Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : 17 pavages a l Alhambra - Collège Henri Wallon (Marseille)
Le palais de l’Alhambra, vieux de plus de 1000 ans, possède des mosaïques où l’on peut voir, paraît-il, les 17 types possibles de pavages du plan. Notre projet a pour but de déterminer le nombre de pavages possibles et de vérifier s’ils sont tous présents à l’Alhambra.
Mots clés : pavage, pavage régulier, périodique, plan, isométrie, groupe, cristallographique, symétrie, rotation, translationArticle : Les interrupteurs - Lycée Elie Faure (Lormont) Lycée Fernand Daguin (Merignac)
Des boutons lumineux sont disposés sur les noeuds d'un réseau. Un clic sur un bouton change l'état (allumé ou éteint) du noeud et celui de ses voisins. Quelles configurations peut-on obtenir ? Des simplifications des séquences de clics sont possibles, cela permet de réduire le nombre de séquences à considérer et simplifie la modélisation du problème.
Mots clés : lampe, interrupteur, graphe, état, calcul vectoriel, binaire, algèbre linéaireArticle : Jeu de Nim - Collège Charles Lebrun (Montmorency) Collège de Nézant (Saint-Brice sous forêt)
Au départ : deux joueurs et des tas d'allumettes. Tour à tour, chaque joueur prélève une ou plusieurs allumettes dans le tas de son choix, Celui qui, à la fin, prend la dernière allumette est le gagnant.
Mots clés : jeu de Nim, stratégie, Nim-addition, tasArticle : Croissance des arbres - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
Travaux effectués par les élèves de Briançon et de Cluj (Roumanie) sur la modélisation de la croissance des arbres. Ils ont obtenu de beaux résultats sur les âges (des arbres) d'un point de vue expérimental et d'un point de vu théorique.
Mots clés : modélisation, arbre, probabilité, simulation, algorithme, matrice d'évolutionArticle : Eteindre les lumières - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Article donnant la résolution complète du sujet posé.
La partie démonstration a été complétée par les enseignants et le chercheur mais en respectant le texte initial et l'idée de la démonstration des élèves donnée à l'oral.
A noter la traduction en chinois du sujet: plusieurs élèves du groupe étudient cette langue et ont passé une année scolaire en Chine.
Mots clés : graphe, système linéaire, binaire, matriceLa partie démonstration a été complétée par les enseignants et le chercheur mais en respectant le texte initial et l'idée de la démonstration des élèves donnée à l'oral.
A noter la traduction en chinois du sujet: plusieurs élèves du groupe étudient cette langue et ont passé une année scolaire en Chine.
Article : Le triangle de Reuleaux tourne pas rond - Lycée d’Altitude (Briancon)
On complète chaque côté d'un triangle équilatéral par des arcs de cercle centrés aux sommets opposés et …. on obtient le triangle de Reuleaux, avec un "diamètre constant"! Il peut rouler dans une bande et dans un carré, ce qui permet la construction d'un outil pour faire des trous carrés ! On calcule son aire, son périmètre et on envisage aussi de généraliser cette forme à d'autres polygones réguliers.
Mots clés : triangle, Reuleaux, diamètre, largeur, périmètre, aireArticle : Le point le plus loin - Lycée d’Altitude (Briancon)
Quel est le point d'un rectangle le plus éloigné de n points donnés dans ce rectangle ? Les cas de 2 et de 3 points sont étudiés, avec comme définition de l'éloignement la somme des distances aux points donnés, par le tracé de courbes de niveau. Il est conjecturé que le point cherché est un toujours un sommet du rectangle.
Mots clés : maximum, distance, rectangle, ellipse, ovale, ligne de niveau, courbeArticle : La planche du fakir - Lycée Maine de Biran (Bergerac) Lycée Kastler (Talence)
Le fakir possède une planche à clous : c'est une planche en bois dans laquelle on a planté des clous espacés de 1 unité sur des lignes et des colonnes. On pose un élastique autour des clous. Cela forme des triangles, des polygones... Les auteurs étudient quels triangles sont possibles : peuvent-ils être "presque rectangles" ? équilatéraux ? presque équilatéraux ? Puis, étudiant un autre problème, ils proposent une méthode de découpage qui transforme tout polygone en rectangle, en carré
Mots clés : plan, polygone, sommet entier, triangle équilatéral, découpage, carré, équation diophantienne, Pell, Fermat, planche du fakirArticle : Épidémiologie - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
L'épidémiologie est l'étude des facteurs influant sur la santé et les maladies des populations humaines. Il s'agit d'une science qui se rapporte à la répartition, à la fréquence et à la gravité des états pathologiques. Ce que le chercheur propose : · Implémenter un modèle très simple d'évolution d'une maladie dans un tableur. · Expérimenter. · Comprendre. · Prévoir.
Article : Stratégie gagnante au jeu de Chomp - Collège Jean Jaurès (Vieux Condé)
Cette année, M Balan, chercheur au LAMAV, à l'université de Valenciennes, nous a proposé de travailler sur le Jeu de Chomp. Ce jeu a été inventé en 1952 par Frederik "Fred" Schuh puis ré-inventé en 1974 par David Gale sous sa formulation actuelle. On l'appelle parfois le jeu de la plaque de chocolat.
Article : La ronde des jetons - Collège Labitrie (Tournefeuille)
Xavier Buff, enseignant-chercheur de l’Université Paul Sabatier de Toulouse nous a présenté le jeu suivant, suivi de la question …
Quatre joueurs autour d’une table…un meneur de jeu ...
Chaque joueur dispose d’un nombre pair de jetons
Chaque joueur fait passer à son voisin de gauche la moitié de ses jetons.
Si un joueur possède un nombre impair de jetons, le meneur de jeu lui en donne un de plus.
Et on continue... Est-ce que la partie s'arrête ? Au bout de combien de tours ? Et si on change le nombre de jetons au départ de la partie ?
Mots clés : arithmétique, suite récurrenteQuatre joueurs autour d’une table…un meneur de jeu ...
Chaque joueur dispose d’un nombre pair de jetons
Chaque joueur fait passer à son voisin de gauche la moitié de ses jetons.
Si un joueur possède un nombre impair de jetons, le meneur de jeu lui en donne un de plus.
Et on continue... Est-ce que la partie s'arrête ? Au bout de combien de tours ? Et si on change le nombre de jetons au départ de la partie ?
Article : Des nombres en colonne - Collège Labitrie (Tournefeuille)
Voici le problème posé par Xavier Buff, enseignant-chercheur à l’Université Paul Sabatier de Toulouse : « Si je prends un nombre à quatre chiffres et que j’écris les uns en dessous des autres ses produits par 1 ;2 ; 3 .. jusqu’à 9, j’affirme que chaque colonne contient au moins le chiffe 0 ou le chiffre 9.
Les élèves donnent une réponse complète à cette question.
Mots clés : arithmétique, table de multiplication, principe de DirichletLes élèves donnent une réponse complète à cette question.
Article : L’invasion des uns - Collège Rambaud (Pamiers) Collège Labitrie (Tournefeuille)
« Peut-on multiplier 2007 par un nombre entier pour obtenir un résultat ne s’écrivant qu’avec des uns ? ». L'article montre que cela est possible et donne, après beaucoup de caculs, le premier nombre qui convient, un nombre de 662 chiffres ! Il fait appel à deux techniques parallèles, et à l'aide d'un tableur.
Mots clés : écriture décimale, divisibilitéArticle : Les carrés qui tournent en rond - Lycée Gambetta (Tourcoing)
On part d’un nombre entier naturel. On calcule la somme des carrés de ses chiffres. On obtient un nouvel entier naturel, sur lequel on recommence la même opération, et ce ainsi de suite. L’objectif est de prévoir le comportement des entiers qu’on obtient, en réitérant le procédé à l’infini, quel que soit l’entier de départ.
Article : Le Jeu de Ping - Lycée Paul langevin (Suresnes)
Le jeu de Ping est une sorte de damier, rectangulaire ou carré, de taille variable, où dans chaque case se trouve un pion bicolore (une face verte, l’autre rouge). Avec notre logiciel, le damier était limité en taille à 16 colonnes et 32 lignes, mais dans la réalité on peut imaginer des damiers plus grandes ou infinies. Le damier de taille minimale est le 1*1 . Au départ du jeu, tous les pions montrent leur face verte. Le but du jeu est de réussir à retourner tous les pions sur leur face rouge, mais avec une sorte de handicap. Quand on clique sur un des pions du damier, il n'est pas retourné. Seuls ses huit voisins le sont, les directs et ceux en diagonale. On ne peut donc résoudre un damier en faisant n’importe quoi, il faut agir avec...
Article : Ça roule à Saint-Orens - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens)
Notre recherche a consisté à déterminer les régions du plan accessibles lorsque l'on fait pivoter des polyèdres réguliers autour de leurs arêtes.
Nous avons étudié l'évolution de la zone accessible en fonction du nombre et de la position des faces auxquelles on a interdit de toucher le plan .
Exemple avec le cube : ➔ Que se passe-t-il lorsque l'on fait pivoter un cube ?
Nous avons étudié l'évolution de la zone accessible en fonction du nombre et de la position des faces auxquelles on a interdit de toucher le plan .
Exemple avec le cube : ➔ Que se passe-t-il lorsque l'on fait pivoter un cube ?
Article : Découpages pâtissiers - Lycée Daguin (Mérignac) Lycée Pape Clément (Pessac)
On considère un (des) gâteau(x), que l’on se propose de couper plusieurs fois, avec un couteau dont la lame est suffisamment grande. Combien de parts au maximum est-il possible d’obtenir en un nombre donné n de coups de couteau (ou « découpes ») ?
Article : La stratégie des allumettes - Lycée Pape Clément (Pessac)
A tour de rôle deux joueurs prélèvent des allumettes dans un tas allumettes. Le premier à jouer peut en retirer 1 ou 2, et par la suite chaque joueur peut en retirer entre 1 et kn+q où k et q sont des entiers fixés et où n est le nombre d'allumettes retirées par l’adversaire au coup précédent. Le perdant est celui qui prélève la dernière allumette. Pour k=2 et q=0, les auteurs déterminent les positions gagnantes du jeu et donnent une stratégie infaillible, à l'aide de la suite de Fibonacci. Des conjectures générales sont proposées pour k>2, q=0 et pour k=1, q=1.
Mots clés : jeu, jeu de Nim, stratégie de jeu, suite de Fibonacci, ZeckendorfArticle : Qui peut gagner des millions ? - Lycée Aristide Mailol (Perpignan)
Nous sommes trois élèves de 1ère Scientifique du lycée Aristide Maillol à Perpignan. Le projet MATh.en.JEANS a été conçu autour de plusieurs problèmes mathématiques parmi lesquels nous avons choisi : « Qui peut gagner des millions ? » Il s’agit d’un jeu télévisé qui consiste à choisir autant de nombres entiers entre 1 et 1000 que vous le souhaitez, la seule contrainte étant que leur somme doit être exactement égale à 1000. Vous gagnez alors le montant, en euros, égal au produit de tous les nombres qui ont été sélectionnés. L’objectif est évidemment de gagner le plus d’argent possible. Nous avons essayé de trouver la combinaison qui fera gagner la plus grande somme d’argent. Nous avons choisi ce sujet car le contexte général nous paraissait réaliste. De plus qui n’a jamais rêvé de gagner une somme d’argent « astronomique»
Article : Le Vendeur De Polyedres - Collège Charles Péguy (Palaiseau)
«Je voudrais un polyèdre avec 6 arêtes, 4 faces et 2 sommets.» Est-ce que le vendeur peut toujours satisfaire son client? Y a t-il des familles de demandes pour lesquelles il n'hésite pas à prendre un polyèdre ?
Article : Point de rencontre - Collège Alain Fournier (Orsay) Collège Charles Péguy
Trois personnes sont dans un grand champ plat sans obstacles et veulent se rejoindre le plus rapidement possible. Elles avancent toutes à la même vitesse.
Article : Polygone Sur Un Quadrillage - Collège Alain Fournier (Orsay)
On trace un polygone dont les sommets correspondent à des points d’une feuille de papier pointé quadrillé. - Peut-on trouver l’aire du polygone grâce au nombre de points à l’intérieur et sur le bord de celui-ci ? - Que se passe-t-il avec un autre pavage ?
Dans ce qui suit, nous noterons en indice du polygone concerné : - b, le nombre de points du quadrillage se trouvant sur les bords du polygone. - i, le nombre de points du quadrillage se trouvant à l’intérieur au polygone. - A l’aire du polygone. Ainsi, pour un polygone nommé P, Pb sera le nombre de points du quadrillage situés sur les bords de P .
Dans les parties 1. et 2., nous prendrons comme unité de surface l’aire d’un carré formant le pavage
Dans ce qui suit, nous noterons en indice du polygone concerné : - b, le nombre de points du quadrillage se trouvant sur les bords du polygone. - i, le nombre de points du quadrillage se trouvant à l’intérieur au polygone. - A l’aire du polygone. Ainsi, pour un polygone nommé P, Pb sera le nombre de points du quadrillage situés sur les bords de P .
Dans les parties 1. et 2., nous prendrons comme unité de surface l’aire d’un carré formant le pavage
Article : Jeu De Pierre- Feuille-Ciseaux - Collège Alain Fournier (Orsay) Collège Charles Péguy
Un joueur A propose à un joueur B, connu pour sa naïveté, de jouer à Pierre/Feuille/Ciseaux/Puits. Il sait que B va jouer au hasard à chaque coup. Le jeu est-il équitable ? Le jour B, qui sait que A est parfois malhonnête, peut-il proposer un jeu à 5 symboles ? Peut-on proposer un jeu de Pierre/Feuille/Ciseaux à trois
Article : Jeu de paliers - Collège Alain Fournier (Orsay) Collège Charles Péguy
On dispose de trois colonnes verticales en haut desquelles se trouvent trois billes numérotées de 1 à 3 et en bas desquelles se trouvent trois trous, eux aussi numérotés de 1 à 3. On peut ajouter des paliers horizontaux entre les colonnes. Lorsqu’on lâche les billes (toutes en même temps), elles tombent verticalement, sauf si elles rencontrent un palier, auquel cas elles l’empruntent et changent de colonne. Peut-on placer les paliers de sorte que chaque bille atterrisse dans le trou qui lui correspond ? Que se passe-t-il lorsqu’on augmente le nombre de colonnes ?
Article : Approximations de pi - Collège Alain Fournier (Orsay)
Le nombre π intervient dans le périmètre d'un cercle de rayon R : 2πR et dans l’aire d’un disque de rayon R : πR2. En choisissant un cercle de rayon R = 1, on peut donc avoir π en étudiant le demi-périmètre de ce cercle et son aire. Nous avons donc cherché à trouver un encadrement de π, en trouvant des figures simples, intérieures et extérieures au cercle de rayon 1, dont on pourrait calculer le périmètre et l’aire
Article : Les nombres Heureux et Malheureux - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un nombre, n, est dit « heureux » si et seulement s'il existe deux entiers strictement positifs a et b tels que : a + b = n a x b = n x k
Tout nombre non heureux est malheureux.
Tout nombre non heureux est malheureux.
Article : Au marché - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un paysan doit livrer sa récolte de blé (90 sacs) au marché de la ville voisine, distante de 50 km. Pour cela, il fait appel à un charretier. La charrette de celui-ci peut transporter 50 sacs. Le charretier demande comme salaire un sac de blé pour chaque kilomètre parcouru à l'aller ! Heureusement, il ne demande rien pour le trajet retour. Combien le paysan va-t-il pouvoir apporter de sacs au marché ?
Dans un premier temps nous verrons trois méthodes possibles et laquelle est la plus efficace. Dans un second temps nous verrons comment évolue le nombre de sacs apportés au marché lorsque le nombre de paysans augmente
Dans un premier temps nous verrons trois méthodes possibles et laquelle est la plus efficace. Dans un second temps nous verrons comment évolue le nombre de sacs apportés au marché lorsque le nombre de paysans augmente
Article : Tolérance aux ruptures sur les canaux de comm - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
On symbolisera ici un réseau d’ordinateurs par un graphe : chaque ordinateur sera représenté par un petit cercle qu’on nommera nœud. Ces nœuds s’envoient des informations par des canaux de communications à sens unique représentés par des segments fléchés (appelés arêtes).
Article : Happy Numbers…et «autres rondes» - Collège des Eyquems (Mérignac) Lycée Alfred Kastler (Talence)
Nous étudions les nombres entiers en additionnant leurs chiffres, puis les carrés de leurs chiffres, puis les cubes de leurs chiffres…et nous…entrons dans la ronde!!
Venez danser avec nous!
Venez danser avec nous!
Article : Le cochon qui rit - Collège Jean Mermoz (Marly)
Jeu de hasard pur et d'assemblage : « Le cochon qui rit » Ce jeu a été inventé en 1932 à Lyon par Joseph Michel qui s’est inspiré d’un jeu pratiqué dans les bistrots. Il a été primé au concours Lépine en 1934. En voici la règle : chaque joueur doit compléter un cochon à partir des éléments disponibles. Les joueurs jettent trois dés lors de leur tour de jeu. Un 6 permet de prendre le corps du cochon (action préalable aux suivantes), un 1 permet de placer une patte, une oreille ou un œil. Il faut deux 1 pour placer la queue en tire-bouchon. Tant que le joueur obtient au moins un 1, il peut rejouer. Le gagnant est le premier à avoir assemblé toutes ses pièces
Article : Le monde tropical et les amibes - Lycée Odilon Redon (Pauillac)
En changeant les règles du jeu, et en remplaçant l'addition par la prise du maximum, ainsi que la multiplication par … l'addition quel nouveau monde est il ainsi créé ? C'est le « monde tropical ». Que devient alors la géométrie dans ce monde ? Que deviennent les droites ? Dans le plan, dans l'espace ? Et pour des équations de degré supérieur à 2, qu'est ce qu'on obtient pour représentation graphique ?
Mots clés : géométrie tropicaleArticle : Il n en restera qu un - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Cet article étudie le jeu du solitaire, d'abord sur une ligne et ensuite dans le plan. Il cherche à décrire les situations de départ, qui permettent d'arriver à une situation ne contenant plus qu'un pion.
Mots clés : jeu, solitaireArticle : Les tas de sable, cas général - Lycée d Altitude (Briancon)
Les auteurs étudient des tas de sables posés sur des surfaces planes de formes géométriques imposées. Il décrivent la nature des lignes de crête dans le cas où la surface de base est la réunion de deux carrés collés ensemble, et dans le cas où la surface est délimitée par deux arcs de cercle. Les formes géométriques qui apparaissent sont des coniques : paraboles, ellipses et hyperboles. Cet article est la suite d'un article de même nom, publié en 2012/2013.
Mots clés : tas de sable, ligne de crête, ensemble des points à égale distance, parabole, hyperbole, ellipseArticle : La vengeance de la cigale - Collège Robert Buron (Nandy) Collège La Pyramide (Lieusaint)
Une cigale se propose de trouver la pire manière d'attacher un tableau au mur avec deux clous, en utilisant une ficelle. Plus exactement, la cigale veut que le tableau reste attaché au mur si les deux clous sont à leur place mais que dès qu'un des clous tombe, peu importe lequel, alors le tableau tombe aussi. La question est : combien des possibilités a la cigale ? Est-qu'il y a des possibilités si on augmente le nombre de clous ?
Mots clés : séquence de lettres, permutationArticle : La Fourmi invite ses amis - Collège Robert Buron (Nandy) Collège La Pyramide (Lieusaint)
La Fourmi et ses amies jouent au lancers de grains. Elles doivent être placées de sorte que toutes les distances entre elles soient différentes. De plus, chaque fourmi doit lancer son grain à la fourmi la plus proche.
Toutes les fourmis reçoivent-elles un grain ? Y aura-t-il toujours un échange de grain entre deux fourmis ? Peut-on avoir des trajectoires croisées ? Est-il possible que l'hôte reçoive tous les grains sauf le sien ?
Des fourmis, toutes placées à des distances différentes les unes des autres, lancent le grain qui est initialement en leur possession à leur plus proche voisine. La manière dont les grains sont envoyés est l'objet de cette étude faisant ressortir quatre résultats principaux.
L'existence de configurations où toutes les fourmis reçoivent un grain est démontrée pour un nombre de fourmis pair. Dans le cas impair, les auteurs conjecturent qu'au moins une fourmi ne reçoit pas de grain. En second lieu, ils prouvent qu'au moins deux fourmis…
Mots clés : distance, géométrieToutes les fourmis reçoivent-elles un grain ? Y aura-t-il toujours un échange de grain entre deux fourmis ? Peut-on avoir des trajectoires croisées ? Est-il possible que l'hôte reçoive tous les grains sauf le sien ?
Des fourmis, toutes placées à des distances différentes les unes des autres, lancent le grain qui est initialement en leur possession à leur plus proche voisine. La manière dont les grains sont envoyés est l'objet de cette étude faisant ressortir quatre résultats principaux.
L'existence de configurations où toutes les fourmis reçoivent un grain est démontrée pour un nombre de fourmis pair. Dans le cas impair, les auteurs conjecturent qu'au moins une fourmi ne reçoit pas de grain. En second lieu, ils prouvent qu'au moins deux fourmis…
Article : La Fourmi fait du rangement - Collège Robert Buron (Nandy) Collège La Pyramide (Lieusaint)
Partie 1 :
La Fourmi veut ranger ses grains de riz en les mettant en colonnes ou en lignes. Quel est le nombre de rangements possibles ?
Partie 2 :
La Fourmi souhaite ranger ses grains pour obtenir un carré magique. Comment l'obtenir ?
Dans cet article, les auteurs proposent d'aider la Fourmi de la fable de Jean de la Fontaine à ranger ses grains qu'elle avait amassé tout l'été. Pour ce faire, ils conjecturent que le nombre de façons de faire son rangement en ligne de telle sorte que que chaque ligne ait le même nombre de grains est un diviseur du nombre de grains. Ce dénombrement est également explicité lorsqu'il n'y a que deux dispositions possibles.
Mais la Fourmi a retrouvé dans son grenier une autre possibilité de rangement : le carré magique. Ainsi, tous les carrés magiques d'ordre 3 et 4 sont précisés et une démonstration générale est proposée pour trouver le nombre de carrés magiques d'ordre n quelconque en fonction de…
Mots clés : nombre, carré magique, diviseurLa Fourmi veut ranger ses grains de riz en les mettant en colonnes ou en lignes. Quel est le nombre de rangements possibles ?
Partie 2 :
La Fourmi souhaite ranger ses grains pour obtenir un carré magique. Comment l'obtenir ?
Dans cet article, les auteurs proposent d'aider la Fourmi de la fable de Jean de la Fontaine à ranger ses grains qu'elle avait amassé tout l'été. Pour ce faire, ils conjecturent que le nombre de façons de faire son rangement en ligne de telle sorte que que chaque ligne ait le même nombre de grains est un diviseur du nombre de grains. Ce dénombrement est également explicité lorsqu'il n'y a que deux dispositions possibles.
Mais la Fourmi a retrouvé dans son grenier une autre possibilité de rangement : le carré magique. Ainsi, tous les carrés magiques d'ordre 3 et 4 sont précisés et une démonstration générale est proposée pour trouver le nombre de carrés magiques d'ordre n quelconque en fonction de…
Article : Massacre en cercle - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Article
Un certain nombre m de gobelins décident de s'entre-tuer de la manière suivante : ils se placent en cercle et comptent jusqu'à un nombre n inférieur à m, celui qui dit n est tué, et le décompte reprend à partir de 1 le long du cercle. Le prochain qui prononce n est tué, etc.
Le but est de trouver où sont placés les survivants. Les cas n=2 et n=3 sont traités. Dans le cas n=2, une formule explicite pour la place du survivant parmi m gobelins est introduite, en utilisant le raisonnement par récurrence puis l'écriture en binaire. Pour le cas n=3, on voit apparaître une relation de récurrence entre la place des deux survivants parmi m gobelins et la place des deux survivants parmi m+1 gobelins.
Mots clés : dénombrement, récurrence, écriture binaireUn certain nombre m de gobelins décident de s'entre-tuer de la manière suivante : ils se placent en cercle et comptent jusqu'à un nombre n inférieur à m, celui qui dit n est tué, et le décompte reprend à partir de 1 le long du cercle. Le prochain qui prononce n est tué, etc.
Le but est de trouver où sont placés les survivants. Les cas n=2 et n=3 sont traités. Dans le cas n=2, une formule explicite pour la place du survivant parmi m gobelins est introduite, en utilisant le raisonnement par récurrence puis l'écriture en binaire. Pour le cas n=3, on voit apparaître une relation de récurrence entre la place des deux survivants parmi m gobelins et la place des deux survivants parmi m+1 gobelins.
Article : C est du billard! - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Cet article traite des trajectoires rectilignes d’une boule soumise à un ou plusieurs rebonds successifs le long des bandes d’un billard. Après s’être intéressés à la construction de la trajectoire de la boule de billard, les auteurs ont émis des conjectures et des pistes de démonstration concernant la délimitation des zones atteignables ou non par cette boule après un ou plusieurs rebonds.
Mots clés : billard, réflexion, trajectoire, domaine, frontièreArticle : Périmètre borné et aire constante - Lycée Saint Joseph (Bressuire) Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Est-il possible de construire une figure d'aire finie et de périmètre infini ? En particulier, peut-on modifier une figure pour augmenter son périmètre sans changer son aire ?
Mots clés : géométrie, fractal·eArticle : Jeu du chat et de la souris - Lycée Français (Berlin)
Une souris et un chat se déplacent sur les cases d'un échiquier. La chat va-t-il arriver à manger la souris ? Combien de tours la souris peut-elle espérer survivre ? Dans cet article, les auteurs utilisent des outils probabilistiques pour répondre à ces questions dans le cas d'un échiquer de dimension 2x2. Dans les différentes configurations considérées (différentes situations initiales, chat immobile ou non, utilisation d'une stratégie par le chat et/ou la souris, …), la souris n'a malheusement pratiquement aucune chance de s'en sortir … ou heureusement, selon le point de vue.
Mots clés : probabilité, espérance, limite, récurrenceArticle : Aurez-vous la grippe cet hiver ? - Ecole Internationale (Manosque)
L'article propose une modélisation de la propagation du virus de la grippe. Les auteurs proposent un premier modèle, basé sur leur intuition et le confrontent à l'avis d'un médecin. Sur base de cet avis, ils tentent de dégager les facteurs importants de contamination afin d'améliorer leur modèle. Ils comparent alors les prévisions des différents modèles envisagés avec la réalité grâce aux données du site "Sentinelles". Suite à cette comparaison, le modèle linéaire à seuil semble être le plus probant. Repartant de celui-ci, les auteurs testent la sensibilité des différents paramètres intervenant grâce à l'utilisation d'un solveur, les plus sensibles étant le taux de contamination et le taux de vaccination.
Enfin, les auteurs concluent en donnant certaines pistes d'amélioration de leur modèle, notamment en tenant compte d'autres paramètres comme la météo ou la répartition géographique de la population.
Mots clés : modélisation, fonction, tableurEnfin, les auteurs concluent en donnant certaines pistes d'amélioration de leur modèle, notamment en tenant compte d'autres paramètres comme la météo ou la répartition géographique de la population.
Article : Le jeu de set : être sûr de gagner - Lycée Bichat (Luneville)
L'article traite du jeu de SET. Le jeu est constitué de 81 cartes toutes différentes qui se distinguent selon 4 caractéristiques : le nombre (1, 2 ou 3) d'objets identiques (losange, ovale, vague) d'une même couleur (rouge, vert ou violet) avec un même remplissage (vide, hachuré ou plein). Un SET est un ensemble de trois cartes qui, pour chaque critère, sont soit toutes différentes, soit toutes identiques. Le but du jeu est de trouver le plus grand nombre de set.
Les élèves répondent aux questions suivantes dans cet article. Pour deux cartes définies, y a-t-il toujours une et une seule carte qui complète le SET ? Combien y a-t-il de sets possibles au jeu de SET ?
Mots clés : jeu, dénombrement, jeu de Set, permutation, combinaisonLes élèves répondent aux questions suivantes dans cet article. Pour deux cartes définies, y a-t-il toujours une et une seule carte qui complète le SET ? Combien y a-t-il de sets possibles au jeu de SET ?
Article : Multiplier sur vos doigts - Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) Collège Iles de Loire (St Sébastien sur Loire)
Tout le monde connaît bien ses tables d'addition (j'espere !), et aussi ses tables de
multiplication (j'espère aussi !) bien qu'elles soient réputées plus difficiles a apprendre !
Savez-vous multiplier jusqu'à dix en ne connaissant que vos tables de multiplication jus-
qu'a cinq, celle par dix, et en n'utilisant que vos doigts ?
Il est montré comment on peut se servir de nos doigts pour multiplier . Si on veut multiplier a par b tels que a et b sont compris entre 5 et 10, il suffit de connaître ses tables de multiplications jusqu'à 5 et la multiplication par 10, et de se servir de ses doigts.
La technique est étendue pour des chiffres compris entre 5k et 10k pour différentes valeurs de k. Mais il faut alors de plus grandes mains !
Mots clés : compter, doigt, nombre, multiplicationmultiplication (j'espère aussi !) bien qu'elles soient réputées plus difficiles a apprendre !
Savez-vous multiplier jusqu'à dix en ne connaissant que vos tables de multiplication jus-
qu'a cinq, celle par dix, et en n'utilisant que vos doigts ?
Il est montré comment on peut se servir de nos doigts pour multiplier . Si on veut multiplier a par b tels que a et b sont compris entre 5 et 10, il suffit de connaître ses tables de multiplications jusqu'à 5 et la multiplication par 10, et de se servir de ses doigts.
La technique est étendue pour des chiffres compris entre 5k et 10k pour différentes valeurs de k. Mais il faut alors de plus grandes mains !
Article : Pont de Kaplas - Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) Collège Iles de Loire (St Sébastien sur Loire)
Comment empiler des Kaplas sur le bord d'une table de manière à ce qu'ils dépassent le bord de la table le plus possible ? ...
On s’intéresse ici à la construction d'un pont de Kaplas, qui sont des parallélépipèdes rectangulaires en bois d'une longueur de 12cm, et de faible épaisseur. Il s'agit de les empiler sur le rebord d'une table, afin de s'écarter de celle-ci le plus possible. Dans un premier temps, plusieurs configurations avec 3 Kaplas sont testées, ce qui conduit les auteurs à se limiter à un certain type d'empilement jugé optimal, dans lequel un seul Kaplas par niveau est autorisé. Ensuite, à partir d'expériences impliquant un petit nombre de Kaplas, une loi générale donnant la distance maximale atteignable avec un nombre de Kaplas donné est proposée. Cette loi est vérifiée expérimentalement pour des ponts comportant jusqu'à 8 étages. Grâce à un tableur, une conjecture est faite sur la taille maximale de ponts composés de 20 Kaplas au plus.
Mots clés : Kapla, pont, empilement, surplomb, centre de gravitéOn s’intéresse ici à la construction d'un pont de Kaplas, qui sont des parallélépipèdes rectangulaires en bois d'une longueur de 12cm, et de faible épaisseur. Il s'agit de les empiler sur le rebord d'une table, afin de s'écarter de celle-ci le plus possible. Dans un premier temps, plusieurs configurations avec 3 Kaplas sont testées, ce qui conduit les auteurs à se limiter à un certain type d'empilement jugé optimal, dans lequel un seul Kaplas par niveau est autorisé. Ensuite, à partir d'expériences impliquant un petit nombre de Kaplas, une loi générale donnant la distance maximale atteignable avec un nombre de Kaplas donné est proposée. Cette loi est vérifiée expérimentalement pour des ponts comportant jusqu'à 8 étages. Grâce à un tableur, une conjecture est faite sur la taille maximale de ponts composés de 20 Kaplas au plus.
Article : Partage de boissons - Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) Collège Iles de Loire (St Sébastien sur Loire)
Trois cruches d'eau ont une contenance respective de trois, cinq et huit litres. Celle de huit litres est remplie d'eau et les deux autres sont vides. Comment obtenir une quantité de quatre litres en versant de l'eau d'une cruche à l'autre ? ...
L'article propose une méthode pour régler le problème suivant : comment obtenir une quantité de 4L d'eau lorsqu'on possède une cruche de 8L remplie, et deux cruches vides respectivement de 5L et 3L, uniquement en versant de l'eau d'une cruche à l'autre ?
Les auteurs proposent une méthode pour coder toutes les versement possibles et déterminer tous les chemins possibles pour obtenir les 4L d'eau.
Mots clés : partage, entier, transvasement, dénombrement, optimisationL'article propose une méthode pour régler le problème suivant : comment obtenir une quantité de 4L d'eau lorsqu'on possède une cruche de 8L remplie, et deux cruches vides respectivement de 5L et 3L, uniquement en versant de l'eau d'une cruche à l'autre ?
Les auteurs proposent une méthode pour coder toutes les versement possibles et déterminer tous les chemins possibles pour obtenir les 4L d'eau.
Article : Le jeu du Colonel Blotto - Lycée Pierre Mendes-France (Epinal) Lycée Louis Lapicque (Epinal)
Le jeu du Colonel Blotto est un jeu qui se joue à deux. Il se déroule sur 3 terrains. Chaque joueur dispose d’une armée de 12 soldats qu’il faut répartir sur trois terrains en suivant ces règles : le nombre de soldats placés sur le terrain A doit être supérieur ou égal au nombre de soldats placés sur le terrain B, et le nombre de soldats sur le terrain B doit être supérieur ou égal à celui du terrain C. Sur chacun des terrains, les soldats de chaque joueur s’affrontent et gagnent à chaque fois qu’ils sont en supériorité numérique. Lorsque les deux joueurs ont placé leurs soldats, il peut se produire l'un des deux cas de figure suivant : ou bien l'un des deux joueurs remporte au moins deux victoires, celui-ci est le gagnant et son adversaire est le perdant, ou bien les deux joueurs ont une victoire, une défaite et une égalité, ou encore trois égalités, ce qui compte pour un match nul. Y a-t-il une stratégie pour gagner ? Y a-t-il une stratégie pour ne pas perdre à long terme ? Que se passe-t-il…
Mots clés : théorie des jeux, jeu séquentiel finiArticle : Suite de Pile ou Face - Lycée Grandmont (Tours)
On lance une pièce bien équilibrée jusqu’à ce que le nombre de piles deviennent plus grand que le nombre de faces. Dans l’article est calculée la probabilité que cet événement se réalise au n-ième lancer, puis le lien est fait avec les nombres de Catalan.
Mots clés : probabilité, arbre, dénombrement, nombre de CatalanArticle : Quelle aire est il ? - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Comment calculer l'aire d'une surface pour laquelle on ne connait pas de formule, par exemple un lac ? Les auteurs proposent et comparent plusieurs méthodes : remplir la surface de carrés et de triangles; une méthode probabiliste; et remplir la surface de rectangles très fins.
Mots clés : aire, approximation, Monte-Carlo, encadrement, calcul approché d'une intégraleArticle : Du chemin le plus court au chemin minimal - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Cet article traite du problème de relier trois villes par des routes en utilisant le moins de goudron possible. Il relate le cheminement qui a permis aux élèves de trouver la meilleure configuration accompagnant ainsi le lecteur.
Mots clés : géométrie, droites remarquables d'un triangleArticle : On vous a grillés ! - Collège Etienne Dolet (Orléans)
Cet article présente un tour de « magie » mathématique. Un spectateur choisit mentalement un nombre. Le magicien lui présente alors plusieurs cartes sur lesquelles les premiers entiers sont classés selon leur décomposition en base 2 par exemple (il est également proposé des variantes avec la base 3 et la base formée des nombres de Fibonacci). Le spectateur indique au magicien sur quelles cartes se trouve son nombre, et le magicien est alors en mesure de lui annoncer le nombre auquel il a pensé.
On évoque dans le corps de l'article, la décomposition de tout entier en base 2 (et son unicité) ainsi que la décomposition de tout entier à l'aide des entiers de Fibonacci.
Mots clés : numération, numération binaire, FibonacciOn évoque dans le corps de l'article, la décomposition de tout entier en base 2 (et son unicité) ainsi que la décomposition de tout entier à l'aide des entiers de Fibonacci.
Article : Tour de mathémagie de Fibonacci - Collège Etienne Dolet (Orléans)
Il s'agit de trouver des propriétés des suites de nombres définies par la données des deux premiers termes et la rêgle suivante : tout terme de la suite est égal à la somme des deux termes précédents.
Mots clés : calcul algébrique, divisibilité, fraction, nombre d'orArticle : L impair et l autre pas - Collège Etienne Dolet (Orléans)
On place quinze objets sur la table, chaque joueur en prend à son tour 1, 2 ou 3. Gagne celui qui (quand il n'y a plus d'objet sur la table) possède un nombre pair d'objets. Il s'agit ici de trouver une stratégie gagnante.
Mots clés : jeu de Nim, pair, impair, stratégie gagnanteArticle : La géométrie du tas de sable - Collège Vieux colombier (Le Mans)
On verse du sable régulièrement en un point d'une surface plane, un tas se forme. Voilà devant nous un bel « objet mathématique ». Que peut- on connaître de cet objet ? Mesurer ? Calculer ? Et que se passe-t-il si on verse encore plus de sable ? Et si on prend un autre sable ? Puis, on pourra observer ce qui se passe si on fait évoluer le tas. Par exemple en perçant un trou au centre de sa base. Et si, au lieu de verser le sable...
Article : Tout noir, tout blanc - Collège Le Chamandier (Gières)
Des pions bicolores recouvrent un damier, blancs dessus, noirs dessous. Quand on retourne
un pion, on retourne aussi ses voisins (4 voisins en général, sauf au bord) Peut-on passer
d’un damier tout noir à un damier tout blanc ?
un pion, on retourne aussi ses voisins (4 voisins en général, sauf au bord) Peut-on passer
d’un damier tout noir à un damier tout blanc ?
Article : Droles de touches - Lycée Saint Exupéry (Fameck)
Par erreur, notre calculatrice tombe et se détraque : elle affiche 0, et seules 4 touches fonctionnent encore. Les quatre touches sont les suivantes : ‐ Les touches 0 ; 4 ; 6 gardent leur fonction d’origine : le chiffre s’affiche à la droite du nombre affiché à l’écran. ‐ La touche 2 ne fonctionne plus de la même manière : quand elle est utilisée, si le nombre affiché est pair, elle le divise par 2 sinon elle ne fait rien
Article : Tableau électrique - Lycée du Parc des Loges (Evry)
Un électricien inexpérimenté se charge de l'installation électrique d'une maison et commet des erreurs...
Article : Les tablettes de chocolat - Lycée Môquet-Lenoir (Chateaubriant)
Les règles du jeu sont simples : une tablette, deux joueurs. Chacun son tour, un joueur mange une partie de la tablette en entamant par le coin supérieur droit. Le dernier carreau en bas à gauche est empoisonné. On mange un rectangle composé d'un nombre n de carreaux comprenant le coin supérieur droit. Le but du jeu est de contraindre l'adversaire à manger le dernier carreau. (fig. 1)
On ne peut manger que des ensembles de carreaux de forme rectangulaire dans le coin supérieur droit uniquement.
On ne peut manger que des ensembles de carreaux de forme rectangulaire dans le coin supérieur droit uniquement.
Article : Compter des droites finies - Lycée Môquet-Lenoir (Chateaubriant)
On appelle plan projectif fini un ensemble fini d'éléments appelés points, possédant un certain nombre de sous-ensembles appelés droites. Nous sommes ici dans la géométrie projective, c'est-à-dire que l'on suppose que deux droites quelconques se coupent toujours. On veut que les points et les droites vérifient certaines propriétés :
- deux droites distinctes se coupent toujours exactement en un point ; - il existe un ensemble F constitué de 4 points, tel qu'aucune droite ne coupe F en plus de 2 points ; (1) - par deux points distincts, il passe exactement une droite.
On cherche à déterminer de tels ensembles. On commence d'abord par essayer de déterminer des plans de petite taille, comme un plan projectif constitué de 4 points. On cherche à établir une liste des points et des droites de cet ensemble. Cependant, on se rend rapidement compte que c'est impossible.
On cherche ensuite des plans avec un…
- deux droites distinctes se coupent toujours exactement en un point ; - il existe un ensemble F constitué de 4 points, tel qu'aucune droite ne coupe F en plus de 2 points ; (1) - par deux points distincts, il passe exactement une droite.
On cherche à déterminer de tels ensembles. On commence d'abord par essayer de déterminer des plans de petite taille, comme un plan projectif constitué de 4 points. On cherche à établir une liste des points et des droites de cet ensemble. Cependant, on se rend rapidement compte que c'est impossible.
On cherche ensuite des plans avec un…
Article : La géométrie de la grenouille - Lycée d Altitude (Briancon)
Soit une grenouille dont l'espace de vie est l'ensemble des points du plan de coordonnées entières. Elle effectue des sauts uniquement de longueur √5 . (1)
Étant donnés deux points A et B de coordonnées entières de son espace de vie, on définit la distance_grenouille par Dg(A,B) = nombre minimal de sauts pour aller de A à B.
Comment est la géométrie des grenouilles ? Cercles, triangles, médiatrices...
Mots clés : cavalier, quadrillage, distance, plan, entier, géométrie, médiatrice, racine carrée de 5Étant donnés deux points A et B de coordonnées entières de son espace de vie, on définit la distance_grenouille par Dg(A,B) = nombre minimal de sauts pour aller de A à B.
Comment est la géométrie des grenouilles ? Cercles, triangles, médiatrices...
Article : La route des fourmis - Lycée d Altitude (Briancon)
Le but du sujet est d'arriver à proposer un modèle de comportement des fourmis, qui « voient » seulement à une distance inférieure ou égale à 1, pour trouver le plus court chemin de A1 à A10 (deux points fixés)
Article : Feux et contre-feux - Lycée Saint Joseph (Bressuire)
Ce triangle du feu compte 3 éléments différents, le combustible qui correspond à tout ce qui est susceptible de brûler comme la paille et le bois, le comburant qui correspond à l’air, composé d’azote, d’oxygène et de gaz rares, et enfin l’énergie d’activation, c'est à dire tout ce...
Article : La plage - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Dans une ville côtière, les rues sont toutes nord‐sud ou est‐ouest, et la distance entre deux carrefours voisins est toujours la même. Le front de la mer est au sud‐est. Pour aller à la plage depuis sa maison, Paul prend une pièce et à chaque carrefour tire à pile ou face. S’il obtient pile, il prend la rue vers le sud, s’il obtient face, celle vers l’est. Il arrive à la plage après n lancers. Combien de
chemins possibles peut‐il faire? Combien a‐t‐il de chances d’arriver à un endroit donné de la plage ?
Mots clés : probabilité, Bernoulli, combinatoire, combinaison, triangle de Pascal, chemin, quadrillage, réseau carré, coefficient binomial, combinatoire énumérativechemins possibles peut‐il faire? Combien a‐t‐il de chances d’arriver à un endroit donné de la plage ?
Article : La géométrie de Pierre - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Dans cet article, les auteurs étudient un jeu de géométrie qui se compose d’un gros cube et de 3 solides : un prisme triangulaire de base un triangle équilatéral, un parallélépipède rectangle de base un carré et un cylindre. Le gros cube a trois ouvertures. L’une des ouvertures a la forme d’un triangle équilatéral, une autre a la forme d’un carré et la dernière la forme d’un disque.
Le but de l'article est d'expliquer comment déterminer les dimensions des ouvertures pour que chaque solide puisse être inséré dans le gros cube en passant par l’ouverture qui lui correspond (le triangle pour le prisme à base triangulaire, le carré pour le parallélépipède, le disque pour le cylindre), et uniquement par celle-ci.
Mots clés : jeu de géométrie, théorème de Pythagore, théorème de ThalèsLe but de l'article est d'expliquer comment déterminer les dimensions des ouvertures pour que chaque solide puisse être inséré dans le gros cube en passant par l’ouverture qui lui correspond (le triangle pour le prisme à base triangulaire, le carré pour le parallélépipède, le disque pour le cylindre), et uniquement par celle-ci.
Article : A.R.U.I.: Advanced Research Unit Investigations - Athénée Royal d Uccle I Collège Saint Hubert (Bruxelles)
Résoudre des énigmes policières à l'aide de la théorie des graphes, voici la tâche de l'A.R.U.I.
Ils vont expliquer comment arrêter un kidnappeur d’enfants sur une île isolée, comment retrouver l’auteur d’un vol de tableau dans un grand musée bruxellois, comment démasquer l’auteur du vol des examens de mathématique à l’Athénée d’Uccle, comment expliquer la réussite de l’évasion spectaculaire de quatre dangereux malfaiteurs de la prison de haute sécurité de Tracalzar. Plusieurs concepts classiques de théorie des graphes (parité des degrés d'une marche dans un multi-graphe, 3-coloration, propriétés des graphes d'intervalles, algorithme de Dijkstra dans un graphe pondéré) sont mis en jeu. L'utilisation de ces outils théoriques permet de prouver qui est le malfaiteur.
Mots clés : graphe, théorie des graphes, enquête policière, algorithme de Dikjstra, circuit eulérien, graphe d'intervallesIls vont expliquer comment arrêter un kidnappeur d’enfants sur une île isolée, comment retrouver l’auteur d’un vol de tableau dans un grand musée bruxellois, comment démasquer l’auteur du vol des examens de mathématique à l’Athénée d’Uccle, comment expliquer la réussite de l’évasion spectaculaire de quatre dangereux malfaiteurs de la prison de haute sécurité de Tracalzar. Plusieurs concepts classiques de théorie des graphes (parité des degrés d'une marche dans un multi-graphe, 3-coloration, propriétés des graphes d'intervalles, algorithme de Dijkstra dans un graphe pondéré) sont mis en jeu. L'utilisation de ces outils théoriques permet de prouver qui est le malfaiteur.
Article : Une machine d humeur très changeante - Lycée Jean Lurçat (Perpignan) Lycée Maillol (Perpignan)
Vous introduisez dans une machine un nombre entre 0 et 1 et régler un curseur sur une valeur entre 0 et 4. La machine transforme alors votre nombre de la façon suivante: elle lui soustrait son carré, multiplie le résultat par la valeur indiquée par le curseur, affiche le résultat, puis recommence avec cette nouvelle valeur et poursuit ainsi indéfiniment. Quelle est l'influence de valeurs choisies au départ sur le comportement des résultats affichés ?
Mots clés : fonction itérée, chaosArticle : Economie de bitume - Lycée Jean Lurçat (Perpignan) Lycée Maillol (Perpignan)
Quatre maisons sont situées aux coins d'un carré de côté 1 km. Quel est le réseau routier permettant de relier ces quatre maisons qui possède la plus courte longueur totale ?
Cet article étudie différentes alternatives concurrentes pour le plus court chemin entre les quatre coins d'un carré. Les élèves ont trouvé parmi une famille un chemin le plus court. Ils n'ont cependant pas pu montrer que c'était le chemin le plus court, ce résultat étant très difficile. Néanmoins, ils ont trouvé que cette conjecture avait été démontrée.
Mots clés : théorème de Pythagore, dérivation, minimisationCet article étudie différentes alternatives concurrentes pour le plus court chemin entre les quatre coins d'un carré. Les élèves ont trouvé parmi une famille un chemin le plus court. Ils n'ont cependant pas pu montrer que c'était le chemin le plus court, ce résultat étant très difficile. Néanmoins, ils ont trouvé que cette conjecture avait été démontrée.
Article : Automate cellulaire cyclique - Collège de Marciac (Marciac)
Les élèves du collège de Marciac ont étudié une familles d'automates cellulaires inspirée du jeu « pierre-feuille-ciseaux » (une case évolue vers le résultat obtenu en faisant jouer ladite case avec sa voisine de droite). Ils ont fait des observations permettant de prévoir comment une suite infinie de configurations initiales évoluera à l'infini. Ces observations ont été formalisées, et prouvées à l'aide d'un « algorithme » (décrivant les diverses évolutions possibles de « boîtes », qui sont des sous-suites composées de deux chiffres uniquement).
Mots clés : automate cellulaire, pierre-feuille-ciseaux, état stationnaire, évolutionArticle : Jeu de Nim - Collège de Marciac (Marciac)
l'article présente le jeu de Nim à un tas, jeu de type duel sans partie nulle. Une stratégie gagnante est présentée. La stratégie repose sur une propriété arithmétique simple. L'article contient une démonstration de la propriété et établit une preuve par induction de la stratégie gagnante.
Mots clés : jeu, jeu de Nim, stratégieArticle : Maths et magie - Collège de Marciac (Marciac)
Dans cet article, les élèves étudient une méthode de battage d'un paquet contenant un nombre pair de cartes. Le paquet est séparé en deux tas, et le battage consiste à alterner une carte du premier paquet avec une carte du second paquet. On s'intéresse plus précisément au nombre d'étapes nécessaires pour que toutes les cartes du paquet reviennent à leur position de départ.
L'article comporte en particulier : une conjecture sur le nombre d'étapes nécessaires pour un paquet de 2^n cartes, n ≥ 1 ; un résultat démontré concernant l'équivalence entre retour d'une carte à sa position initiale et retour de l'ensemble du paquet à sa position initiale, ceci lorsque le battage débute à partir du tas situé en haut du paquet ; et une preuve de l'égalité entre le nombre de battages nécessaires pour un paquet de 2p cartes en commençant par le tas du haut, et le nombre de battages nécessaires pour un paquet de 2p + 2 cartes en commençant par le tas du bas.
Mots clés : permutation, mélange de cartesL'article comporte en particulier : une conjecture sur le nombre d'étapes nécessaires pour un paquet de 2^n cartes, n ≥ 1 ; un résultat démontré concernant l'équivalence entre retour d'une carte à sa position initiale et retour de l'ensemble du paquet à sa position initiale, ceci lorsque le battage débute à partir du tas situé en haut du paquet ; et une preuve de l'égalité entre le nombre de battages nécessaires pour un paquet de 2p cartes en commençant par le tas du haut, et le nombre de battages nécessaires pour un paquet de 2p + 2 cartes en commençant par le tas du bas.
Article : Des nombres que l’on peut construire nous-même - Collège Victor Hugo (Nantes) Collège Paul Langevin (Coueron)
En partant d'une feuille contenant uniquement deux points espacés de 1 cm et en utilisant uniquement un compas et une règle non graduée, les auteurs se demandent s'il est possible pour n'importe quel nombre x de placer un point, à la distance x d'un des points de départ.
L'article présente des méthodes de construction pour les nombres entiers, les nombres rationnels et les racines carrées de nombres entiers. Il est annoncé, sans construction, que le nombre d'or est constructible, mais pas le nombre Pi.
Mots clés : nombre constructible, règle, compas, Nombre π, racine carréeL'article présente des méthodes de construction pour les nombres entiers, les nombres rationnels et les racines carrées de nombres entiers. Il est annoncé, sans construction, que le nombre d'or est constructible, mais pas le nombre Pi.
Article : Carrés magiques - Collège Victor Hugo (Nantes)
Cet article présente la notion de carré magique de taille 3x3, et une liste de 8 carrés de telle nature. Les auteurs donnent des arguments pour démontrer qu'il n'existe pas d'autres carrés magiques 3x3.
Mots clés : carré magique, dénombrement, combinatoireArticle : Des différences magiques - Collège Victor Hugo (Nantes) Collège Paul Langevin (Coueron)
Cet article traite du problème des « Boites à différences » proposée par Romain Bondil. A partir de quatre nombres entiers placés sur chacun des sommets d’un carré, calculer la différence entre ces nombres et placer ces chiffres sur les arêtes du carré. Tracer un nouveau carré ayant pour sommet les nombres des arêtes et répéter la première étape. Les questions posées sont : « combien de fois le procédé doit se répéter pour atteindre des différences égales à 0 ?» et « si le procédé s’arrête, pourquoi ?».
Mots clés : différence, problème de Ducci, algorithmeArticle : Alphaville - Collège Stéphane Mallarmé (Marseille)
Dans une ville où les rues forment un quadrillage, on souhaite placer des pharmacies aux carrefours de sorte que chaque carrefour soit à une distance 0 ou 1 d'une pharmacie. Comment réussir cela en plaçant le moins de pharmacies possibles ?
Les auteurs présentent une méthode systématique où les pharmacies sont disposées en losanges et font l'analogie avec le déplacement d'un cavalier aux échecs.
Mots clés : quadrillage, graphe, distance, minimum, stratégie optimaleLes auteurs présentent une méthode systématique où les pharmacies sont disposées en losanges et font l'analogie avec le déplacement d'un cavalier aux échecs.
Article : Jeu de Nim - Collège Stéphane Mallarmé (Marseille)
Deux joueurs prélèvent à tour de rôle 1, 3 ou 5 allumettes dans un tas. Le but est d'éviter de prendre la dernière allumette. Les auteurs montrent que le résultat du jeu ne dépend pas de la manière de jouer, mais seulement de la parité du nombre d'allumettes de départ.
Mots clés : allumette, jeu de Nim, tas d'allumettes, parité, stratégie gagnanteArticle : Le Dragon - Lycée Emile Duclaux (Aurillac)
On s’intéresse à un dragon posé au sommet d’une planète cubique et crachant des flammes « en ligne droite ». L’article propose trois manières de définir ce concept de « ligne droite » : soit la ligne s’arrête lorsqu’un bord est atteint, soit la ligne est l’intersection d’un plan passant par le centre, par le sommet du dragon, et par un autre point du cube, soit la ligne correspond à une ligne droite lorsqu’elle est redessinée sur le patron du cube. Pour les trois types de définitions, l’article illustre quelles sont les zones accessibles par les flammes (les trois faces auquel le sommet appartient dans la première définition, le cube en entier dans les deux autres), et si le dragon peut faire une flamme qui lui revient dessus (ce n’est jamais le cas avec la première définition, c’est toujours le cas pour la deuxième, et cela peut arriver pour le dernier cas).
Mots clés : cube, patron, géodésique, construction géométrique, géométrie dans l'espace, géométrieArticle : Jeu des points et des demi-plans - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Le jeu des points et des demi-plans. Soit D un disque du plan et r > 0. Il y a deux joueurs, le premier joue des points de D et le second joue des demi-plans. Le premier joueur choisit un point M1 dans D.
Article : Jeu de Miroirs - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Le problème sur lequel nous avons travaillé est le suivant : Un faisceau lumineux se trouvant interrompu par la présence d’un solide opaque, le but est de contourner ce solide en utilisant des miroirs de telle fac¸on que le faisceau retrouve la même direction qu’il suivait au départ. L’intérêt est soit de minimiser la longueur du trajet parcouru par le rayon lumineux, soit de minimiser le nombre de miroirs.
Article : Perturbations sonores - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
« Tic et Tac communiquent avec des mots binaires ( ex. 010011 ) par téléphone. Toutefois, la ligne n’est pas très bonne et il arrive que Tic ou Tac entende « BIIIIIIIIP » au lieu de 0 ou 1. -Tout d’abord, supposons que cela n’arrive pas plus d’une fois par mot. Quelle stratégie Tic et Tac peuvent-ils adopter pour poursuivre leurs conversations sans perte d’information ? -Décidément le téléphone, c’est ringard ; ils décident de correspondre par mail. Mais alors, à cause de certaines interférences, il arrive qu’un chiffre soit modifié, c'est-à-dire un 0 transformé en 1 ou bien un 1 en 0. Pas plus de un par mot, par contre Tic et Tac n’ont aucun moyen de savoir lequel. Que peuvent-ils faire ? »
Article : Le nombre chromatique du plan - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Le nombre chromatique du plan : c’est le nombre minimum de couleurs qu’on doit utiliser afin de colorier entièrement le plan en respectant la condition suivante : deux points de même couleur ne peuvent se trouver à une distance 1 ! Notons N ce nombre. Nous allons démontrer dans cet article que : 47 N≤ ≤ . Pour cela, nous allons nous placer successivement sur une droite, sur un cercle et sur un pavage hexagonal.
Article : La marche de l’ivrogne - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Après avoir bien bu, Monsieur Pierre, ivre, veut quitter le bistro pour rentrer chez lui. Quelle probabilité a-t-il d’arriver à son but sachant qu’il évolue au hasard dans un réseau de rues perpendiculaires ?