Liste des sujets

On considère un triangle équilatéral et on le divise en petits triangles comme ci-dessous. Par exemple à gauche on fait trois rangées et à droites 4 rangées. Sur chaque figure, combien voyez-vous de triangles en tout ? Et si on fait un découpage en 5 rangées, 6, 7, ou n rangées, pouvez-vous trouver une formule ?
On le sait tous, on peut paver parfaitement un carré avec 4 carrés plus petits :
Dans cet exemple tous les petits carrés ont la même taille, mais en général on autorise des petits carrés de tailles variables. On dira que 4 est un “nombre de pavage". En revanche, on vérifie facilement que 2 n’est pas un nombre de pavage : on ne peut pas paver exactement un carré avec 2 pavés carrés.
Quels sont les nombres de pavage possibles ?
Lors d’un goûter d’anniversaire Blanche a préparé des muffins et des cookies. Elle propose un jeu aux deux enfants les plus gourmands. Chacun son tour vous allez prendre des cookies ou des muffins selon les règles suivantes. Celui qui ne peut plus rien prendre à perdu.
Règles pour prendre des cookies ou des muffins. À chaque tour vous pouvez :
— soit prendre autant de cookies que vous voulez (mais pas de muffin) ;
— soit prendre autant de muffins que vous voulez (mais pas de cookies) ;
— soit prendre le même nombre de cookies que de muffins (autant que vous voulez…
Dans ce sujet, on cherche à écrire n’importe quel nombre uniquement avec des 1. On a le droit de faire
des additions et des multiplications. Beaucoup de questions très différentes se posent. En voici deux :
(1) Si on n’a qu’un nombre limité de 1, quel est le nombre le plus grand qu’on peut obtenir? Par exemple avec dix 1, quel est le plus grand nombre que vous pouvez obtenir ?
(2) Évidemment on peut écrire tous les nombres, mais de combien de façons possibles ? Par exemple, combien de possibilités a-t-on pour écrire 15 ?
On place 5 croix sur une feuille de papier, chacune avec 4 branches. Et on va jouer au jeu suivant.
On choisit l’une des branches d’une croix et on la relie à une autre branche d’une croix en faisant une courbe comme on veut. On a le droit de relier deux branches de la même croix. Ensuite on ajoute sur la courbe qu’on vient de tracer un petit trait qui la croise. Ceci crée deux nouvelles branches qui pourront ensuite être reliées aux autres lors des tours suivants. Puis on recommence : on peut relier de nouveau deux branches existantes, mais on n'a pas le droit de croiser les…
A l’automne, une population d’écureuils fait le plein de noisettes pour passer l’hiver. Chaque écureuil effectue sa récolte personnelle. Pour autant, afin que personne ne manque de rien, un système de partage particulier est mis en place : Quand deux écureuils se rencontrent, ils comparent leurs récoltes. L’écureuil qui a le plus de noisettes donne autant de noisettes que l’autre écureuil en a. Puis ils recommencent ce procédé jusqu’à ce que les deux écureuils aient le même nombre de noisettes.
Questions : Y-a-t-il des situations où le partage ne s’arrête pas ? Dans le cas où il se…
Le jeu se joue sur un damier 6x6, et se joue avec 2, 3 ou 4 joueurs. But du jeu: Le joueur qui a marqué le plus de points à la fin de la partie est déclaré vainqueur.
Phase de “positionnement” : Chacun son tour, chaque joueur place un pion de sa couleur sur le damier jusqu’à ce que toutes les cases soient occupées.
Phase de “mouvement”: Le joueur qui a placé le premier pion joue en premier, puis chacun son tour. Pour marquer des points, on compte le nombre de cases parcourues par le pion en ligne droite, horizontalement ou verticalement (pas en diagonale). Un pion se déplace…
On remplit des grilles carrées avec des 1, des 0 et des -1. Le but est d'obtenir des sommes différentes sur chaque ligne et chaque colonne. Est-ce toujours possible ?
Dans le jeu Fort-Boyard, Blanche propose le défi « Combinaison ». Elle donne les règles du jeu : « Dans ce défi, le candidat doit reconstituer une combinaison de 5 balles bleues ou blanches. Pour ce faire, il dispose de 3 essais. Après chaque essai validé (grâce à un buzzer), un écran indique au candidat le nombre de balles bleues correctement positionnées. Si le candidat parvient à trouver la bonne combinaison en moins de 3 essais, il peut retrouver son équipe, mais s’il échoue trois fois, il part en prison. »
• Si on considère le jeu tel qu’il est, quelle est la probabilité de gagner…
On considère la suite u définie par u(0) = 0 et u(1) = 1 et, pour tout entier naturel n :
- si n/2 est un entier k, alors u(n) = u(k)
- sinon, on additionne les termes dont les rangs sont les entiers encadrant n/2.
Par exemple, comme 7/2 = 3,5, u(7) = u(3) + u(4).
On explore quelques propriétés de cette suite.
Je vous propose un jeu à deux ou plusieurs joueurs. On commence par décider d’un nombre entier n
(par exemple n=100) et on considère la liste des nombres entiers de 1 à n (inclus). Le premier
joueur dit un nombre dans cette liste. Le joueur suivant doit dire un nombre qui est soit un diviseur
soit un multiple du précédent, et qui n’a pas encore été joué. La manche s’arrête quand le joueur
courant n’a plus de possibilité : ce dernier a perdu. Le vainqueur de la partie est celui qui a perdu le
moins de manches.
La question posée est simplement de…
Dora Jones est une des plus grandes aventurières au monde. La tribu des Anangu a donc fait appel à elle pour aider ses 100 membres face à une maladie qui les frappe et les décime. Il existe un élixir qui pourrait les soigner mais on ne le trouve que dans le temple du dieu Aborp, au sommet de la haute montagne sacrée Modnar qu’aucun Anangu ne pourrait gravir sans que le monde ne se trouve immédiatement anéanti ! Facile pour Dora ? Non, car l’élixir est stocké dans des fioles : il en faut une par personne à soigner. Et ces fioles sont elles-mêmes dans des coffres : si on ouvre un coffre il…
On cherche à protéger une pièce carrée de taille a d'un musée en installant des détecteurs de position au sol. Un détecteur émettra un signal prévenant la police si un individu se trouve à une distance inférieure à R du détecteur. Combien de détecteurs doit-on placer pour complètement sécuriser la salle ?
On considère un plancton qui se déplace verticalement dans la mer. Chaque jour, il ira soit d'une unité vers le haut, soit vers le bas avec probabilité 1/2. Le fond de la mer (au niveau 0) est recouvert de moules, prédatrices de planctons. La surface (au niveau a) est recouverte d'une nappe de pollution qui tue le plancton dès qu'il s'en approche. Sachant que le planton part d'une position x comprise entre 0 et a, est-il possible que le plancton survive indéfiniment ? Au bout de combien de temps en moyenne sera-t-il tué ? Selon x, est-ce qu'il y a plus de chances…
Au rugby, on peut marquer 3 points (via un drop ou une pénalité), 5 points (via un essai non transformé) ou 7 points (via un essai transformé) ? Est-ce que 13-10 est un score possible ? Est-ce que 4-3 est un score possible ? Quels scores peut-on réaliser ? Etant donné un score, combien y a-t-il de façons différentes de le réaliser ?
On cherche à stocker n paquets de dynamite dans une cave de longueur N. Attention, on ne peut pas placer deux paquets côte à côte sinon ils explosent ! Combien y a-t-il de façons de stocker la dynamite ? Même question lorsque l'on a une pièce carrée de taille N sur N. On pourra autoriser (ou non) deux dynamites à se toucher en diagonale.
Un facteur doit distribuer le courrier dans une rue. Celle-ci ne comporte qu'une seule rangée de maisons régulièrement espacées et numérotées 1, 2, ..., n. Le facteur doit distribuer une lettre par maison. Pour cela, il laisse son vélo à la maison 1, y dépose le courrier correspondant, et ensuite distribue les lettres au hasard, puis revient à la maison 1 récupérer son vélo. Il effectue ainsi un trajet, représenté par les numéros successifs des maisons où il a déposé le courrier. Par exemple, si n = 5, un trajet possible est 1, 5, 2, 4, 3, 1. La distance totale parcourue, appelée…
Un mélange de L-système et de probabilité pour modéliser la croissance des arbres, chercher l'age moyen
L’enceinte de notre établissement a une certaine forme, avec des prises d'eau (Q, R et S) au rez-de-chaussée pour l’arrosage et en cas d'incendie. Quelle zone est la plus proche de chaque prise d'eau et quelle est la plus grande distance entre une prise d'eau et un point de l'établissement ?
Inventer un jeu vidéo qui utilise des codages simples ( avec scratch)
Bart le Noir et La Buse sont deux pirates très à cheval sur le code des pirates. Il est dit dans celui-ci que le premier qui met la main sur un trésor le garde.
Ils arrivent tous les deux dans une crypte et aperçoivent un trésor derrière un vieux mur. Chacun leur tour, les pirates enlèvent une, deux ou trois briques.
Celui qui enlèvera la dernière brique pourra toucher le trésor et s'en emparera. Comment doit faire un pirate pour être sûr d’être le premier à toucher le trésor ?
Aider un pizzaïolo à organiser son planning afin de ne pas avoir trop de pénalités
Comment faire le le plus grand volume avec un patron de solide fait dans une feuille de papier A4
Etant donnés 2 polygones de même aire, on voudrait montrer qu'il est possible d'en découper un (en plusieurs petits polygones) de manière à pouvoir reconstituer exactement l'autre.
Une personne joue à un jeu de dé de la manière suivante. On a 5 tours. A chaque tour, le joueur lance un dé, puis décide soit de s’arrêter et de gagner le résultat du dé, soit de relancer le dé. Quand il relance le dé, le résultat du lancer précédent est oublié. Quelle est la meilleure stratégie pour gagner le plus en moyenne ?
Une municipalité souhaite paver la place du village. Pour cela le cahier des charges dit que :
- Tous les pavés sont des polygones réguliers (on peut utiliser un ou deux types de polygones) ;
- Le pavage lui-même est régulier (en un sens à préciser).
Pouvez-vous aider le maire à faire la liste de tous les motifs envisageables ?
Quelqu'un pense à un nombre. Combien de questions faudra-t-il lui poser pour découvrir ce nombre, sachant qu'il ne peut répondre que par 'oui' ou par 'non' et qu'il est susceptible de mentir au plus une fois en répondant aux questions ?
Une galerie d’art est un polygone. Si on place un gardien à l’intérieur, il peut surveiller toute la zone autour de lui, tant que sa vue n’est pas bloquée par un mur. Étant donnée une galerie d’art à n côtés, combien faut-il de gardiens pour surveiller toute la galerie.
On considère une rangée de n pièces disposées aléatoirement Pile ou Face.
Le but du jeu est d'éliminer toutes les pièces sachant que pour cela on ne peut enlever que les pièces Face et que lorsqu'une Face est enlevée les voisines se changent, Pile devient Face et Face devient Pile. Comment caractériser une rangée gagnante ?
Peut-on réaliser des dés à 5, 6, 7 faces... ? Avec des faces identiques qui sont des polygones réguliers et qui auraient la même probabilité d'être obtenues en lançant le dé.
Dans le jeu de société Azul, les joueurs doivent remplir un plateau de 5x5 avec des pions colorés
Deux pions de la même couleur ne doivent pas être sur la même ligne ou la même colonne.
De combien de façons peut-on remplir le plateau ?
Peut-on réaliser à l'avance qu'un blocage va apparaître ?
Les élèves d'un collège ont décidé d'organiser un championnat de chifoumi. Il ya 85 participants. Chaque jour, plusieurs matchs ont lieu simultanément mais chaque participant n'effectue qu'un seul match au maximum. Pour que les élèves puissent se retrouver, les organisateurs ont délimité 42 zones de la cour, numérotées de 1 à 42.
Créer un planning de matchs qui soit tel que :
- chaque participant rencontre tous ses adversaires une seule fois
- chaque participant peut facilement déterminer chaque jour son adversaire et sa zone de match
- le…
Le professeur Farnsworth invente une machine qui permet d'échanger les esprits de deux participants. Malheureusement après un échange initial avec Amy, le professeur réalise que la machine ne peut pas effectuer un second échange avec les mêmes corps. Il s'ensuit alors de nombreux échanges d'esprit avec d'autres personnes afin que tous puissent réintégrer leur corps.
Les différentes personnes arriveront-elles à réintégrer leur corps ? Si oui, comment; sinon, pourquoi ?
La réponse dépend-elle du nombre de personnages supplémentaires utilisés pour les échanges ?
Une blague se répand de ville en ville. Comment estimer la vitesse de propagation en fonction des liaisons entre les villes
Un robot cuisinier fabrique des pizzas en empilant les ingrédients.
On voudrait savoir combien de pizzas différentes il peut faire...
Faites votre choix
Combien y-a-t-il de manières de composer un collier avec n boules rouges et p boules vertes? Et si on ajoute en plus q boules bleues?
L’avenue d’une grande ville est équipée de 10 lampadaires, numérotés de 1 à 10. Chaque soir, l’allumeur de lampadaires les parcourt tous du dernier jusqu’au premier, et les allume ou les éteint selon la règle suivante :
si un lampadaire est allumé, alors celui qui porte le numéro suivant change d’état (s’il était allumé, il s’ éteint, et inversement).
Malheureusement, il est un peu distrait et laisse les lampadaires allumés d’un soir à l’autre. Le premier soir, seul le premier lampadaire est allumé. Y aura-t-il un soir où tous les lampadaires seront allumés ? Peut-on prédire…
Après avoir introduit la notion de graphe, on définit celle de chemin induit. Un chemin induit de longueur n-1 sur un graphe est une succession de n sommets et n-1arêtes du graphe pour lequel il n'existe pas dans le graphe et entre les sommets de ce chemin d'autres arêtes que celles du chemin. Un tel chemin est noté Pn. La question est alors de caractériser les graphes qui sont sans Pn. Au jour d’aujourd’hui on ne connaît pas de caractérisation simple de tels graphes pour n quelconque. Par contre le problème est faisable pour des petites valeurs de n : n=2, n=3, n=4. C’est l’objet…
Après avoir introduit la notion de graphe connexe, on définit celle d’isomorphisme et de k-régulier. Deux graphes sont isomorphes si on peut passer de l’un à l’autre en renumérotant les sommets. Un graphe est k-régulier si tous ses sommets sont de degré k. Rappelons que le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes adjacentes à ce sommet. Il n’existe pas de formule générale qui donne le nombre de graphes connexes non isomorphes et k-régulier mais on peut résoudre le problème pour des petites valeurs de k ou des petites valeurs de n. C’est l’objet de cette recherche.
Réussira-t-on à informer tout le monde en respectant les règles de communication en vigueur dans le réseau ?

Des personnes (ou des relais électroniques, si vous préférez) sont régulièrement disposées dans un plan.
Chaque personne peut envoyer des informations à d'autres personnes, à condition de respecter certaines règles.
Ces règles, bien précises et immuables, sont les mêmes pour toutes les personnes. En fait, à proprement parler, c'est l'ensemble de ces règles qui définit le réseau.
Deux joueurs vont s'affronter sur une grille mxn (m lignes, n colonnes).
A tour de rôle, chaque joueur pose un jeton de sa couleur sur une case inoccupée et le premier joueur parvenant à placer ses jetons aux quatre coins d'un rectangle gagne la partie.
Pour des valeurs de m et n données, peut-il y avoir des parties nulles (aucun des joueurs ne parvient à former un rectangle) ?
Pour des valeurs de m et n données, l'un des deux joueurs a-t-il une stratégie gagnante ? si oui laquelle.
On considère une grille de n x m cases. On souhaite placer des entiers 1 à k (k étant le plus petit possible) dans les cases de la grille de façon telle qu'on ne puisse trouver un rectangle dont les quatre coins contiennent le même entier.
Peut-on caractériser les grilles (c'est à dire leur dimension) que l'on peut remplir de cette façon en utilisant les entiers 1 et 2 ? les entiers 1, 2 et 3 ?
Le jeu de Ping se joue sur un damier, rectangulaire ou carré, de taille variable, où dans chaque case se trouve un pion bicolore (une face verte, l’autre rouge). Au départ du jeu, tous les pions montrent leur face verte. Le but du jeu est de réussir à retourner tous les pions sur leur face rouge, mais avec une sorte de handicap : quand on choisit un des pions du damier, il n'est pas retourné, seuls ses huit voisins le sont.
Dans une usine de fabrication de sapins en planches de bois, les planches arrivent les unes au dessus des autres en paquets mélangés.
Un robot est chargé de trier de la plus grande planche en bas à la plus petite planche en haut.

Comment doit-il faire pour arriver à un paquet bien ordonné, en le minimum d'opérations?
Comment modéliser des situations à l'aide de graphes et critères d'identification des chaines et cycles eulériens. Programmation de deux applications sous scratch: les dominos et le jeu du pac-man.
Au départ chaque ligne d’un quadrillage rectangulaire contient un pion jaune et un pion bleu, posés au hasard.
A tour de rôle, deux joueurs, ”Bleu” et ”Jaune”, déplacent, dans une ligne de leur choix, un pion de leur propre couleur : le pion va sur n’importe quelle case libre de la ligne, à gauche ou à droite, mais sans sauter par-dessus le pion adverse.
Le dernier à pouvoir jouer est le vainqueur.
Il y a dix ans, un richissime banquier avait été tué par l’explosion d’une bombe, qui avait également détruit son château où il s’était retiré. À l’époque des rumeurs ont couru que le testament, détruit lui aussi par l’explosion, avait tout pour déplaire à l’une de ses sept ex-femmes. Or, avant de mourir, il les avait toutes invitées à passer quelques jours dans son château. Ce qui est étrange, c’est que la bombe avait été fabriquée spécialement pour être cachée dans l’armure de la chambre à coucher, ce qui suppose que l’assassin a nécessairement effectué plusieurs visites au château !
Quatre joueurs autour d’une table et un banquier. Au départ les quatres joueurs ont un nombre pair de pièces. À chaque tour, chaque joueur fait passer à son voisin de gauche la moitié de ses pièces. Le banquier donne une pièce à chaque joueur ayant un nombre impair de pièces. Et on recommence.
Le jeu se termine-t-il toujours (et quel sens donner à la terminaison) ?
Le matériel du solitarium est rudimentaire :
1. des cases disposées en cercle (comme les secteurs d’une roue de loterie).
2. des pions.
Au début du jeu, on répartit des pions, au hasard, dans les cases.
Ensuite, à chaque tour de jeu, on déplace 2 pions de son choix en respectant les règles suivantes.
1. Chaque pion est déplacé vers une case voisine.
2. Les 2 pions sont déplacés en sens contraire.
Le but du jeu est d’amener tous les pions dans une même case.
Peut-on toujours gagner ? Comment ?
Noeud
Un nœud est une ficelle entrelacée dont on a joint les 2 bouts.
On code un nœud en se fixant un point de départ et en suivant le fil dans une direction. On note
A,B,C,... les intersections. On note A+ si on passe au-dessus ou A− si on passe en dessous.
A−B+C−D+E−A+B−E+D−C+
• Une suite donnée, par exemple A+B−C+A−B+C− correspond-t-elle toujours au même nœud ?
• Quelles sont les nœuds obtenus par des suites de 1, 2, 3, 4,. .lettres ?
• On dit qu’un nœud peut être démêlé si sans le couper on peut obtenir un cercle.
Peut-on reconnaitre…
On dispose d'une liste d'entiers. A chaque étape, on choisit un nombre non nul quelconque d'entiers dans cette liste auxquels on retranche une valeur quelconque.
Le but du jeu est de vider complètement la liste (mettre à zéro tous les entiers...) en un minimum de coups.
Combien de coups sont nécessaires (et suffisants ) pour vider une liste de la forme (1, 2, 3 ..., k) ?
Est-il possible de caractériser les listes "vidables" en 1 seul coup ? en 2 coups ? ....
On place à différents endroits deux escargots et une feuille de salade. On suppose que les escargots se déplacent à la même vitesse. Le problème est de déterminer quel chemin doit suivre chaque escargot pour arriver le plus vite possible à la salade, et quel escargot arrivera le premier.
Si les deux escargots et la feuille de salade sont sur un plan horizontal (le sol), la réponse est immédiate : chaque escargot doit se déplacer en ligne droite jusqu’à la salade, et celui qui en est le plus proche arrivera le premier.
Que se passe-t-il si on place les deux escargots sur un plan…
La notion de carré magique est bien connue. On propose ici d’étudier les carrés antimagiques.
On se donne un entier n ≥ 2 et un tableau à n lignes et n colonnes. Fabriquer un carré antimagique c’est remplir ce tableau en respectant deux règles :
− chaque case doit contenir l’un des trois nombres −1, 0 ou 1 ;
− quand on calcule la somme des nombres sur chaque ligne et la somme des nombres sur chaque colonne, on obtient 2n quantités qui sont deux à deux distinctes.
Pour n = 2, un exemple est donné par la grille
0 -1
1 1
La question naturelle (et…
Imaginez que l'endroit où vous habitez risque d'être envahi par des vaisseaux remplis d'êtres dont vous ignorez s'ils viennent en amis... Peut-être souhaitez-vous que leurs vaisseaux ne se posent pas trop près de chez vous ?
Votre but est de poser des pièges sur le territoire pour éviter toute intrusion. Mais ces pièges coûtent cher et vous voulez donc en utiliser le moins possible !
Dans une figure contenant des triangles équilatéraux, on place des nombres entiers selon une certaine règle rendant ces même triangles harmonieux.
Quelle est cette règle ?
Comment constituer des triangles harmonieux ? A partir de quels nombres au départ ? Et combien ? Est-ce toujours possible ?
On a sa disposition n jetons. On dispose comme on le souhaite les jetons sur la table.
On marque 1 point pour chaque droite qui passe par exactement 3 jetons. Quel score peut-on atteindre ?
Atchoum et Benêt ont disposé vingt cotons-tiges en rang. Chacun à leur tour, ils en retirent 1, 2 ou 3. C’est Atchoum qui commence. Le gagnant est celui qui retire le dernier coton-tige. Comment Atchoum peut-il faire pour gagner à tous les coups ? Qui peut gagner à tous les coups si on ne peut retirer que 1 ou 2 cotons-tiges ? Et si on change le nombre de cotons-tiges ?
Colette rejoint Atchoum et Benêt. Comment jouer à trois ?
Y a-t-il un résultat général en fonction du nombre total de cotons-tiges et du nombre de ceux qu’on peut retirer à chaque coup ?
Et si Atchoum ne…
Il s'agit de créer le "plus beau carrelage du monde", d'aborder en se fixant des règles et des méthodes pour obtenir un pavage du plan qui soit suffisamment original...
Un jeu à deux joueurs se joue sur un rectangle n*m cases. A chaque tour chaque joueur choisit une case et noircit le rectangle formé de toutes les cases qui son situées au dessus et à droite de la case choisie Les cases noircies ne peuvent plus être jouées. Si un joueur choisit la case en bas à gauche, il perd.
Existe-t-il une stratégie gagnante si l'on joue en premier? si l'on joue en second?
Le dojo est une pièce carrée de côté un nombre entier de mètres. Les tapis de sol font 3m*1m. Il y a un poteau quelque part de 1m*1m. et à distance entière des murs : si on quadrille le dojo en cases de 1m de côté, le poteau occupe l'une des cases.
Peut-on disposer les tapis de sorte qu'on puisse recouvrir le sol sans qu'ils se chevauchent? Est-ce que ça dépend de la place du poteau? Est-ce que ça dépend de la taille de la pièce?
Il s'agit d'un jeu de dé à un seul joueur dans un casino. On fixe un nombre de coups maximum de 5 coups. A chaque coup, le joueur lance un dé et décide s'il empoche le montant indiqué par le dé ou s'il préfère continuer à lancer le dé pour espérer gagner plus.
Trouver une stratégie qui permette en moyenne de gagner le plus possible.
Combien le casino devrait-il faire payer l'accès au jeu pour ne pas perdre d'argent?
Dans un parc donné, on souhaite dénombrer le nombre de promenades possibles.
Un roi est situé sur une case définie à l'avance sur un échiquier. On souhaite aller sur une case "cible". Combien de déplacements sont possibles en un nombre donné de "pas" ?
On se demande comment disposer n usines et n maisons dans une ville tout en s'assurant que chaque maison est relié à chaque usine. Cela est-il toujours possible ? Le nombre n peut-il être aussi grand qu'on le souhaite ? Que cela change-t-il si l'on travaille non plus à plat mais sur une sphere ? ou sur un donut ?
Dans une ville, il y a une invasion zombie. Chaque maison est contaminée la nuit, si elle est adjacente à deux maison contaminées. On se demande combien de maisons doivent être initialement contaminées et où elles doivent se trouver pour que la ville soit entièrement contaminée au bout d'un certain temps. La forme de la ville a-t-elle une importance ? Sa taille ? Et que se passe-t-il si on veut que la contamination totale ait lieu au bout d'un nombre n de jours fixé à l'avance ?
Vous êtes prisonniers mais un gardien vous donne une chance de vous en sortir. Cela se jouera au dé suivant des règles bien précises. Quelle sera la meilleure stratégie à adopter pour sortir ?
Le Tetris est un jeu vidéo constitué d'un plateau formé d'une grille de 12 colonnes et de 23 lignes. Des quadrominos arrivent par le haut un par un et le joueur doit choisir l'orientation et les colonnes où la pièce tombe. Lorsqu'une ligne est complétée, elle disparait et toutes les pièces au dessus descendent d'une case. Si une pièce dépasse le haut du plateau, la partie est perdue. La question est de savoir si l'on peut jouer indéfiniment à ce jeu.
Le but du projet est de démontrer deux résultats importants contenus dans les Principia de Newton qui est son œuvre majeur et qui va révolutionner notre vision du monde et surtout notre façon de le modéliser : la loi des ellipses et le fait que la force qui induit le mouvement est une force centrale inversement proportionnelle au carré de la distance au soleil. Cette force sera appelée gravitation par Newton.
Décidément, l’année 2021 est une année particulière ! Remarquons une propriété intéressante du nombre 2021 : lorsqu’on calcule le carré de 2021, on obtient le nombre 4 084 441. Autrement dit 2021^2 = 4 084 441. Considérons maintenant le nombre obtenu en « retournant » le nombre 2021, c’est-à-dire en le lisant de droite à gauche : 1202. Ce nombre est appelé le retourné de 2021. On observe que son carré est égal à : 1202^2 = 1 444 804 qui est le retourné de 4 084 441.
On a donc remarqué que : Le carré du retourné de 2021 est égal au retourné de son carré.
— Existe-t-il d’autres…
On considère des plantes un peu spéciales : chaque branche ou tige est une succession de points reliés
par des segments. Lorsqu’on donne un coup de sécateur sur un segment, on l’ôte ainsi que tout segment
qui n’est plus relié au sol. Les jardiniers aiment s’amuser entre eux et ont inventé un jeu : chacun à son
tour donne un coup de sécateur. Lorsqu’un joueur-jardinier ne peut plus jouer, il a perdu. Considérer
différents types de plantes et déterminer une stratégie gagnante.
Un sculpteur vient de recevoir une série de commandes un peu originales. Il doit pour cela créer plusieurs anneaux en métal, ce qui ne lui pose aucun problème. Ensuite, il doit graduer ces anneaux et numéroter chaque graduation de plusieurs façons :
1. Pour la première commande, il doit graduer ses anneaux respectivement tous les 180, 90, 30 et 2 degrés. Combien devra-t-il faire de graduations ?
2. Pour sa deuxième commande, il doit graduer ses anneaux tous les 100, 80, 7 et 361 degrés. Combien devra-t-il faire de graduations ?
3. Les détails de sa troisième commande ne…
On construit un arbre binaire récursivement de la manière suivante :
- On trace tout d'abord un "tronc" de longueur 1.
- A l'extrémité de ce tronc partent deux branches à 120°, de longueur lambda.
- On itère ce procédé en faisant partir de chaque nouvelle extrémité 2 branches à 120°, de longueur lambda fois la longueur des branches précédentes.

Peut-on itérer le dessin indéfi niment sans que les sous-arbres de gauche et de droite ne fi nissent par s'intersecter ?
Chacun connait le jeu de kaplas, ces petites planchettes de bois, toutes identiques, qui permet de faire de nombreuses et jolies constructions. Considérons
un kapla que l'on pose au bord d'une table en le faisant dépasser un peu sur lequel on ajoute un autre kapla qui dépasse un peu du premier et ainsi
de suite. On crée ainsi le début d'une arche de pont au-dessus du vide. Quelle est la longueur maximale h du pont que l'on peut ainsi construire sans que tout ne s'effondre (le nombre de kaplas à notre disposition est illimité) ?
Our research deals with calculating the speed of a cat on a road which is full of cars, so that she won’t get hit by them. Given the measure of the cars and the road, we must find the minimum speed of the cat and also the time she needs to cross the road safely
Connecting cities is essential and when this is done, intersections can be created. We want to present how we get the minimum number of overbridges for n towns so that intersections are avoided. In order to try to get the minimum number of overbridges, we tried to solve the problem for some particular cases.
Problems of cutting a 2D shape (usually a cake) in multiple pieces of equal areas often occur in daily life. Although the approximation by eye is faster, it is not always accurate. In this paper we are presenting multiple methods of cutting various 2D shapes in 2 or even more pieces of equal area. We also present a method for cutting some shapes with holes in them, with the cake as well as the hole in it having some particular shapes.
We calculated the maximum distance between the base of the Eiffel Tower and the farthest visible point from the top of the tower, considering that the sky is clear, there are no clouds or other obstacles. The result is approximately km.
We found out what percentage of France’s surface can be seen from the top of the Eiffel Tower. This is approximately 2.4% of the surface.
We also found out the maximum distance we can be from the Eiffel Tower so that it can still be visible. In the end, we got a distance of km.
We calculated the maximum distance between two people so…
En regardant le plan de la ville d'Épinal, nous nous sommes demandé s'il était possible de créer un circuit touristique ne passant qu'une et une seule fois par chacun des ponts et nous ramenant à notre point de départ.
La figure de départ est composée de trois carrées. On se demande d'abord quelles sont les différentes façons de la découper en un certain nombre de parties superposables. On essaie ensuite de dénombrer ces découpages possibles. Puis on s'impose d'autres règles.
On imagine une pièce infinie dans laquelle on doit poser du carrelage, quelles sont les formes possibles que peuvent prendre les "carreaux" ?
Est-il plus intéressant de contourner ou de gravir la colline?
Les ateliers se sont attelés à la mesure et au calcul de π par différentes méthodes : mesure directe du périmètre d'un cercle extrait de la vie courante, recherche de son rayon, puis essais de méthodes par encadremment ; en particulier approximation à l'aide d'une aire obtenue à l'aide d'un quadrillage, méthode utilisant un tableur et Pythagore pour compter les carrés unité situés à l'intérieur d'un quart de cercle, essais en tirant des carrés au hasard à l'aide de dés à 10 faces.
On s'est placé dans différents espaces dotés d'une distance (par exemple Manhattan à New-York, la sphère terrestre, des graphes), et on a cherché si le périmètre d'un cercle obéissait à la même loi par rapport à son rayon que dans le plan ordinaire.
π est abordé ici sous deux angles : son calcul à l'aide de méthodes aléatoires, et des tests permettant de voir si ses décimales, ou ses chiffres dans diverses bases, présentent une régularité ou une particularité autre ... que d'appartenir à la représentation de π.
Imaginez vous, le temps d’un instant, jardinier du dimanche. Compte tenu de la forme étrange de votre jardin, vous ne pouvez disposer des plants qu’à distances entières.
Notre sujet de recherche cherche à savoir combien de plantations vous pouvez effectuer tout en respectant cette condition.
Alors enfilez vos bottes, creusez vous les méninges et rejoignez nous dans notre jardin !
On s'intéresse à un problème qui vient de systèmes de version. Le développement logiciel se fait généralement en équipe, plusieurs programmeurs coopèrent pour mettre en place un logiciel complet (comme plusieurs maçons coopèrent pour fabriquer un immeuble). Chacun travaille de son côté et enregistre ses modifications sur un serveur, qui contient ainsi toutes les versions du logiciel. Lorsqu'on enregistre une nouvelle version, on indique une version précédente sur laquelle on s'appuie. On peut aussi indiquer qu'une version résulte de la mise en commun du travail de…
Combien de couleurs minimum faut-il pour colorier une carte, quelle qu'elle soit, sans qu'aucun pays qui se touche n'ait la même couleur?
On dispose de dominos (de forme parallélépipède rectangle) en nombre illimité, dont la plus grande longueur vaut 5 centimètres et l'épaisseur vaut 1 centimètre.
On souhaite construire la plus haute pile possible de dominos en les plaçant les uns sur les autres. Malheureusement, comme nous tous, ces dominos obéissent à la loi de
la gravitation.
Dans l'ensemble des points du plan de coordonnées entières on définit une distance entre deux points A et B par le nombre minimal de sauts pour aller de A à B . Un saut correpondant au déplacement du cavalier aux échecs. Etude de cette géométrie définie par cette distance.
Une roue de rayon R roule sur une droite horizontale tracée sur le sol. Soit M un point de la roue (vue comme un cercle). On note T la trajectoire décrite par M. Pour se familiariser avec ce que décrit le point M en un tour de roue et démarrant du sol, qui s’appelle une arche de T , il est préférable de commencer par en faire plusieurs dessins...
Voici un problème a été inventé par le tchèque Lothar Collatz en 1928, il l’a exposé à Hambourg en 1952 devant l’allemand Helmut Hasse, qui en a parlé à son tour aux USA. C’est alors que cette question est devenue célèbre. Pour désigner les entiers on va utiliser la même méthode que celle du courrier électronique : si vous vous appelez Dupont et que vous prenez
un abonnement à internet, il y aura surement déjà des Dupont chez le fournisseur que vous avez choisi, par exemple 37, alors le fournisseur vous attribuera l’adresse <dupont38@fournisseur>.
Soit u un entier, c’est…
Pierre de Fermat, un mathématicien du 17ème siècle, a soulevé beaucoup de question profondes, en particulier concernant les propriétés arithmétiques des nombres. Il y a bien sûr son célèbre "théorème" dont la démonstration fut trouvée à la fin du 20ème siècle, voici une question, en fait une des rares où Fermat s’est trompé.
On pose F1 = 5, F2 = 17, etc., si n > 0 est un entier, on pose Fn = 2^(2^n) + 1.
On s’intéresse à un modèle simplifié de propagation d’épidémie. La population est représentée par les cases d’une grille rectangulaire et la maladie se propage suivant des règles déterminées.
On considère des dessins dans le plan obtenus en faisant un tracé sur la grille sans lever le stylo. A chaque croisement de la grille, l’étape suivante correspond soit à tourner à gauche (G), soit à tourner à droite (D) soit continuer tout droit (C).
On s’intéresse plus particulièrement aux dessins qu’on va obtenir via des règles de remplacement.
Un bohnomme se promene sur les nombres entiers f0; 1; 2; :::g avec les contraintes suivantes
• il part de 0,
• à chaque pas il progresse au choix soit de +3 soit de +5.
On étudie les nombres atteints et les chemins possibles
Voici une épreuve vue cet été dans Fort Boyard. Une combinaison secrète est composée à partir de trois balles bleues et deux balles blanches. Pour ne pas finir en prison, vous devez la retrouver en trois essais maximum, selon le principe suivant : un essai consiste à placer ces balles, et on vous donne l’information du nombre de balles bleues bien placées (sans vous dire lesquelles).
Pourrez-vous éviter la prison ?
Bazar bizarre est un jeu de société qui se joue de la manière suivante. On dispose de cinq objets en bois (un fantôme blanc, une souris grise, une bouteille verte, un livre bleu et un fauteuil rouge) et d’un paquet de cartes. Sur chaque carte sont dessinés deux objets :
— soit tous les deux sont de la mauvaise couleur (par exemple, un livre vert et une souris rouge),
— soit l’un des deux est de la bonne couleur, et l’autre non (par exemple, un fantôme blanc et une bouteille bleue).
Quand une carte est retournée, il faut vite attraper l’objet qui est de la bonne couleur…
9 interrupteurs sont placées pour former un quadrillage 3x3. Quand le héro tape sur l’un des interrupteurs, celui-ci devient rouge, et la même chose se produit pour ses voisins (horizontalement et verticalement). Pouvez-vous trouver un moyen de rendre tous les interrupteurs rouges ?
Un ami m’a demandé de jouer aux dés avec lui en utilisant les dés à 4 faces.
Il m’a demandé de choisir en premier mon dé à chaque fois; quand je choisissais le dé A (respectivement B, C), il choisissait le dé C (respectivement C, A). Nous avons fait énormément de parties, et j’ai perdu plus souvent que lui..
Il s'agit d'étudier la position d'un point extérieur à un polygone qui subit des symétries centrales successives par rapport aux sommets du polygone.
Il s'agit d'étudier les coordonnées des points atteints par un cavalier qui avancerait de a dans une direction, tournerait à gauche puis avancerait de b.
Lors de leur affrontement avec les maîtres du temps les candidats de Fort Boyard sont parfois confrontés au jeu suivant : sur une table sont disposés 21 bâtonnets, le candidat et le maître retirent 1, 2 ou 3 bâtonnets chacun leur tour. Celui qui enlève le dernier bâtonnet a perdu.
Y a-t-il une stratégie gagnante pour l’un des joueurs ?
Peut-on modifier ce jeu pour changer la donne ?
Lorsque l’on joue aux cartes notre premier réflexe est bien entendu de trier notre jeu ! La méthode de tri la plus naturelle est la suivante : on prend la seconde carte de notre main, on la met à la bonne place par rapport à la première ; on prend la troisième carte, on la place correctement par rapport aux deux précédentes ... Et ainsi de suite ; une partie des cartes est triée, on prend la suivante que l’on descend à la bonne place parmi les cartes triées ; jusqu’à avoir un jeu trié.
En mathématiques et en informatique les algorithmes de tri sont très utilisés, non pas pour trier…
Un bandit en cavale veut envoyer un message codé à son avocat.
Comment le bandit doit-il procéder pour envoyer des messages bien cryptés mais que son avocat pourra décoder sans encombre ? Quels types de codages peut-il utiliser ?
Comment carreler une cuisine modélisée par une grille, en variant la forme des carreaux et en tenant compte de contraintes.
On dispose d'un ensemble de gadgets électroniques. On sait qu'une **minorité stricte** de ces gadgets sont défectueux. Le but est de déterminer pour chaque gadget s'il est fonctionnel ou défectueux. Pour les tester, on peut en prendre deux, les connecter, et demander à chaque gadget l'état du gadget auquel il est relié. Un gadget fonctionnel donnera toujours correctement l'état du gadget auquel il est relié. Un gadget défectueux répondra n'importe quoi.
Des extraterrestres sont arrivés sur Terre et ne disposent que de 2 caractères ם et ┼ pour écrire et lire.
Comment faire pour communiquer avec eux ?
Imaginer un codage de notre alphabet avec ces 2 caractères.
Il était une fois un papetier qui voulait devenir confiseur. Malheureusement, pour emballer ses bonbons, il ne lui restait que ses feuilles A4 de son ancien travail.
Comment pourrait-il faire à partir d’une feuille A4 pour faire un emballage qui puissent être le plus volumineux possible ?
Aidez le en trouvant le meilleur patron de solide que l’on puisse faire avec une feuille A4 pour résoudre son problème.
Et s’il décidait de ne pas mettre de couvercle, serait-ce mieux ?
Peut-on trouver une stratégie gagnante pour trouver le lapin ? En combien d'essais ?
Peut-on trouver un moyen d'aligner les lampes de même couleur ?
Combien de types de structures minimales peut-on prendre pour remplir notre mission dans toutes les situations ?
Comment utiliser une antenne de télévision parabolique pour fabriquer un four solaire ?
Lors d’un goûter d’anniversaire Blanche a préparé des muffins et des cookies. Elle propose un jeu aux
deux enfants les plus gourmands. Chacun son tour vous allez prendre des cookies ou des muffins selon
les règles suivantes. Celui qui ne peut plus rien prendre à perdu.
Règles pour prendre des cookies ou des muffins. À chaque tour vous pouvez :
— soit prendre autant de cookies que vous voulez (mais pas de muffin) ;
— soit prendre autant de muffins que vous voulez (mais pas de cookies) ;
— soit prendre le même nombre de cookies que de muffins (autant…
Une fourmi se déplace dans un rectangle de dimensions entières (longueurs à l'horizontale). Elle part du coin en bas à gauche sous un angle de 45°
. Quand elle atteint la longueur du haut, elle repart verticalement vers la longueur du bas. Arrivée là, elle repart à 45°
. Quand elle atteint une des largeurs, elle repart à l'horizontale vers la longueur opposée etc.
Peut-elle revenir à son point de départ et si oui après combien de temps" ? Passe-t-elle par tous les points du rectangle ?
On a des pions, tous identiques, disposés au hasard sur une table. On peut les bouger selon deux règles seulement :
(a) deux pions peuvent se rejoindre (on les pose l’un sur l’autre) exactement au milieu du segment qu’ils formaient avant,
(b) si on a deux pions l’un sur l’autre, on peut les séparer, dans n’importe quelle direction et de n’importe quelle longueur, mais de façon symétrique par rapport à leur point de départ.
Avec ces règles, pourra-t-on tous les aligner ? tous les empiler ?
Quand est-ce que deux figures sont équivalentes par puzzle ?
Les mathématiques de la musique : peut-on entendre les fractions et leur multiplication ?
Les mathématiques de la musique : comment accorder un clavier avec une recette mathématique du 15ème siècle ?
Les mathématiques de la musique : logarithme binaire et accord des instruments. Comment les guitares et les claviers modernes sont-ils accordés ?

Deux groupes différents travailleront sur ce sujet.
Un groupe de 4 élèves et un groupe de 2 élèves.
Deux groupes différents travailleront sur ce sujet
Un groupe de 4 élèves, et un groupe de 2 élèves
Deux groupes différents travailleront sur ce sujet
un groupe de 3 élèves et un groupe de 4 élèves
Une fourmi se promène sur un quadrillage rempli de cases de couleurs blanches et noires. Elle a un comportement très simple :
— Si elle arrive sur une case blanche, elle se tourne à gauche et avance d’une case.
— Si elle arrive sur une case noire, elle se tourne à droite et avance d’une case.
A chaque fois qu’elle quitte une case, elle change la couleur de cette dernière (si la case est noire, elle devient blanche et inversement). Étant donné un quadrillage de taille 8×8 et deux carrés de ce quadrillage, est-il (toujours) possible de colorier le quadrillage pour que la…
Soit une grille de N cases contenant les N plus petits nombres entiers naturels non nuls. Ce jeu se joue à deux joueurs de la façon suivante : le premier joueur coche un nombre de la grille, puis tour à tour les joueurs cochent, parmi les nombres de la grille pas encore utilisés, un multiple ou un diviseur du nombre qui vient d’être choisi par l’adversaire. Le joueur ne pouvant plus jouer est déclaré perdant.
Pour un nombre N donné, existe-t-il une stratégie gagnante pour l’un des deux joueurs ? Si c’est le cas, comment la mettre en place ? Quelle est l’influence de la valeur de N sur…
Des physiciens ont réussi à construire 4 aimants très spéciaux qu’ils ont baptisés Ampère, Boltzmann, Coulomb et Dirac. Les forces d’attraction entre ces aimants ne sont pas classiques puisque chacun est attiré seulement par un seul autre suivant la règle suivante : Ampère est attiré par Boltzmann qui est attiré par Coulomb qui est attiré par Dirac qui est attiré par Ampère.
Les physiciens placent chacun de ces aimants à un sommet d’un carré ABCD puis ils les lâchent simultanément à un instant donné.
Dessiner la trajectoire de chacun de ces aimants en supposant qu’aucun obstacle…
Sur une grille infinie on place des grains de sable en certains sommets. Soit n le nombre de grains en un sommet.
– Si n<= 3 rien ne se passe
– Si n>3, une avalanche se crée : 4 des n grains se répartissent sur les 4 sommets voisins, un chacun.
Si on commence avec 100 grains en (0;0), que se passe-t-il après ? arrive-t-on à une situation stable ?
Combien faut-il mettre de grains en (0;0) au départ pour qu'au moins un grain arrive en (100;0) ?
Que se passe-t-il si on commence avec 50 grains en (0;30) et 50 en (0;-30) ?
Pour déverrouiller un smartphone on peut soit utiliser un code à 4 chiffres, soit utiliser une grille 3 x 3 en créant un dessin selon certaines règles.
Quel est le nombre minimum de points que l'on doit relier pour que ce code soit plus sûr que celui à 4 chiffres ?
Par la règle qui suit on définit une suite de chiffres : partant de 4 chiffres, par exemple 1 - 7 - 8 - 9, chaque nouveau terme est le chiffre des unités de la somme des 4 précédents.
Quel est le 20ème chiffre de la suite ? Si on part de 5 - 5 - 5 - 5 que se passe-t-il ? Si on part de 2 - 0 - 1 - 8, rencontrera-t-on 2 - 0 - 1 - 7 ? Si on part de 2 - 0 - 1 - 9, rencontrera-t-on 2 - 0 - 1 - 9 à nouveau ?
Le jeu de Hex se joue sur un damier en forme de losange dont toutes les cases sont hexagonales. Il y a un joueur bleu et un joueur rouge. Chaque joueur, à tour de rôle, colorie une case du damier avec sa couleur. Le but du jeu, pour le joueur rouge, est d'arriver à relier les deux côtés rouges du damier par un chemin constitué de cases rouges et vice versa pour le joueur bleu.Mettre en place une stratégie gagnante.
Soit un parasol de rayon R = 65cm et de hauteur h = 1.5m placé verticalement sur le sol terrestre. On souhaite savoir où se placer afin de maximiser le temps pendant lequel on se trouve à l’ombre du parasol.
9 grilles de morpions définissent une nouvelle grille de morpions… Les règles du jeu sont un peu différentes mais est-il possible de gagner, faire match nul, d'avoir une stratégie gagnante pour gagner au "Grand morpion" ?
Une cordée d'alpinistes évolue sur une ligne de crête en montagne. Ils ne peuvent se déplacer directement tout droit mais peuvent faire un pas en avançant sur la gauche ou sur la droite. A partir de la ligne de crête, s'ils font trois pas à droite ou trois pas à gauche, ils tombent et entraînent les autres dans leur chute. Nous devons leur donner des instructions pour avancer sans tomber (gauche ou droite).
Le premier alpiniste les entend toutes et les effectue, le second en entend une sur deux et les effectue, le troisième une sur trois ... Quelle série d'instructions…
Vous avez un nombre déterminé de boîtes devant vous. Sous l'une d'entre-elles se trouve un écureuil malicieux. Pour le trouver, vous aller soulever une boîte à la fois. Si l'écureuil est sous la boîte soulevée, vous avez gagné, sinon vous reposez la boîte. Une fois la boîte posée, l'écureuil passe furtivement (et à votre insu) sous la boîte située à sa gauche ou sous la boîte à sa droite, il ne peut pas rester sous la boîte qu'il occupe actuellement. Évidemment, s'il est sur la boîte la plus à gauche, il ira sur la droite et s'il est sur la boîte la plus à…
Un triplet de nombre (a, b, c) est un triplet pythagoricien si a au carré plus b au carré = c au carré

Par exemple (3, 4, 5)

Tout comme on parle de nombre “carré” il existe des notions de nombres “triangle”, “hexagone”,. . .
Pour commencer, on se demandera si un nombre triangle peut se décomposer comme la somme de deux nombres triangle ? Si oui, y-a-t-il une infinité de tels triplets ? Peut-on
tous les trouver ?
Nuage de points aléatoires dans un cube qui laisse apparaitre x ou y ou z suivant comment est regardé le cube.
Dans un premier temps, les élèves vont proposer des algorithmes pour simuler la création de points "au hasard" dans un cube. Dans un deuxième temps, ils essaieront d'imposer des critères, en donnant toujours l'impression que les points ont été placés au hasard.
En fonction du nombre de personnes inscrites sur un réseau social, les élèves vont réfléchir à la possibilité qu'il y ait toujours un groupe d'"amis" ou un groupe d'"inconnus". Ils vont essayer ensuite de trouver le nombre minimal de personnes dans ce groupe pour avoir au moins a amis et i inconnus.
Dans ce projet nous allons travailler sur les codages d'un texte par un autre texte. Nous étudierons d'abord le Code de César, du point de vue "ami" et du point de vue "ennemi". En identifiant ses faiblesses, nous réfléchirons à la mise en place de codes plus performants. Notre but est d'arriver à l'étude de la machine Enigma et d'en construire un modèle simplifié en papier.
On part d'un nombre au hasard, on prend chaque chiffre que l'on met au carré et on les additionne pour trouver un nouveau résultat.
Questions :
1) est-ce que ça fait des boucles ?
2) arrive-t-on toujours à 1 ?
Je prends des gâteaux carrés que je souhaite découper en autant de parts que l'on veut sous la forme de carrés.
1) Peut-on toujours le découper, en fonction du nombre d'invités ?
2) Combien je peux faire de parts au minimum ?
On prend un solide (par exemple un cube) et on souhaite colorier chaque face avec un nombre de couleurs déterminé.
1) Combien y-a-t-il de manières de le colorier, en fonction du solide ou du nombre de couleurs ?
2) Peut-on trouver une formule pour les plus grands solides
C’était avant que la COVID ne fige l’espace et le temps, c’était avant le terrible accident de Motarrone. La Commission européenne organisait, au bord du Lac Majeur, une conférence inter-domaines sur les fondements, les méthodes et les applications de la loi de Benford...
Le grand tout, c'est le nombre T =0,12345678910111213..... Il n'est pas très grand, pourtant il contient tous les entiers (positifs). Deux types de questions sur le grand tout :
- Quel est le 100-ième chiffre après la virgule ? Le 1000-ième ? Le 10 000-ième ?
- Certains nombres, dans le grand tout, arrivent avant leur tour : par exemple 12 est entre 11 et 13, mais il est déjà écrit juste après la virgule. Est-ce que cela se produit régulièrement ? Peut-on trouver un nombre qui arriverait 10 000 chiffres avant son tour ?
On cherche à recouvrir le carré de droite par des polyominos comme ceux qui sont dessinés sous le carré.
Bien sûr sans que les polyominos ne se chevauchent. Est-ce toujours possible ?
Et si on fait un trou dans le carré ? Et si le carré et un rectangle ? Et si …
Une multitude de questions ne vont pas tarder à surgir…
Une abeille veut bâtir une maison de forme hexagonale.
Pour cela, elle dispose de deux types de « briques ».
Toute sa maison doit être recouverte de briques et il doit rester à l’abeille juste la place nécessaire pour qu’elle puisse se placer à l’intérieur.
Pourrait-elle réaliser les constructions ci-contre ?
Et si on se pose le même problème pour une chenille ?
M. Schmidt est un voyageur prudent et organisé. Il a parfaitement organisé son voyage mais comme il a peur de l’avion il a soigneusement choisi son siège près de la fenêtre et d’une issue de secours.
Malheureusement, dans la cohue de l’embarquement, le premier passager de l’avion s’est assis sur un siège choisi au hasard.
Par la suite, si un passager trouve le siège qui lui a été attribué déjà occupé, il s’installe en choisissant un autre siège au hasard.
M. Schmidt pourra-t-il s’asseoir sur le siège qu’il a choisi ? Avec quelle probabilité ?
On souhaite évaluer la croissance d’un blob, pour cela on devra notamment évaluer son aire à partir de photos prises par l’équipe du « projet Blob ».
Le Blob a une forme dite fractale. Peut-on trouver un moyen de prévoir la longueur de toutes ses nervures sans avoir à utiliser les photos ?
Lors de la phase de croissance on observe le développement du système sanguin du Blob. Ce développement obeit-il à certaines règles ? Pourriez vous modéliser ce développement ?
Au sein d’une population de N individus, on organise la détection d’une certaine maladie par des tests sanguins.
Par mesure d’économie on souhaite éviter de tester chaque personne individuellement.
On regroupe donc les prélèvements sanguins de r individus, on les mélange et on teste le mélange. On a alors testé un échantillon de taille r :
• Si le test est négatif, il aura suffit d’un test pour tester r personnes.
• En revanche si le test est positif il faudra tester les r personnes individuellement : le coût sera donc de r+1 tests.
Comment choisir la…
Suppose two pixels are given on a computer screen. Write an algorithm that draws the line segment that joins these pixels on the screen. You can also try to solve related problems, for instance: drawing a circle whose center and radius are given; "filling" a screen area bounded by a closed curve.
Polygons equivalents Let A and B be two polygons of the same area. Can A be cut into polygons which by rearrangement form the polygon B? In particular cases (eg A an equilateral triangle, B a square), what is the minimum number of polygons with the required property?
Les nombres remarquables Un număr se numeşte remarcabil dacă există un multiplu al său care se scrie (în baza 10) ca un şir de 9, urmat (sau nu) de un şir de 0. De exemplu, 3 este remarcabil (de ce?). Care sînt numerele remarcabile mai mici ca 6? În general, care sînt numerele remarcabile?
On dispose d’une grille carrée dont il manque éventuellement certaines cases et de dominos de taille 2 par 1. Peut-on recouvrir toutes les cases de la grille par un certain nombre de dominos, sans chevauchement ?
Un nombre entier naturel sera dit réussi s’il est égal à la somme de tous ses diviseurs (excepté lui-même) ; sinon il sera dit raté.
Néanmoins, quand la somme de ses diviseurs est égale à k fois le nombre (où k est un entier naturel), il sera dit k-raté !
Sauriez-vous trouver des nombres réussis ? 2 ratés ? 3 ratés ?
Vous habitez dans une rue dont les maisons (en nombre fini bien sûr) sont numérotées 1, 2, 3, · · · (il n’y a pas de côté pair et de côté impair).
Vous remarquez que la somme des nombres des maisons situées à gauche de la vôtre est égale à celle des nombres des maisons situées à droite. Où habitez-vous ?
On prend 50 petits carrés de côtés 1 que l'on pose les uns contre les autres. Comment les disposer de façon à avoir une figure de périmètre le plus petit possible ?
On fixe un tableau au mur avec une cordelette retenue par deux clous et fixée aux deux extrémités du tableau. Peut-on enrouler la cordelette autour des clous de façon à ce que si l'on retire un clou le tableau chute ?
Un échiquier avec des cases de deux couleurs différentes réparties au hasard est dit bien tempéré si lorsque l'on choisit deux lignes (ou deux colonnes) quelconques, le nombre de colonnes (lignes) dont les deux cases sont de la même couleur est égal au nombre de colonnes (lignes) dont les deux cases sont de couleurs différentes.
Est-ce que l'on peut construire des échiquiers bien tempérés de toute taille ?
On fait tourner sur elle-même une aiguille de 10 cm de longueur. Quelle est la plus petite surface dans laquelle on peut lui faire faire un tour sur elle-même ?
On fait rouler un vélo sur un sol en dent de scie. Quelle doit être la forme des roues pour que le cycliste ne sente rien ?
Dans ces trois appartements vivent 4, 5 ou 9 colocataires. Chacun sa pièce. Un invité arrive et passe au hasard de pièces en pièces. Va-t-il visiter toutes les pièces ? passera-t-il plus de temps dans certaines pièces que dans d’autres ?
On s’intéresse ici à un écosystème dans lequel les populations de proies et de prédateurs se régulent d'elles-mêmes. Un tel système est dit dynamique, c’est à dire qu’il évolue au cours du temps :
· en l'absence de prédateurs, le nombre de proies peut croître indéfiniment.
· en l'absence de proies, le nombre de prédateurs décroît indéfiniment.
· Lorsque proies et prédateurs cohabitent, la croissance d’une espèce devient liée à celle de l’autre espèce.
Votre projet consistera à étudier les modèles d’évolution de populations de proies et de…
Supposons, pour étudier un modèle simplifié, que chaque individu d’une population a au cours de sa vie :
· aucun enfant avec une probabilité 1/8
· un enfant avec une probabilité 3/8· deux enfants avec une probabilité 3/8
· trois enfants avec probabilité 1/8
Ci-contre un exemple d’arbre généalogique obtenu par ce procédé, en partant d’un ancêtre unique :L’ancêtre, en haut de l’arbre, a un enfant, qui en a lui-même deux, et ainsi de suite. La descendance de cet unique ancêtre peut-elle s’éteindre ? Avec quel risque ?
Programmation d'un réseau neuronal capable d'améliorer par apprentissage ses performances aux échecs.
Le célèbre problème de Syracuse abordé avec autant de poésie et de fantaisie que de rigueur.
Une plaque de chocolat contient un carré empoisonné. Deux enfants décident de jouer à un jeu. Le premier joueur coupe la plaque en deux parts (pas forcement égales) et donne la part avec le carré empoisonné au second joueur. Le second joueur fait la même chose et ainsi de suite. Le joueur qui se retrouve avec le carré empoisonné à perdu.
Existe-t-il une stratégie pour être certain de gagner ?
Cette stratégie est-elle valable pour toutes les tailles de plaques de chocolat ?
Variante : imaginons à présent qu’une machine partage la plaque au hasard, en suivant les mêmes…
La méthode « Capture-Marquage-Recapture » ou « CMR » désigne une méthode statistique couramment utilisée en écologie pour estimer la taille d’une population animale :
· Une partie de la population que l’on estime représentative est capturée, marquée et relâchée.
· Lors d’une deuxième session, une autre partie est capturée et le nombre d’individus marqués dans l’échantillon est compté.
On peut alors estimer la taille de la population
Votre projet consiste à étudier de façon détaillée le fonctionnement et la fiabilité de cette méthode.
L’oreille est un organe extrêmement complexe et nous ne nous attacherons ici qu’à l’un de ses aspects :
Par quels procédés acoustiques et neurologiques l’oreille et le cerveau nous aident-ils à déterminer de quelle direction nous parviennent les sons que nous percevons ?
Dans votre boîte à outils : quelques connaissances en géométrie, un peu de fonctions, de l’informatique et surtout de l’imagination dans un champ d’exploration très riche…
Les élections approchent et les 20000 Français pouvant voter aux Pays-Bas pourront se rendre aux urnes. Seulement, il n’est pas possible d’ouvrir plus de trois bureaux de vote dans le pays. Si l’approche la plus commune est de les placer à Amsterdam et à La Haye dont la population est dense, des milliers de Français s’en trouvent trop éloignés pour aller voter.
Comment choisir les villes où placer les bureaux de vote pour réduire la distance que quiconque devrait parcourir pour aller voter?
Vous avez probablement déjà entendu dire que lorsqu’on joue au tic-tac-toe, le premier qui place un signe ne peut pas perdre. Pourriez-vous le prouver ?
Le tic-tac-toe n’a qu’un nombre limité de configurations possible et toujours faire le bon choix est donc possible. Il suffit d’une petite modification pour que la décision soit plus difficile. Prenez le jeu Ghanéen Achi : comment décider de votre prochaine action dans ce jeu ?
Le jeu nord-américain Picaria est assez similaire mais avec plus de positions possible. Pouvez-vous encore vous assurer de gagner à présent ?
Les systèmes de reconnaissance faciale sont de plus en plus présents dans notre quotidien. On les retrouve systématiquement dans les filtres utilisés sur nos téléphones et on les rencontrera bientôt dans les systèmes de paiement ou de retrait sans carte bancaire.
Ce projet sera ainsi consacré au développement d’un algorithme permettant d’identifier le visage d’une personne. Une fois cette tâche réussie, il conviendra de développer ses propres filtres esthétiques, par exemple rajouter un chapeau, remplacer les yeux, etc.
Et si une IA générant un modèle de prêt bancaire discriminait sur le sexe du client . Et si l’exactitude de l’IA médicale dépendait du revenu annuel d’une personne ou du PIB du pays où elle est utilisée ?
Aujourd’hui, l’IA actuelle a le potentiel de causer de tels problèmes. Ces dernières années, l’équité dans l’apprentissage automatique a reçu une attention croissante. Si lesmodèles actuels d’apprentissage automatique utilisés pour la prise de décision peuvent entraîner une discrimination injuste, le développement d’un modèle d’apprentissage automatique juste est un objectif important…
Le tour de magie se réalise sur un plateau 6x6.
Un élève remplit le tableau avec des jetons blancs et rouges, un jeton par case, à l'exception de la dernière ligne et de la dernière colonne.
L'assistant de la magicienne complète à son tour avec des jetons blancs ou rouges la dernière ligne et la dernière colonne du tableau.
En 2 secondes, la magicienne mémorise ce tableau rempli de jetons rouges et blancs puis se couvre les yeux. Elle n'y voit plus rien.
L'élève change alors la couleur d'un seul jeton.
La magicienne se découvre les…
Notre magicienne se couvre les yeux et n'y voit plus rien.
Sur un plateau 4x4, un élève remplit chaque case avec un jeton blanc ou bien un jeton roue.
L'assistant de la magicienne change la couleur d'un seul jeton et à sa suite, l'élève fait de même.
La magicienne se découvre les yeux et regarde alors le tableau, elle retrouve immédiatement le jeton changé par l'élève.
Les apprentis chercheurs expliqueront ce tour de magie.
Ensuite ils modifieront une partie des règles (dimension du plateau, qui change son jeton en 1er : l’assistant…
Peut-on additionner une infinité de nombres et cependant obtenir un résultat fini ?
Quel est le plus grand disque que l'on puisse recouvrir avec des disques, tous identiques ?
Écrire la table de multiplication par 9. Entourer les chiffres des dizaines, puis les chiffres des unités. Est-ce un hasard ? Jusqu’où est-ce que ça marche ? Si, comme les chats, nous avions 4 doigts au bout de chaque patte, peut-être que nous compterions en base 8. Comment se comporterait la table de 7 dans une telle base ?
Un nageur est en difficulté alors que vous bronzez sur la plage. Quelle trajectoire devez-vous prendre pour lui porter secours le plus rapidement possible ?
Vous disposez de n sacs fermés dont chacun contient une certaine somme d'argent. On suppose que toutes ces sommes d'argent sont différentes et non connues. On vous propose alors de jouer au jeu suivant : vous ouvrez un sac, puis un second, puis un troisième etc. A chaque instant, vous avez le droit de choisir entre deux options : soit vous prenez l'argent du sac que vous venez de choisir et le jeu s'arrête, soit vous le refusez et vous continuez à ouvrir le sac suivant. Vous ne prenez que le contenu du dernier sac ouvert.
Quelle est la meilleure façon de jouer…
Une partie du plan est dite Bi-dis si les distances entre ses différents points ne prennent que deux valeurs.
Que peut-on dire du nombre de points d'une partie Bi-dis ?
Un puissant empereur a capturé les quatre filles d'un roi. Chacune de ces princesses est promise à un vaillant chevalier.
L'empereur a enfermé chaque princesse dans une chambre de son château puis il a inscrit au hasard les prénoms des princesses sur les portes. Quand les chevaliers se présentent au château, l'empereur leur propose d'entrer au château l'un après l'autre et de n'ouvrir que deux des quatre chambres qu'ils referment après leur passage. Après concertation entre eux, l'empereur leur interdit de communiquer. Ils auront alors…
Une partie du plan est dite Dis-ent si les distances entre ses différents points sont des entiers naturels.
1. Que peut-on dire des polygones dont les sommets forment une partie Dis-ent ?
2. Peut-on trouver des parties Dis-ent infinies ?
Barnabé a délimité dans son jardin une surface carrée où il souhaitait planter ses choux. En le voyant faire, sa femme lui demande, amusée, s'il était capable de délimiter une surface carrée en mettant chaque coin sur le bord du jardin. Barnabé lui répond qu'il n'y arriverait pas à cause de la forme du contour du jardin. Barnabé a-t-il raison ?
La compagnie Mathexcourrier a décidé que le prix d'envoi d'un objet est proportionnel à son profil. Pour une enveloppe, le profil est la longueur de son contour. Si un objet a la forme d'un parallélépipède, alors son profil est la somme de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur.
Caroline souhaite envoyer par Mathexcourrier une lettre et un paquet. Elle pense faire des économies en mettant sa lettre dans une enveloppe avec un contour moins long et son paquet dans une boîte d'un profil plus petite. Peut-elle y arriver ?
C’est le jour des élections. Les électeurs et électrices, toutes et tous habillé·e·s en noir, sont devant le bureau de vote, bien rangé·e·s sur une seule ligne.
Mais des militant·e·s font pleuvoir des tracts qui perturbent les votant·e·s : si un tract parvient à une personne, elle devient rouge de colère, ainsi que ses deux voisines à qui elle communique le contenu du tract. Par contre, si une personne déjà toute rouge reçoit un tract, cela la fait réfléchir, et elle redevient noire, et ses voisines changent de couleur également (passant au rouge ou au noir, selon leur état antérieur…
Un ami m’a demandé de continuer ce qu’il avait commencé à écrire :
1
11
21
1211
Voyez-vous ce qu’il attend pour les lignes suivantes ?
Il m’a dit de bien observer les lignes que je pourrais écrire, car je pouvais y remarquer des choses. . .
On fabrique un nouveau jeu de cartes avec hauteurs et des couleurs complémentaires.
Le but est de trouver la stratégie la plus efficace pour gagner à tous les coups.
On verse une quantité maximale de sable sur une plaque horizontale.
Triangles, rectangles, plaque "en L", le tas de sable va avoir une forme différente. Nous vous invitons à découvrir lesquelles.
Si on prend deux plaques rectangulaires de surface égale, va-t-on avoir la même quantité de sable ?
Dans un damier carré, on dit que deux cases sont voisines si elles ont un côté commun et on décide que les cases sont noircies selon la règle d’évolution suivante : toute case dont au moins deux des voisines sont noires à une certaine étape est noircie à l’étape suivante.
Peut-on prédire quelle partie du damier sera finalement noircie ? Peut-on reconnaître les dispositions de départ qui permettent de noircir tout le damier ?
Boucles, nœuds, arcs... Pas facile de ne pas s'emmêler les pinceaux !
Posez à plat un élastique (ou une boucle en ficelle) devant vous.
Amusez-vous maintenant à le déformer en le tordant pour faire apparaître une nouvelle boucle ou en rabattant une partie de l'élastique sur lui-même...
Des règles se cachent-elles derrière ces nœuds et ces boucles que nous faisons apparaître ???
Que font Tom et Léa avec un tube de colle forte et tout un tas de dés cubiques ordinaires ?
Ils les alignent en collant deux faces qui représentent le même nombre (non, quand même, ils ne font pas tout à fait n’importe quoi !). Oh les vilains garnements, pensez-vous !!!
La punition tombe : ils doivent calculer la somme de tous les points des faces encore visibles des dés !
"Pfff ! Pas que ça à faire, moi : je dois filer au congrès MATh.en.JEANS !" dit Tom. "Trouvons des formules !" dit Léa.
Au fait, pourront-ils obtenir 2021 ?... 2022 ?...
On note I(n), un nombre composé de n fois le chiffre 1. Par exemple I(3) = 111. On se propose d’étudier D(I(n)), l’ensemble des diviseurs de I(n). Pour I(3), D(I(3)) = {1, 3, 37, 111}.
Certains I(n) sont-ils des nombres premiers ? Y-a-t-il une formule qui lie le nombre n au nombre de diviseurs ?
Le créateur d'un petit jeu de société a besoin de créer un système monétaire. Pour avoir plus de chances de voir son projet retenu, il souhaite réduire les coûts et limiter au nombre de deux les valeurs des billets (son système ne comportera pas de pièces).
Peut-il envisager un système comportant exclusivement des billets de valeur 5 et 11 ? Et avec d'autres valeurs ?

Un artiste contemporain veut réaliser une œuvre sur un support rond, en plantant des clous sur le pourtour et en tendant des fils entre les clous. Il se propose de peindre chaque zone d’une couleur différente. De combien de couleurs aura-t-il besoin ?
En Antarctique, une base de scientifiques est en panne de carburant. La base la plus proche est située à 1000 km et peut se permettre de leur céder 3000 litres de carburant pour les dépanner. Dans cette deuxième base, ils disposent d’un véhicule pouvant transporter au maximum 1000 litres (réservoir compris). Du carburant peut être déposé en chemin. Ce véhicule consomme 1 litre par kilomètre parcouru sur la banquise.
Quelle quantité de carburant ce véhicule pourra-t-il acheminer à la base scientifique ?
Sous le réservoir de refroidissement du réacteur 3 de la centrale nucléaire de Fukushima, des ingénieurs de Tepco ont constaté l'existence de micro-fuites d'eau contaminée par du césium hautement radioactif. Ils ont réussi à colmater les fuites du réservoir et décident d'envoyer un robot pour aspirer les gouttes radioactives.
Le robot n’est pas pilotable à distance en raison de la radioactivité présente dans le lieu. Doté d’une grande autonomie, il est prévu pour démarrer du centre de la pièce rectangulaire (de 12 m sur 8 m) ; il avance ensuite par déplacements de 10 cm…
Dans une grille rectangulaire, on cherche à exclure une forme donnée en noircissant des cases.
Dans une grille rectangulaire, on cherche à exclure des forme de type Tetris en noircissant des cases.
On place des cartes noires et blanches pour remplir une grille rectangulaire. À chaque tour de jeu, on retire une carte blanche, et seulement une carte blanche. Cela a pour effet de faire changer de couleur les cartes voisines. Est-il possible de retirer tous les cartes de la grille?
Des fantômes sont placés sur une grille rectangulaire. Puis Pacman est placé à son tour. Les fantômes cherchent à dévorer Pacman: ce dernier arrivera-t-il à leur échapper?
C'est bien connu, nous avons des préférences dans l'utilisation de nos pièces de monnaie: nous préférons les pièces avec certains montants.
Connaissant cette règle de préférence et le montant à payer pour un achat, saurons-nous maximiser notre satisfaction en utilisant les bonnes pièces?
Sur une grille carrée de n sur n on dispose un certain nombre de grains de sables sur chaque case.
Lorsqu'il y a plus de 4 grains sur une case, une avalanche se produit: 4 grains tombent sur les 4 cases adjacentes.
Si l'avalanche se produit sur un coin, 2 grains disparaissent de la grille; pour une avalanche se produisant sur un bord, un grain disparaît de la grille.
Parvient-on toujours à un état stable ?
Pour une grille 2x2, combien d'avalanches au minimum et au maximum avant un éventuel état stable ?
Même question pour une grille 3x3 ?…
Un bateau, échoué sur une plage, peut se déplacer sur le sable (coût proportionnel à la distance parcourue) ou sur l'eau (gratuitement).
Suivant le point d'arrivée, est-il plus rentable de passer par la mer ou de rester sur le sable ?
On cherche l'ensemble des points d'arrivée pour lesquels les deux possibilités donnent le même coût dans les configurations suivantes:
- plage rectiligne et infinie;
- cap rectiligne et infini;
- presqu'île;
- île.
1. Trouver des façon d’écrire tous les chiffres en utilisant exactement 4 fois le chiffre 4 avec les quatre opérations +, -, × et /.
2. Y en a-t-il d’autres ? Combien dans chaque cas ?
3. Peut-on faire de même avec les autres chiffres (4 fois le chiffre 5,...) ? Ou même en utilisant 5 fois le chiffre 5, 6 fois le chiffre 6,... ?
4. Combien y-a-t-il de possibilités à chaque fois ?
5. Et si l’on fixe un autre nombre de fois chaque chiffre ?
6. On veut maintenant obtenir chaque chiffre en utilisant un minimum de fois chaque autre chiffre !
On dit qu’un nombre entier est un triplet s’il peut s’écrire comme la somme de trois nombres entiers
naturels a, b et c tels que b soit un multiple de a et c soit un multiple de b.
Exemple : L’entier 7 est un triplet car 7 = 1 + 2 + 4.
1. Existe-t-il d’autres triplets ?
2. S’il en existe, trouver des propriétés satisfaites par ces nombres ?
On se donne un mot binaire constitué des symboles 0 et 1. A partir de ce mot, on construit un nouveau mot plus court, qu'on appelle mot dérivé, en remplaçant chaque paire consécutive de deux symboles par "leur somme" définie ainsi : 0+0=0 ; 0+1=1 ; 1+0=1 ; 1+1=0. Par exemple, si le mot de départ est 001011, alors son mot dérivé est 01110.
Ensuite on répète cette opération plusieurs fois jusqu'à tomber sur un mot de longueur 1. On obtient un triangle dérivé.
Peut-on trouver des triangles dérivés qui soient balancées, c'est-à-dire contenant autant de 0…
Au commencement du jeu, 34 disques apparaissent : 10 noirs, 13 rouges et 11 verts. Quand le joueur clique sur deux disques de couleurs différents, ils deviennent tous les deux de la troisième couleur. Par exemple, si le joueur clique sur un disque noir et un disque vert, ces deux disques deviennent rouges ; il se retrouve donc avec 9 disques noirs, 15 rouges et 10 verts.
En répétant cette opération plusieurs fois, est-il possible de faire en sorte que les 34 disques soient tous de même couleur ? Que se passe-t-il si on remplace 10, 13 et 11 par trois autres nombres ?
Un historien a découvert sur un vieux parchemin des calculs étranges.
- Pouvez vous l’aider à déchiffrer ces calculs ?
- Sont-ils justes ? Pourquoi ?
On considère dans ce problème des dessins. Vu par un mathématicien, un dessin est un ensemble de points et de traits qui relient les points. Par exemple, je peux dessiner une maison, représentée avec 5 points et 6 traits.
Dans notre vision, un seul trait peut relier deux même points, et les traits peuvent se croiser sans problème. Dans ce problème, on souhaite faire des dessins avec le plus de traits possibles, pour un nombre donné de points, et on se pose la question du nombre de traits maximum possible. Parce que ce serait trop simple, on s'ajoute aussi une contrainte…
Dans une grille, combien mettre d'obstacles pour empêcher chacune des pièces classiques du tétris (tétraminos) de se poser ?
Le cas envisagé est quand les pièces se "téléportent" sur la grille, mais on pourra se demander pourquoi il semble plus intéressant que le cas où les pièces tombent comme dans tétris.
On peut imaginer le cas ou la pièce peut ou ne peut pas être tournée sur elle même, si on s'intéresse à une seule pièce ou plusieurs différentes en même temps (voire toutes les pièces en même temps), et ce selon les différentes tailles de grille.
Combien de chiffres dans l'écriture de 2^n ? Avec quelle fréquence ? Recherche de motifs ...
Un anti-segment est défini par deux points distincts, c'est (AB) - [AB] .
En combien de parties au maximum peut-on découper le plan avec deux anti-segments ? avec trois ? Et avec n anti-segments ?
On considère la suite de chiffres suivante (à chaque étape, si on lit ce qu'on écrit, cela décrit la ligne précédente) : 2, 12, 1112, 3112, ...
Quel sera le nombre à la n-ième étape ? Quelles sont les proportions de chacun des chiffres ? et si on commence par 3 au lieu de 2 ?
Tout le monde (n personnes) se place sur un petit cercle pour former une ronde mais, au lieu de donner la main à ses voisins, chaque participant donne la main à n'importe quel autre participant : on obtient ainsi un enchevêtrement de bras, et le but du jeu consiste à dénouer le tout sans que les participants ne lâchent jamais les mains de leurs partenaires.
Est-ce possible ?

On construit un arbre binaire récursivement en traçant un ”tronc” de longueur 1, puis en traçant à l'extrémité de ce tronc deux branches à 120°, de longueur λ et en réitérant ce procédé en faisant partir de chaque nouvelle extrémité deux branches à 120°, de longueur λ fois la longueur des branches précédentes.
Peut-on itérer le dessin indéfiniment sans que les sous-arbres de gauche etde droite ne finissent par s’intersecter ?
En 2001 les règles du tennis de table ont changé. Auparavant un set se jouait en 21 points (avec 2 points d’écart) et il fallait gagner 2 sets pour remporter le match. Aujourd'hui, les sets se jouent en 11 points (toujours avec 2 points d’écart) et la partie se fait en 3 sets gagnants. Quel est l'impact de ces changements de règles ? Cela avantage-t-il les bons joueurs ? Ce modifie-t-il la durée des matches ?
On s'amuse à empiler des kaplas et les décalant successivement afin de construire une "arche de pont".
Quelle est la longueur maximale du pont que l’on peut ainsi construire sans que tout ne s’effondre ?

Le réseau informatique d’une entreprise est composé de n postes tous reliés entre eux (pas forcément directement). Pour des raisons budgétaires, il n’existe qu’un seul chemin permettant d’aller d’un poste à un autre. Un hacker s’est introduit dans le réseau et, pour chaque poste, il a une probabilité p de réussir à le pirater et d’interdire les communications de ce poste vers les autres.
A l’issue de ce piratage, combien reste-t-il de groupes de postes encore reliés entre eux en moyenne ?
Dans une partie de pierre-feuille-ciseaux avec plus de 2 joueurs, les joueurs choisissent simultanément un des trois coups possibles.
A chaque tour, si seuls deux coups sortent, les joueurs perdants sont éliminés et un tour est réalisé avec les joueurs restants.
Combien de tours sont nécessaires en moyenne pour qu'un joueur soit déclaré vainqueur ?
Un cycliste pressé roule à sa vitesse maximale 9m/s. Il aperçoit soudain un feu bicolore (soit rouge, soit vert). Le cycliste sait que le feu change de couleur régulièrement toutes les 20 secondes. L'objectif du cycliste est de rentrer chez lui au plus vite.
• Lorsqu'il freine il est capable de diminuer sa vitesse de au mieux 1m/s en une seconde ; lorsqu'il accélère, il est capable d'augmenter sa vitesse de 1m/s en une seconde. Si le feu est aperçu d'assez loin, par exemple 500m, comment peut-il se débrouiller pour freiner le moins possible ?
• Comment…
Le jeu du pavage se joue à 2 joueurs. Le terrain de jeu est un quadrillage borné. A tour de rôle, chaque joueur doit placer un pavé de taille 1x2 sur 2 cases libres adjacentes. Le premier joueur qui ne peut plus placer un pavé a perdu.
• Le quadrillage est un carré de taille 3x3. Est-il possible de jouer de façon à gagner à coup sûr ?
• Que se passe-t-il pour d'autres tailles ou formes de terrains de jeu ?
• Et avec des pavés de formes différentes ?
Peut-on recréer un tableau comme celui de Vasarely avec des nombres de carrés différents ?
Deux seigneurs cherchent à étendre leurs territoires respectifs en construisant des routes pour relier des villages entre eux... Mais gare à celui qui construira la route de trop !!!
On étudie la famille de suites définies par la relation de récurrence u_(n+1) = a × u_n × (1 − u_n) pour diverses valeurs du paramètres a, et diverses valeurs de u_0.
On dispose d’un nombre fini de pièces d’or, initialement réparties en un nombre fini de tas. On modifie la répartition de la façon suivante : on retire une pièce d’or dans chaque tas et les pièces retirées forment alors un nouveau tas. On répète ensuite l’opération précédente sur la répartition ainsi obtenue, et ainsi de suite. Cette procédure s’arrête-t-elle, et si oui, en quel sens ? Y a-t-il toujours une répartition finale des pièces d’or et combien de transformations sont nécessaires pour l’atteindre ?
Dans une soirée, il y a N ≥ 1 invités à l’instant N. A l’instant suivant, un nouvel invité arrive à la fête. Des groupes se créent dès le début de la soirée selon la règle suivante : à l’instant N + 1, le nouvel invité arrive parmi les N personnes déjà présentes et décide de manière aléatoire soit de rejoindre un groupe déjà existant, soit de créer un nouveau groupe.
Quelle sera la répartition des groupes à l'instant N ?
Dans le lointain village de Macondo, les habitants font face à la peste de l’oubli qui est subitement apparue dans la région. Ils semblent se remémorer tous les nombres qu’ils connaissaient auparavant, comme 0, 1, 100, −3, et même π et √2, mais, ils ont oublié comment calculer. Désormais, ils appellent ’somme’ de deux nombres le maximum entre ces deux nombres et ’produit’ de deux nombres l’ancienne addition entre ces deux nombres.
Comment fonctionne ce nouveau mode de calcul ?
Comment est construit ce jeu ? Peut-on choisir le nombre de cartes ou de symboles par carte librement ?
Le capitaine du navire Coriolis navigue dans un lointain archipel et transporte des voyageurs parmi N ≥ 1 îles. Son port de départ et d’arrivée est toujours le même et se situe sur l’île numéro 1. Il connaît très mal la région et choisit l’itinéraire de façon aléatoire en se laissant porter par les vagues. Il visite chaque île une et une seule fois. On suppose que les îles sont alignées dans l’ordre croissant de leur numéro (1, 2, 3, …, N) et que deux îles consécutives sont distantes d’une longueur d > 0.
- Y a-t-il une longueur maximale ou minimale parcourue par le Coriolis ?…
(a) Une grenouille se déplace sur un quadrillage à l'exception des 2 coins qui ont été retirés. La grenouille peut sauter sur les 4 cases adjacentes.
Elle souhaite parcourir tout le quadrillage sans repasser 2 fois par la même case. Un tel parcours est-il possible ?
(b) Et si les 2 cases retirées n'étaient pas dans les coins ?
(a) On suppose qu'une calculatrice possède une touche supplémentaire qui calcule la somme des chiffres d'un nombre. Que se passe-t-il si on prend un nombre et qu'on appuie plusieurs fois sur une de ces touches ?
(b) On suppose qu'une calculatrice possède une touche supplémentaire qui calcule le produit des chiffres d'un nombre. Que se passe-t-il si on prend un nombre et qu'on appuie plusieurs fois sur une de ces touches ?
(c) On suppose qu'une calculatrice possède une touche supplémentaire qui calcule la somme des carrés des chiffres d'un…
(a) Deux personnes se trouvent dans un grand champ plat sans obstacle et veulent se rejoindre le plus rapidement possible en marchant à la même vitesse. Quel chemin doivent-elles prendre et où se trouve leur point de rencontre ?
(b) Pour 3 personnes ?
(c) Pour 4 ?
On souhaite reproduire la tour de Hanoï sans jamais mettre un pion au-dessus d’un autre plus petit. Combien de coups au minimum peut-on réaliser ?
Vous disposez d’une corde de longueur donnée et de 3 piquets. Où placer ces piquets pour créer un espace délimité par la corde qui soit le plus grand possible ? Même question avec 4 piquets, 5…
Une souris nage dans une piscine circulaire. Un chat, qui se déplace 4 fois plus vite que la souris ne nage, cherche à la manger.
Si la souris atteint le bord alors que le chat n'y est pas, elle court beaucoup plus vite que lui et s'échappe.

La souris a-t-elle la possibilité de s'échapper ?
Quelle est la longueur maximale que l'on peut atteindre en faisant un escalier de Kapla avec un nombre infini de Kapla ?

Les élèves ont experimentés avec des marches régulières et avec des " marches hautes" de plusieurs Kapla.
En jouant suivant le principe de la martingale (je joue 1, si je gagne je double ma mise ; si je perds la mise suivante est doublée) :
- Combien de fois d'affilée peut-on perdre au maximum en démarrant avec 100€ ?
- Quel est le bénéfice (gain - total des mises) en une série de jeux (on joue jusqu'à obtenir un gain) ?
Caillou doit passer deux tests pour avoir le droit dʼentrer à lʼécole des dresseurs Poukimons, qui permet ensuite de partir en quête de plus de Poukimons et dʼapprendre à permettre à ses Poukimons de devenir plus beaux, plus forts, plus intelligents ou encore plus drôles.
Le premier test se déroule comme suit : il est mis face à n Poukimons alignés, numérotés de 1 à n. Chaque Poukimon peut prendre la position « Face » ou « Dos », et tous les Poukimons sont au départ en position « Dos ». Lorsque lʼon ordonne à un Poukimon de passer à lʼautre position, les Poukimons directement voisins…
Chouchou, souris magicienne de son état, arrive à Veggitown, où ne poussent que des carottes, des courgettes et des choux de Bruxelles. Chouchou adore les choux, mais elle déteste les carottes et les courgettes. Comme Chouchou est magicienne, elle parvient à concocter un sort qui lui permet de transformer une paire de légumes différents en le troisième légume manquant : une carotte et une courgette deviennent un chou, un chou et une carotte deviennent une courgette, et un chou et une courgette deviennent une carotte.
Ce nouveau sortilège de Chouchou lui permettra-t-il à coup sûr…
Pour se distraire, l'empereur intergalactique Thanos a crée un jeu bien cruel. Il kidnappe au hasard 2000 habitants de son empire, les regroupe dans une salle, et leur laisse 5 minutes pour délibérer de la conduite à tenir lors de l'épreuve suivante : un bourreau, qui aura suivi leur conversation, leur bandera les yeux puis placera un chapeau de couleur rouge ou jaune sur leurs têtes. Ensuite, chaque individu devra monter tour à tour sur une estrade et crier une couleur : si celle-ci est la couleur de son chapeau, il survivra et sera libéré, sinon il sera torturé pour le reste de…
L'Amida-Kuji est le moyen traditionnel de faire des tirages au sort au hasard au Japon, que ce soit entre amis ou pour des loteries de plus grande échelle. On procède comme suit : 

- On trace autant de lignes verticales qu'il y a de participants, et l'on affecte un lot (ou « gagné/perdu ») en bas de chaque ligne, que l'on cache ensuite.
- On trace « au hasard » des lignes horizontales entre deux lignes verticales voisines, à différentes hauteurs. La seule condition est que deux lignes horizontales ne peuvent pas se toucher.

- Un-e participant-e…
Lors d'un trajet entre Lille et Marseille, mon voisin de TGV me propose le jeu suivant : l'un après l'autre, chacun de nous choisit un nombre entre 1 et 12, et l'ajoute à la somme des nombres choisis jusqu'alors. Le premier d'entre nous qui atteint exactement 145 offrira alors un café à l'autre.
Après quelques instants de réflexion, j'accepte de jouer... sachant que je n'ai pas du tout d'argent sur moi.
Question : Comment faire pour éviter de m'endetter auprès d'un inconnu ?
Avec les 60 pièces de la boîte de blocs logiques (5 formes, 3 couleurs, 2 tailles et 2 épaisseurs) sur un rectangle de 4 x 3 on marque un point pour une pièce posée dans la longueur ayant une différence avec la précédente et deux points si on la pose dans la largeur. On jour chacun son tour et on compte les points quand le rectangle est recouvert! On jouera ensuite avec 2 différences et 3, puis avec 3 et 4 différences.
Prenons un nombre entier quelconque (ex : 143), ajoutons lui la somme de ses chiffres, nous obtenons 151 (143 + 8). Recommençons avec 151, nous obtenons 158, puis 172, 182, 193.....
Nous dirons que 143 engendre le nombre 151 ; qui est donc son descendant, ou que 143 est un ancêtre de 151.
Certains nombres possèdent un seul ancêtre, d'autres plusieurs ; enfin, ceux qui n'en ont aucun sont les nombres à l’Origine de leur famille....donc le Chef de famille..
Explorez cette généalogie originale, ses ascendants, ses descendants…comment les reconnaître… ?
Nous gravissons tous les jours des escaliers ! Cherchons une relation entre le nombre de marches et le nombre de briques !
Pablo Picasso était un grand artiste ! Quel lien entre certaines de ces oeuvres et les Mathématiques ?
Pourquoi les abeilles construisent-elles des alvéoles en forme hexagonale ?
Prenez une feuille, et découpez dedans un ruban. Collez les bouts opposés du ruban de sorte à former un anneau. À présent, prenez une deuxième feuille, et découpez dedans un autre ruban. Cette fois-ci, avant de coller les bouts, torsadez le ruban autour de son plus grand axe de sorte à ce qu’un des deux bouts soit retourné par rapport à l’autre. Comparez les deux rubans fermés ainsi obtenus.
À présent, reprenez le premier ruban et découpez-le dans le sens de la longueur, sans forcément découper pile au milieu. Faites pareil pour le deuxième. Éventuellement, faites pareil pour un…
Prenons deux nombre réels a et b. Ce couple de nombres (a,b) peut permettre de définir le point M, de coordonnées (a,b) d’un plan noté P. Le couple (a,b) peut également permettre de définir la droite d, d’équation y = ax + b, du plan noté D. On dira que la droite d est duale du point M, et que le plan D est dual du plan P, qui sera appelé le plan primal.
Considérons à présent deux points de P, et la droite qui les rejoint. Tracer dans D les droites qui sont les duales de ces deux points. Ces droites ont un point d’intersection. Quelle est la droite duale de ce point d’intersection ?…
Je pense à un polynôme P de degré quelconque à coefficients entiers naturels. Vous avez le droit de me demander la valeur de l’évaluation de P en un nombre réel de votre choix. Je dois vous répondre. Après avoir entendu cette réponse, vous pouvez de nouveau me demander la valeur de P en un nombre réel de votre choix. Je vous réponds de nouveau. Vous devez à présent me donner l’expression explicite complète de P, c’est à dire la valeur de chacun de ses coefficients. Comment faire? Est-ce que ça marche pour des polynômes à coefficients non entiers naturels ?
On dispose d’un ascenseur, avec des étages numérotés de 1 à N. Cet ascenseur est programmé avec une règle étrange : il peut seulement aller d’un étage à un autre si le numéro de l’un est un multiple ou un diviseur de l’autre. On se demande quel est la plus longue promenade que l’on puisse faire dans cet ascenseur, sans repasser deux fois par le même étage.
Et si l’on est plusieurs et on veut visiter tous les étages, sachant qu’une personne ne peut repasser par un étage déjà visité (par elle-même ou par une autre), combien de personnes sont-elles nécessaires ?
Vous trouvez une table de 9 ampoules disposées en grille de 3 lignes et 3 colonnes. Chacune des 6 rangées (les 3 lignes et les 3 colonnes) dispose d’un interrupteur qui change l'état éteint/allumé de toutes les ampoules de cette rangée. Vous trouvez la table avec l’ampoule du centre restée allumée.
Écolo de nature, vous voudriez l’éteindre. Est-ce possible ?
Voici d’autres questions que l’on pourrait se poser :
• À partir de quelles configurations initiales peut-on éteindre toutes les ampoules ?
• Peut-on écrire un algorithme qui le fasse à notre place ?…
Quelles figures géométriques peut-on obtenir en donnant un seul coup de ciseaux dans une feuille pliée ?
On trace dans le plan les points de coordonnées polaires (1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), … Il semble qu’il se dégage une spirale à 6 bras du nuage de points.
Si on prend un peu de hauteur, la spirale semble avoir 44 bras ! Pouvez-vous expliquer ce mystérieux phénomène ?
Que se passe-t-il si on ne considère plus que les points ayant pour coordonnées des nombres premier ?
Comment peut on déterminer si une suite de caractères est aléatoire ?
Vous êtes invité dans un restaurant où vous voyez défiler des plats devant vous. Vous avez le droit d’en manger un seul.
Lorsqu’un plat passe devant vous, il ne passe qu’une fois. Si vous ne le sélectionnez pas, vous ne le mangerez pas. Il y a 100 plats au total.
Comment choisir le plus appétissant ? Proposer une stratégie.
On ne dispose que des chiffres 0 et 1, sur lesquels existe une opération d’addition un peu particulière : 0●0=0 1●0=1 0●1=1 1●1=0
On écrit au hasard une suite de 0 et de 1, puis, à la ligne en dessous, on effectue la série d’additions des 1er et 2e chiffres, 2e et 3e chiffres, 3e et 4e, etc. Et ainsi de suite de ligne en ligne. Cela forme un triangle de 0 et de 1.
A quelle condition de départ aura-t-on autant de 0 et de 1 dans le triangle ?
Le but est de faire des simulations du temps d'écoulement des élèves de la salle A à la salle B et à partir des simulations dresser une loi du temps en fonction de chaque paramètres.
Comment mon correcteur d'orthographe fait-il pour me proposer une liste de mots quand je fais une faute dans un mot ? On vous demande de construire une distance entre les mots, c'est-à-dire qui vérifie d(A,B) = d(B,A), d(A,B) = 0 ssi A = B, d(A,B) ≤ d(A,C)+d(C,B).
The aim of this article is an in-depth study of Lill’s method, an ingenious graphical method of finding the roots of polynomials of any degree developed by Austrian engineer Eduard Lill and
published on the Nouvelles annales de mathematiques in 1867 where the proof is left to the reader. Initially we analyze the original method to better understand how it works and we produce some proofs about its fundamental properties and a couple of results: we recognize a nice connection with the well known Ruffini’s method for factoring polynomials and we use its geometrical properties to…
Sangaku are Japanese geometrical problems which were placed as offerings at Shinto shrines or Buddhist temples in Japan several centuries ago. The aim of our work is to study two of
these Sangaku regarding different configurations of touching circles and to eventually show their connection. Essentially both problems ask to find a circle given a starting configuration built using other circles. Regarding the first problem we first show how to solve it and then, by infinitely iterating the initial geometrical configuration, we build a binary tree structure for the radii of all the…
On me trace deux polygones sur une feuille.
J'aimerais savoir si je peux découper, et reconstituer le puzzle pour obtenir le second.
Étant donnés certains points particuliers d'un triangle, le but est de reconstruire le triangle.
Quelles constructions sont licites ? Règle et compas ? Origami...
Les algorithmes d'appariement sont très utilisés de nos jours, notamment Parcoursup. On étudie certaines de leurs propriétés (Pareto-optimalité ; stabilité ; non manipulabilité ; ... )à travers des exemples.
Sur une scène de crime, on trouve une partie de puissance 4. Celle-ci a- t-elle été réellement jouée ?
2 joueurs doivent découper et supprimer une partie de la grille proposée. En fonction de la taille de la grille, qui a une stratégie gagnante ? laquelle ?
On se déplace dans une grille en sommant les nombres entiers positifs rencontrés dans chacune des cases. On cherche à minimiser la somme .
A quelle condition une boite rectangulaire peut elle rentrer dans une autre ?
Combien peut on faire entrer d'objets dans une boite de même forme mais de dimension différente que les objets ?
Peut on toujours paver une forme tracées à partir d'un quadrillage par des petites formes rectangulaires (dominos) de deux cases consécutives ?
Observer et modéliser un cœur de tournesol (la disposition des graines)
Modéliser la croissance d'une plante dont la croissance obéit à certaines règles.
Déplacement d'un robot à l'aide d'instructions élémentaires et de récursivité.
Construire des dessins déformés lisible dans un objet déformant réfléchissant et réfléchir aux règles de déformation.
Deux amis participent au jeu suivant : on dispose d’un lot de 6 jetons. Le premier joueur retire m jetons, (1 ≤ m < 6), le second retire au moins 1 jeton, mais au plus 2m. À chaque tour, chaque joueur doit retirer un nombre de jetons au moins égal à 1 et au plus égal au double du nombre de jetons que vient retirer l’autre joueur. Le joueur qui retire le (ou les) dernier(s) jeton(s) a gagné.
Y-a-t-il une stratégie gagnante pour le premier joueur ?
Que se passe-t-il si l’on part d’un lot de 8 jetons ? de 10 jetons, de 13 jetons, de n jetons ?
Vous êtes invités à un tournoi de billard d’un nouveau genre où le billard a la forme d’un carré de côté 1. Posez la boule à un endroit quelconque du billard, puis frappez-là. La trajectoire de la boule est vraiment très étrange : lorsque qu’elle touche le bord du billard, au lieu de rebondir, elle disparaît et ressort sur le côté opposé avec le même angle de trajectoire. La boule ne s’arrête jamais.
Comment faut-il frapper la boule de billard pour que la boule passe par le plus de points possibles à l’intérieur du carré ? Essayer de faire un petit programme informatique qui visualise…