagones de taille égale, et visent à trouver un pavage qui maximise le taux de surface couverte. Trois motifs sont étudiés, en fleur, en ligne et en cercle, avec leur taux de couverture calculé à partir des formules de trigonométrie. Enfin un dernier pavage complexe est proposé, avec son taux de couverture calculé à l’aide du logiciel GeoGebra.
Mots clés : pavage, pentagone, trigonométrieArticle : Jeu de dominos - Lycée la Versoie (Thonon les Bains) Institut Florimont (Petit Lancy, Suisse)
Le jeu est constitué d’un quadrillage de taille variable (n*n) avec des dominos de taille (2*1) que l’on peut disposer soit verticalement soit horizontalement.
Il existe deux variantes de ce jeu :
¤ Une où le joueur qui ne peut plus jouer perd
¤ L’autre où le joueur qui ne peut plus poser de dominos gagne
Notre objet d’étude sera de trouver une stratégie gagnante.
Par la suite nous étudierons comment le jeu s’organise lorsqu’on a des grilles de tailles rectangulaires.
Mots clés : jeu combinatoire, domino, stratégie gagnanteIl existe deux variantes de ce jeu :
¤ Une où le joueur qui ne peut plus jouer perd
¤ L’autre où le joueur qui ne peut plus poser de dominos gagne
Notre objet d’étude sera de trouver une stratégie gagnante.
Par la suite nous étudierons comment le jeu s’organise lorsqu’on a des grilles de tailles rectangulaires.
Article : L’oncle d Amérique - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
Une lettre vous apprend que vous avez hérité, de la part d’un mystérieux oncle d’Amérique,de trois terrains. L’un d’entre eux est un triangle, les deux autres sont des quadrilatères (convexes). Vous ne connaissez par ce courrier que la longueur des côtés de chaque terrain mais n’avez pas de plan précis. La lettre stipule en outre que, dans la région où ils se trouvent, la surface minimale pour qu’un terrain soit constructible est de 1000 m2. Les longueurs des côtés du triangle étant 125 m, 90 m et 40 m, celles du premier quadrilatère étant (en tournant) 35 m, 30 m, 20 m et 50 m et celles du deuxième quadrilatère étant (en tournant) 40 m, 20 m,25 m et 50 m, on doit trouver l’aire de ces terrains et on dire s'ils sont constructibles ou non.
Mots clés : aire, formule de Héron, formule de BretschneiderArticle : Choisissez les bons poids ! - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
On se donne un système de poids composé de masses pesantes, les poids de ces masses allant de 1 à 2k ,grammes, de puissance de 2 en puissance de 2. Est-il possible de peser avec ce système tous les objets dont les poids sont de nombres entiers entre 1 et 500 ? L'article montre que si k=7 (ou plus généralement si k<8), cela est impossible. Il est également démontré que une condition nécéssaire pour que l'exposant k convie,,e est que k≥ 8. Les méthodes utilisées vont de la vérification « à la main » via des algorithmes et l'utilisation d'un ordinateur ou via l'arithmétique et l'utilisation de la base 2 de numération puis de la base 3de numération quand on remplace les puissances de 2 par celles de 3.
Mots clés : base de numérationArticle : Les motifs évitables - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
L’objectif est de créer des mots infinis (exemple : abbaabab… ) à l’aide d’un alphabet défini (exemple : avec uniquement les caractères"a" et "b"), tout en évitant la répétition d’un certain motif. Dans l’article, les auteurs prouvent qu’il n'est pas possible de créer un mot infini à l’aide d’un alphabet de 2 caractères en évitant le motif carré (répétition de deux ensembles de caractères identiques et successifs), mais qu’il est possible d’éviter le motif cube (répétition de trois ensembles de caractères identiques et successifs). La preuve s’appuie sur l’existence du mot de Morse qui, par construction, ne contient pas de motif cube. Ensuite, les auteurs prouvent qu’il est possible de créer un mot infini avec un alphabet de 3 caractères en évitant le motif carré.
Mots clés : combinatoire des motsArticle : Plus court chemin - Collège Stéphane Mallarmé (Marseille)
C'est un article qui reprend la progression et la recherche des élèves tout au long de l'année.
Les élèves ont commencé par faire des essais pour calculer les longueurs sur la sphère terrestre : certains ont été assez concluant d'autres non.
Étant bloqués par de la technicité le chercheur leur a fourni les "outils" pour continuer.
Finalement ils ont vérifié ce que leur avait donné le chercheur sur les différentes villes qu'ils ont testé, et ils ont réussi à obtenir des résultats cohérents.
Mots clés : chemin, minimum, géodésiqueLes élèves ont commencé par faire des essais pour calculer les longueurs sur la sphère terrestre : certains ont été assez concluant d'autres non.
Étant bloqués par de la technicité le chercheur leur a fourni les "outils" pour continuer.
Finalement ils ont vérifié ce que leur avait donné le chercheur sur les différentes villes qu'ils ont testé, et ils ont réussi à obtenir des résultats cohérents.
Article : rentrer chez soi - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Le problème étudié dans cet article est le suivant: on se situe sur une grille carrée et on trace un chemin, potentiellement infini, au hasard, c’est-à-dire qu’à chaque intersection, on choisit au hasard une direction (y compris celle d’où l’on vient). On se demande quelle est la probabilité de retourner au point de départ. Les auteurs étudient dans un premier temps le problème en dimension un puis en dimension 2. Ils calculent la probabilité d’être au point de départ au temps 2n (ils ont d’abord prouvé qu’on ne peut jamais être au point de départ en un temps impair), puis s’intéressent aussi à la probabilité de premier retour au temps 2n, et à la probabilité de retour avant le temps 2n (au sens large) pour n petit. Les résultats obtenus et quelques simulations à l’aide d’un algorithme les mènent à conjecturer que l’on revient toujours au point de départ.
Mots clés : marche aléatoire sur une grille, graphe, chemin fermé, probabilitéArticle : Allo ? La communication est-elle bien passée ? - Collège Saint Pierre (Plouha) Collège Saint Joseph (Lannion)
Il s’agit, pour « modéliser » la transmission de données à travers l’espace, de trouver une stratégie permettant de trouver un nombre entier compris entre 1 et 2^n en posant des questions dont les réponses possibles sont « oui » ou « non ». Les élèves trouvent cette stratégie dans le cas où la personne questionnée ne ment pas, puis lorsqu’elle ment une fois au plus.
Mots clés : codage, bruit, message binaireArticle : Jeu de Nim - Collège Saint Pierre (Plouha) Collège Saint Joseph (Lannion)
Le jeu de Nim est un jeu qui se joue à deux. Face aux joueurs, on installe des coupelles et des pierres dans les coupelles. A tour de rôle, chaque joueur choisit une coupelle et retire le nombre de pierres qu'il désire dans cette coupelle. Le but du jeu est de prendre les dernières pierres du jeu. Dans cet article sont étudiés, pour deux ou trois coupelles, en fonction du nombre de pierres dans chacune d'entre elles, les possibilités de gain ou de perte pour le premier joueur. Naturellement, chaque joueur joue le mieux possible.
Mots clés : jeu, stratégie, jeu de Nim, Nim-additionArticle : Topins et Gelins - Lycée la Versoie (Thonon les Bains)
Le but de cet article est d'étudier le jeu suivant.
On part de n points. Deux joueurs s'affrontent. A chaque tour, un des joueurs trace une ligne entre 2 points et ajoute un point sur cette ligne. Le nombre de lignes auxquelles appartient un point est limité à un entier dmax. Les lignes ne peuvent pas se croiser. Le premier joueur à être bloqué perd la partie.
Dans un premier temps, les élèves présentent l'étude du nombre maximal de tours du jeu en fonction du nombre de points initial, en utilisant une suite arithmétique.
Ensuite, on peut lire des essais de stratégies gagnantes pour chacun des deux joueurs dans le cas où le nombre de points initial vaut 3.
Enfin d'autres pistes de recherche sont présentées, pour généraliser et essayer de simuler informatiquement une partie du jeu.
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Mots clés : stratégie, graphe, suiteOn part de n points. Deux joueurs s'affrontent. A chaque tour, un des joueurs trace une ligne entre 2 points et ajoute un point sur cette ligne. Le nombre de lignes auxquelles appartient un point est limité à un entier dmax. Les lignes ne peuvent pas se croiser. Le premier joueur à être bloqué perd la partie.
Dans un premier temps, les élèves présentent l'étude du nombre maximal de tours du jeu en fonction du nombre de points initial, en utilisant une suite arithmétique.
Ensuite, on peut lire des essais de stratégies gagnantes pour chacun des deux joueurs dans le cas où le nombre de points initial vaut 3.
Enfin d'autres pistes de recherche sont présentées, pour généraliser et essayer de simuler informatiquement une partie du jeu.
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Article : L’awalé - Collège Frédéric Mistral (Avignon) Collège Gérard Philipe (Avignon)
Présentation du problème : "peut-on passer d'une configuration à n'importe quelle autre au jeu de l'awalé?" avec une présentation des possibilités à l'aide de graphes.
Mots clés : Awalé, configuration, grapheArticle : Le jeu du solitaire - Collège Frédéric Mistral (Avignon) Collège Gérard Philipe (Avignon)
Recherche d'une stratégie gagnante pour le jeu du solitaire et le jeu de la rivière utilisant les même règles de déplacement que le solitaire.
Mots clés : solitaireArticle : Les petits robots reproducteurs - Lycée la Versoie (Thonon les Bains) Institut Florimont (Petit Lancy, Suisse)
On place des robots sur une grille de taille infinie. Ces robots évoluent, c'est-à-dire naissent, meurent ou survivent, tour après tour, selon des règles définies avant de commencer, et immuables d'un tour à l'autre. Comment les robots vont-ils être répartis sur la grille ? Quand arrivera-t-on à une situation stable où aucun robot ne nait ni ne meurt ? Est-ce qu'il y a une situation limite à la taille de ces configurations ? Que se passe-t-il si on modifie les règles ?
Mots clés : système dynamique discret, automate cellulaire, jeu de la vieArticle : Si j’avais une scie - Lycée la Versoie (Thonon les Bains) Institut Florimont (Petit Lancy, Suisse)
Les auteurs ont proposés un algorithme pour paver une terrasse avec des pavés rectangulaires. Ils ont pris en compte la présence possible d'arbres sur cette terrasse.
Leur algorithme permet également de dire si une terrasse n'est pas pavable.
Mots clés : modélisation, algorithme, découpage du planLeur algorithme permet également de dire si une terrasse n'est pas pavable.
Article : Périmètre de la Terre et tour Eiffel - Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe) Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld)
Article décrivant les calculs pour obtenir la longueur de corde à rajouter au périmètre de la Terre pour passer au sommet de la Tour Eiffel (après un premier problème où l'on rajoute 1m de corde au périmètre de la Terre et savoir si un chat peut passer sous la corde)
Mots clés : trigonométrie, périmètre du cercle, tangente à un cercleArticle : Hauteur d une pyramide de billes - Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe) Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld)
Article décrivant la démarche pour trouver la hauteur d'une pyramide de billes en fonction du nombre de billes
Mots clés : hauteur, théorème de PythagoreArticle : Pavage avec des polygones - Collège Henri de Montherlant (Neuilly en Thelle)
Quel type de polygones permettent de paver le plan ? Pourquoi ?
Dans cet article, les élèves cherchent à faire des pavages à l'aide de polygones réguliers. Après quelques essais, ils montrent que seuls les triangles, les carrés et les hexagones réguliers marchent pour les polygones réguliers avec un nombre de côtés inférieurs ou égal à 12 (en réalité, ils ne se sont pas aperçus qu'ils ont généralisé à tous les polygones réguliers).
Mots clés : pavage, polygone régulierDans cet article, les élèves cherchent à faire des pavages à l'aide de polygones réguliers. Après quelques essais, ils montrent que seuls les triangles, les carrés et les hexagones réguliers marchent pour les polygones réguliers avec un nombre de côtés inférieurs ou égal à 12 (en réalité, ils ne se sont pas aperçus qu'ils ont généralisé à tous les polygones réguliers).
Article : Illumination - Lycée de Provence (Marseille)
Dans l'article on suppose que deux personnes qui ne se supportent pas sont placées dans une salle où tous les murs sont couverts de miroirs. La question est quel est le plus petit nombre de personnes qu'il faut placer dans la salle et à quel endroit pour que les deux personnes qui ne se supportent pas ne se voient pas ni directement ni par l'intermédiaire des miroirs. Le premier cas considéré est celui d'une salle rectangulaire et le cas est traité intégralement. Dans une deuxième partie de l'article, les auteurs considèrent aussi le cas d'une salle en forme d'ellipse et ils traitent le cas où au moins une des deux personnes est placée dans un des foyers de l'ellipse. Dans la dernière section le cas d'une salle de forme plus complexe, obtenue en collant deux demi-ellipses à un rectangle, est aussi discuté.
Mots clés : symétrie, milieu, réflexion, ellipse, billardArticle : billard polygonal - Lycée de Provence (Marseille)
On étudie les trajectoires périodiques d’un rayon lumineux fictif ou d’une boule de billard dans un triangle. Outre des résultats classiques et anciens, la conjecture de Katok est abordée et deux types de trajectoires sont étudiées : celles qui sont périodiques car elles rebroussent chemin après avoir chu sur un côté perpendiculairement à celle-ci et celles qui rebroussent chemin en se coinçant dans un angle aigu.
Mots clés : triangle orthoptique, conjecture de Katok, billard, trajectoire périodiqueArticle : Pavage de la place du village - Collège le Vieux Chêne (La Flèche)
Il s'agit d'un travail d'un groupe de 5 élèves qui ont travaillé sur des pavages réguliers avec des polygones réguliers. Dans un premier temps, ils devaient chercher la définition d'un pavage régulier, ainsi que d'un polygone régulier. Ensuite, ils se sont concentrés sur un sommet au hasard et la somme des angles autour de ce sommet. Ils en ont déduit des équations facilitant la recherche des pavages. Un bon travail de recherche. Ils ont pu également se confronter au raisonnement par l'absurde (raisonnement qui n'est pas au programme du collège). Ce groupe a aussi participé au prix André Parent au solon de la culture et des jeux mathématiques à Paris: Voici ce que le jury a trouvé du groupe: "Un beau sujet bien traité et mathématiquement fouillé", "une belle réactivité aux questions du jury", "un travail de géométrie intéressant".
Ce sujet porte sur les problèmes du pavage. Après avoir bien décrit ce qu'était un pavage, les…
Mots clés : pavage, pavage régulier, polygone régulier, Geogebra, raisonnement par l'absurde, hexagoneCe sujet porte sur les problèmes du pavage. Après avoir bien décrit ce qu'était un pavage, les…
Article : Cinq disques et un rectangle - Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe) Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld)
Le principe de cet article est cherché à savoir s'il est possible de rentrer cinq disques de rayon 1 dans un rectangle de taille 8 par 3,33. Après quelques manipulations, les élèves ont démontré la largeur minimale nécessaire du rectangle si la longueur est de 8 et en ont conclus qu'il est possible de faire rentrer les cinq disques dans le rectangle.
Mots clés : Pythagore, géométrieArticle : Choix optimal des pièces de monnaie - Lycée Żmichowska (Varsovie)
Soit une collection N = {n1,n2 , …,nk } de k entiers (non nécessairement consécutifs). Notons S = n1+n2+…+nk et considérons l’ensemble R des nombres qu’on peut obtenir en sommant des éléments de N. Pour quels choix de ni a-t-on R = {1, 2, …, S}?
Mots clés : puissance de 2, suite géométriqueArticle : Pavage du cube - Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne)
L'article présente les résultats et de nombreuses preuves sur le sujet qui consistait à paver un cube avec des tuiles de manière à ce que les triangles adjacents soient de même couleur. L'article se termine par un lien vers un projet conçu et développé par un des élèves de l'atelier sur le site Scratch, qui permet de tester des patrons de cube.
Mots clés : pavage, cube, tuile, ScratchArticle : Et la lumière fut ! - Université de Bordeaux (Talence) Lycée de la mer (Gujan Mestras)
Nous considérons ici des grilles rectangulaires d’ampoules, munies d’interrupteurs pour chaque ligne et chaque colonne d’ampoules ayant pour rôle de changer l’état de chaque ampoule, indépendamment, dans la rangée concernée. Nous montrons que pour de telles grilles initialement éteintes, il n’est pas possible d’allumer une seule ampoule par une combinaison d’interrupteurs, et que le minimum d’ampoules qu’il est possible d’allumer est alors égal à la plus petite valeur entre la longueur et la largeur de la grille.
Le principe de ce sujet est de regarder ce qu'il se passe si nous avons une grille d'ampoules et qu'un interrupteur change de statut toute une ligne ou toute une colonne. Après avoir montré qu'il n'est pas possible d'allumer moins de l'équivalent d'une rangée en ligne ou en colonne (à moins de tout éteindre), les élèves généralisent le sujet à différents cas.
Mots clés : logique, fonction de deux variables, dérivéeLe principe de ce sujet est de regarder ce qu'il se passe si nous avons une grille d'ampoules et qu'un interrupteur change de statut toute une ligne ou toute une colonne. Après avoir montré qu'il n'est pas possible d'allumer moins de l'équivalent d'une rangée en ligne ou en colonne (à moins de tout éteindre), les élèves généralisent le sujet à différents cas.
Article : La fausse pièce - Collège de Marciac (Marciac)
L'article présente la démarche entreprise par les élèves. Il détaille également les calculs effectués pour trouver les solutions (calcul "à la main" et avec le tableur).
Il se termine par une conjecture.
Mots clés : logarithme, puissance de 2, tableur, méthode de dichotomieIl se termine par une conjecture.
Article : Le berger et ses moutons - Collège de Marciac (Marciac)
Les élèves cherchent quel triangle de périmètre donné a une aire maximale.
L'article reprend le fil chronologique des démarches entreprises par les élèves pour ce sujet. Il détaille également les différentes figures géométriques dessinées par les élèves pour trouver les solutions.
Il présente une démonstration rigoureuse d'un résultat partiel. Et se termine par une conjecture.
Mots clés : ellipse, géométrie, périmètre, aire, maximumL'article reprend le fil chronologique des démarches entreprises par les élèves pour ce sujet. Il détaille également les différentes figures géométriques dessinées par les élèves pour trouver les solutions.
Il présente une démonstration rigoureuse d'un résultat partiel. Et se termine par une conjecture.
Article : Musique et gamme tempérée - Lycée Saint Paul (Roanne)
L'article traite du problème de la définition de la gamme divisée en 12 degrés en Occident. Qu'est ce qu'une note ? pourquoi ce choix de 12 degrés ? Ne pourrait on pas faire mieux ? Toutes ces questions (et d'autres) sont étudiées dans cet article.
Mots clés : gamme pythagoricienne, gamme tempérée, rapport de fréquences, fraction continueArticle : Les nombres infinis - Lycée Rabelais (Saint Brieuc)
NOMBRES INFINIS
Par Alexis SANTORO, Anthonin MARTINEL, Coralien PINCK, Quentin DEPOORTERE
Problématique :
Les nombres entiers naturels s'écrivent avec un nombre fini de chiffres. On s'intéresse ici aux nombres que l'on peut écrire avec une infinité de chiffres. L'ensemble de ces "nombres infinis" contient l'ensemble des entiers naturels, puisqu'on peut écrire par exemple :
48= ...000000000000048.
Les opérations d'addition, de multiplication entre nombres infinis se font comme d'habitude (avec des retenues), pourtant l'ensemble des nombres infinis réserve quelques surprises !
Les nombres infinis contiennent-ils des entiers relatifs négatifs, des nombres rationnels ? Si oui, peut-on toujours effectuer une soustraction, une division ?
Les élèves ont défini les nombres infinis comme les suites infinies à gauche de chiffres, et étendent dessus les opérations usuelles : addition,…
Mots clés : nombre, nombre décadique, somme, produit, opération, algorithme, fractionPar Alexis SANTORO, Anthonin MARTINEL, Coralien PINCK, Quentin DEPOORTERE
Problématique :
Les nombres entiers naturels s'écrivent avec un nombre fini de chiffres. On s'intéresse ici aux nombres que l'on peut écrire avec une infinité de chiffres. L'ensemble de ces "nombres infinis" contient l'ensemble des entiers naturels, puisqu'on peut écrire par exemple :
48= ...000000000000048.
Les opérations d'addition, de multiplication entre nombres infinis se font comme d'habitude (avec des retenues), pourtant l'ensemble des nombres infinis réserve quelques surprises !
Les nombres infinis contiennent-ils des entiers relatifs négatifs, des nombres rationnels ? Si oui, peut-on toujours effectuer une soustraction, une division ?
Les élèves ont défini les nombres infinis comme les suites infinies à gauche de chiffres, et étendent dessus les opérations usuelles : addition,…
Article : Le défi du prisonnier - Collège Jolimont (Toulouse) Collège Michelet (Toulouse)
Dans une lointaine contrée, un homme est fait prisonnier. Une chaîne est attachée à un de ses pieds puis enroulée autour de 4 barreaux et enfin rattachée à son autre pied. Le roi, joueur, lui lance le défi suivant :
« Si tu t’enchaînes aux 4 barreaux de sorte que tu sois prisonnier mais que lorsque j’enlève un barreau (n’importe lequel) tu sois libéré, c’est-à-dire que la chaîne se déroule, alors tu seras libre ! Dans le cas contraire tu devras purger ta peine. Attention, tu n’as le droit qu’à une seule tentative.»
Pouvez-vous aider le prisonnier ? Sachez que le roi déteste les tricheurs et que si avant d'enlever un barreau le prisonnier n'était pas vraiment attaché, il restera en prison à vie.
Le texte résout ce problème en donnant une solution pour 4 barreaux mais également pour un, deux et trois barreaux (et en proposant un début de stratégie pour montrer qu'une solution existe pour n'importe quel nombre de barreaux), fondée sur un codage des…
Mots clés : théorie des nœuds« Si tu t’enchaînes aux 4 barreaux de sorte que tu sois prisonnier mais que lorsque j’enlève un barreau (n’importe lequel) tu sois libéré, c’est-à-dire que la chaîne se déroule, alors tu seras libre ! Dans le cas contraire tu devras purger ta peine. Attention, tu n’as le droit qu’à une seule tentative.»
Pouvez-vous aider le prisonnier ? Sachez que le roi déteste les tricheurs et que si avant d'enlever un barreau le prisonnier n'était pas vraiment attaché, il restera en prison à vie.
Le texte résout ce problème en donnant une solution pour 4 barreaux mais également pour un, deux et trois barreaux (et en proposant un début de stratégie pour montrer qu'une solution existe pour n'importe quel nombre de barreaux), fondée sur un codage des…
Article : Le carrelage de la reine - Collège Jolimont (Toulouse) Collège Michelet (Toulouse)
La reine veut réaliser plus de 200 pavages dans son palais, formés seulement de polygones réguliers en pensant que cela est facilement réalisable.
Son carreleur, lui indique qu'il n'y a que très peu de combinaisons possibles.
Qu'en pensez-vous?
Si on considère l'énoncé tel que présenté, il y a une infinité de carrelages possible mais en précisant les conditions sur le carrelage, nous pensons qu'il n'y a que quelques cas possibles.
Mots clés : pavage, polygone, carré, triangle, hexagone, angleSon carreleur, lui indique qu'il n'y a que très peu de combinaisons possibles.
Qu'en pensez-vous?
Si on considère l'énoncé tel que présenté, il y a une infinité de carrelages possible mais en précisant les conditions sur le carrelage, nous pensons qu'il n'y a que quelques cas possibles.
Article : Le jeu des bâtonnets - Collège Jolimont (Toulouse) Collège Michelet (Toulouse)
Deux joueurs jouent au jeu des bâtonnets. Voici la règle. On observe un nombre indéfini de paquets, avec dans chaque paquet un nombre indéfini de bâtons. Chacun leur tour, les joueurs retirent tant de bâtons qu’ils veulent, mais en choisissant un tas particulier et un seul. Le joueur qui enlève le dernier bâton a perdu.
Dans cet article, les auteurs présentent une stratégie pour gagner à ce jeu dans certaines configurations (1 paquet, 2 paquets, ou 3 paquets dans certains cas précis).
Mots clés : combinatoire, jeu, stratégieDans cet article, les auteurs présentent une stratégie pour gagner à ce jeu dans certaines configurations (1 paquet, 2 paquets, ou 3 paquets dans certains cas précis).
Article : Découper puis redécouper - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Dans ce travail, les élèves s’intéressent au découpage d’un carré (resp. un cube) en petits carrés (resp. petits cubes). Ils expliquent pourquoi un carré peut-être découpé en m petits carrés pour m différent de 2, 3 et 5. Ils montrent aussi pourquoi
on peut découper un cube en m petits cubes pour tout m supérieur ou égal à 48.
Mots clés : géométrie plane, carré, géométrie dans l'espace, cube, récurrenceon peut découper un cube en m petits cubes pour tout m supérieur ou égal à 48.
Article : Café ou Chocolat ? Suite de 0 et 1 sans cube - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
L'article est une illustration du phénomène suivant (théorie des langages) : on peut construire une suite infinie de 0 et de 1 ne contenant aucun cube, c.a.d. ne contenant aucun mot W se répétant trois fois de suite : …WWW…
En remplaçant "0" par du "café" et "1" par du "chocolat", on peut ainsi choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' ou 'chocolat', sans qu'aucune séquence ne se répète trois fois de suite, cela indéfiniment.
En ajoutant un troisième choix sous la forme de 'thé', on peut également choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' , 'chocolat', ou 'thé', sans qu'aucune séquence ne se répète deux fois de suite, cela indéfiniment.
OU comment varier ses plaisirs!
Mots clés : combinatoire des mots, mot, longueur de mot, répétition, carré, cubeEn remplaçant "0" par du "café" et "1" par du "chocolat", on peut ainsi choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' ou 'chocolat', sans qu'aucune séquence ne se répète trois fois de suite, cela indéfiniment.
En ajoutant un troisième choix sous la forme de 'thé', on peut également choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' , 'chocolat', ou 'thé', sans qu'aucune séquence ne se répète deux fois de suite, cela indéfiniment.
OU comment varier ses plaisirs!
Diaporama : Machine à Bac - Lycée Maillol (Perpignan) Lycée Jean Lurçat (Perpignan)
Pour faire des économies, le ministère décide d'octroyer le bac de la façon suivante : le candidat rentre un mot (suite de lettres) dans la Machine à Bac qui renvoie soit « ajourné définitivement», soit « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », soit « reçu ».
On a une relation R sur ces mots qui vérifie 4 règles : AxA R x pour tout mot x et si x R y, alors Bx R yy, Cx R y et Dx R Ay, où y désigne le mot y écrit à l'envers. On sait de plus que, si x R y, si la machine à bac renvoie « ajourné définitivement», resp. « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », pour x, elle renverra « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », resp. « ajourné définitivement», pour y. L'objectif est de trouver le plus possible de mots dont on est certain qu'il amèneront à l'admission au Bac. Ceci est expliqué dans ce diaporama.
Mots clés : combinatoire, logiqueOn a une relation R sur ces mots qui vérifie 4 règles : AxA R x pour tout mot x et si x R y, alors Bx R yy, Cx R y et Dx R Ay, où y désigne le mot y écrit à l'envers. On sait de plus que, si x R y, si la machine à bac renvoie « ajourné définitivement», resp. « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », pour x, elle renverra « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », resp. « ajourné définitivement», pour y. L'objectif est de trouver le plus possible de mots dont on est certain qu'il amèneront à l'admission au Bac. Ceci est expliqué dans ce diaporama.
Article : Tamis de Sierpinski - Collège Alain Fournier (Orsay)
Dans cet article, diverses méthodes de construction du tamis de Serpiński (ou d’approximation de celui-ci) sont données. Ony trouve aussi le calcul des aires et des périmètres des zones (blanches et noires) du tamis avec une extension au cas où la figure de base est un carré (avec les calculs des périmètres et des aires)
Mots clés : tapis de Sierpinski, suite géométriqueArticle : Tables de Poséidon - Collège Alain Fournier (Orsay)
Les tables de Poséidon sont construites de telle sorte que : les trois lignes contiennent chacune un nombre de trois chiffres, le nombre de la deuxième ligne est le double du nombre de la première et le nombre de la troisième ligne est le triple du nombre de la première. L'article démontre qu'il existe 6 tables de Poséidon dans lesquelles chaque chiffre est utilisé une seule fois. Le sujet est ensuite étendu avec des tables construites de la même façon mais en acceptant un nombre de 4 chiffres à la dernière ligne : cette fois, aucune de ces tables ne contient des chiffres tous différents. Autre extension : en changeant les coefficients entre la première ligne et les deux autres ; aucune table n'a été trouvée avec les coefficients 2 et 4.
Mots clés : disjonction de casArticle : Toile d’araignée - Collège Alain Fournier (Orsay)
On reproduit une toile d’araignée à la main. Quel est le nombre minimal de fois où on doit lever son crayon pour ne pas repasser sur un trait déjà tracé ? Nous avons exhibé une méthode pour tracer ces toiles, puis nous avons émis la conjecture suivante : le nombre de rangées n'influe pas sur le nombre de levers. Nous avons réussi à montrer cette conjecture en étudiant la parité du nombre de segments qui partent d'un sommet. Grâce à ce résultat, nous avons établi le nombre minimal de levers pour n'importe quelle figure en forme de toile.
Mots clés : graphe, graphe eulérien, lever de crayon, parité, optimisationArticle : Stop ou encore - Collège Alain Fournier (Orsay)
On s'intéresse à un jeu de dé dont voici les règles :
On dispose d'un dé à six faces.
A chaque tour on jette le dé puis on on choisit de conserver le résultat obtenu ou de relancer le dé.
On dispose de cinq tours maximum, au cinquième on est obligé de conserver le résultat du dé quel qu'il soit.
Le but du jeu est d'obtenir le score le plus haut possible.
Dans leur étude du jeu, les élèves proposent plusieurs pistes pour répondre à la question: quelles sont les stratégies possibles pour avoir le meilleur gain moyen ?
Mots clés : probabilités, stratégie, jeu, gain moyenOn dispose d'un dé à six faces.
A chaque tour on jette le dé puis on on choisit de conserver le résultat obtenu ou de relancer le dé.
On dispose de cinq tours maximum, au cinquième on est obligé de conserver le résultat du dé quel qu'il soit.
Le but du jeu est d'obtenir le score le plus haut possible.
Dans leur étude du jeu, les élèves proposent plusieurs pistes pour répondre à la question: quelles sont les stratégies possibles pour avoir le meilleur gain moyen ?
Article : Neige extraterrestre - Collège Alain Fournier (Orsay)
Dans un quadrillage, un flocon se forme de la manière suivante :
– on commence avec une seule cellule vivante dans une case ;
– pour passer de la génération n à la génération n + 1, une nouvelle cellule naît si elle est
adjacente horizontalement ou verticalement, mais pas en diagonale, à une seule cellule de la
génération n.
A quoi le flocon va-t-il ressembler au bout de plusieurs générations ? De combien de
cellules sera-t-il constitué ?
Nous avons conjecturé la forme du flocon grandissant avec la formation de figures
particulières ainsi que le nombre de cellules créées, à des étapes précises de son évolution. Nous avons également essayé de trouver une conjecture sur le nombre de cellules créées à une étape donnée quelconque. Nous avons ensuite regardé la formation d'un flocon sur un pavage triangulaire.
Mots clés : combinatoire, automate cellulaire, fractal·e– on commence avec une seule cellule vivante dans une case ;
– pour passer de la génération n à la génération n + 1, une nouvelle cellule naît si elle est
adjacente horizontalement ou verticalement, mais pas en diagonale, à une seule cellule de la
génération n.
A quoi le flocon va-t-il ressembler au bout de plusieurs générations ? De combien de
cellules sera-t-il constitué ?
Nous avons conjecturé la forme du flocon grandissant avec la formation de figures
particulières ainsi que le nombre de cellules créées, à des étapes précises de son évolution. Nous avons également essayé de trouver une conjecture sur le nombre de cellules créées à une étape donnée quelconque. Nous avons ensuite regardé la formation d'un flocon sur un pavage triangulaire.
Article : Les tours de Hanoï - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Trois poteaux sont disposés en ligne et, sur l’un d’entre eux, un certain nombre de disques de diamètre tous différents sont empilés de façon concentrique par ordre décroissant de diamètre. L’objectif est de déplacer l’ensemble des disques du poteau initial vers un poteau d’arrivée en passant par un poteau intermédiaire en respectant les règles suivantes : (i) on ne déplace qu’un seul disque à la fois ; (ii) on ne peut pas placer un disque sur un disque de diamètre inférieur ; (iii) à la fin du processus tous les disques doivent se retrouver à nouveau empilés par ordre décroissant de diamètre. Ce jeu mathématique est connu sous le nom de « tours de Hanoi » et, dans cet article, une formule est donnée pour calculer le nombre minimal de déplacements nécessaires en fonction du nombre de disques au départ ainsi qu’un algorithme permettant d’y arriver. Dans une deuxième partie les auteurs étudient la fréquence d’apparition d’un certain mouvement et obtiennent une formule de récurrence pour cette fréquence, ainsi…
Mots clés : tour de Hanoï, récurrence, algorithme, étude de fréquenceArticle : La persistance des nombres - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Prenons un entier naturel, et calculons le produit de tous ses chiffres. Répétons l'opération, et recommençons jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre. Ce processus s'arrête-t'il toujours ? Les auteurs montrent que c'est bien le cas, et à l'aide d'un programme informatique, trouvent un nombre pour lequel le nombre d'étapes du processus aussi appelé ''persistance'', est égal à 11 , ce qui est la plus grande valeur connue.
Mots clés : théorie des nombres, arithmétique, persistanceArticle : UNO Solitaire - Lycée Notre Dame (Bordeaux)
Le jeu de Uno est constitué de cartes avec sur chaque carte un nombre et une couleur. On peut empiler une carte par dessus une autre uniquement si elles ont soit le même chiffre, soit la même couleur. Le problème étudié est de déterminer si le joueur peut empiler toutes les cartes qu'il a dans la main. Les élèves donnent d'abord des conditions nécessaires pour que le joueur puisse empiler toutes ses cartes. Ensuite ils regardent si ces conditions sont suffisantes en fonction du nombre de couleur utilisées.
Mots clés : jeu, théorie des graphesArticle : Qui est dans la pièce ? - Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy)
Étude des propriétés de la pièce de 20 pence (qui n'est pas ronde).
Mots clés : Reuleaux, pièce de monnaie, heptagoneArticle : Carré magique - Collège André Malraux (Ramonville-Saint-Agne)
Article sur la construction d'un carré magique 3x3
Mots clés : carré, magiqueArticle : Coloriage - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
Le problème de coloriage d'une carte géographique consiste à attribuer à chaque pays d'une carte une couleur de sorte que deux pays avec une frontière commune ne soient pas attribués la même couleur. On souhaite colorier une carte donnée avec un nombre minimum de couleurs. Combien en faut-il pour colorier toutes les cartes possibles ? On appelle ce nombre le le nombre chromatique ? Cette question, difficile, est abordé, d'abord sous l'angle de la caractéstique d'Euler de la configuration des pays ; ce qui donne un invariant, très intéressant, mais qui n'apporte pas d'information directe sur le nombre chromatique même si ce dernier, tout comme la caractéristique d'Euler, ne dépend que de la forme (topologie) du support sur lequel on dessine les cartes. En donnant un exemple explicite, les élèves montrent que 4 couleurs sont nécessaires pour colorier toutes les cartes (dans le plan). Une preuve du fait que 4 couleurs suffisent existe, mais elle utilise de façon…
Mots clés : problème des 4 couleurs, nombre chromatique, caractéristique d'EulerArticle : Larsen visuel - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
On découpe un rectangle en 9 rectangles dont les dimensions sont le tiers des dimensions du premier rectangle ; on itère cette procédure sur chacun des petites rectangles ainsi obtenus puis on recommence…et ainsi de suite. L'article montre que les aires de chacun des petits rectangles tendent vers 0, mais la somme de ces aires à chaque étape est toujours égale à l'aire du rectangle de départ. Par contre, les périmètres de chacun des petits rectangles tendent aussi vers 0 mais leur somme à chaque étape tend vers l'infini.
Que se passe-t-il lorsque on préserve une « marge » entre chacun des petits rectangles ?
Il peut arriver que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers l'infini, ou que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers 0, ou même que l'une tende vers 0 l'autre vers l'infini.
Mots clés : périmètre, aire, somme infinie, limiteQue se passe-t-il lorsque on préserve une « marge » entre chacun des petits rectangles ?
Il peut arriver que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers l'infini, ou que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers 0, ou même que l'une tende vers 0 l'autre vers l'infini.
Article : Tasso solitaire sur une grille - Lycée Edouard Herriot (Lyon) Collège Raoul Dufy (Lyon)
Cet article s'intéresse à des dispositions de dominos sur une grille, qui satisfont un certain nombre de contraintes. Un nombre théorique est calculé, avec la présentation de méthodes permettant d'obtenir ce maximum dans plusieurs cas.
Mots clés : domino, empilement, optimisationArticle : Produit de nombres - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Article rédigé sous LaTex
Mots clés : produit, numérationArticle : Maladie génétique récessive - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
L'article étudie la propagation d'une maladie génétique récessive, comme par exemple la muscoviscidose.
On développe une modélisation probabiliste.
Mots clés : modélisation, probabilité, maladie génétiqueOn développe une modélisation probabiliste.
Article : Les nombres de Harshad - Lycée Beaupré (Haubourdin)
Les nombres de Harshad sont les entiers positifs qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres en écriture décimale. Dans un premier temps cet article présente un algorithme de recherche des nombres de Harshad et établit la liste de ces nombres inférieurs à 1000. Il pose ensuite diverses questions sur la répartition des nombres de Harshad et démontre deux résultats: 1) Il n'y a pas de nombres de Harshad premiers et supérieurs à 7 ; 2) Il n'existe pas 22 nombres de Harshad consécutifs.
Mots clés : arithmétique, divisibilité, écriture décimale, Harshad, algorithmeArticle : Fournées - Collège Georges Pompidou (Cajarc) Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue)
On veut faire cuire plusieurs objets avec trois caractéristiques : la taille, la durée de cuisson minimale et la durée de cuisson maximale. Le four a une taille donnée. Plusieurs objets peuvent être cuits au même temps si la somme de leurs tailles ne dépasse pas celle du four et s'il existe un temps de cuisson compris entre les temps de cuisson minimal et maximal de chacun des objets. L'objectif est de déterminer comment cuire tous les objets en un temps d'utilisation du four minimal. Dans ce travail, une solution sous forme d'algorithme est donnée pour deux objets quelconques ; pour plus de deux objets, une méthode partiellement algorithmique est présentée sur un exemple.
Mots clés : segment, inégalité, combinatoire, optimisationArticle : Ligne à égale distance - Lycée d’Altitude (Briancon)
Cet article étudie les lignes de crêtes d’un tas de sable fait sur un support polygonal convexe. Les auteurs montrent notamment que, pour un support polygonal convexe à n cotés, les lignes de crêtes forment un arbre possédant au plus n-2 sommets et ayant un nombre d’arêtes compris entre n et 2n-3. Ils étudient également le cas de support polygonaux non-convexe construits à partir de deux rectangles, et de supports construits à partir de deux disques . Les auteurs traitent également un exemple de problème inverse : soit la courbe C donnée par la fonction cube , les auteurs construisent un support tel que le tas de sable sur ce support admette C comme ligne de crête.
Mots clés : ligne de niveau, tas de sable, ligne de crête, égale distance, ensemble des points à égale distanceArticle : La roue de vélo - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d’Altitude (Briancon), Lycée français Jean Giono (Turin)
Le problème est le suivant : on souhaite faire rouler un vélo sur une route en dents de scies, quelle forme doivent avoir les roues pour que le passager reste à la même hauteur et voyage à vitesse constante ?
Dans un premier temps, l'article étudie la forme de la roue si elle effectue un tour complet en une période de dents de scies et aux problèmes que cette forme engendre. L'une des difficultés est notamment de calculer le périmètre de cette roue.
Dans un second temps, l'article s'intéresse à différentes formes et observe ce qu'il se passe lorsque l'on utilise ces roues sur la route en dents de scies ou sur une route plate.
Mots clés : géométrie, coordonnée polaire, forme, équation paramétrique, roue, périmètreDans un premier temps, l'article étudie la forme de la roue si elle effectue un tour complet en une période de dents de scies et aux problèmes que cette forme engendre. L'une des difficultés est notamment de calculer le périmètre de cette roue.
Dans un second temps, l'article s'intéresse à différentes formes et observe ce qu'il se passe lorsque l'on utilise ces roues sur la route en dents de scies ou sur une route plate.
Article : Les soustractions infernales - Collège de l Evre (Montrevault)
Les auteurs ont présenté un jeu utilisé en primaire pour apprendre les soustractions aux élèves en utilisant un carré. Ils ont répondu à plusieurs questions autour de ce jeu : est-ce que le jeu s'arrête? Que se passe-t-il si on choisit une autre forme que le carré?
Ils ont traité de très nombreux exemples dans le cas du carré grâce au calcul littéral et ont démontré que le jeu ne s'arrêtait pas toujours avec un triangle par exemple.
Mots clés : soustraction, calcul littéralIls ont traité de très nombreux exemples dans le cas du carré grâce au calcul littéral et ont démontré que le jeu ne s'arrêtait pas toujours avec un triangle par exemple.
Article : Alignement de dominos - Lycée Grandmont (Tours)
Le jeu traditionnel de dominos est composé de telle sorte que toutes les pairs possibles d'entiers de 0 à 6 sont présentes une et uen seule fois. Si on suppose qu'au lieu de 6, toutes les paires possibles d'entiers ente 0 et n (n≥1) sont présentes, alors
-combien y a t il de dominos dans le jeu ?
-est-il possible d'aligner tous les dominos du jeu en appliquant la règle ?
Mots clés : domino, dénombrement, graphe, graphe eulérien-combien y a t il de dominos dans le jeu ?
-est-il possible d'aligner tous les dominos du jeu en appliquant la règle ?
Article : Le paradoxe de Braess - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
Article franco-roumain sur le paradoxe de Braess. Les élèves de Cluj ont expliqué le paradoxe, les élèves de Briançon ont proposé deux simulations de comportements d'automobilistes pour voir leur influence sur le trafic.
Cet article étudie le temps de parcours des automobilistes quand plusieurs parcours sont possibles pour relier 2 points. En premier lieu, le paradoxe de Braess est explicité sur un exemple : le fait de rajouter une route sur le parcours ne diminue pas forcément le temps de parcours des automobilistes si ceux-ci se comportent de manière égoïste. Ensuite, à l'aide de calculs et de simulations numérique, les auteurs étudient le comportement des automobilistes jour après jour, le choix d'un trajet dépendant des embouteillages de la veille.
Mots clés : suite, simulation, programmation, paradoxeCet article étudie le temps de parcours des automobilistes quand plusieurs parcours sont possibles pour relier 2 points. En premier lieu, le paradoxe de Braess est explicité sur un exemple : le fait de rajouter une route sur le parcours ne diminue pas forcément le temps de parcours des automobilistes si ceux-ci se comportent de manière égoïste. Ensuite, à l'aide de calculs et de simulations numérique, les auteurs étudient le comportement des automobilistes jour après jour, le choix d'un trajet dépendant des embouteillages de la veille.
Article : Constructeur d’autoroute et optimisation - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Une autoroute, toute droite, doit être construite de manière à passer le plus proche possible de plusieurs villes. Ainsi, la consommation de carburant et les émissions de dioxyde de carbone seront minimisés. De plus, les accès entre les villes et l’autoroute seront construits les plus courts possibles pour réduire encore la pollution.
Un premier résultat concerne les accès. L’accès à une ville sera tracé le long de la perpendiculaire à la droite que suit l’autoroute, passant par le point qui représente la ville. Dans le cas de deux villes, l’autoroute est la droite passant par les deux villes. Dans le cas de trois villes, il s’agit de la droite reliant les deux villes les plus éloignées l’une de l’autre. Enfin, dans le cas de quatre villes, le même résultat est validé pour des formes connues (carré, rectangle, losange), mais invalidé dans certains cas où les quatre points sont pris au hasard. Une conjoncture transparait quand même pour tous les cas : l’autoroute passe obligatoirement par deux villes…
Mots clés : ajustement affine, projection d’un point sur une droite, géométrie des triangles, géométrie des quadrilatèresUn premier résultat concerne les accès. L’accès à une ville sera tracé le long de la perpendiculaire à la droite que suit l’autoroute, passant par le point qui représente la ville. Dans le cas de deux villes, l’autoroute est la droite passant par les deux villes. Dans le cas de trois villes, il s’agit de la droite reliant les deux villes les plus éloignées l’une de l’autre. Enfin, dans le cas de quatre villes, le même résultat est validé pour des formes connues (carré, rectangle, losange), mais invalidé dans certains cas où les quatre points sont pris au hasard. Une conjoncture transparait quand même pour tous les cas : l’autoroute passe obligatoirement par deux villes…
Article : Voir partout - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Le but est de déterminer le nombre minimal de caméras à placer dans une zone du plan pour que le champ de vision de ces caméras couvre toute la zone choisie.
Dans un premier temps, l'article traite le cas des polygones convexes sur plusieurs exemples et illustre le fait qu'une seule caméra suffit. Ensuite, pour les polygones concaves, plusieurs conjectures sont émises, d'abord sur le lien entre le nombre de côtés du polygone et le nombre minimal de caméras nécessaires, puis sur le lien entre le nombre de sommets et le nombre minimal de caméras. Enfin, on découvre des pistes de recherche sur des exemples quand on rajoute un obstacle circulaire, carré ou rectangulaire dans la zone du plan choisie.
Mots clés : géométrie plane, polygone, intersectionDans un premier temps, l'article traite le cas des polygones convexes sur plusieurs exemples et illustre le fait qu'une seule caméra suffit. Ensuite, pour les polygones concaves, plusieurs conjectures sont émises, d'abord sur le lien entre le nombre de côtés du polygone et le nombre minimal de caméras nécessaires, puis sur le lien entre le nombre de sommets et le nombre minimal de caméras. Enfin, on découvre des pistes de recherche sur des exemples quand on rajoute un obstacle circulaire, carré ou rectangulaire dans la zone du plan choisie.
Article : Le jeu de la mode - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
A quelles conditions une mode peut-elle prendre dans une population donnée ? On suppose ici que le comportement d'un individu donné à un instant donné dépend du comportement de ses voisins : si plus de la moitié de son entourage suis la mode, il se mettra à les imiter. On obtient ainsi un modèle mathématique dynamique de la propagation de la mode au seins d'une population, que l'on suppose répartie sur une grille. Il s'agit alors d'étudier le comportement de ce modèle en fonction des conditions initiales afin de préciser les conditions qui permettent à une mode de perdurer. On exhibe ici, dans quelques cas particuliers, des situations conduisant à un comportement intéressant du modèle.
Mots clés : système dynamique, automate cellulaire, propagationArticle : Stéganographie - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Peut-on écrire des mots avec des couleurs ? Peut-on lire des mots dans les couleurs ? On montrera comment le faire avec 2, 3, 4 en utilisant la décomposition des nombres en base 2, 3 ou 4 , en programmant un tableur.
Mots clés : numération binaire, tableurArticle : Le plus loin - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Cet article présente plusieurs façons de trouver une configuration optimale d'éloignement entre plusieurs objets. Dans un premier temps, on considère uniquement deux objets dans une pièce rectangulaire, puis on s'intéresse au cas où un troisième objet est à maintenir à distance maximale de deux autres. Enfin, on étend ces résultats au cas d'une pièce non rectangulaire.
Mots clés : optimisation