Liste des sujets

Le but est de déterminer s'il est possible de vider une banque, matérialisée par un carré de 2x2, en enlevant 1 pièce à la fois et où chaque retrait génère 2 nouvelles pièces, dans une configuration définie.
Si on prend un jeu de cartes rangées et qu’on le mélange, en moyenne, combien de cartes vont rester à leur place ?
Un voyageur décide de visiter toutes les villes sur une liste. Il se demande s’il existe un plus court trajet pour y arriver.
Peut-on écrire tous les nombres rationnels sous forme de somme de fractions égyptiennes (numérateur valant 1) ?
Comment transformer un nombre rationnel compris entre 0 et 1 en somme de fractions égyptiennes ?
Recherche du nombre de trous nécessaires pour retrouver un trésor sur une île, trésor situé à égale distance de deux arbres et de la côte.
Déterminer dans une montante descendante aux échecs, le nombre d'étapes nécessaires pour que le niveau des joueurs soit reflété par leur place.
Déterminer le nombre nécessaire de balles pour un tournoi avec ou sans repêchage aléatoire.
Déterminer l'ensemble des chemins d'un point du bord d'une région à tous les autres points de la région en suivant des règles de déplacement sur un pavage hexagonal colorié en noir et blanc.
Déterminer, à l'intérieur d'un triangle, la trajectoire de fusées qui réajustent leurs visées au bout d'un certain temps.
Un avion consomme pour simplifier une quantité constante de litres de carburant par kilomètre. Son réservoir est de taille fixée. Il est accompagné d'un groupe d'avions identiques qui servent à le ravitailler. Les avions dont le réservoir est vide abandonnent le groupe et atterrissent. On veut une stratégie pour aller le plus loin possible avec un nombre d'avions n fixé.
  Quel est le plus grand entier s'écrivant avec des sommes et produits de N chiffres 1 ? De combien de façons peut-il être obtenu ? Que dire si l'on remplace 1 par 2,3,. . . ?
On place des cartes noires et blanches pour remplir une grille rectangulaire. À chaque tour de jeu, on retire une carte blanche, et seulement une carte blanche. Cela a pour effet de faire changer de couleur les cartes voisines. Est-il possible de retirer tous les cartes de la grille?
Nicolas laisse malencontreusement tomber un poids de 40 kg et celui-ci se brise en 4 morceaux. Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos. En utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg. Quelle est la masse de chaque morceau ?
De combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?
Quelle est la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts inférieurs à 2023 ? Et le plus petit entier n tel qu'on puisse trouver des entiers
distincts, inférieurs à n dont le produit est égal à un gogol, ou à un gogolplex ?
Prenez un nombre à au moins deux chiffres au hasard, et multipliez ses chiffres. Si le nombre obtenu a encore au moins deux chiffres, répétez l'opération ; et ainsi de suite ... Observez les résultats obtenus.
Reprenez au début, mais cette fois en additionnant les chiffres au lieu de les multiplier.
Un ascenseur est modélisé par un élément mobile qui peut contenir des personnes. A l’intérieur de l’ascenseur se trouve un panneau de commandes sur lequel on peut appuyer pour indiquer qu’on désire se rendre à un étage particulier. A chaque étage il existe un (ou deux : monter/descendre) boutons permettant d’appeler l’ascenseur. Il ne s’agit pas du tout de modéliser le fonctionnement mécanique de l’ascenseur, mais de proposer un algorithme/protocole permettant de le faire fonctionner en considérant des scenarii d’arrivée de personnes qui ont chacune un objectif : arriver à l’étage qui les…
Le jeu se joue sur un damier 9 × 9 (les cases et côtés jouent différents rôles), et se joue avec 2 joueurs. Chaque joueur dispose d’un pion et de 10 murs.
But du jeu : chaque joueur part de son côté, case centrale. Le but du jeu est de traverser en premier le damier (en arrivant sur n’importe quelle case de l’autre côté du damier).
Règle du jeu : un pion peut avancer d’une case selon les 4 directions cardinales (pas de diagonales), il peut sauter au dessus du pion adverse, mais ne peut pas traverser les murs. A son tour, chaque joueur peut :
- Soit faire bouger son pion…
Le jeu se joue sur un damier 4 × 4, et se joue avec 2 joueurs. Chaque joueur dispose de 2 pions de 4 formes différents (cube, sphère, cône, cylindre)
But du jeu : le joueur gagnant est le premier joueur à poser la 4e pièce formant une ligne, une colonne ou un quartier avec 4 formes différentes.
Règle du jeu : la seule règle est qu’un joueur ne peut pas poser une forme sur une ligne, colonne ou quartier où le joueur adverse a déjà posé cette forme (en revanche le joueur peut tout à fait poser une forme qu’il a déjà posée). Si jamais un joueur ne peut pas jouer (rare) il perd.…
Peut-on transformer une grille en la faisant passer de toute noire à toute blanche ? Pour cela, nous pouvons agir sur les cases de la grille : chaque case activée change l'état (noir/blanc) des cases voisines, et uniquement celles-là.
L'ambassadeur de Mathlandia a invité un grand groupe de personnes. Les personnes sont assises autour d'une table ronde et l'ambassadeur propose de trinquer. Mais il faut respecter les règles de l'ambassade.
Comment trinquer efficacement ? Combien faut-il de tours au minimum pour terminer ? Quelle est la procédure
On dispose d'une boucle de corde d'un mètre de long.
Quelle est la forme qui enclot la plus grande surface ?
Le réseau de métro de Métropolis est constitué de lignes concentriques numérotées de 1 à n, de l'intérieur vers l'extérieur, et situées à des rayons r1,...rn autour de la station centrale ainsi que de lignes radiales numérotées avec des lettres. Les métros se déplacent à une vitesse donnée v, identique pour tous et si un utilisateur veut changer de ligne à une station, il perd un temps noté tc qui est le même partout. Comment conseiller un utilisateur pour avoir le chemin le plus rapide entre deux stations ?
Un élastique est fixé par un bout à un mur tandis que l'autre extrémité est collée à un disque tournant enduit de colle. Quand le disque tourne, cela produit deux effets: toute partie de l'élastique qui entre en contact avec le disque est collée et ne se déforme plus. La partie de l'élastique entre le mur et la zone de contact avec le disque s'étire. On constate que quand le disque fait un tour complet sur lui-même, 90% de la longueur initiale a été collée au disque. Si la longueur initiale de l'élastique est 1, quel est le rayon du disque ?
On considère un quadrillage 10 ×10. Si on trace une droite, on colorie les cases qui sont coupées par la droite.
Combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du carré ?
Nous jouons à un jeu. Le plateau est une bande quadrillée, de un carreau de large, aussi longue que l'on veut, constituée d'un puits sur un côté: autrement dit la bande s'arrête sur un des bords. On place un certains nombre de pions sur cette bande, espacés ou non. A tour de rôle on doit faire avancer un pion vers le puits d'autant de cases que l'on veut sans jamais passer par dessus un autre pion. Le•la gagnant•e est celui•celle qui met le dernier pion dans le puits. Y a-t-il une technique gagnante à un tel jeu ? Si oui, dans quelles configurations de départ ?
On se donne une grille de points équidistants sur un plan. On trace sur cette grille un polygone dont les sommets sont des points de cette grille.
Est-il possible de calculer l’aire du polygone à partir du nombre de points de la grille qui sont à l’intérieur et sur le bord du polygone ?
Un renard se promène dans son terrier qui comporte plusieurs trous. Chaque jour, il se déplace d'un trou à un trou adjacent. Chaque jour, on peut vérifier un trou. Trouver, si elle existe, une stratégie pour trouver le renard à coup sûr en un minimum de jours selon la configuration du terrier (modélisé par un graphe).
On considère un quadrillage de 3 × 3. Le jeu est composé de deux joueurs qui posent des pions tour à tour en suivant les deux règles suivantes :
1. A chaque tour les joueurs posent un, deux ou trois pions ;
2. Tout les pions doivent être posés sur la même ligne ou sur la même colonne.
Le joueur gagnant est celui qui termine le remplissage de la grille.
Est-ce qu’il existe une méthode pour gagner à coup sûr ?
On considère des grilles rectangulaires, dont certaines cases sont noircies et d’autre laissées vierges. Ce schéma peut représenter plein de choses : l’image en noir et blanc d’un motif ou d’une lettre capitale (les lettres du message “COUCOU!”), la position de mines ou de bateaux. On peut imaginer que les cases noires sont enfouies, comme pour des minerais sous la terre ou des cellules infectées dans le corps humain. À l’aide de rayons verticaux et horizontaux on a accès au nombre de cases noires traversées.
Est-il possible de reconstruire l’image en n’ayant seulement accès à ces…
Si les deux prisonniers coopèrent, la sanction est la même pour les deux et est minimale, tandis qu'une trahison mutuelle coûte cher aux deux et qu'une trahison uniquement du prisonnier A coûtera très cher au prisonnier B et rien au prisonnier A.
Stratégie à établir lorsque l'on renouvèle le jeu à plusieurs reprises: est-il plus rentable de trahir ou non ?
Propagation dans une grille d'un phénomène épidémiologique type covid avec quelques différences: les malades ne guérissent pas et restent des zombies, et les zombies peuvent éventuellement tuer/se faire tuer.
Jouer au morpion sur une grille infinie : les stratégies gagnantes ou pour empêcher l'autre de gagner
Le jeu de la vie : créer des configurations n-périodiques pour tout n entier naturel, si c'est possible.
Étant donnés deux nombres naturels n et k avec 1 ≤ k ≤ n, on souhaite colorier tous les nombres entiers entre 1 et n avec k couleurs différentes avec certaines conditions.
Plus précisément, on appelle coloriage additif de l’ensemble {1, . . . , n} un coloriage tel qu’il n’existe pas de nombres a, b, c ∈ {1, . . . , n} (non nécessairement distincts) tous coloriés de la même couleur et tels que a + b = c.
Similairement, on appelle coloriage multiplicatif de {1, . . . , n} un coloriage tel qu’il n’existe pas de nombres a, b, c ∈ {1, . . . , n} tous coloriés de la même couleur et…
Un conservateur de musée souhaite faire garder une pièce en forme de polygone par des gardiens qui seront postés à un endroit fixe dans la pièce (assis sur une chaise par exemple), mais avec la possibilité de pivoter sur eux-mêmes afin de regarder dans toutes les directions. Le conservateur souhaite que chaque recoin de la pièce soit dans la ligne de vision d’au moins un gardien pour que la pièce soit parfaitement surveillée. Cependant, pour des raisons de budget, il souhaite employer le plus petit nombre de gardiens possible.
On considère une boîte de forme hexagonale dans laquelle on souhaite ranger des calissons en forme de losanges.
L’objectif de ce problème est de déterminer, en fonction de la taille de la boîte ainsi que d’un ensemble de contraintes sur
l’intérieur de la boîte, s’il est possible de remplir la boîte de calissons, et si oui de dénombrer le nombre de remplissages
différents.
Sur une grille en 2 dimensions délimitée par un carré, Euler tente d’échapper à un étrange serpent. A chaque tour, la tête du serpent (en jaune) peut se déplacer de 1 case ; le corps du serpent (en rouge) occupe toutes les cases par lesquelles la tête est passée ; quant à Euler (en bleu), il peut se déplacer de 1, 2 ou 3 cases, sans passer par dessus le serpent. Dans ce jeu à 2 joueurs au tour par tour, le but du serpent est d’attraper Euler, et celui d’Euler est de survivre le plus longtemps possible. Quelles sont des bonnes stratégies à ce jeu ?
On s’intéresse à un système de notation des jonglages. Une suite (u_n) d'entiers naturels est un jonglage valide si :
• Si u_n > 0, une balle est lancée à l’instant n, et elle sera réceptionnée et relancée à l’instant n + u_n.
• Si u_n = 0, aucune balle n’est lancée à l’instant n.
• A chaque instant n, au plus 1 balle est lancée.
Questions ouvertes :
• Comment déterminer si un jonglage est valide ou non ?
• Trouvez d’autres jonglages valides cycliques à 2 et 3 balles.
• Peut-on énumérer tous les jonglages à B balles de période K ?
Au sol, on trace un cercle, sur lequel on place aléatoirement N piquets. On fait ensuite le tour des piquets à l’aide d’une corde. En serrant bien, cela donne un polygone à n côtés. En moyenne, quelle est l’aire du polygone que l’on obtient ?
Un triplet de nombre (a, b, c) est un triplet pythagoricien si a^2+b^2 = c^2. Par exemple (3, 4, 5) est le plus petit des triplets pythagoriciens parce que 3^2 + 4^2 = 5^2.
Tout comme on parle de nombre "carré" pour a^2, il existe des notions de nombres "triangle", "hexagone", etc.
Pour commencer, on se demandera si un nombre triangle peut se décomposer comme la somme de deux nombres triangle. Si oui, y-a-t-il une infinité de tels triplets ? Peut-on tous les trouver ?
Trois joueurs s'affrontent au jeu suivant : l'arbitre lance deux dés à 10 faces et additionne les scores.
Le joueur A aura gagné si le total est 2, 5, 8, 11, ... Le joueur B aura gagné si c'est 3, 6, 9, 12, ... Le joueur C aura gagné dans les cas restants.
Le jeu est-il équitable ?
Partons à la découverte de différentes propriétés arithmétiques du triangle de Pascal : les crayons de couleur sont ici de mise!
Lors d'un long trajet en train, ma voisine me propose un jeu pour passer le temps : l’une après l’autre, chacune de nous choisit un nombre entre 1 et 12, puis l’ajoute à la somme des nombres choisis jusqu’alors. Celle d’entre nous qui atteint 145 devra offrir un café à l'autre. Sachant que je n'ai pas d'argent sur moi, j'accepte tout de même de jouer : comment faire pour éviter de m'endetter auprès d'une inconnue ?
Savoir qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est bien... Savoir déterminer s'il en existe dans une famille de nombres donnés, c'est bien plus intéressant!
Afin d'éviter un conflit planétaire entre gourmand·es, Paul et Cyprien doivent partager très équitablement des gâteaux variés selon des contraintes parfois étranges... Pouvez-vous les y aider ?
L’objectif est de construire le pont le plus long en kapla avec une seule arche et avec un seul kapla par niveau.
Vous êtes 3 ami·es, quelle stratégie adoptée pour gagner le plus de bonbons à vous trois en respectant les règles du jeu.
Remplir un rectangle le plus vite possible avec un choix de polyominos.
Gagner un Louis d’or en choisissant des séquences de Pile ou Face de longueur 3 ( ex: FPP)
Staring with the midpoints of a square we can generate an octagon with the two opposites vertices of the square. Generalisations: if we replace the square with any other paralelogram or instead of midpoints considering different ratio points on the side of the square.
A partir de la démonstration du théorème de Pytagore, on peut decouvrir des méthodes pour faire des puzzles
Peut-on construire un triangle équilatéral dont les sommets sont sur un quadrillage ?
On place les nombres de la forme (p,p) en coordonnées polaires où p est premier. Que peut-on observer ? Expliquer ce que vous pouvez observer.
En mathématiques, on appelle suite de Syracuse une suite d'entiers naturels définie de la manière suivante : on part d'un nombre entier strictement positif ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et l'on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers strictement positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur. La conjecture de Collatz dit que toute suite de Syracuse finit par boucler sur les nombres 4,2,1. Qu'en pensez vous?
Les nombres de Schur sont notre point de départ : "Jusqu’à quel entier maximal N peut-on colorier en rouge ou bleu chaque entier de 1 à N de façon à éviter complètement l’émergence de triplets (a,b,a+b) monochromatiques?". Nous allons essayer de comprendre, tester, et tenter d'explorer des variations (quadruplets ?, produit?, ...) et pourquoi pas tenter de programmer.
Il s'agit d'un jeu qui se joue à 2 joueurs.
On dispose 10 nombres différents en ligne dans le désordre. Les joueurs jouent à tour de rôle et inversent 2 nombres de la liste si celui qui est à gauche est plus grand que celui qui est à droite.
Le joueur qui termine le rangement a gagné la partie.
In prima approssimazione i corpi nello spazio si muovono perché spinti dall’accelerazione gravitazionale dovuta a un altro corpo. Si può dimostrare che le traiettorie nello spazio sono sempre delle coniche, (ellisse, iperbola o parabola), a seconda dell’energia in gioco.
Per esempio i pianeti si muovono su ellissi intorno al sole e lo stesso fanno i satelliti artificiali intorno alla Terra.
- Concetto di orbita
- Problema dei due corpi
- Coniche
- Spiegazione di come si rappresenta un’ellisse e il concetto di elementi orbitali
- Differenza dal punto…
Une forêt est schématisée par un quadrillage, les arbres étant placés à l'intersection des lignes. Un arbre prend feu et à chaque tour ses voisins s'enflamment. Combien de pompiers faut-il au minimum pour empêcher la propagation du feu? Où les placer?
Un randonneur se promène dans la campagne près de chez lui. Les champs sont organisés en carré de 1km sur 1km, formant eux-mêmes un carré (par exemple de 3km sur 3km).
Il part de sa maison située au Sud-Ouest, et va jusqu’à l’extrémité opposée du territoire situé au Nord-Est (et il revient en bus !).
Les champs étant cultivés, il est obligé de marcher sur les chemins qui sont tous orientés Nord-Sud ou Est-Ouest.
Pour décider de ses déplacements, notre ami randonneur prend une pièce et à chaque carrefour, il tire à pile ou face.
S’il obtient pile, il prend le…
Vous connaissez Pierre, Feuille, Ciseaux … mais vous êtes-vous déjà demandés quel était le
meilleur moyen de gagner ?
• Est-ce un jeu équitable ou déséquilibré ?
• Existe-t-il une meilleure stratégie ? Si on joue à un tour, en plusieurs tours … ?
Pour répondre à cette question, les Mathématiques peuvent vous aider grâce à la théorie des jeux ! Ce domaine des Mathématiques a été mis en avant grâce à John Nash qui a reçu en 1994 le prix Nobel d’économie pour les travaux de sa thèse sur la théorie des jeux, en l’appliquant à des questions d’économie ou de…
A la Réunion, un groupe de recherche étudie les chauves-souris pour connaître leur lieu d’habitation. Pour cela, des expériences sont menées la nuit : on capture des chauves-souris que l’on équipe d’émetteurs GPS. Des observateurs sont répartis sur un territoire pour enregistrer les signaux émis dans un rayon de 15km.
• Combien faut-il d’observateurs pour couvrir au mieux un territoire (qui serait défini comme un disque de 30km de rayon) ?
• Quelle est la meilleure position des observateurs pour une couverture optimale ?
On choisit au hasard n chiffres décimaux pour former un entier. On procède alors à la transformation suivante, qui se réitère à l’infini : chaque chiffre du nombre est remplacé par le chiffre des unités du produit de ce chiffre par son voisin de droite (le dernier chiffre, qui n’a pas de voisin de droite, sera multiplié par le premier).
Peut-on prévoir l’évolution du nombre à long terme?
Le jeu de Marienbad se joue à deux : des allumettes sont disposées en quatre rangs de 1, 3, 5 et 7. Chaque joueur prend alors à son tour le nombre d’allumettes qu’il souhaite dans une seule rangée. Le gagnant est celui qui prend la dernière allumette.
L’un des deux joueurs a-t-il une stratégie gagnante? Et si on modifie les règles ?
Trois piliers A, B et C sont disponible, sur le pilier A d’eux sont empilés n disques de diamètres décroissants. le but est de
déplacer tous les disques sur le pilier C un par un sans recouvrir un disque de diamètre plus petit.
Combien de mouvements faut-il pour déplacer la pile de disques du pilier A au pilier C? Et s’il y avait plus de piliers ?
On construit une pyramide avec des légos de 3 couleurs en respectant les 2 règles suivantes :
• Au dessus de 2 légos de même couleur on pose un légo de cette même couleur
• Au dessus de 2 légos de couleurs différentes on place un légo de la troisième couleur
Peut-on deviner la couleur du sommet en regardant uniquement la base ?
Prenez un polyèdre convexe, comptez le nombre de ses arêtes et notez le A, comptez le nombre de ses faces et notez le F, puis comptez le nombre des sommets et notez le S. Que vaut la quantité F + S - A ?
Un Croustibat est un petit rectangle de poisson. Combien peut-on en mettre dans une poële circulaire ? Et dans une poële rectangulaire ? Triangulaire ?
Et si l'on veut cuire 10 Croustibats, quelle est la taille de la poële à prendre ?
Combien de canettes peut-on ranger dans une caisse ? Quelle est la taille minimale de la caisse à prendre pour ranger 20 canettes ?...
On dispose de spots et de rampes lumineuses, dimensions et couleurs à volonté, et on souhaite illuminer au sol différentes formes géométriques: peut-on créer par exemple un triangle orange?
Dans une salle rectangulaire dont les murs sont recouverts de miroirs, on a placé 2 personnes mais aucune ne souhaite apercevoir l'autre, ni ses reflets, où qu'elles tournent leur regard. Peut-on positionner un minimum d'invités dans la pièce pour satisfaire ces deux personnes ?
On s'intéresse ici aux chiffres qui apparaissent dans les puissances de 2 : quels sont les derniers chiffres possible ? les deux derniers chiffres ? les trois derniers chiffres ? Et qu'en est-il des premiers chiffres ?
Vous avez réservé une place pour un spectacle dans une salle de 2000 personnes. Hélas, vous avez oublié le numéro de votre place ! Vous entrez le premier puis attendez, vous asseyez au hasard, puis attendez qu'un autre spectateur vous déloge. Vous vous asseyez alors sur un autre siège laissé vide et procédez ainsi de suite jusqu'à trouver votre place. En moyenne, combien de fois allez-vous vous relever ?
Corinne a une toute nouvelle passion, le modélisme naval. Elle a donc, tout récemment, construit son tout premier bateau, tout de balsa et de servomoteur !
Suite à une soirée un peu arrosée, le programme servant à déplacer le bateau a été implémenté bizarrement : il se déplace sur une grille infinie de maille carrée et suivant des pas pris dans un ensemble fini de vecteurs à coordonnées entières.
Corinne souhaite déplacer le bateau d’un point à un autre dans le plan. Existe-il toujours un chemin pour faire cela ? Combien y en a-t-il ? Quel est le chemin le plus court ?
Cathy, Nadine et Philippe préparent les décorations de Noël. Cette année, ils décident de préparer des arbres en papier décorés par des numéros.
Les arbres de nos compagnons sont particuliers. Ils reproduisent une espèce rare d’arbre, que seuls les mathématiciens font pousser dans leurs jardins. Déjà, ils poussent de haut en bas. Ensuite, lorsque l’arbre naît, il possède une unique branche, avec, à son bout, un nœud. Cette toute première branche est appelée la racine de l’arbre.
Lorsqu’une branche d’un arbre pousse, le nœud situé au bout de la branche peut produire :
—…
Comment fabriquer des "blocs" (= des sous-ensembles à 3 éléments) de façon à ce que pour chaque paire d'éléments, il existe un et un seul "bloc" qui la contienne ?
Comment utiliser ces blocs pour créer un jeu (de cartes, ou un jeu de plateau...) ?
On décompose des nombres par un procédé de calculs et on se demande si le résultat trouvé est toujours le même quelle que soit la décomposition choisie.
On se demande aussi si on peut anticiper sur le nombre qu'on trouvera à la fin.
On dispose d'un nombre de piliers donné et on souhaite, avec deux couleurs (rouge et bleu) joindre chaque pilier à un autre par une guirlande de fanions qui d'une seule couleur, rouge ou bleue.
On se pose la question de savoir si on peut le faire de telle manière que, en vue du dessus, aucun triangle n'apparaisse d'une seule couleur.
Est-ce que cela dépend du nombre de piliers ?
On part d'un nombre entier et on créé une suite de nombres en comptant les chiffres du nombre précédent. Par exemple en partant de 13, le suivant est 1010 car 13 comporte un chiffre 3, 0 chiffre 2, 1 chiffre 1 et 0 chiffre 0. Et on continue avec 1010.
La question qui se pose : que se passe-t-il quand on continue ? Y-a-t-il une boucle qui se met en place ? De quelle longueur ? Est-ce vrai pour tous les nombres ?
Dans un château comportant des portes entre chaque pièce, des gardiens peuvent passer d'une pièce à l'autre par les portes. Chaque gardien surveille la pièce dans laquelle il est ainsi que les pièces voisines par une porte.
Combien de gardiens doit-on mettre au minimum pour que chaque pièce soit surveillée par un gardien ? Et si on change la forme du château ?
On s'intéresse aux différentes manières de couper un triangle en deux, trois ... triangles.
Couper un triangle en deux : il n'y a qu'une seule manière.
Couper un triangle en trois : il y a plusieurs manières dont une qui sera appelée "triangle paritaire", car tous les tracés ne s'enchaînent pas (je coupe en deux puis en deux) c'est celui ou les trois traits de coupe se rejoignent dans le triangle.
Questions : existe-t-il des triangles paritaires quand on coupe en 4 un triangle ? En 5 ?
Étant donnée une courbe C du plan, peut-on trouver n points sur C qui soient les sommets d'un polygone régulier ?
Vous disposez de n sacs fermés dont chacun contient une certaine somme d'argent. On suppose que toutes ces sommes d'argent sont différentes et non connues.
On vous propose alors de jouer au jeu suivant : vous ouvrez un sac, puis un second, puis un troisième etc. À chaque instant, vous avez le droit de choisir entre deux options : soit vous prenez l'argent du sac que vous venez de choisir et le jeu s'arrête, soit vous le refusez et vous continuez à ouvrir le sac suivant. Vous ne prenez que le contenu du dernier sac ouvert.
Quelle est la meilleure façon de…
Jean invite ses amis à son anniversaire. Parmi ces invités, certains se connaissent déjà,
d'autres se rencontrent pour la première fois. A partir de combien d'invités peut-il être
certain qu'il y ait trois invités qui se connaissent deux à deux ou bien trois invités qui ne
se connaissent pas ?
Le profil d'un parallélépipède est la somme de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur.
Comparer les profils de deux parallélépipèdes si on suppose que l'un est inclus dans l'autre.
On colorie les N entiers de 1 à N en bleu ou en rouge. Pour quels entiers N n' y a-t-il aucun triplet (a; b; a + b) de nombres entre 1 et N tel que a, b et a + b soient de la même couleur ? On précise que ces entiers a et b peuvent être égaux et que a + b est inférieur ou égal à N.
Dénombrer des polygones dont les sommets se situent sur un quadrillage.
Des chasseurs de fantômes doivent arrêter des fantômes en tirant avec leurs lasers. Si les lasers se croisent, les tirs échouent. Comment les chasseurs doivent-ils viser ?
On dispose d'une pile de pancakes de tailles différentes, mal rangés. On souhaite les rempiler trier du plus grand au plus petit, en retournant une partie haute de la pile.
Dans une ruche, chaque alvéole contient une abeille, qui peut être endormie ou réveillée. On peut demander à chaque abeille réveillée d'aller "au lit", ce qui a pour effet de l'endormir et
1. d'endormir les abeilles voisines si elles étaient éveillées
2. de réveiller les abeilles voisines si elles dormaient.
Peut-on endormir toute la ruche ?
Le pérudo est un jeu de dés. Chaque joueur lance 5 dés. Chacun consulte en secret son tirage. Par annonces montantes successives (sur l'ensemble des dés de la table), soit en nombre de dés soit en valeur du dé, le joueur suivant surenchérit ou indique si elle n'est pas réalisée. Si il a raison le joueur précédent perd un dé ou sinon c'est lui qui en perd un.
Quand un joueur a perdu tous ses dés, il est éliminé. La partie se termine quand il ne reste plus qu'un seul joueur.
Y a-t-il une stratégie gagnante à ce jeu ? Quelle annonce est peu probable ? ...
On crée une règle d'addition pour les chiffres 0 et 1 avec 1+1=0.
On part ensuite d'un nombre de n chiffres composé seulement de 0 et de 1, puis on additionne deux chiffres consécutifs en utilisant la règle donnée précédemment. On obtient ainsi un nouveau nombre de (n-1) chiffres. On continue jusqu'à obtenir un dernier chiffre. On obtient ainsi un triangle composé de 0 et de 1 ; on compte le nombre de 0 et le nombre de 1.
Questions : Est-ce qu'on peut obtenir un triangle comportant autant de 0 que de 1 ? Est-ce toujours possible ? Comment le faire ?
On plie en deux un triangle. Comment le faire de telle façon que l'aire de la partie non recouverte soit minimale ?
Quid d'un quadrilatère ?
Dans un quadrillage, un pion (blanc) placé sur un nœud a quatre voisins (noirs). Deux pions peuvent donc avoir huit voisins s’ils ne sont pas côte à côte ou six
voisins.
Comment placer un nombre donné de pions afin que le nombre de voisins soit le plus petit possible ?
Un 1er joueur déplace une reine sur un damier. Un 2e joueur condamne une case que la reine ne pourra plus traverser, chaque fois qu'il joue. En combien de tours le 2e joueur peut-il réussir à bloquer la reine ? On suppose que le 1er joueur joue optimalement. Différentes tailles de grilles ou variantes du jeu pourront être étudiées.
On trouve dans le commerce des gommes fantaisie : gomme dinosaure, gomme figurine. . .
En voici une nouvelle qui nous transporte dans l’imaginaire des compétitions sportives. C’est un dé assez inhabituel puisque ses faces sont des pentagones mais le principe est simple : lorsque on le fait rouler le dé indique un score, tel que 0-0 ou 3-0 ou 1-2. Apparemment, il s’agit de résultats de football.
Voici trois pistes de recherche :
— Ce dé est-il un bon générateur de scores de football ? Quelle note lui donneriez-vous ? Sauriez-vous construire un dé avec une meilleure note…
Une tasse à café vibre sur un plateau carré de 9cm par 9cm et se déplace toute les secondes d'un cm vers la gauche ou la droite. Donner une estimation du temps que met en moyenne la tasse avant de tomber.
Au banquet, le roi voulut que les diplomates—chacun des quatre pays invités en envoyèrent deux—fussent tous placés en ligne du même côté de la table, tandis que lui serait en face. Il demanda à ce qu’ils entrèrent pays par pays, du plus important au moins influent, et que les deux premières personnes s’assirent en laissant exactement une place entre eux, les deux suivantes en laissant deux places entre eux, etc., mais qu’à la fin il ne resta plus de chaise vide.


Comment procéda l’Intendant pour placer les invités ?
Et s’il y avait eu plus de pays?
Voici un jeu à deux joueurs. Chacun possède des jetons qu'il doit répartir dans 3 cases en ordre décroissant (avec égalité possible). Lorsque les deux joueurs ont fait leur choix, ils comparent case par case les quantités. Pour chaque case, si un joueur a plus de jetons que l'autre, il marque un point. La partie est gagnée par le joueur qui a le plus de points.
Par exemple, s’il y a en tout 12 soldats, et si le joueur 1 joue (4;4;4) et le joueur 2 joue (7;5;0), alors le joueur 2 a 2 victoires pour 1 défaite, donc il gagne.
Faire plusieurs parties avec 9 jetons.…
Un pays lointain se disait démocratie monarchique. Il y avait un roi aux fonctions
honorifiques et un chef du gouvernement, qui prenait les décisions. Lors des élections,
tout les électeurs étaient obligés d’appartenir à un parti, et le parti ayant le plus
d’électeurs gagnait. Mais il n’y avait qu’un seul parti politique autorisé, et c’était le parti
du roi, qu’on appelait le parti bleu roi. Vu qu’il était le seul parti autorisé, le parti bleu
roi gagnait forcément les élections, et le roi était élu chef du gouvernement à chaque
fois.
Un beau…
On écrit 4 nombres positifs à la suite sur un papier circulaire. Entre les nombres, on écrit les valeurs absolues des différences (par ex. 4, 5, 8, 3 devient 5-4, 8-5, 8-3, 4-3). On itère. Que se passe-t-il ? Étude de la périodicité, Obtient-on toujours 0-0-0-0 ? Étude avec trois nombres (triangle) et 5 nombres (pentagone), ou plus.
Variante : à chaque itération, on remplace la différence entre les deux valeurs aux sommets par la différence entre le plus grand nombre et le double du plus petit.
Avec l’exemple (4, 5, 8, 3), on obtient en une étape (3, 2, 2, 2) (cela correspond à…
C’est un jeu à deux joueurs. Les deux joueurs choisissent une possibilité parmi pierre, feuille, ciseaux, puis dévoilent simultanément leur choix.
La pierre l’emporte sur les ciseaux, les ciseaux sur la feuille, la feuille sur la pierre.
On compte 1 point pour une victoire et -1 pour une défaite lors d’une confrontation.
Une partie consiste en un certain nombre de confrontations, par exemple 10. Y a-t-il une bonne stratégie à adopter pour prendre l’avantage ?
Connaissez-vous les dés truqués ? Avant de lancer les dés on peut écrire les nombres de 1 à 6 sur les faces. Une fois le dé jeté on a le droit de décider si on compte comme habituellement les points sur les faces ou bien le chiffre écrit à la main.
Étudier différents modèles d'évolution d'une population de moustiques, en particulier ceux de la variété des moustiques tigres apparue en France il y a quelques années.
Étudier mathématiquement quelques stratégies pour maîtriser leur propagation.
Une combinaison secrète est composée à partir de trois balles bleues et deux balles blanches. Vous devez la retrouver en trois essais maximum,
- On prend un polyèdre convexe.
- On regarde le milieu de chaque arrête.
- Ça nous donne les sommets d’un nouveau polyèdre convexe.
- Et on recommence.
Étant donné une carte pour une course d'orientation, comment trouver le chemin le plus court passant par tous les points ?
Étant donné le plan d'une ville, comment faire pour construire un réseau de transport en commun reliant les principaux points d'intérêt de la ville avec le moins de lignes possibles ?
L'objectif est de construire le pont le plus long en kapla avec une seule arche et un seul kapla par niveau.
La mission consiste à transmettre un message ultra confidentiel au su et vu de tous, sans que celui-ci ne puisse être lu, et en vous assurant que le message soit parfaitement transmis.
Il s'agit de construire un modèle de prévisions météo à partir de relevés de la station météo des Déserts (réseau d'observation météo du massif alpin).
Choisissez un nombre secret, inférieur à 100, et multipliez-le par 33. Si vous me donnez seulement les deux derniers chiffres du résultat, je pourrai deviner sans effort votre nombre secret !
Il s'agit de trouver une ou plusieurs méthodes permettant de réaliser ce tour de magie.
Et si on remplace 33 par un autre entier, la magie est-elle toujours possible ?
Quatre pistes de minigolf ont été construites autour d'un carré. On souhaite que les balles perdues de chaque piste ne puissent pas rouler sur une des trois autres.
Pour ce faire, on souhaite construire un mur sur le pourtour ou à l'intérieur du carré central. Quel forme donner à ce mur ? Faut-il le construire en un seul ou en plusieurs morceaux ?
Existe-t-il un mur de longueur minimale satisfaisant nos conditions de départ ?
Est-ce que tous les nombres réels peuvent s’écrire sous la forme d’une différence de deux racines carrées √n − √m avec n et m entiers ?
Si ce n’est pas le cas, peuvent-ils du moins être approchés arbitrairement près par de telles différences de racines ?
La formule de dérivation d’un produit de fonctions n’a pas le bon goût d’être comme on le voudrait et certainement que ce sont quelques profs de maths grincheux qui l’ont compliquée à loisir pour embêter les élèves ! Quoi qu’il en soit l’élève Toto décide que (fg)′ = f′g′. Pourriez-vous donner beaucoup de fonctions pour lesquelles Toto obtiendrait néanmoins avec sa formule un résultat correct ?
Picsou souhaite distribuer n euros entre ses k neveux. Combien de possibilités a-t-il ?
(N.B. il donne à chacun un nombre entier d’euros et un neveu peut ne rien obtenir de la part de son oncle, c’est-à-dire 0 euro).
Une règle classique nous dit que le produit de 2 nombres entiers au carré reste un carré de nombre entier. Mais est-ce encore vrai pour la somme de 2 carrés : quand on multiplie deux sommes de 2 carrés de nombres entiers, est-ce-que cela reste une somme de 2 carrés de nombres entiers ? Si oui, de combien de manières peut-on l’écrire ?
Qu’en est-il pour la somme de 3 carrés ? De 4 carrés ? etc.
Découvrir une stratégie gagnante pour chacun des participants a un jeu
Vous souhaitez impressionner vos spectateurs avec un tour de cartes. Pour cela, après avoir élaboré votre stratégie, l’un de vous sort de la salle.
Les restants
1. demandent au public de piocher n cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes,
2. récupèrent et regardent ces n cartes,
3. en disposent n − 1 face découverte et la dernière face cachée.
La personne dehors rentre dans la salle, regarde les n − 1 cartes découvertes et énonce parfaitement une propriété (couleur, enseigne, valeur,...) de la carte cachée.
Cette prédiction sera d’autant plus…
Les palindromes (cabinet de curiosités du Palais de la Découverte)
Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lire de droite à gauche ou de gauche à droite, tels 11, 858, 1234321.
On part d'un nombre quelconque : par exemple 129. On ajoute ce nombre avec son écriture à l'envers : 129 + 921 = 1050.
On recommence 1050 + 0501=1551 : Palindrome
Essayons à partir de 78 :
78 + 87 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
Est-ce que cette règle aboutit toujours à un palindrome ?
Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.En utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Nicolas, le marchand, possède un poids de 40 kg. Il le laisse malencontreusement tomber et celui-ci se brise en 4 morceaux.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
De combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?
On considère un quadrillage 10 × 10. Si on trace une droite, on colorie les cases qui sont coupées par la droite.
Combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du carré ?
Avec une feuille de format A4 , construire un solide sans couvercle de volume maximal.
La suite "Look and Say" commence ainsi : 1, 11, 21, 1211, 111221,…
Comment se poursuit-elle ? Y-figurera-t-il d'autres chiffres que 1 et 2 ? Tous les chiffres ? Au bout de combien de temps ?
On considère la grille (infinie) formée de tous les points de coordonnées entières. Quelles sont les aires possibles que l'on peut obtenir en dessinant un carré dont les sommerts sont sur des points de la grille ?
Peut-on créer un jeu de Dooble avec n'importe quel nombre de symboles et de cartes ?
Munis d'une règle non graduée et d'un compas, et connaissant simplement la distance "1 unité", quelles distances est-il possible de construire ?
Comment attribuer une tâche à une personne?
Comment former une suite de nombre la plus longue possible, sachant que pour deux nombres côte à côte, l'un doit être multiple de l'autre?
Quelle stratégie adopter pour manger la plus grande proportion de pizza lorsqu'on est le premier à se servir?
100 pirates d'un navire souhaitent enfin profiter de son butin. Le capitaine leur lance le défi suivant : Chaque pirate ira dans son bureau avant d'être débarqué sur l'île. Il pourra alors examiner 50 tiroirs parmi les 100, qui contiennent chacun la fiche d'un des pirates à bord. S'il trouve la sienne, il pourra l'emmener avec lui sur l'île. Si chaque pirate trouve sa fiche, ils auront accès au trésor. Autrement, ils seront abandonnés l'île. Les pirates sont-ils damnés ? Ou ont-ils une chance de s'en sortir ?
Un groupe de personnes boit un petit coup mais avant de boire chacun doit trinquer avec tous les autres (en ligne droite) mais sans que des bras se croisent car ça porte malheur. Combien de tours faut-il faire pour que tous aient trinqué avec tous les autres ?
On prend n cartes à jouer. On dispose ces n cartes en tas alignés de gauche à droite. Par exemple, avec n=10 cartes on peut faire des tas de 5, 1, et 4 cartes.
Puis on prend une carte sur chaque tas, cela fait un nouveau tas que l'on pose à droite des tas précédents. Dans l'exemple, on a 3 tas donc on prélève 3 cartes ; les nouveaux tas ont 4,3, et 3 cartes (les tas de zéro cartes disparaissent). On continue le processus, on obtient les tas 3,2,2, 3 et ainsi de suite.....
Le but est de comprendre ce qu'il se passe lorsqu'on continue indéfiniment le…
Partie 1. Comment découper un nombre entier X positif en une somme X=x_1+x_2+...+x_n d'entiers positifs de tel sorte à maximiser le produit x1x2...x3 des termes de la somme (le nombre de termes de la somme est une variable du problème).
Partie 2. On cherche à maximiser le ppcm de x_1,x_2,...,x_n plutôt que le produit.
Comment obtenir le plus grand volume avec un patron de solide fait dans une feuille de papier A4.
Explication des illusions d’optique à l’aide de la géométrie vectorielle
Démonstration de certaines identités à l’aide d’éléments de combinatoire
A partir des propriétés des nombres premiers, on peut déterminer la représentation des nombres positifs
Il s'agit ici d'un thème qui sera décliné en deux sujets dès que les élèves les auront choisis.
Comptage des configurations sans symétries axiales des ensembles de cellules d'un rectangle m x n
Trouver la surface et le volume des "tétraèdres" de type 3D fractals
Deux enfants doivent se partager un cake et un gâteau. Ceux-ci sont déjà coupés en plusieurs parts, mais elles ne sont pas du tout égales !
Ils décident d'abord de choisir chacun leur tour une part du cake, en choisissant à chaque fois une des extrémités, et ainsi de suite.
Ils s’attaquent ensuite au gâteau. Le premier enfant choisit n’importe quelle part puis ensuite les parts sont prises à partir du trou, chacun leur tour.
Comment faire pour avoir le plus de cake, de gâteau ?
On se place dans une grille triangulaire d'une forme donnée, un feu est allumé sur un des triangles et à chaque tour, le feu se propage aux triangles qui touchent un triangle en feu par un côté.
Un pompier cherche à arrêter le feu et peut protéger une case par tour. Le but étant que le pompier arrête le feu de telle sorte que le nombre minimal de triangles soient brûlés.
Un triplet de nombres (a, b, c) est un triplet pythagoricien si a²+b²=c². Par exemple (3, 4, 5) est le plus petit des triplets pythagoriciens parce que 3²+4²=5².
Tout comme on parle de nombre “carré” pour a² il existe des notions de nombres “triangle”, “hexagone”,… Pour commencer, on se demandera si un nombre triangle peut se décomposer comme la somme de deux nombres triangles ? Si oui, y-a-t-il une infinité de tels triplets ? Peut-on tous les trouver ?
Le but de ce sujet est de créer des labyrinthes ! A vous de décider des règles, de la taille de la grille du point de départ et d'arrivée...
On considère un plateau de jeu (une grille) sur laquelle sont placés des cailloux. A chaque tour, on peut prendre deux cailloux dans une case, en jeter un, et placer le deuxième sur une case voisine. On peut répéter cette action autant de fois qu'on le souhaite. Combien de cailloux est-il nécessaire de placer sur le plateau pour pouvoir atteindre n'importe quelle case ? On se posera la question sur un placement libre (on place librement les cailloux au départ, puis on vérifie e qu'avec des déplacements, on peut atteindre n'importe quelle case), ou contraint (par exemple,…
Un chemin d'hexagones est une suite d'hexagones collés par un seul côté. Pour protéger un chemin d'hexagones des frelons à pattes jaunes, les abeilles se positionnent sur les angles des hexagones de façon à voir tous les angles où il n'y a pas d'abeille.
Selon le chemin, sa longueur, son nombre de virages, combien d'abeilles au minimum faut-il mettre sur le chemin pour le protéger entièrement ? Et si l'on souhaitait placer le plus d'abeilles possible, mais sans qu'aucune ne soit inutile, combien d'abeilles au maximum pourrait on placer…
On souhaite placer des éoliennes sur les intersections d'une grille. A fin d'optimiser l'énergie produite, on souhaite placer le plus possible d'éoliennes. Cependant, trois éoliennes alignées (dans n'importe quelle direction) se coupent le vent, et perdent toute efficacité. Ainsi, on cherche comment placer le plus possible d'éoliennes sans que trois soient alignées. Combien d'éoliennes peut- on placer, selon la taille de la grille ? Selon les configurations, le champ d'éoliennes peut-être plus ou moins esthétique... Combien de répartitions optimales…
Deux paquets de dragibus identiques ? Les dragibus existent en 6 couleurs différentes, et en paquets de différentes tailles.
Prenons par exemple deux paquets de 100g. Quelle est la probabilité qu’ils soient identiques, c’est-à-dire qu’ils aient le même nombre de dragibus de chaque couleur ?
Si j’achète chaque jour un tel paquet de dragibus, combien de temps en moyenne dois-je attendre avant d’avoir deux paquets identiques ?
Les règles du tennis de table ont changé en 2001 : une manche se joue maintenant en 11 points gagnants contre 21 auparavant, la partie se joue en 3 ou 4 manches gagnantes, contre 2 ou 3 auparavant, et le service change tous les deux points, contre 5 auparavant.
L'objectif est d'estimer certains effets de ces changement de règle : est-ce que la partie est plus ou moins longue qu'avant ?
Est-ce qu'elle est plus aléatoire, ou moins (c'est-à-dire : est-ce que le meilleur joueur a plus de chances de gagner avec les nouvelles règles ou les anciennes) ?
Le jeu intitulé "Les Pierres de Coba" est sorti récemment. Il s'agit d'un jeu de type "casse-tête" : on a à sa disposition 7 figures, qui représentent chacune un certain nombre de points; il faut diviser ces 7 figures en 2 parties, de telle sorte que les 2 parties valent le même nombre de points.
Ce jeu suscite beaucoup de questions. Par exemple : Est-on sûr qu'il y a toujours une solution ? Comment la trouver ? Est-elle unique ? Lorsque les figures sont tirées aléatoirement, avec quelle probabilité existe-t-il une solution ?
Le stade municipal est occupé par des gens qui font leur footing. On suppose que le nombre de coureurs ne change pas au cours du temps.
L’allure d’un coureur est influencée par le coureur le précédant, si bien qu’à chaque minute, chaque coureur a avancé de M mètres, plus p fois la distance qui le sépare du coureur devant lui.
Peut-on prévoir la répartition des coureurs sur le terrain à long terme ?
Alice et Bob doivent se partager un champ carré de taille 1 km sur 1 km, dont on note A, B, C, D les sommets. Alice propose à Bob de découper le champ de la manière suivante :
1. Tout d’abord, Bob doit choisir un réel a ∈]0, 1[ et tracer le carré de côté a (en km) dont l’un des sommets est A;
2. Ensuite commence le partage : retirer à la longueur du premier carré tracé son aire en km2, et multiplier le tout par λ. Tracer ensuite le carré de côté la quantité trouvée (en km), dont un des sommets est A.
3. Appliquer la seconde étape sur le second carré tracé, et réitérer le…
Soit N ≥ 3. Un groupe de N +1 personnes joue à un jeu. Les règles sont les suivantes : l’un des joueurs, le meneur, se tient debout, au centre d’un cercle formé par les N joueurs restants assis en rond. Le meneur choisit 2 personnes parmi les N joueurs assis. À chaque tour, les joueurs assis doivent désigner une personne du cercle. Si cette personne fait partie des deux choix du meneur, les joueurs ont gagné et le jeu s’arrête. Sinon, la personne désignée quitte le cercle et on passe au tour suivant. Pour aider les joueurs, le meneur donne à chaque tour la position relative des
deux…
Bob a inventé un nouveau jeu de société. Il dispose sur la table n^2 billes, où n ≥ 3, en remplissant les coordonnées entières d’un carré de taille n × n. Il explique les règles à Alice : tout d’abord,
elle doit sélectionner un sous-ensemble de billes S. Puis, pour chaque couple de billes contenues dans S, elle doit retirer toutes les billes du carré qui sont sur la droite les reliant.
Le but pour Alice est de choisir S tel qu’elle puisse retirer toutes les billes de la grille. Comme le jeu est trop facile (il suffit de prendre S l’ensemble de toutes les billes de la grille),…
Le joueur 1 choisit un code constitué de quatre couleurs parmi les N du jeu. Le but pour le joueur 2 est de trouver le code en question. Pour cela, il fait à chaque tour une proposition de code. Le joueur 1 lui dit alors le nombre de bonnes couleurs et le nombre de couleurs bien placées.
Dans le jeu d’origine N = 6, mais dans une version très répandue du jeu on a N = 8, et le code ne peut pas contenir deux fois la même couleur. Le joueur 1 peut-il trouver une stratégie efficace pour gagner (à commencer par les deux cas classiques cités plus haut) ?
On place des carrefours sur un plan et on relie deux carrefours par une route. On ouvre une bifurcation sur la route, on continue à relier les carrefours, en essayant d'obtenir le maximum de routes. Si on part avec 3 carrefours, combien de routes obtient-on au maximum ? Avec 4, 5, 6 carrefours ?
On fixe un nombre n entier positif. Le premier joueur dit un nombre dans cette liste : {1 ; 2 ; ... ; n}. Le joueur suivant doit dire un nombre qui est soit un multiple, soit un diviseur du précédent et qui n'a pas encore été joué. Si un joueur ne peut plus jouer, il a perdu. Y a-t-il une stratégie gagnante ?
On se donne une grille nxm avec des cases vides. On remplit les cases en respectant les règles ci-dessous :
- si la ligne ou la colonne à laquelle appartient la case est vide, on met un 1dans la case.
- sinon, on met la somme du nombre d'une case de la ligne et d'une case de la colonne
- une fois remplie, la case ne change plus de valeur.
Quelle est la valeur maximale atteinte ?
On définit une ligne droite comme la plus courte distance entre deux points, en tenant compte de l'environnement. Par exemple sur un plan de New-York, une ligne droite serait une ligne brisée. Que devient un triangle, un cube, un cercle, leurs propriétés ? Un cube ? Comment définir un angle ?
• Concept du gaz parfait
• Thermodynamique: force, vitesse et accélération
• Collision élastique d’une particule dans une boite
• Collision élastique de plusieurs particules
• Représentation d’un gaz parfait
Un escargot se promène sur un quadrillage, à la vitesse d'une case par minute en suivant un chemin bien spécifique.
On souhaite savoir combien de temps va lui prendre son parcours.
Le Grand Concours Interplanétaire de Mathématiques est un jeu composé de 11 épreuves. L'épreuve n°1 rapporte 1 point. Les épreuves suivantes rapportent deux fois plus de points que la précédente.
On souhaite savoir s'il est possible d'obtenir n'importe quel score.
On place un dé sur un chemin rectangulaire (la face 1 vers le haut). Le dé fait le tour de ce rectangle et on observe la face du dessus lorsqu'il revient sur la case de départ.
On souhaite savoir qu'il est possible d'obtenir les 6 faces du dé en tournant autour d'un de ces chemins rectangulaires.
10 monstres doivent se partager 100 cookies. Le plus grand de ces monstres propose une répartition qui est ensuite votée par tous. Si elle est refusée, celui qui a fait la proposition est éliminé et ne recevra pas de cookie. On recommence alors avec les 9 monstres restant jusqu'à ce qu'une répartition soit acceptée.
On souhaite savoir quel partage le plus grand de ces monstres doit-il proposer pour avoir un maximum de cookies.
Depuis quelques années, le virus de la Dengue fait quelques cas en Aquitaine. Les cas étaient auparavant exogènes : le virus arrivait par des voyageurs ayant contracté la maladie dans un
pays où le virus est endémique (amérique du sud, Inde, Cap-Vert, etc). Mais depuis deux ans maintenant, les infections observées sont locales, ce qui veut dire que le virus est maintenant
implanté dans des zones a priori limités pour le moment. La question qui se pose est donc la suivante : peut-on avoir dans les années qui viennent une augmentation du nombre de cas ou même une épidémie en…
Dans les règles originales, Il s'agit d'un jeu à deux joueuses. Chaque joueuse reçoit une grille vierge de huit cases par huit cases. Avant de débuter la partie, les joueuses partitionnent secrètement leur grille en quatre zones contiguës de 16 cases. À la manière d'une bataille navale, le but est de découvrir la partition adverse. À chaque tour, une joueuse indique les coordonnées d'un coin de la grille. L'autre joueuse doit alors fournir les couleurs des 4 cases autour de ce coin, dans n'importe quel ordre.

https://perso.liris.cnrs.fr/vincent.…
On dispose d’un billard sans trous. Une boule est placée quelque part, on tape dedans et elle suit une trajectoire rectiligne, sans effet, jusqu’à rencontrer un bord. Les angles d’incidence décrivant le mouvement avant et après contact avec le bord sont égaux (= façon savante de dire que ce qui se passe lorsque la boule
rencontre un bord est conforme à ce que l’on en sait).
On code par N(ord), E(st), O(uest), S(ud), à chaque fois que la boule rencontre un bord. Cela permet de former des mots, par exemple NSE. Quels sont les mots possibles ? Quels sont les mots interdits ? Et si…
Comment écrire une quantité dans un monde où tous les chiffres sauf le 1 auraient disparu…?

Points d'intersection et triangles formé par 8 droites non parallèles (et moins... et plus ...)
Une étude sur des probabilités dépendants de plusieurs paramètres. Des considérations informatiques entre en jeu.
Vous savez construire un cube à partir de son patron ? Oui ? D'accord... Mais saurez-vous faire de même avec une dimension de plus ?
On sait tous jouer au Morpion. Mais saurez-vous apprendre à une intelligence artificielle à vous battre ?
Quel est le plus petit entier n tel qu'il est nécessaire d'utiliser exactement n fois 1 pour écrire tous les nombres de 1 à n ?
Un méthode pour se lancer des défis circule dans les collèges en ce moment. " Proba combien ? ". Est-ce différent de jouer à pile ou face ? Et si c'est non, y a-t-il une bonne stratégie ?
Lorsque l'on calcule 1 divisé par 3, les décimales se comportent d'une manière bien étrange. En effet, 1/3 = 0,3333333333333...
Est-ce qu'on peut trouver un entier n tel que 1/n = 0,abababababababababa...?
On considère un triangle équilatéral. Peut-on le découper en un certain nombre de morceaux pour en faire un carré ?
On écrit des mots avec un alphabet à deux lettres, par exemple. Est-il possible d'écrire un mot infini qui ne contienne aucune répétition successive d'un motif donné ?
On fait rouler autour de ses arêtes un polyèdre régulier sur un plan. Quelles sont les régions accessibles ? Si l’on interdit une face ? Et avec un polyèdre quelconque ?
Calcul de l'aire d'un polygone sur une grille à partir du nombre de points intérieurs
On s'intéresse aux nombres entiers qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres
Il s'agit d'étudier le jeu inventé par E.R. Berlekamp et D. Gale. On considère un tableau de m x m ampoules et 2m interrupteurs, 1 sur chaque ligne et 1 sur chaque colonne.Quand on actionne un interrupteur sur une ligne ou sur une colonne, les ampoules (sur cette ligne ou cette colonne) éteintes s'allument et les ampoules allumées s'éteignent.Le jeu consiste, pour un état initial donné de trouver comment éteindre le plus de lampes.
On étudie l'évolution de couples d'animaux. Les hypothèses sont les suivantes :
À chaque pas de temps n, on suppose que
- chaque couple d'enfants du pas précédent devient un couple d'adultes.
- chaque couple d'adultes du pas précédent a un couple d'enfants.

Sur le cercle trigonométrique C, tout point peut s’écrire de manière unique sous la forme
(cos(2π t), sin(2π t)) avec 0 ≤ t < 1 (l'angle t est donc ici mesuré en tour, dans le sens trigonométrique).
On définit la fonction:
f : C → C : (cos(2π t), sin(2π t)) 7→ (cos(20π t), sin(20π t))
(où 20πt est réduit modulo 1 pour être ramené dans [0, 1[)
On choisit un point de départ (x_0, y_0) = (cos(2π t_0), sin(2π t_0)) et on définit (x_1, y_1) = f((x_0, y_0)), (x_2, y_2) = f((x_1, y_1)) etc.
La suite des points de C ainsi obtenus est la trajectoire du…
Dans le jeu de Nim il existe des stratégies gagnantes : le premier qui joue perd. Existe-t-il d'autres jeux de ce style, peut-on toujours trouver des stratégies gagnantes ?
On a un jeu de 20 cartes numérotées 1, 2, ...., 20. On veut les ranger dans 3 tiroirs anti-sommes, qui refusent de contenir trois cartes a, b, c telles que a + b = c.
peut-on effectivement ranger ces cartes en respectant les refus des tiroirs ? Si oui, peut-on faire de même avec 21 cartes ? Avec 22 cartes ? 23 ? 24 ? Que se passe-t-il avec seulement 2 tiroirs ? Et avec 4 ?
On a 9 ampoules disposées sur 3 lignes et 3 colonnes. Chacune de ces 6 rangées a un interrupteur qui change l'état éteint/allumé de ses 3 ampoules.
On part d'une configuration initiale éteinte/allumée pour chaque ampoule.
But : éteindre autant d'ampoules que possible en utilisant uniquement les 6 interrupteurs disponibles.
On considère la simple transformation suivante a -> b sur les nombres entiers :
- si n est pair, alors n -> n/2 ;
- si n est impair, alors n -> 3n + 1.
On choisit un nombre n, on lui applique la transformation, puis on répète cette transformation sur le nombre obtenu, et on continue. Que se passe-t-il ? En partant d'autres nombres entiers n, que peut-on observer ? Conjecturer ? prouver ?
Que se passe-t-il en partant d'un nombre n négatif ? Et en remplaçant 3n+1 par 5n+1 ?
Liste ordonnée de N cubes sur une droite. Existe-t-il un cube tel que la somme des numéros des cubes à sa gauche, soit égal à la somme des numéros des cubes à sa droite ?
Si oui, quel est le nombre total de cubes correspondants, N ?
A partir d'un extrait du film Interstellar... alors info ou Intox ?
Une personne envoie à 2 personnes “au hasard” le mail suivant : “Ce mail est très important et peut vous apporter chance et prospérité. Il est le maillon d’une chaîne qui ne doit absolument pas être rompue et doit faire le tour du monde. Si vous transférez ce mail à deux personnes, une belle surprise peut vous arrivez, mais si vous interrompez la chaîne, vous risquez bien des malheurs”.
Étant donné qu’une proportion p de la population française est superstitieuse et relaiera le mail en question, le message peut-il effectivement circuler indéfiniment ?
Une entreprise de produits chimiques doit transporter 10 produits (représentés par des lettres de A à J). Mais certains produits sont incompatibles entre-eux (sous peine de réaction chimique dangereuse) et doivent être transportés séparément
La monnaie européenne comporte 8 pièces de 1 centimes à 2 euros. Chaque pièce a une face commune à tous les pays et une face nationale propre à chacun des 19 pays qui composent la zone euro. En supposant que toutes les pièces sont frappées en nombre égal, combien de pièces (en moyenne) doivent passer entre mes mains avant de pouvoir compléter la collection de toutes les pièces existantes ? Que se passe-t-il si certaines pièces sont plus rares que d’autres ?
On se déplace sur un segment [A,B] de longueur 1 de la manière suivante :
- On part du point A.
- Si on se trouve en un point P du segment, on saute (au choix) soit sur le milieu de [A,P], soit sur le milieu de [P,B].
On veut approcher un point X fixé à un millionième près. Est-ce toujours possible ? Combien de sauts faut-il alors ?
Un cuisinier fait des crêpes et les pose en pile à côté de la bilig au fur et à mesure de leur cuisson. Toutes les crêpes sont bien rondes mais de tailles différentes. On dispose donc d’une pile de crêpes, chacune de taille différente et il s’agit d’ordonner les crêpes dans la pile, par ordre décroissant de taille (diamètre) avec donc celle de plus petit diamètre en haut de la pile. Un seul type d'opération est autorisé pour manipuler la pile : insérer une spatule à un endroit de la pile et retourner d’un coup toutes les crêpes qui se trouvent au-dessus de la spatule. Combien de…
On cherche à compter combien de drapeaux différents on peut créer si on se fixe la forme du drapeau (nombre de bandes, etc...) et le nombre de couleurs.
On se déplace sur la droite des réels en faisant des pas de longueur variable mais plus petite que 1 (dans l'une ou l'autre direction). Comment changer l'ordre des pas (mais ni leur longueur, ni leur direction) de façon à s'éloigner le moins possible de l'origine ? Quelle est la distance optimale pour ce problème ? Est-ce qu'elle dépend du nombre de pas ?
On modélise une tondeuse automatique comme un petit disque de diamètre r. On suppose qu'elle est programmée de telle sorte qu'elle avance en ligne droite jusqu'à rencontrer le bord, là elle rebondit de telle sorte que la trajectoire du centre du robot fait un angle réfléchi égal à l'angle d'incidence. Dans un champ polygonal, on cherche à déterminer, suivant le point, la direction initiale, si tout sera tondu.
On considère une île montagneuse avec deux sommets. Y a-t-il toujours un col entre les deux sommets? Comment peut-on le trouver ?
Et s'il y a plus de deux sommets ?
Étudier la trajectoire de l’ombre d’un bâton (gnomon) et comprendre le principe de maison bio-climatique de type Heliodome.
Un magicien propose à un spectateur de jouer une partie de cartes. La règle du jeu est simple : On utilise un jeu dont la moitié des cartes sont rouges et l’autre moitié des cartes
sont noires.
Le spectateur choisit une combinaison de couleurs qu’il est possible de faire avec trois cartes différentes ; par exemple, la combinaison rouge-noir-rouge. Le magicien choisit à son tour une combinaison, par exemple rouge-rouge-noir. Le jeu est mélangé par le spectateur, le magicien coupe le jeu et le donne au spectateur faces vers le bas. Le spectateur retourne successivement les cartes…
Un célèbre sorcier demande aux élèves de sa classe de se mettre en ligne face à lui pour constituer des équipes. En tout, il y a 15 filles et 15 garçons. En tout, il y a 15 chapeaux dorés et 15 chapeaux argentés.
Les élèves se rangent comme ils le souhaitent pour former la ligne demandée par leur professeur.
« Peu importe votre façon de vous ranger, je suis sûr de trouver dans cet alignement une série de 10 élèves constituée précisément de 5 chapeaux argentés et de 5 chapeaux dorés. ».
Que peut-on en penser ??? Magique ??? Et, vous, vous êtes combien dans votre classe ?…
Des histoires de panneaux à vous faire tourner la tête : des graphes pour vous sauver... Peut-être...
Etudes de chemin sur des réseaux rectangualires.
Une personne envoie à 2 personnes ”au hasard” le mail suivant :
Ce mail est tr`es important et peut vous apporter chance et prospérité. Il est le maillon d’une chaîne qui ne doit absolument pas être rompue et doit faire le tour du monde. Si vous transférez ce mail à deux personnes, une belle surprise peut vous arrivez, mais si vous interrompez la chaîne, vous risquez bien des malheurs.
Étant donné qu’une proportion p de la population française est superstitieuse et relaiera le mail en question, le message peut-il effectivement circuler indéfiniment ?
La monnaie européenne comporte 8 pièces de 1 centimes à 2 euros. Chaque pièce a une face commune à tous les pays et une face nationale propre à chacun des 19 pays qui composent la zone euro. En supposant que toutes les pièces sont frappées en nombre égal, combien de pièces (en moyenne) doivent passer entre mes mains avant de pouvoir compléter la collection de toutes les pièces existantes ? Que se passe-t-il si certaines pièces sont plus rares que d’autres ?
Un cuisinier fait des crêpes et les pose en pile à côté de la bilig au fur et à mesure de leur cuisson. Toutes les crêpes sont bien rondes mais de taille différente. On dispose donc d’une pile de crêpes, chacune de taille différente et il s’agit d’ordonner les crêpes dans la pile, par ordre décroissant de taille (diamètre) avec donc celle de plus petit diamètre en haut de la pile. Un seul type d’opération est autorisé pour manipuler la pile : insérer une spatule à un endroit de la pile et retourner d’un coup toutes les crêpes qui se trouvent au-dessus de la spatule. Combien de manipulations…
Un musicien souhaite réaliser une improvisation, mais en suivant quelques règles décrites dans un schéma donné.
1. Sachant qu’il va commencer son improvisation par un Do, combien de mélodies différentes sont possibles ?
2. Si chaque note a une durée aléatoire, choisie parmi : blanche, noire et croche ; combien de mélodies sont possibles ?
Connaissant la longueur correspondante au nombre n = 1, est-il possible de tracer, à la règle et au compas, tous les nombres réels ?
On considère l’ensemble des nombres entiers qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres.
— Est-il possible de construire un algorithme pour déterminer tous les nombres entiers vérifiant cette propriété ?
— Existe-t’il des nombres premiers vérifiant cette propriété ?
— Existe-t’il des nombres entiers consécutifs vérifiant cette propriété ?
On considère 4 maisons, chacune étant aux 4 coins d’un carré de 1km^2 . Quel est le réseau de chemins le plus court reliant les 4 maisons ?
Le “Berlekamp’s switching game” est un jeu inventé par Elwin R. Berlekamp et David Gale. On considère un tableau m×m ampoules et 2m interrupteurs, 1 sur chaque ligne et 1 sur chaque colonne.
Quand on actionne un interrupteur, les ampoules se trouvant sur la ligne ou la colonne correspondante et qui étaient allumés sont éteintes, et celles qui étaient éteintes sont allumés.
Le jeu consiste, pour un état initial donné, à trouver comment éteindre le plus de lampes possibles.
Dattathreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) est un mathématicien indien.
Le procédé de Kaprekar est le procédé itératif suivant :
— On considère un nombre entier ;
— On ordonne les chiffres de nombre par ordre décroissant, ce qui nous donne un premier entier N 1 ;
— On ordonne les chiffres de nombre par ordre décroissant, ce qui nous donne un nombre N2 .
— Ensuite on effectue la soustraction D = N 1 − N 2 . On réitère ensuite le procédé sur la différence D.
L’algorithme de Kaprekar est dit complet lorsqu’on conserve toujours la même quantité de…
Robin des Bois cherche à vider la banque magique des méchants. La banque est représentée par les 4 cases en haut à gauche de la grille. À chaque tour, Robin des Bois peut prendre une pièce de monnaie si celle-ci n’a pas de pièce à sa droite et en dessous. S’il a pris une pièce de monnaie, deux pièces apparaissent immédiatement, l’une à sa droite et l’autre en-dessous d’elle.
Est-ce que Robin du bois pourra vider la banque?
Deviner une carte piochée au hasard dans un jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle de quelques cartes suivantes, cela vous semble impossible ?
Découvrez comment avec un peu d'ordre et pas mal de science on peut percer le secret de cette apparente magie, et pourquoi pas voir jusqu'où pousser le tour.
Dans ce premier exposé, on s'appliquera à percer le secret de ce tour de magie.
Deviner une carte piochée au hasard dans un jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle de quelques cartes suivantes, cela vous semble impossible ?
Découvrez comment avec un peu d'ordre et pas mal de science on peut percer le secret de cette apparente magie, et pourquoi pas voir jusqu'où pousser le tour.
Dans ce 2ème exposé, après avoir percer le secret du tour de magie, on s'appliquera pousser plus loin le tour de magie.
Comme l’aurait dit Monsieur de Lapalisse, entre deux nombres premiers consécutifs il n’y en a point d’autres ! Ces autres, qui ne sont pas premiers, sont dits composés. Si l’on observe la longueur des trous que forment les nombres composés entre deux nombres premiers dans la liste des nombres de 1 à 100 on constate qu’ils ne sont pas très gros. Cependant, que peut-on en dire en général : ont-ils une longueur maximale ou bien peuvent-ils être aussi longs que l’on veut ?
Dans le même ordre d’idée, on s’intéresse maintenant aux nombres composés qui sont divisibles par un carré parfait…
Madi veut transporter 3000 bananes de son village à la ville sur le dos de son éléphant. L'éléphant mange une banane par kilomètre parcouru et ne peut pas transporter plus de 1000 bananes à la fois. Madi peut éventuellement faire plusieurs étapes où il fera des allers-retours.
Nous étudierons, selon la distance entre son village et la ville, la meilleure stratégie pour arriver en ville avec le maximum de bananes;
Construisons, à partir de figures élémentaires, par glissement ou par symétrie, des pavages avec des motifs d'aire 16 cm².
Odin est un chien qui se déplace en toute liberté dans le jardin. Biscotte est une petite souris électronique, qui ne se déplace que de nœud à nœud sur ce même jardin quadrillé, dans les quatre directions. dans ce problème, il s'agit de redéfinir les notions de segment, milieu, corde, alignement, médiatrice, cercle circonscrit pour Biscotte.
On joue à Puissance 3, un analogue de Puissance 4 dans lequel il s’agit d’aligner trois jetons pour gagner.
On se propose d’étudier ce jeu, en se demandant par exemple si un joueur est avantagé, et si oui quelle stratégie il doit adopter. Pour commencer on joue dans une grille de taille 3x3, puis 4x4 si on avance bien, etc
Dans le jeu du morpion, deux joueurs placent chacun à leur tour leur symbole (croix ou rond) dans une grille 3x3 et le but est d’être le premier à aligner trois de ses symboles.
Ici, on voudrait jouer au morpion d’une manière un peu différente : les côtés horizontaux (respectivement verticaux) sont identifiés. Que peut-on dire de ce jeu ? Pouvez-vous trouver comment gagner à tous les coups ?
On veut construire la surface d’une ruche à l’aide d’alvéoles hexagonales de mêmes dimensions, en laissant des trous pour que les abeilles puissent rentrer. Les règles de construction sont les suivantes :
— la ruche doit être d’un seul tenant (on ne peut pas avoir deux bouts de ruches séparés),
— un trou correspond à un emplacement d’alvéole vide,
— un trou doit forcément être entouré par les six alvéoles voisines
On veut faire ceci en utilisant le moins d’alvéoles possibles. De combien d’alvéoles a-t-on besoin en fonction du nombre de trous voulus ?
Des bateaux se déplacent sur une grille en suivant des règles aléatoires
Comment décorer votre sapin de Noël, avec des boules et des chiffres.
Un entier est dit remarquable si l'un de ses multiples s'écrit de la forme 9.....90.....0 ; quels sont les entiers remarquables ?
Une bande de papier est pliée n fois successivement de moitié en moitié toujours dans le même sens ; elle est ensuite ouverte avec les angles de plis droits. On observe la courbe de la tranche de la bande dépliée ; quelle est la taille minimale du quadrillage contenant cette courbe ?
Combien d'arbres doivent être en feu pour que toute la forêt soit en feu ?
Combien faut-il verser de grains de sable sur un damier pour que chaque case ait un grain de sable ?
Un robot suit un chemin en respectant un code. S'il arrive sur un sommet vert, il est content, et il accepte le code, sinon il le refuse…
Trouver le nombre minimal de carrés (qui peuvent être de tailles différentes) afin de paver un rectangle dont les dimensions sont entières.
En prenant un nombre n de carrés.
Combien d'assemblages puis-je réaliser avec ces carrés ? On n'a pas droit de faire d'assemblage en diagonale.
Je comparerais les assemblages avec ou sans base.
Dans un quadrillage, il faut placer un maximum de points sur les intersections sans en aligner 3. Comment peut-on faire ?
Le but de ce sujet est de comprendre quels sont les déplacements possibles en n'utilisant qu'un nombre limité de mouvement de base.
Un jour, un troll qui a enfermé 100 nains dans une salle et leur annonce que le lendemain il seront disposés sur un escalier de 100 marches avec un chapeau noir ou blanc sur la tête de telle sorte qu’un nain pourra voir tous les chapeaux des nains qui se trouvent en dessous de lui.
Il leur annonce également qu’il descendra les marches une par une (en partant de la plus haute marche) en demandant à chaque marche au nain de choisir entre “noir” ou “blanc”. Si le nain répond la couleur du chapeau qu’il a sur la tête, il vit, sinon il se fait manger par le troll.
Sachant que les…
Soit n un entier naturel non nul. Une sauterelle doit faire des sauts de longueur distinctes a1; ...; an entiers naturels strictement positifs. Sur son chemin, il y a des obstacles situés en les entiers positifs b1;... ; bn-1. Montrer que l’on peut ordonner les sauts de telle sorte que la sauterelle évite tous les obstacles.
On considère une fourmi se déplaçant sur les arêtes d’un tétraèdre régulier. On fixe un sommet de référence pour ce tétraèdre et on suppose que la fourmi part de ce sommet. La distance entre deux sommets du tétraèdre est supposée égale à 1 et correspond à la longueur du chemin parcouru par la fourmi allant du premier sommet vers le deuxième. On s’intéresse à la longueur des chemins parcouru par la fourmi qui partent du sommet initial. Combien y a-t-il de chemins de longueurs 7 qui terminent à la position initiale ? Combien y a-t-il de chemins de longueurs 7 qui terminent à un sommet adjacent…
Le problème de Die Hard 3 : on dispose d’un bidon d’eau de 5L et d’un de 3L que l’on peut remplir et vider à volonté. Sachant que les bidons n’ont aucun marquage, comment obtenir exactement 4L dans le bidon de 5L ?
Une généralisation du problème : On dispose d’un bidon d’eau de n litres et d’un bidon de p litres où p est un nombre premier et où n > p n’est pas un multiple de p. Pour tout entier p < q < n, comment obtenir exactement q litres dans le bidon de n litres ?
Etant données n bornes à incendie dans le plan et un départ de feu, trouver la borne à incendie la plus proche du feu.
Réciproquement, quels sont tous les feux qui auraient eux aussi besoin de cette dernière borne.
Visualisation de la solution graphiquement à l'aide du module Tkinter de Python.
Avec une feuille A4, réaliser la boîte ouverte la plus grande possible, d'un volume maximum. Interdit de couper un morceau de feuille et de le recoller ailleurs.
Le but est de classifier les hexagones dont chaque angle a une mesure égale à 120°. Principalement, les différentes constructions sont recherchées.
On cherche à décrire une partie de R vérifiant certaines propriétés.
Des cowboys numérotés de 1 à N sont placés sur un cercle.
A tour de rôle, les cowboys tirent sur leur voisin gauche. Un cowboy touché est éliminé du jeu.
Ce "jeu" prend fin jusqu'à ce qu'il n'y a plus qu'un seul cowboy non éliminé, le "last man standing" qui sera alors le vainqueur.
Quel est le numéro du vainqueur en fonction de N ?
Un dé rouge comporte cinq fois le chiffre 3 et une fois le chiffre 6.
Un dé vert comporte trois fois le chiffre 2 et trois fois le chiffre 5.
Un dé bleu comporte une fois le chiffre 1 et cinq fois le chiffre 4.
Le joueur 1 choisit un des trois dés et le joueur 2 choisit un des deux dés restants.
Celui qui lance le chiffre le plus haut gagne.
Est-ce que un des deux joueurs a un avantage ? Si oui, lequel ?
Quel est le meilleur choix que le joueur 1 ou le joueur 2 puisse faire ?
Mêmes questions si les joueurs lancent le même dés deux fois et si on…
Battre un jeu de cartes, oui mais comment et combien de fois ? Sur les pas, et entre les mains, du mathgicien Persi Diaconis nous nous intéresserons au mélange dit "américain" d'un jeu de cartes et nous nous attarderons sur les deux questions suivantes : qu'est-ce qu'un bon mélange ? Comment l'obtenir ?
Étant donnée une salle de musée dont les murs sont disposés le long d’un polygone simple à n côtés, on cherchera à exprimer en fonction de n un nombre minimal de gardiens valable quelque soit la forme du polygone.
On dispose de 3 colonnes verticales en haut desquelles se trouvent 3 billes numérotées de 1 à 3 et en bas desquelles se trouvent 3 bols eux aussi numérotés de 1 à 3. On peut ajouter des paliers entre les colonnes. Les billes sont lâchées les unes après les autres. Chacune tombent verticalement sauf si elle rencontre un palier auquel cas elle l'emprunte et change de colonne.
Comment placer les paliers pour que chaque bille atterrisse dans le bol qui lui correspond ?
On appelle pyramide multiplicative une pyramide formée de nombres entiers différents de 0 et de 1 et telle que le nombre écrit dans une case est le produit des deux nombres écrits dans les cases du dessous.
Explorer le cas des pyramides à trois étages.
Explorer le cas des pyramides à quatre étages...
On dispose d’une machine à calculer surprenante. Lorsqu’on entre un nombre entier n strictement
positif, il en sort :
— La moitié du nombre n si celui-ci est un nombre pair,
— Le nombre 3n + 1 si n est impair.
Si le nombre obtenu est différent de 1, on l’entre à son tour dans la machine et ainsi de suite. On note
L(n) le nombre de passages dans la machine.
Par exemple : On choisit n = 6. Après un premier passage dans la machine, il sort le nombre 3.
On entre 3 dans la machine, on obtient 10.
On entre 10, il sort 5.
On entre 5, il…
On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est fort s’il peut s’écrire comme la somme de
nombres entiers naturels non nuls dont la somme des inverses est égale à 1.
Exemple : La seule décomposition pour 2 est 2 = 1+1. Or 1/1+1/1 n'est pas égal à 1 par conséquent 2 n’est pas fort.
1. L’entier 3 est-il fort ?
2. Existe-t-il des entiers forts ?
3. S’il en existe, trouver des propriétés satisfaites par ces nombres ? Indication : par exemple, que dire du carré d’un entier fort ?
Un joaillier possède une machine qui lui permet de tester la qualité de ses diamants en testant leur dureté. Sa machine se règle avec une force qui va de 1 à 100. Un réglage à 1 n’est que très peu exigeant alors qu’un réglage à 100 est extrêmement exigeant sur la qualité du diamant testé. Si la pierre testée est d’une qualité inférieure à celle attendue, celle-ci se brise lors du test. Il ne faut donc pas faire n’importe quoi ! Notre joaillier a en sa possession actuellement deux diamants taillés dans le même diamant de départ et décide que tous les diamants qu’il achètera à partir de…
Prenons un entier, par exemple 5, et une grille rectangulaire. Le sujet consiste alors à partager la grille en 5 parties de manière à rendre minimal le maximum des diamètres des parties.
On peut évidemment faire varier l'entier choisi et la taille de la grille.
On réalise un carré de 3 perles de côté puis on y colle un carré de 4 perles puis de 5 perles et ainsi de suite.
De combien de perles aura-t-on besoin si on souhaite poursuivre la figure jusqu'au carré de 20 perles de côté ?
Existe-t-il une formule pour savoir combien de perles il faut pour un nombre donné de carrés ?
Peut-on généraliser le résultat à d'autres figures ?
Dix elfes se tiennent en file indienne avec un
bonnet rouge ou bleu sur la tête. En commençant par l’arrière de la file, chaque elfe doit
deviner la couleur de son bonnet. En cas de
bonne réponse, l’elfe gagne le jeu ; en cas de
mauvaise réponse, l’elfe est éliminé. Les autres
elfes entendent les propositions des autres.
Sur quelle stratégie les elfes peuvent-ils se
mettre d’accord avant le début du jeu pour
qu’un maximum d’entre eux gagnent ?
Même question que précédemment mais avec
cent couleurs différentes
Trois elfes sont placés en cercle avec un bonnet de couleur rouge ou bleue sur la tête. Au signal de départ, les trois elfes doivent simultanément
deviner la couleur de leur bonnet, ou bien dire "Je passe".
Si au moins un elfe fait une proposition correcte et les autres elfes ne font pas de proposition incorrecte, alors le jeu est gagné.
Si au moins une proposition est incorrecte ou si les trois elfes passent leur tour, alors le jeu est perdu.
Quelle stratégie adopter pour que les elfes gagnent au jeu avec une probabilité de 75 % ?
Même question…
Cent elfes décident de jouer à un jeu où des bonnets sont placés aléatoirement sur la tête des participants. Chaque bonnet possède une couleur, rouge ou bleu, et chaque elfe peut voir la couleur des bonnets des autres joueurs, mais pas la sienne. A tour de rôle, chaque elfe va tenter de deviner la couleur de son bonnet. Le but du jeu est qu’un maximum d’elfes devinent correctement leur couleur. Les elfes peuvent établir une stratégie coopérative avant le début de jeu mais, une fois les bonnets placés sur les têtes, aucune communication n’est autorisée.
Quelle est la meilleure stratégie…
Un princesse demande à faire refaire sa salle de bain. Elle veut que le carrelage soit serti de diamants (sur les joints). Quelle forme de carrelage choisir pour que ce carrelage coûte le moins cher possible ?
Une partition d’un nombre entier n est une suite de nombre entiers non nuls tels que leur somme est égale à n. Le nombre 2 a pour partition (1, 1) et (2). Le nombre 7 admet (3, 3, 1) pour partition. On cherche à savoir laquelle des partitions d’un nombre n, donne le plus grand nombre par multiplication de ses nombres. Par exemple, pour 9, cette partition “maximale” est (3, 3, 3). Est il possible de trouver ce résultat pour tout n ? Quand on comptabilise seulement les partitions de deux entiers ? De trois entiers ? Quand ces partitions sont composés seulement de nombres différents ?