Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
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Article : Stéganographie - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Peut-on écrire des mots avec des couleurs ? Peut-on lire des mots dans les couleurs ? On montrera comment le faire avec 2, 3, 4 en utilisant la décomposition des nombres en base 2, 3 ou 4 , en programmant un tableur.
Mots clés : numération binaire, tableurArticle : Le plus loin - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Cet article présente plusieurs façons de trouver une configuration optimale d'éloignement entre plusieurs objets. Dans un premier temps, on considère uniquement deux objets dans une pièce rectangulaire, puis on s'intéresse au cas où un troisième objet est à maintenir à distance maximale de deux autres. Enfin, on étend ces résultats au cas d'une pièce non rectangulaire.
Mots clés : optimisationArticle : Le mancala - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie), Lycée français Jean Giono (Turin)
Article franco-roumain qui donne des pistes pour étblir une stratégie, programmable sur une machine, pour jouer au jeu du mancala
Mots clés : jeu, mancala, programmation, stratégieArticle : Modélisation de la croissance de végétaux - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d Altitude (Briancon)
Un L système est une grammaire formelle générative et récursive permettant de modéliser le processus d’évolution de certaines espèces animales et végétales. Dans la première partie de cet article, est décrit le choix de L systèmes permettant de modéliser la croissance de feuilles de platane. Les modèles obtenus sont simulés sur Mathematica et les paramètres en sont ajustés sur base de mesures détaillées prises sur des observations réelles. Dans la seconde partie de l’article des L systèmes sont présentés pour décrire l’évolution de la spirale de Fibonacci avec comme application la description de l’évolution d’une fougère.
Mots clés : modélisation, nombre d'or, L-système, suite de FibonacciArticle : La fougère - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d Altitude (Briancon)
L'article étudie un modèle géométrique de la croissance d'une fougère. Pour modéliser cette croissance, on dispose d'un alphabet de deux lettres : B (bourgeon) et F (tige) ainsi que de deux règles substitutives : B → F[+B][-B]FB et F → FF. Autrement dit, un bourgeon (B) devient une tige (F) avec un bourgeon à gauche ([+B]) et un bourgeon à droite ([-B]) et encore une tige (F) avec un bourgeon à l'extrémité (B). Une tige (F) deviendra une double tige (FF). Les auteurs souhaitent calculer les éléments de la suite Fn donnant le nombre de F après n itérations, de la suite Bn donnant le nombre de B après n itérations et de la suite Ln donnant la hauteur de la fougère, c'est-à-dire le nombre de F sur la tige centrale.Ils obtiennent les formules donnant Bn, Ln, et Fn. Les auteurs obtiennent également de façon analogue des formules équivalentes pour un nouveau modèle où les règles précédentes sont remplacées par : B → G[+B][-B]GB et G → FG où la nouvelle lettre G permet de limiter la…
Mots clés : L-système, suite, substitution, récurrence, programmationArticle : La numération des Shadoks - Lycée Bichat (Luneville)
Les Shadoks sont des êtres qui ressemblent à des oiseaux. Un beau jour, ils ont besoin de se compter, seulement ils ne connaissent que quatre mots : GA, BU, ZO et MEU.
Les Shadoks apprennent à compter. Seulement, au lieu de compter avec les dix chiffres habituels (0, 1, ..., 9), ils doivent en utiliser seulement quatre (GA, BU, ZU et MEU). Dans cet article, les auteurs revoient les opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) pour ces quatre chiffres, ainsi que l’écriture des nombres décimaux. Ils étudient également la correspondance entre les nombres écrits avec ces chiffres (base 4) et ceux écrits avec les chiffres habituels (base 10). Enfin, la correspondance avec les chiffres du système bibi-binaire (base 16) est abordée.
Mots clés : système de numération, numération, arithmétique, base, changement de base, nombre décimalLes Shadoks apprennent à compter. Seulement, au lieu de compter avec les dix chiffres habituels (0, 1, ..., 9), ils doivent en utiliser seulement quatre (GA, BU, ZU et MEU). Dans cet article, les auteurs revoient les opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) pour ces quatre chiffres, ainsi que l’écriture des nombres décimaux. Ils étudient également la correspondance entre les nombres écrits avec ces chiffres (base 4) et ceux écrits avec les chiffres habituels (base 10). Enfin, la correspondance avec les chiffres du système bibi-binaire (base 16) est abordée.
Diaporama : trajectoire sur un circuit - Lycée Pasquet (Arles)
A partir d'une photographie aerienne, on veut « reconstruire » un circuit automobile, afin de pouvoir calculer les vitesses, accélérations et rayons de virages. On cherche donc à approximer le tracé du circuit par un certain nombre de courbes. Les premières courbes étudiées sont les droites (équations cartésiennes puis paramétriques), puis les graphes de fonctions polynômes. Dans ce cas, on donne une estimation de la vitesse, et on en fait une représentation graphique. Ensuite, on envisage d'utiliser des ellipses, puis on utilise des courbes d'interpolations de Catmull-Rom puis de Kochanek-Bartels.
Mots clés : interpolation, spline, vitesse, courbe paramétriqueArticle : Détection de contours - Lycée Pasquet (Arles)
images numériques, paramètres statistiques utilisés pour détecter les contours dans une image.
Mots clés : image, couleur, médiane, variance, seuil, contourArticle : Entiers naturels sommes de deux carrés - Lycée Romain Rolland (Argenteuil) Lycée George Sand (Le Mée-sur-Seine)
Est-ce que tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’une somme de deux carrés ? Quels sont les nombres n tels que n = a2 + b2, avec a et b des entiers naturels ?
Mots clés : carré, somme, entier, nombre, produit, paritéArticle : Equation de Pell-Fermat - Lycée Romain Roland (Ivry) Lycée Pablo Picasso (Fontenay-sous-Bois)
Le problème ressemble à celui-ci qui est très simple : quels sont les nombres entiers (positifs ou négatifs), qui ont un inverse également entier, c’est-à-dire quels sont les a dans Z tels qu’il existe b dans Z et ab = 1 ?
Mots clés : équation de Pell, nombre, somme, entier, inverse, racine carréeArticle : Suite de Conway - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Etude de la suite de Conway : u1 = 1, u2 = 11, u3 = 21, u4 = 1211, un = ?
Mots clés : suite de Conway, récurrence, suite, chiffre, automate, programmeArticle : Les suites de Conway - Lycée Paul Eluard (Saint-Denis) Collège Jean Vilar (Villetaneuse)
Nous avons travaillé sur le sujet nommé « la suite de chiffres » ou « suite de Conway ». Il s’agit de construire des suites de chiffres selon une règle ...
Mots clés : suite de Conway, nombre, intervalleArticle : Les sans 9 - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Etude des entiers dont l’écriture n’utilise pas le chiffre 9, et plus généralement des nombres dont l’écriture dans une base fixée n’utilise aucun chiffre d’une liste donnée à l’avance.
Mots clés : chiffre 9, dénombrement, base, entier, ensembleArticle : Cavalier et échiquiers - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Le fameux problème du cavalier d’Euler consiste à déplacer un cavalier du jeu d’échecs et à parcourir toutes les cases de l’échiquier sans repasser deux fois au même endroit. Peut-on y parvenir sur des échiquiers plus généraux ?
Mots clés : cavalier, saut de cavalier, Euler, échiquier, parcours, algorithmeArticle : Découpages isométriques - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Une forme plane qui est symétrique est, évidemment, décomposable en deux surfaces égales et superposables. Existe-t-il des formes sans symétrie avec la même propriété ? Comment les reconnaître ?
Mots clés : découpage, isométrie, symétrie, géométrie plane, polygoneArticle : La suite de Conway - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Etude de la suite avec au départ 1 ou tout autre caractère. Puis exposé de différentes études sur la fréquence d'apparition des chiffres et sur la longueur de chaque chaîne de caractères. Etude intéressante et bien expliquée, menée avec rapidité (4 semaines).
Mots clés : suite de Conway, suite, récurrenceArticle : Polyèdres et formule d Euler - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Au départ de notre projet, la relation entre les polyèdres et les graphes nous a semblé évidente. Un polyèdre se définissant à nos yeux comme une intersection de plans dans l'espace, il semblait logique, comme le montre l'exemple du tétraèdre, qu'un polyèdre une fois aplati, avec certaines précautions, représente un graphe. Mais un nouvel objet, “le cadre”, ne correspondait plus à ce que nous avions défini comme polyèdres. Il n'obéissait plus aux mêmes règles. De ce fait, de nouveaux problèmes sont apparus. Il a fallu redéfinir les propriétés sur les graphes et surtout classer les polyèdres. De ces problèmes, beaucoup de questions ont surgi, ce qui a abouti à notre projet. Les résultats, bien qu'incomplets, sont rendus dans l'article suivant.
Mots clés : polyèdre, graphe, formule d'Euler, arête, degré, matrice, géométrie dans l'espaceArticle : Somme des chiffres - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Il s'agit d'étudier la suite des sommes des chiffres des nombres binaires multiples de trois.
Mots clés : binaire, somme, chiffre, suite, programmeArticle : Du pli aux fractales - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Prenez une feuille de papier et pliez-la en deux. Repliez-la une seconde fois, sans déplier le premier pli, et dans le même sens. Ensuite, dépliez la feuille en laissant un angle de 90° entre les “faces” ainsi obtenues. On recommence l'opération un grand nombre de fois. Quels sera la forme de la courbe formé par la tranche de la feuille ?
Mots clés : courbe du dragon, pliage, fractal·e, programmationArticle : Automates finis - Lycée Fustel de Coulanges (Massy)
Un automate lit et écrit des lettres (des symboles) suivant des règles invariables, fixées à l’avance. Quand un automate est mis en présence d’une lettre (il la “lit”), il effectue, en fonction de cette lettre et de l’état dans lequel il est, une opération élémentaire, conformément aux règles fixées : il “écrit” éventuellement une lettre, se déplace d’un cran à droite ou à gauche, puis adopte un nouvel état ; la lettre suivante est prête pour la lecture.
Mots clés : automate, programme, algorithmeArticle : Pavage d un échiquier abîmé avec des dominos - Université Joseph Fourier (Grenoble)
Un échiquier abîmé (= où certaines cases manquent) peut-il être couvert avec des dominos (un domino couvre exactement deux cases) ? Peut-il être parcouru par un cavalier qui ne repasserait jamais au même endroit ? Avec combien d’allumettes peut-on le dessiner (4 allumettes bordent une case) ?
Mots clés : échiquier, cavalier, saut de cavalier, domino, pavageArticle : Combinatoire des morceaux d échiquiers - Ecole élémentaire Voltaire (Nanterre) Collège André Doucet (Nanterre)
Le mot “polymino” désigne un assemblage de carrés tous égaux (les “cases”) collés entre eux par un de leur côtés. On peut les voir comme des morceaux d’échiquiers ou de damiers. Un polymino composé de deux cases est ainsi un domino. Bien que la structure des polyminos paraisse très simple, les problèmes combinatoires qu’ils posent s’avèrent difficiles, qu’il s’agisse de pavage, de parcours ou de représentation. Des relations entre divers paramètres (nombres de côtés, de cases, de trous, périmètres, ...) peuvent faire avancer l’étude de ces formes.
Mots clés : polymino, périmètre, pavage, échiquier, combinatoireArticle : Les boussoles - Lycée Georges Braque (Argenteuil) Lycée Fragonard (L Isle-Adam)
Comment vont se comporter des boussoles placées en réseau sous l’influence d’un aimant ? Lorsqu’on étudie le comportement de matières fluides formées de particules ayant des propriétés électriques et/ou magnétiques (par exemple des électrons), l’interaction des particules entre elles rend difficile la simulation et la prévision ; les mathématiques permettent d’y voir (un peu) plus clair.
Mots clés : aimant, boussole, réseau, vecteur, planArticle : Des courbes d équations différentielles - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Dans un domaine où une vitesse de passage est imposée en chaque point, comment trouver le chemin correspondant ? Telles se présentent certaines équations “différentielles”.
Mots clés : courbe, fonction, équation différentielle, dérivéeArticle : Courbes à boucles - Lycée Romain Roland (Ivry) Lycée Pablo Picasso (Fontenay-sous-Bois)
Une courbe algébrique peut être codée par une formule que doivent vérifier les coordonnées des points de cette courbe. Cette formule (appelée équation de la courbe ) doit être polynomiale: seules sont permises les multiplications de coordonnées entre elles, les additions, et les multiplications par des nombres fixés à l’avance (les coefficients). Comment voir sur la formule s’il existe des points multiples, des croisements ? Peut-on avoir deux croisements sans faire intervenir de multiplication de plus de 3 coordonnées ?
Mots clés : courbe, fonction, coordonnée, équation, algèbre, boucleArticle : Mesures de surfaces - Lycée Saint-Exupéry (Mantes-la-Jolie) Lycée Jean Rostand (Mantes-la-Jolie)
Comment mesurer une surface limitée par une courbe ? En approchant la surface par des rectangles ? Dans quel sens les mettre ? Que donne ce procédé pour les figures classiques : carré, triangle, disque ...
Mots clés : aire, approximation, courbe, fonction, paraboleArticle : Mesurer un objet - Ecole élémentaire Voltaire (Nanterre) Collège André Doucet (Nanterre)
Comment découper la plus longue lanière possible avec une peau de chèvre ? Comment, après cela, entourer la plus grande surface possible ? Comment tirer le meilleur parti d’une surface donnée, d’une longueur donnée ? Le problème de conception d’espace que rencontrait la reine Didon de la légende n’a rien à envier aux variantes modernes que sont la découpe de voile ou la construction d’architectures minimales ...
Mots clés : découpage, surface, aire, longueurArticle : Piéger des pions - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège Anne Frank (Bussy-Saint-Georges)
Dans un quadrillage, un pion (blanc) placé sur un nœud a quatre voisins (noirs). Deux pions peuvent donc avoir huit voisins s’ils ne sont pas côte à côte ou six voisins. Comment placer un nombre donné de pions afin que le nombre de voisins soit le plus petit possible ?
Mots clés : quadrillage, remplissage, pion, minimalArticle : Combien de régions ? - Lycée George Sand (Le Mée-sur-Seine) Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
Comment compter le nombre de régions formées par des courbes qui s’entrecroisent ? Peut-on trouver des relations entre les divers nombres qui interviennent dans la figure formée par un cercle et des cordes ?
Mots clés : dénombrement, cercle, région, point, cordeArticle : Modélisation du hasard - Lycée Jean Rostand (Mantes-la-Jolie) Lycée Saint-Exupéry (Mantes-la-Jolie)
Comment modéliser un tiercé, une partie de dé ? Comment modéliser le hasard lorsqu’il y a une infinité de résultats possibles ?
Mots clés : hasard, aléatoire, modélisation, probabilité, bijectionArticle : Stratégie à pile ou face - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
Un individu noté J joue à pile ou face contre la banque d’un casino. La pièce est non truquée, le joueur possède une somme a et la banque ne fait pas crédit. L’objet du problème est de montrer que quelle que soit sa stratégie, J ne peut espérer gagner d’argent.
Mots clés : stratégie de jeu, pièce, hasard, aléatoire, probabilité, espérance de vieArticle : Billards lumineux - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
La trajectoire d’un faisceau à l’intérieur d’un polygone quelconque peut-elle se refermer et, si oui, sous quelle(s) condition(s) ? Dans quel(s) cas une trajectoire est dense ? Dans un premier temps nous limiterons notre étude aux carrés et rectangles puis nous nous pencherons sur le cas plus complexe des cercles (assimilables à des polygones réguliers ayant une infinité de côtés).
Mots clés : trajectoire, rayon lumineux, billard, polygone régulier, cercle, rectangleArticle : Piéger un rayon lumineux - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège Anne Frank (Bussy-Saint-Georges)
Nous avons vu qu’il existe dans certaines figures des trajectoires que le rayon parcourt indéfiniment. Nous les appellerons des circuits. Si un rayon entre et suit un circuit il ressortira obligatoirement par où il est entré. Nous nous sommes alors demandé si un rayon pouvait à un moment donné rejoindre un circuit car alors il serait piégé.
Mots clés : rayon lumineux, géométrie plane, trajectoire, trajectoire périodiqueArticle : Approximation de racines par des fractions - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
Il s’agit de trouver une suite de couples d’entiers (X , Y) solutions de l’équation diophantienne w : X^2 – aY^2 = 1 avec (X , Y) différent de (1; 0) et a un entier qui ne soit pas un carré parfait.
Mots clés : racine carrée, approximation, fraction, équation diophantienne, fonctionArticle : Les suites de Farey - Collège Jean Vilar (Villetaneuse) Lycée Jacques Feyder (Epinay), Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
Comment s’approcher le mieux possible d’un nombre arbitraire par une fraction sans utiliser de nombre entier supérieur à N (nombre entier fixé à l’avance) ? Quelles fractions nouvelles apparaissent lorsque qu’on augmente N ? Ces fractions à petits nombres interviennent naturellement dans l’animation d’images de synthèse.
Mots clés : suite de Farey, fraction, entier, suite, conjecture, approximation, réelArticle : Tous les nombres sont-ils égaux à une fraction? - Lycée Fragonard (L Isle-Adam) Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Pour calculer, les Egyptiens utilisaient les nombres entiers et la division de l’unité en parties égales (fractions de la forme 1/n). Peut-on tout calculer avec de telles fractions ? avec des fractions plus générales ?
Mots clés : fraction, nombre, décomposition, ensemble, racine carréeArticle : Carrés magiques - Lycée George Sand (Le Mée-sur-Seine) Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
Un carré magique est un tableau carré dont les cases contiennent des nombres entiers distincts tels que les sommes des nombres écrits sur chaque ligne, chaque colonne, et sur chacune des deux diagonales soient égales à un même nombre que l’on note S. Comment construire des carrés magiques de toutes dimensions ?
Mots clés : carré magique, remplissage, somme, nombreArticle : Combinatoire autour du problème 007 - Lycée Paul Eluard (Saint-Denis) Lycée Jacques Feyder (Epinay)
Donnons-nous un nombre entier p. De combien de manières un nombre N (par exemple 007) peut-il s’exprimer comme somme de p nombres plus petits ? Cette question est typique de la “Combinatoire énumérative” qui cherche des relations systématiques entre les nombres entiers apparaissant naturellement dans les objets structurés finis. Les résultats actuels sont notamment utiles pour évaluer des temps de calcul sur ordinateur, et pour mieux simuler le hasard.
Mots clés : combinatoire, addition, triplet, nombre entier, décompositionArticle : Sommes d ensembles de nombres - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège Anne Frank (Bussy-Saint-Georges)
Additionner A = {3, 5} et B = {3, 6, 8}, c’est former un nouvel ensemble A+B avec les résultats des additions d’un nombre pris dans A et d’un nombre pris dans B : par exemple, A+B = {6, 8, 9, 11, 13}. Additionnons plusieurs fois un même ensemble, fixé à l’avance. Peut-on prévoir la taille de l’ensemble obtenu ? Ce type d’opération apparaît par exemple lorsque l’on paye quelque chose avec de la monnaie (pièces de 1F, 2F, 5F et 10 F, utilisées en plusieurs exemplaires). Plus généralement, comprendre la croissance par addition d’ensembles de nombres ou de suites de nombres ( = des vecteurs ) permet d'accélérer la diffusion d’informations dans un réseau de communication.
Mots clés : addition, ensemble, nombreArticle : Du carré à l escalier - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège Anne Frank (Bussy-Saint-Georges)
On dispose d’une boîte carrée dans laquelle sont rangés des cubes sur une seule couche. Avec ces cubes, on va essayer de fabriquer un escalier. Par exemple si on dispose d’une boîte de trois cubes sur trois c’est-à-dire de 9 cubes en tout, on ne peut pas fabriquer l’escalier suivant qui contient 10 cubes. Si on enlevait un étage à cet escalier, il ne contiendrait plus que 7 cubes. Donc avec une boîte carrée de 9 cubes, on ne peut pas fabriquer d’escalier.
Mots clés : carré, escalier, cube, nombre, rectangleArticle : La forme des nombres - Ecole élémentaire Voltaire (Nanterre) Collège André Doucet (Nanterre)
En disposant n pions d’une manière ordonnée sur une feuille, on peut parfois dessiner une forme simple. Quels nombres peuvent ainsi obtenir une forme agréable (carré, triangle, losange, trapèze, rectangle, disque, ...) ? Les rectangles et les ronds sont encore énigmatiques pour les mathématiciens.
Mots clés : configuration de points, nombre, géométrie plane, triangleArticle : Numération : bases standard et exotiques - Lycée Jacques Feyder (Epinay) Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
Une pesée où des poids marqués (chacun en un seul exemplaire) sont mis sur le plateau de droite pour équilibrer un “nombre-poids” placé à gauche, permet de coder les nombres avec deux signes (“oui” ou “non”). La suite de Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...) est un système possible de masses marquées. Comment réaliser les opérations usuelles (addition, soustraction, ...) dans un tel système ?
Mots clés : base de numération, Fibonacci, chiffre, division euclidienneArticle : trajectoires périodiques et billard triangulaire - Collège Jean Vilar (Villetaneuse) Lycée Jacques Feyder (Epinay), Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
L’origine de ce problème est l’étude de gaz confinés dans un récipient : les molécules rebondissent sur les parois. Comment obtenir dans un triangle des trajectoires de particules qui, périodiquement, rebondissent sur les parois ?
Mots clés : symétrie, billard, triangle, trajectoire périodiqueArticle : Systèmes balançaire - Ecole élémentaire Voltaire (Nanterre) Collège André Doucet (Nanterre)
Pour peser des objets on peut utiliser une balance à deux plateaux et un jeu de masses dont on connait le poids. Lorsque l’équilibre est réalisé avec l’objet sur un plateau, on déduit par un calcul simple le poids de l’objet.
Mots clés : pesée, soustraction, additionArticle : Des doigts jusqu au supercalculateur - lycée Jean Macé (Vitry- sur-Seine)
Nous avons décidé cette année de suivre l’évolution du calcul à travers les âges, et avons intitulé notre thème de recherche : le calcul, des doigts jusqu’au supercalculateur. Les moyens de calcul étant très nombreux, nous avons sélectionné ceux qui nous paraissaient accessibles, et qui nous plaisaient. Pour faire ce choix, nous avons étudié un très beau livre : Histoire des instruments et machines à calculer (de J. Marguin, chez Hermann). Nous nous sommes répartis en plusieurs groupes : chaque groupe a choisi un instrument de calcul, l’a étudié, a appris à le comprendre et à le pratiquer.
Mots clés : doigt, calcul, boulier, règle, code, binaireArticle : Cercles modulo p - Lycée Pablo Picasso (Fontenay-sous-Bois) Lycée Romain Roland (Ivry)
x2 + y2 = 1 est, dans un repère orthonormé, l’équation d’un cercle de centre (0, 0) et de rayon 1. Il y a sur ce cercle quatre points particuliers : ils ont des coordonnées entières ; ce sont les points d’intersection avec les axes des abscisses et des ordonnées ... Maintenant, combien y a-t-il de solutions entières, si on se place à un multiple de p près (p étant un nombre premier, c’est-à-dire qu’il n’est divisible que par 1 et lui-même) ?
Mots clés : cercle, coordonnée entière, nombre premier, équation, vecteur, congruenceArticle : Les nombres p-adiques - Lycée Romain Roland (Ivry) Lycée Pablo Picasso (Fontenay-sous-Bois)
Cette étude porte sur des nombres inventés par les arithméticiens, appelés nombres p-adiques. Voici leur définition : tout d’abord le « p » de p-adique désigne un nombre premier c’est-à-dire un entier qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. Il représente la base de numération dans laquelle nous travaillons : p est le nombre de chiffres (ou de symboles) utilisés.
Mots clés : nombre p-adique, arithmétique, addition, nombre premier, multiplication, inverseArticle : Marche aléatoire - Lycée Buffon (Paris) Lycée Jean de la Fontaine (Paris)
Si on marche sur un quai de long en large, par pas de 1, avec une probabilité de 0,5 à chaque pas, quelle est la probabilité de se retrouver au point de départ au bout de n pas ?
Mots clés : marche aléatoire, probabilité, pas, résolutionArticle : Pile ou face - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
2 joueurs jouent à pile ou face. Face rapporte 1 franc, pile fait perdre 1 franc. S'ils jouent 100 fois chacun, combien de fois vont-ils être à égalité d'argent ? Même question avec n francs.
Mots clés : probabilité, tableau, fonction, pile ou faceArticle : L aiguille de Buffon - Lycée Buffon (Paris) Lycée Jean de la Fontaine (Paris)
Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divisé par des joints parallèles, on jette en l'air une baguette, et que l'un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune des parallèles du parquet, et que l'autre au contraire parie que la baguette croisera quelques unes de ces parallèles ; on demande le sort de ces deux joueurs. On peut jouer ce jeu sur un damier avec une aiguille à coudre ou une épingle sans tête.
Mots clés : aiguille, parallèle, plan, pari, symétrie, variable, probabilité, géométrieArticle : Fractions continues - Lycée Jean Moulin (Lyon) Lycée Saint Exupéry (Lyon)
Le sujet concerne l'approximation des réels par des rationnels en utilisant les fractions continues. Deux problèmes complémentaires se posent : étant donné un réel ≠ 0, quel est son développement en fraction continue ? Une fraction continue représente-t-elle toujours un réel ? Lequel ?
Mots clés : fraction continue, réel, période, suite, limiteArticle : Quels nombres ont une forme carrée ? - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Si on prend un polygone et qu'on le place sur un quadrillage, on obtient un certain nombre de points à l'intérieur et sur les bords. On peut ainsi associer à un nombre entier certaines formes géométriques. Nous avons décidé d'étudier les nombres ayant une forme carrée.
Mots clés : polygone, quadrillage, point, coordonnéeArticle : Suites de Fibonacci - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
La suite de Fibonacci est une suite de nombres, notés Fn, qui se calculent de la façon suivante : F1 = 1, F2 = 1 et Fn+2 = Fn+1 + Fn Nous présentons quelques-unes des très nombreuses propriétés de cette suite.
Mots clés : suite de Fibonacci, suite, asymptote, spirale, triangle de PascalArticle : Les nombres de Fibonacci - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Fibonacci était le surnom de Léonard de Pise. Il a posé un problème dans lequel il cherche à calculer le nombre de couples de lapins au bout de n années, lorsqu’ils se reproduisent selon les règles suivantes: les lapins se reproduisent par couple. Un couple de lapins donne naissance à un nouveau couple tous les ans, à partir de la 2ème année (la 1ère année, il est trop jeune et Les lapins sont immortels ...
Mots clés : Fibonacci, suite de Fibonacci, nombre d'orArticle : Cryptographie - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Dans notre société, on utilise beaucoup de codes que ce soit pour les cartes de crédit, les transmissions de banques à banques, ou pour protéger l'information contre l'espionnage ... Aujourd'hui la solution la plus retenue pour le codage est basée sur l'arithmétique modulaire et sur la difficulté qu'il y a à factoriser un entier en ses facteurs premiers (les méthodes que l'on connaît actuellement ne nous permettent pas de le faire en un temps raisonnable). Avant de voir le codage et le décodage, nous allons définir la notion de congruence, voir quelques-unes de ses propriétés et étudier l'arithmétique modulo m (c'est-à-dire les différentes opérations utilisant les congruences telles que l'addition, la multiplication, l'opposé, l'inverse, etc ...).
Mots clés : codage, cryptographie, modulo, arithmétiqueArticle : Le réseau - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
On se situe dans un plan où sont disposés une infinité de points distants d'une unité (quadrillage). Le but est de relier tous les points par des “règles” assimilées à des vecteurs. Peut-on relier tous ces points avec seulement 2 règles ? Peut-on relier tous ces points grâce à 3 règles ?
Mots clés : vecteur, plan, quadrillage, réseauArticle : Les partitions d entiers - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Le sujet de notre travail de recherche porte sur les partitions d'entiers. De nombreux mathématiciens se sont penchés sur ce thème et d'ailleurs certains d'entre eux ont publiés des ouvrages concernant ce sujet comme par exemple Leonhard Euler (1707-1783) qui a écrit un ouvrage en 1748. On appelle partition d'un entier n tout ensemble de nombres entiers compris entre 1 et n et dont la somme est n.
Mots clés : partition, nombre entier, Euler, ordre, tableurArticle : Empilements de sphères - Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Le sujet porte sur l'empilement de sphères dans une boîte parallélépipèdique c'est-à-dire remplir des parallélogrammes de même forme.
Mots clés : cercle, parallélogramme, empilementArticle : Le cube transpercé - Lycée Pierre Corneille (Rouen) Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly)
On part d'un cube d'arête n que l'on va diviser en n^3 petits cubes d'arête 1, notés cubes E (élémentaires). Soit C un cube E quelconque. On place une tour qui va protéger tous les cubes E situés sur les 3 axes parallèles aux arêtes du cube et passant par C.
Mots clés : cube, géométrie dans l'espace, arête, trouArticle : Paris et New-York sont-ils les sommets d un carré? - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Voilà une curieuse question pour un sujet de recherche en mathématiques car à première vue, la réponse paraît simple. En effet, dans l'espace, nous pouvons par des plans de coupe, obtenir le support d'une infinité de carrés possédant des sommets à l'endroit où l'on veut. En fait, tous les plans contenant la droite passant par Paris et New York conviennent pour y tracer nos carrés : on peut imaginer un plan pivotant autour de l'axe Paris - New York , comme sur la figure ci-dessous. Cependant ces carrés ne sont pas sur la surface de la Terre, assimilée à une sphère parfaite.
Mots clés : cercle, carré, sommet, sphère, planArticle : Le coloriage du tore - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Le polyèdre de Szilassi nous montre que sept couleurs sont nécessaires pour recouvrir tout polyèdre possédant un trou sans que deux faces voisines aient la même couleur. Le problème est de tracer sur un tore la carte la plus simple possible, qui nécessite sept couleurs et dont deux pays frontaliers n'aient jamais la même couleur.
Mots clés : polyèdre, coloriage, tore, plan, pavageArticle : Recherche de polyèdres particuliers - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Nous allons vous exposer différentes façons d'assembler les pentagones et les hexagones réguliers pour former un polyèdre convexe. Parmi ces façons vous en connaissez deja deux : celle qui correspond au ballon de football, et celle où il n'y a pas du tout d'hexagone (il s'agit du dodécaèdre régulier).
Mots clés : polyèdre, géométrie dans l'espace, hexagone, pentagone, formule d'EulerArticle : Formule d Euler, polyèdres platoniciens - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Représentation sur ordinateur Fabrication de polyèdres. Expérience sur les cinq polyèdres platoniciens et sur Ie ballon de foot. Etude des polyèdres sans diagonales, avec ou sans trou.
Mots clés : formule d'Euler, polyèdre platonicien, géométrie, planArticle : Treillis - Lycée Gustave Monod (Enghien-les-Bains)
Un “carré” de barres articulées peut se déformer. Si on ajoute une barre diagonale, il est rigide car les deux barres diagonales donnent le même résultat (on se place dans le plan, interdisant les pliages). Un treillis est une structure “ rectangulaire ” de tels “carrés”. Un treillis est dit rigide si aucun de ses carrés ne peut se déformer.
Mots clés : treillis, carré, diagonale, rectangle, rigiditéArticle : Le plus grand carré contenu dans un cube - Collège Condorcet (Pontault-Combault) Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Parmi tous les quadrilatères que l'on peut mettre dans un cube, quel est le celui dont l'aire est la plus grande ? En particulier, quel est le plus grand carré ?
Mots clés : cube, carré, géométrie dans l'espace, hexagoneArticle : Disques à couvrir - Collège Condorcet (Pontault-Combault) Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Comment recouvrir le plus grand disque possible à l'aide de plusieurs autres disques identiques ? Pour commencer, une des équipes à étudié le problème avec 6 disques et l'autre avec 5 disques. Au cours de ces recherches, nous nous sommes aperçu qu'en fait, nous étions presque obligés d'étudier le cas de 3 et de 4 disques. Nous sommes ainsi en mesure de vous proposer des réponses pour 1, 2, 3, 4, 5 et 6 disques.
Mots clés : cercle, surface, géométrieArticle : Le plus grand disque avec un minimum de disque - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Tout au long du module de recherche, nous avons essayé de trouver la meilleure disposition pour obtenir le plus grand rayon avec un nombre de disques défini (5 disques).
Mots clés : cercle, surface, géométrie, triangleArticle : Histoire de disques - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Le sujet qui nous fut proposé consistait à trouver le plus grand cercle pouvant être recouvert par des disques de même diamètre. Deux problèmes principaux se présentèrent : le nombre de disques à utiliser, et leur disposition.
Mots clés : surface, cercle, géométrieArticle : Histoire de cercles - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Comment faut-il positionner des cercles de base de même diamètre pour couvrir une surface circulaire pleine maximale ?
Mots clés : cercle, surface, géométrie, triangleArticle : Les fonctions - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly)
Le sujet porte sur l’étude des propriétés auxquelles répondent certaines fonctions. Le sujet étant très vaste, nous nous sommes intéressés à deux ensembles de fonctions : les fonctions à variables réelles et les fonctions dans un ensemble fini.
Mots clés : fonction, ensemble, variableArticle : Balade sur le cercle - Lycée Saint Exupéry (Lyon) Lycée Jean Moulin (Lyon)
Plaçons-nous sur le cercle trigonométrique. Soit A le point d’origine des abscisses. Soient P et Q deux points du cercle. Existe-t-il un point M, situé entre P et Q, tel qu’une des mesures de l’arc AM soit entière (en radians) ?
Mots clés : cercle, trigonométrie, radian, angle, arc, pointArticle : 142857 nombres permutables - Lycée Jean de la Fontaine (Paris)
Le nombre 142857 a une propriété exceptionnelle : quand on forme ses 6 permutations circulaires (à savoir 142857, 428571, 285714, 857142, 571428 et 714285), ces 6 nombres sont multiples de 142857. Nous appellerons “6-permutable” ou “permutable à 6 chiffres” un tel nombre, puisqu’il est formé de 6 chiffres (un chiffre étant compris entre 1 et 9 et un nombre étant formé de chiffres). Le premier problème qui se pose est de trouver des nombres q-permutables, voire tous les nombres q-permutables, pour une valeur donnée de q. Pour aborder cette question, nous avons d’abord remarqué que 142857 (nombre 6-permutable) est un diviseur de 10^6 - 1, et que 123 (nombre 5-permutable) est un diviseur de 10^5 - 1.
Mots clés : nombre permutable, multiple, chiffre, démonstration, moduloArticle : Problème des ... 101 nombres - Lycée Saint Exupéry (Lyon) Lycée Jean Moulin (Lyon)
1, 2, 3, ... 101. On range les nombres de 1 à 101 dans un ordre arbitraire. Par exemple : 72, 26, 3, 7, 14, 84, 101, ... 92 Est-il toujours possible d’extraire de ce rangement 11 nombres dans l’ordre croissant ou décroissant ? Les 11 nombres ne sont pas nécessairement consécutifs.
Mots clés : nombre, aléatoire, ordre croissant, ordre décroissant, grapheArticle : Calculs modulo n - Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Soient x et y deux entiers positifs. Le calcul de x modulo y s’effectue comme la division euclidienne de x par y. Le reste de cette division euclidienne est le résultat du calcul de x modulo y.
Mots clés : division euclidienne, calcul, modulo, algèbre, commutativitéArticle : Equation de Pell-Fermat - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Pourquoi avoir choisi ce thème Equation de Pell-Fermat ? En 93, l’actualisation du théorème de Fermat a suscité notre intérêt, et d’autre part, nous avions envie de travailler sur des nombres. Quel est ici le problème posé ? Il s’agit de trouver X et Y entiers solutions de l’équation : N X^2 ± 1 = Y^2 où N est un entier donné.
Mots clés : Fermat, équation de Pell, solution d'une équation, carré, programmeArticle : Les fractions continues (suite) - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège André Doucet (Nanterre)
Suite de l'étude de fractions continues commencé l'année dernière par les élèves de Nanterre et de Noisy-Le-Grand.
Mots clés : fraction continue, partie entière, partie décimale, fraction irréductibleArticle : Les fractions continues - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Notre objectif est d’obtenir une valeur approchée d’un nombre réel et ceci pas nécessairement à l’aide d’un développement décimal, comme il nous est naturel et habituel de la faire. Une autre manière, plus ancienne, utilise une approximation par des fractions ; nous définirons plus loin ce qu’on appelle un développement en fraction continue d’un nombre réel.
Mots clés : fraction continue, nombre, approximationArticle : Nombres congruents - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Quels sont les nombres congruents ? Existe-t-il des nombres entiers S qui sont des aires d’un triangle rectangle dont les côtés seraient mesurés par des nombres rationnels ? On sait qu’un nombre rationnel est un entier ou un quotient de deux entiers.
Mots clés : nombre congruent, triangle, triplet pythagoricien, fonctionArticle : Chiffres, symétries et différences - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly) Lycée Pierre Corneille (Rouen)
Nous choisissons un nombre dont nous mettons les chiffres dans l’ordre croissant ; ceci nous donne un nombre. Avec le même nombre nous mettons les chiffres dans l’ordre décroissant. Nous faisons leur différence, donc nous avons fait la soustraction des deux nombres. Avec le résultat nous avons fait de même, c’est-à-dire mettre les chiffres dans l’ordre croissant et décroissant. En faisant cela plusieurs fois, ceci nous amène aux nombres de départ.
Mots clés : nombre, chiffre, ordre croissant, décroissant, suiteArticle : Les carrés magiques - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly)
Le carré magique est un tableau (de forme carrée, bien sûr !) dans lequel les sommes de chaque ligne, chaque colonne, chaque diagonale doivent être égales.
Mots clés : carré magique, dénombrement, addition, division