Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Le jardinier dans le plan - Lycée Racine (Paris)
Peut-on planter des arbres de telle manière qu'ils ne soient pas tous alignés et que toute droite déterminée par deux quelconques d'entre eux contienne au moins trois arbres ?
Mots clés : plan, droite, problème, alignementArticle : Nombre d or et nature - Collège de la Côte Roannaise (Renaison)
Cet article est une présentation du nombre d'or et de ses nombreuses « apparitions » dans la nature (fleurs, mollusques, êtres humains), avec également un coup d'oeil sur la suite de Fibonacci. Et on vérifie, grâce à des mesures sur les personnes qui fréquentent nos deux collèges jumelés, que les habitants du département de la Loire ont un rapport « nombrilesque » avec le nombre d'or.
Mots clés : nombre d'or, suite de Fibonacci, statistiqueArticle : Des polygones dans des polygones - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège André Doucet (Nanterre)
Quels polygones sont formés par les milieux des côtés d'un autre polygone? Que se passe-t-il avec des polygones convexe, non convexes?
Mots clés : polygone, côté, milieu, convexe, géométrie plane, parallélogrammeArticle : Les cinq solides de Platon - Lycée Fragonard (L Isle-Adam) Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Le thème proposé est la symétrie dans le plan et dans l'espace. Nous nous sommes intéressés aux polyèdres qui sont des figures de l'es-pace à plusieurs faces. Nous avons trouvé deux sortes de polyèdres : le convexe, notamment le cube, la pyramide dont les points sont inscrits sur une sphère, et les non convexes comme les polyèdres étoilés.
Mots clés : symétrie, géométrie dans l'espace, géométrie plane, polyèdre, polyèdre convexe, formule d'EulerArticle : The Fibonacci series - Lycée Frederiksborg Gymnasium (Hillerod)
Article en anglais rédigé par des élèves danois autour de la suite de Fibonacci et du nombre d'or.
Mots clés : suite de Fibonacci, nombre d'or, algèbreArticle : The golden section - Lycée danois de Hillerod (Hillerod) Lycée danois de Bronderslev (Bronderslev)
Un article en anglais réalisé par des élèves danois sur le nombre d'or et le résultat d'un sondage pour savoir quel rectangle est le plus beau.
Mots clés : nombre d'or, rectangle, géométrie, sondageArticle : Les tours et les Dames - Lycée Racine (Paris)
Comment placer un maximum de tours sur un échiquier de dimension 8 sans prise mutuelle. Même problème avec des Dames.
Mots clés : dame, échiquier, tour, bijection, dénombrementArticle : Des multiplications à la ronde - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
On choisit deux entiers a et b positifs et inférieurs à 10.
On considère la suite des entiers {a, b, ab, b fois ab, .......} où chaque entier de la suite est le produit des deux entiers qui le précèdent.
On écrit alors la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les entiers de cette suite.
Pour différents entiers a et b choisis au départ, on a trouvé que ces suites de chiffres des unités forment des farandoles d'un même chiffre ou se terminent en rondes, puis on a montré pourquoi.
Cet article porte sur l'étude d'une suite particulière qui fait intervenir des notions abordables dès le collège et qui est construite de la manière suivante. Etant donnés a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 10, on considère la liste de nombres {a,b,ab,b(ab),..} où chaque élément est le produit des deux entiers qui le précèdent. La suite considérée est la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les nombres de cette liste.
Dans un premier temps,…
Mots clés : produit, division euclidienne, puissance, période, parité, suite de Fibonacci, suite, périodicité, entier naturel, arithmétiqueOn considère la suite des entiers {a, b, ab, b fois ab, .......} où chaque entier de la suite est le produit des deux entiers qui le précèdent.
On écrit alors la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les entiers de cette suite.
Pour différents entiers a et b choisis au départ, on a trouvé que ces suites de chiffres des unités forment des farandoles d'un même chiffre ou se terminent en rondes, puis on a montré pourquoi.
Cet article porte sur l'étude d'une suite particulière qui fait intervenir des notions abordables dès le collège et qui est construite de la manière suivante. Etant donnés a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 10, on considère la liste de nombres {a,b,ab,b(ab),..} où chaque élément est le produit des deux entiers qui le précèdent. La suite considérée est la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les nombres de cette liste.
Dans un premier temps,…
Article : Découpage de polygones de même aire - Collège Saint Dominique (Nancy)
Démarche pour tenter de justifier que ce découpage est possible suivie de deux exemples.
Étant donnés deux polygones de même aire, est-il toujours possible de découper l’un des polygones en morceaux et de reconstituer l’autre polygone en recollant les morceaux ? Les élèves apportent dans cet article une réponse positive à cette question en donnant une méthode qui permet de réaliser un tel découpage, que les polygones soient convexes ou non.
Mots clés : polygone, aire, découpageÉtant donnés deux polygones de même aire, est-il toujours possible de découper l’un des polygones en morceaux et de reconstituer l’autre polygone en recollant les morceaux ? Les élèves apportent dans cet article une réponse positive à cette question en donnant une méthode qui permet de réaliser un tel découpage, que les polygones soient convexes ou non.
Article : polyedres réguliers - Collège Saint Dominique (Nancy)
Recherche méthodique et justifiée de tous les polyèdres réguliers.
Cet article étudie les polyèdres réguliers. Le principal résultat est d'établir que le nombre de polyèdres réguliers est fini, et il en existe exactement 5. Leur construction est explicite (et réalisée « en vrai » à l'aide de papier, et avec l'ordinateur via le logiciel Geogebra), et la démonstration du résultat repose sur des arguments d'angle aux sommets des faces du polyèdre. La construction tout comme la démonstration utilisent la notion de patron, figure plane permettant (par pliage) de construire le polyèdre dans l'espace.
Mots clés : polyèdre régulier, géométrie plane, convexe, polygone régulier, géométrie dans l'espaceCet article étudie les polyèdres réguliers. Le principal résultat est d'établir que le nombre de polyèdres réguliers est fini, et il en existe exactement 5. Leur construction est explicite (et réalisée « en vrai » à l'aide de papier, et avec l'ordinateur via le logiciel Geogebra), et la démonstration du résultat repose sur des arguments d'angle aux sommets des faces du polyèdre. La construction tout comme la démonstration utilisent la notion de patron, figure plane permettant (par pliage) de construire le polyèdre dans l'espace.
Article : Le téléphone magique - Collège du Haut Gesvres (Treillières) Collège Victor Hugo (Nantes)
Sur les 9 touches d'un clavier de téléphone, on choisit trois chiffres de telle sorte qu'il y ait exactement un chiffre par colonne et par ligne. On calcule ensuite la somme de ces trois chiffres, et on remarque que la somme fait toujours 15. L’article explique pourquoi ceci est vrai, et généralise ce résultat pour un clavier de taille n par n au lieu de 3 par 3, avec une preuve complète et très élégante.
Mots clés : carré magiqueArticle : Problème des croustillons - Centre scolaire Saint-Benoît Saint-Servais (Liège)
Sur la foire de Liège, est-il possible d’acheter 55 croustillons sachant qu’il n’existe que des paquets de 14 et 9 croustillons ? Oui, avec 2 paquets de 14 et 3 paquets de 9. De même, est-il possible d’en acheter 48 ou 75 ? Ou tout autre nombre ?
Dans cet exposé, nous répondrons à cette question et généraliserons le problème à a et b croustillons par sachet.
Nous avons trouvé que a et b doivent être premiers entre eux pour qu’il existe un seuil à partir duquel tous les nombres de croustillons sont possibles. Nous avons calculé le nombre de commandes impossibles et le nombre de façons de satisfaire la commande.
Mots clés : arithmétique, générateur, semigroupeDans cet exposé, nous répondrons à cette question et généraliserons le problème à a et b croustillons par sachet.
Nous avons trouvé que a et b doivent être premiers entre eux pour qu’il existe un seuil à partir duquel tous les nombres de croustillons sont possibles. Nous avons calculé le nombre de commandes impossibles et le nombre de façons de satisfaire la commande.
Article : Mathématiques et relations amoureuses - Collège de la Côte Roannaise (Renaison)
Cet article présente des modèles qui permettent d'étudier les relations amoureuses dans les couples et de « prévoir » l'avenir des couples (rupture, longévité …). Les situations de couples qui sont étudiées sont tirées de deux films (La femme d'à côté, de F. Truffaut, et Quelques jours avec moi de C. Sautet). En conclusion, les tests proposés et appliqués à ces scènes ne permettent de « prévoir » la fin de ces film.
Mots clés : modèle statistique, relation, probabilitéArticle : Mathématiques et épidémies - Collège de la Côte Roannaise (Renaison) Collège les Etines (Le Coteau)
Cet article présente des modèles qui permettent d'étudier la diffusion de maladies (rougeole et Ebola) en les confrontant à des données réelles ou à des hypothèses qu'on peut faire sur les taux de contamination par des malades dans une population donnée.
Mots clés : modèle statistique, épidémiologie, probabilitésArticle : Dessine moi une arête - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Les auteurs introduisent un jeu géométrique pour 2 joueurs, basé sur le tracé de points et de traits. Dans un premier temps, différents résultats sur la durée d'une partie sont démontrés. Dans un second temps, des exemples de stratégies gagnantes sont donnés.
Mots clés : jeu, jeu combinatoire, stratégie gagnante, graphe, degréArticle : Triangulation de signes - Lycée Jean Monnet (Aurillac)
À partir d’un ligne finie de signes + et –, on construit un triangle en écrivant au-dessous de cette ligne celle formée des produits de deux signes consécutifs ; on recommence et, la longueur de ligne diminuant de 1 à chaque étape, on aboutit à une ligne d’un seul signe. Le triangle est équilibré s’il y a en tout autant de signes + que de signes –. Un certain nombre de résultats sont obtenus sur les propriétés de ces triangles de signes : stabilité par symétrie, rotation et superposition. Par programmation, les triangles de signes équilibrés sont dénombrés jusqu'à une longueur de ligne de 15.
Mots clés : jeu combinatoire, suite récurrenteArticle : Bazar total à la boulangerie. - Lycée Vaclav Havel (Bègles) Lycée Kastler (Talence)
Dans cet article, on s'intéresse à un problème de files d'attente sous forme de graphes orientés. Il se compose de deux parties distinctes. Dans la première on essaie de dénombrer les ordres de passage possibles à partir des graphes donnés. Certains résultats sont obtenus comme produits de factorielles. Dans la seconde le but est de déterminer (au moins ) un ordre de passage qui convient.
Les outils utilisés consistent en des arbres et des matrices pour le dénombrement. On peut aussi noter des essais d'algorithmes et de programmation.
Mots clés : graphe, dénombrement, matrice d'adjacenceLes outils utilisés consistent en des arbres et des matrices pour le dénombrement. On peut aussi noter des essais d'algorithmes et de programmation.
Article : Jouer avec les bougies - Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne)
Les élèves ont rédigé un article scientifique résumant leurs recherches, en veillant à énoncer leurs résultats sous la forme de théorèmes (démontrés) ou de conjectures (non démontrées).
Un joueur cherche à éteindre des bougies sur un graphe. Les bougies sont reliées les unes aux autres selon différentes structures et sont au départ toutes allumées. Chaque fois que le joueur souffle sur une bougie, celle-ci et ses voisines changent d'état. Les bougies allumées s'éteignent et les bougies éteintes se rallument. Le but du joueur est d'éteindre toutes les bougies en soufflant un minimum de fois. Le jeu est plus ou moins difficile selon le nombre de bougies et la façon dont celles-ci sont reliées entres elles.
Cet article étudie différentes structures de graphes de bougies : les bougies peuvent former une ligne, un collier, un rectangle,... Selon le cas, l'article prouve l'optimalité de la stratégie proposée ou conjecture sa réussite en un petit nombre de coups.
Mots clés : théorie des graphesUn joueur cherche à éteindre des bougies sur un graphe. Les bougies sont reliées les unes aux autres selon différentes structures et sont au départ toutes allumées. Chaque fois que le joueur souffle sur une bougie, celle-ci et ses voisines changent d'état. Les bougies allumées s'éteignent et les bougies éteintes se rallument. Le but du joueur est d'éteindre toutes les bougies en soufflant un minimum de fois. Le jeu est plus ou moins difficile selon le nombre de bougies et la façon dont celles-ci sont reliées entres elles.
Cet article étudie différentes structures de graphes de bougies : les bougies peuvent former une ligne, un collier, un rectangle,... Selon le cas, l'article prouve l'optimalité de la stratégie proposée ou conjecture sa réussite en un petit nombre de coups.
Article : Surveillance high-tech - Collège Raoul Dufy (Lyon) Collège Longchambon (Lyon)
Un CPE souhaite installer des détecteurs sonores dans des salles de son collège, de manière optimale : il souhaite utiliser le moins de détecteurs possibles, tout en ayant une information exacte concernant la provenance d'un bruit éventuel. Les élèves proposent une solution (conjecturée) dans le cas de salles disposées en ligne. Ensuite, les élèves s'intéressent au nombre maximal de salles pouvant être équipées, à partir d'un nombre de capteurs donnés. Une solution est apportée et démontrée, par deux méthodes différentes.
Mots clés : capteur, optimisation, combinaison, grapheArticle : Partage d’un gâteau - Collège Raoul Dufy (Lyon) Collège Longchambon (Lyon)
Un cake est divisé en plusieurs parts inégales. Si deux personnes se servent l'une après l'autre par les extrêmités du cake jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus, à la fin qui aura le plus de gâteau ? Dans le cas d'un nombre pair de parts, l'article propose une stratégie qui permet au premier servi de toujours gagner. Dans le cas d'un nombre impair de parts, c'est une stratégie pour le deuxième joueur que l'article propose, qui lui permet d'optimiser ses chances de gagner, mais ne lui assure pas la victoire à tous les coups: sa réussite dépendra du premier tirage du premier joueur.
Mots clés : stratégie, mathématiques discrètesArticle : Nombre d’occurrences de triangles dans mosaiques. - Lycée Vaclav Havel (Bègles) Lycée Kastler (Talence)
Prenons un grand carré formé de n*n petits carrés. Combien de rectangles (formés de petits carrés) peut-on compter dans ce grand carré ? C'est à cette question qu'on répondu les éléves des lycées Alfred Kastler (Talence) et Vaclav Havel (Bègles), en utilisant une méthode de comptage par récurrence.
Mots clés : combinatoire, récurrenceArticle : Triangles équilibrés - Collège Alain Fournier (Orsay)
On regarde un triangle constitué de signes + et -, construit de la façon suivante. Sur la première ligne, on écrit un certain nombre n de signes. On dit que n est la taille du triangle. La ligne suivante est obtenue en plaçant sous chaque paire de signes leur produit. Le triangle est entièrement construit quand on arrive à une ligne d'un seul signe. On dit que le triangle est équilibré s'il comporte autant de signes + que de signes -. Pour quelles valeurs de n existe-t-il un triangle équilibré de taille n ?
Mots clés : combinatoire, jeu combinatoireArticle : Les sept figures magiques - Collège Alain Fournier (Orsay)
Une figure magique est une figure géométrique qui comporte des cases à remplir, assortie de règles.
- S'il y a n cases, elles seront remplies avec les nombres de 1 à n.
- La somme des nombres placés sur les mêmes lignes da toujours être la mêmes.
Fabriquer des figures magiques.
Mots clés : jeu combinatoire, carré magique- S'il y a n cases, elles seront remplies avec les nombres de 1 à n.
- La somme des nombres placés sur les mêmes lignes da toujours être la mêmes.
Fabriquer des figures magiques.
Article : Echiquier égalitaire de Hadamard - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un échiquier est dit égalitaire lorsque : si on prend deux lignes quelconques le nombre de colonnes dont les deux cases sont de la même couleur est égal au nombre de colonnes dont les deux cases sont de couleurs différentes. Peut-on trouver des échiquiers égalitaires ? Combien de cases auront-ils ?
Mots clés : échiquier, matrice de Hadamard, combinatoireArticle : Arbres gracieux - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un arbre à n arêtes est gracieux si l'on peut étiqueter ses sommets de 0 à n sans doublon, ses arêtes de 1 à n sans doublon, et de telle sorte que la valeur d'une arête soit la différence (en valeur absolue) des valeurs des sommets situés à ses extrémités.
Une conjecture encore ouverte aujourd'hui est que tout arbre est gracieux. Ici, les élèves explorent la validité de cette conjecture sur les étoiles, les chemins et les chenilles, où des algorithmes de coloration gracieuse sont exhibés. Le cas des homards et des araignées est également considéré, mais aucun algorithme générique n'est proposé pour ces familles de graphes.
Mots clés : arbre, coloration, algorithmeUne conjecture encore ouverte aujourd'hui est que tout arbre est gracieux. Ici, les élèves explorent la validité de cette conjecture sur les étoiles, les chemins et les chenilles, où des algorithmes de coloration gracieuse sont exhibés. Le cas des homards et des araignées est également considéré, mais aucun algorithme générique n'est proposé pour ces familles de graphes.
Article : Le chemin le plus court - Collège Alain Fournier (Orsay)
Dans cet article, les auteurs s’intéressent à trouver un « réseau routier » reliant des points donnés à l’avance, qui soit de longueur totale minimale. Les deux cas traités sont le cas où les points sont les sommets d’un carré, ou d’un triangle équilatéral. Plusieurs types de réseaux sont envisagés : des réseaux constitués de segments reliant les points originaux, ou des réseaux un peu plus complexes faisant intervenir un ou des points intermédiaires à l’intérieur du carré (ou du triangle). Les distances totales de chaque réseau sont exprimées à l’aide du théorème de Pythagore.
Mots clés : géométrie, triangle, longueur, optimisation, approximationArticle : Compter les coloriages - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Cet article s'intéresse aux coloriages des cotés d'un polygone régulier convexe avec un nombre fixé de couleurs. Deux coloriages sont considérés comme identiques, si nous pouvons passer de l'un à l'autre par une rotation du polygone colorié. La question est alors de dénombrer le nombre de coloriages différents en fonction de c, le nombre de couleurs, et de n, le nombre de cotés. Un algorithme permettant de calculer cette valeur pour c et n quelconques est donné. Deux formules explicites sont obtenues : pour c=2 et n premier, et pour c=n. Une méthode de calcul alternative est également exposée pour c=2 et n quelconque.
Mots clés : coloriage, dénombrement, polygone régulierArticle : C’est pas du gâteau - Collège Aretha Franklin (Marciac)
Cette étude permet d'établir une formule fournissant le nombre maximal de parts que l'on peut obtenir en découpant un gâteau en fonction du nombre de coupes que l'on effectue.
Mots clés : géométrie, droite, combinatoire, dénombrement, découpageArticle : Une Blanche Neige gourmande et futée - Collège de Marciac (Marciac) Collège-Lycée Pierre Mendès-France (Vic en Bigorre)
Une Blanche-Neige moderne troque sa pomme empoisonnée contre une plaque de chocolat dont le carré en haut à gauche est empoisonné. Elle et sa belle-mère mangent à tour de rôle selon la règle suivante : lorsqu'un carré est mangé, tous ceux en bas à droite sont éliminés. Blanche-Neige, étant la plus jeune, se propose de commencer. On verra pour quelques formes de tablettes (carrées, ou rectangulaires 2xn) la stratégie que peut utiliser Blanche Neige pour gagner.
Mots clés : théorie des jeux, jeu combinatoire, stratégie gagnanteArticle : Le Cochon qui rit - Collège de Marciac (Marciac) Collège-Lycée Pierre Mendès-France (Vic en Bigorre)
Une analyse du jeu de dés « Le cochon qui rit » aux travers de plusieurs questions qui touchent aux probabilités d’apparition de tel ou tel cas de figure.
Mots clés : probabilité, statistique, analyse de cas, jeuArticle : atchoum ou blabla - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie), Lycée Jean Lurçat (Perpignan)
Ce sujet traite de la contamination d'une maladie dans une population d'une taille donnée. Il propose une modélisation du problème et un algorithme qui permet de visualiser cettte évolution. Une modélisation par une suite complète cette recherche.
Cet article étudie la propagation de maladie au sein d'une population. Dans le modèle considéré, la maladie se transmet à chaque rencontre entre une personne saine et une personne malade. Au bout de combien de temps la totalité de la population est-elle contaminée ?
Mots clés : suite, modélisation, algorithme, propagation, maladie, probabilitéCet article étudie la propagation de maladie au sein d'une population. Dans le modèle considéré, la maladie se transmet à chaque rencontre entre une personne saine et une personne malade. Au bout de combien de temps la totalité de la population est-elle contaminée ?
Article : Question de vie ou de mort : Automate cellulaire - Collège Saint Pierre (Plouha)
On considère un système évolutif constitué par des cellules sur un quadrillage régies par deux règles : une cellule vivante à l'étape n est morte à l'étape n + 1 et une cellule morte à l'étape n devient vivante à l'étape n + 1 si elle est entourée d'un nombre impair de cellules vivantes. Le but est de trouver tous les quadrillages permettant de trouver une configuration vivant éternellement. La réponse complète est énoncée.
Mots clés : combinatoire, système dynamique, automate cellulaireArticle : Séries de Farey : à vos places, les fractions ! - Collège Saint Pierre (Plouha) Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne)
Les fractions de Farey d’ordre D sont des fractions comprises entre 0 et 1 dont le dénominateur n’excède pas D et dont le numérateur est inférieur au dénominateur. La question est comment placer les fractions de dénominateur D+1 sur le segment [0, 1] sur lequel on a déjà placé les fractions de Farey d’ordre D.
Le texte propose deux conjectures ainsi qu’un résultat montrant que si la première conjecture est vraie, alors la deuxième conjecture est forcement vraie. La première conjecture stipule que la différence entre deux fractions de Farey consécutives a comme dénominateur le produit des dénominateurs des deux fractions et comme numérateur 1. La deuxième conjecture affirme que lorsqu’une fraction de Farey s’insère entre deux autres, alors son numérateur est la somme des numérateurs des deux fractions déjà placées et pareillement pour les dénominateurs.
Mots clés : fraction, suite de FareyLe texte propose deux conjectures ainsi qu’un résultat montrant que si la première conjecture est vraie, alors la deuxième conjecture est forcement vraie. La première conjecture stipule que la différence entre deux fractions de Farey consécutives a comme dénominateur le produit des dénominateurs des deux fractions et comme numérateur 1. La deuxième conjecture affirme que lorsqu’une fraction de Farey s’insère entre deux autres, alors son numérateur est la somme des numérateurs des deux fractions déjà placées et pareillement pour les dénominateurs.
Article : triangles carrés - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
Dans cet article, les élèves s'intéressent à un jeu consistant à disposer un ensemble de jetons de façon à former un carré ou un triangle équilatéral. Ils cherchent plus précisément à déterminer l'ensemble des nombres entiers n telles que ces deux configurations peuvent être obtenues à partir de n jetons. Après avoir déterminé à la main les solutions correspondant à un petit nombre de jetons, les élèves remarquent que le problème revient à déterminer l'ensemble des nombres entiers qui peuvent s'écrire à la fois comme le carré d'un entier, et comme la somme des premiers entiers,de 1 jusqu'à un certain entier y : 1+2+: : : :y = y(y + 1)2
. Ils font ensuite le compte-rendu de deux méthodes qui s'avèrent finalement perfectibles : une méthode graphique et une méthode numérique
efficace mais non exacte. Un algorithme leur permet ensuite de poursuivre informatiquement leur étude. Enfin, les élèves se consacrent à une étude plus mathématique du problème, en…
Mots clés : arithmétique, suite numérique. Ils font ensuite le compte-rendu de deux méthodes qui s'avèrent finalement perfectibles : une méthode graphique et une méthode numérique
efficace mais non exacte. Un algorithme leur permet ensuite de poursuivre informatiquement leur étude. Enfin, les élèves se consacrent à une étude plus mathématique du problème, en…
Article : Le berger et ses moutons - Lycée Bellevue (Toulouse)
Un berger a une corde de 300m et trois piquets. Comment doit-il placer ses piquets pour maximiser l'aire du champ pour ses moutons ? On montre par des méthodes analytiques et géométriques que le triangle d'aire maximale pour un périmètre donné est équilatéral. Les résultats sont notamment étendus aux quadrilatères d'aire maximale et aux polygones ayant un nombre pair de côtés.
Mots clés : aire, périmètre, optimisation, géométrie, inégalité isopérimétrique, triangleArticle : Les calendriers - Lycée Saint Paul (Roanne) Lycée Jean Puy (Roanne)
Les concepteurs des calendriers ont cherché à décrire le temps en utilisant 3 durées particulièrement frappantes : la durée du jour ,la durée d’un cycle des saisons (l’année), l’intervalle entre deux nouvelles lunes (environ 1 mois) .
Ainsi tous les calendriers font apparaître des cycles plus ou moins longs.
Est-il possible de faire apparaître des cycles plus courts, tout en ayant des calendriers précis ?
Les calendriers ont été inventés comme un moyen de se repérer dans le temps à long terme, sur la base de durées naturelles telles que celle du jour ou du cycle des saisons. Cette dernière, aussi appelée année tropique, n'est cependant pas divisible en un nombre entier de jours, ce qui fait qu'aucune année calendaire n'y est strictement égale. Afin d'éviter qu'un décalage trop important s'installe au sein d'un calendrier, une solution est d'introduire périodiquement des années de 366 jours compensant le fait que l'année calendaire de…
Mots clés : fraction continue, cycle, calendrier, approximation, algorithme, suiteAinsi tous les calendriers font apparaître des cycles plus ou moins longs.
Est-il possible de faire apparaître des cycles plus courts, tout en ayant des calendriers précis ?
Les calendriers ont été inventés comme un moyen de se repérer dans le temps à long terme, sur la base de durées naturelles telles que celle du jour ou du cycle des saisons. Cette dernière, aussi appelée année tropique, n'est cependant pas divisible en un nombre entier de jours, ce qui fait qu'aucune année calendaire n'y est strictement égale. Afin d'éviter qu'un décalage trop important s'installe au sein d'un calendrier, une solution est d'introduire périodiquement des années de 366 jours compensant le fait que l'année calendaire de…
Article : Lever un crayon - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Est-il possible de dessiner un graphe donné sans lever le crayon ?
Si non, peut-on estimer le nombre de coups de crayon nécessaires.
L'article établit un critère répondant à la première question, et calcul dans le cas général le nombre minimum de coups de crayon.
Mots clés : graphe, chemin eulérienSi non, peut-on estimer le nombre de coups de crayon nécessaires.
L'article établit un critère répondant à la première question, et calcul dans le cas général le nombre minimum de coups de crayon.
Article : Conseil de classes et affectations - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
Cet article s'intéresse à deux problèmes de « couplages sous contraintes ». Le premier concerne la constitution d'une liste de représentants des élèves dans un lycée, sous des contraintes d'affinités et avec la contrainte supplémentaire que chaque classe doit être représentée par un élève. Le second problème concerne l'affectation des élèves dans les universités après le baccalauréat, en respectant au mieux les vœux des élèves et les classements des universités.
Mots-clés : Couplages, arbres de choix, tableaux à double entrée, boîtes enchâssées, graphes.
Mots clés : couplage, arbre de choix, tableau à double entrée, boîtes enchâssées, grapheMots-clés : Couplages, arbres de choix, tableaux à double entrée, boîtes enchâssées, graphes.
Article : Dobble - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
Un jeu de Dobble est un jeu de cartes. Chaque carte est composée de n symboles avec la contrainte suivante : deux cartes quelconques doivent toujours avoir un unique symbole en commun. Le nombre n de symboles par carte étant fixé, combien de cartes le jeu peut-il contenir, avec combien de symboles en tout dans le jeu et comment construire les cartes ?
Les élèves répondent à toutes ces questions et montrent que si l'on exclut le cas où c'est toujours le même symbole qui est commun à toutes les cartes, le nombre maximum de cartes dans le jeu est n(n-1)+1, ainsi que le nombre de symboles utilisés. Ils donnent de plus une méthode géométrique de construction des cartes.
Mots clés : dénombrementLes élèves répondent à toutes ces questions et montrent que si l'on exclut le cas où c'est toujours le même symbole qui est commun à toutes les cartes, le nombre maximum de cartes dans le jeu est n(n-1)+1, ainsi que le nombre de symboles utilisés. Ils donnent de plus une méthode géométrique de construction des cartes.
Article : Résultats de l an 1 - Lycée Jean Jaurès (Argenteuil) Lycée Racine (Paris)
Regroupement de plusieurs production d'élèves de l'an 1 de Math-en-Jeans. Avec les articles: l'infini, les tours, les dames, le problème du jardinier dans le plan et le paradoxe de Lewis Carroll.
Mots clés : infini, suite, bijection, somme, échiquier, dénombrement, droite, géométrie plane, aire, FibonacciArticle : Polyèdres - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly) Lycée Pierre Corneille (Rouen)
Le but initial était de trouver une relation liant le nombre de faces, d'arêtes et de sommets, d'un polyèdre quelconque. Après une première recherche sur des assemblages de cubes, et un décompte des différentes caractéristiques, nous avons découvert quelques formules. Nous avons constaté que notre domaine de recherche était trop vaste, et nous avons décidé de fixer et de préciser nos définitions et de nous limiter aux polyèdres convexes.
Mots clés : polyèdre convexe, géométrie, face, sommet, arête, formule d'EulerArticle : L optique et la perspective - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
L'objectif est de dessiner un cube, quelle que soit sa position dans l'espace, dans un repère à deux dimensions tel que l'oeil humain le perçoit. Pour cela on étudie une rotation du cube, autour d'un axe vertical.
Mots clés : cube, nombre complexe, rotation, trigonométrie, optique, planArticle : La courbe du dragon - Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble) Lycée Bartholdi (Colmar)
Prendre une longue bande de papier, la plier en 2, puis en 2, puis en 2... Ensuite déplier toute la feuille tel que les angles soient tous droits. En reproduisant les arêtes sur une feuille on obtient la courbe du dragon.
Mots clés : courbe du dragon, pliage, fractal·e, planArticle : L ensemble de Mandelbrot - Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble) Lycée Bartholdi (Colmar)
Mandelbrot a commencé à étudier les courbes fractales en 1964. Il n'a découvert l'ensemble qui porte son nom qu'en 1980, ce qui prouve que c'est un domaine ou il reste bien des découvertes à faire.
Mots clés : ensemble de Mandelbrot, fractal·e, suite, nombre complexe, récurrence, algorithmeArticle : Les biomorphes - Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble) Lycée Bartholdi (Colmar)
Les biomorphes sont des espèces pseudo-biologiques dont on ne connait que l'apparence, et pour cause ils sont tous issus d'un programme informatique
Mots clés : biomorphe, programmation, nombre complexe, algorithmeArticle : Polyèdres - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège de l arche Guédon (Torcy)
En premier temps, nous étudierons les duaux des polyèdres et en un second temps, le problème des coups de scie sur les polyèdres.
Mots clés : polyèdre, dualité, sommet, arête, face, coup de scieArticle : Mouvements dans l espace - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège de l arche Guédon (Torcy)
Durant cette année, nous avons travaillé sur les mouvements dans l'espace. Ce sujet étant vaste, nous avons choisi d'accentuer nos recherches sur divers mouvements simples qui consistent en particulier à bouger un cube. Pourquoi a-t-on choisi le cube? Parce qu'il a été le premier outil dont nous avons eu besoin pour débuter nos recherches.
Mots clés : translation, rotation, cube, espace, plan, axe, mouvement, culbutosArticle : Cheminement dans New York - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège de l arche Guédon (Torcy)
Comment trouver le nombre de chemins les plus courts entre deux points d'un quadrillage.
Mots clés : quadrillage, chemin le plus court, dénombrement, arbreArticle : Les nombres - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège de l arche Guédon (Torcy)
Nous avons choisi les nombres comme sujet de recherche, Parmi tous nos sujets traités, nous avons choisi de vous présenter "Certains critères de divisibilité" et "Les nombres premiers". Pour commencer, nous allons vous exposer les critères de divisibilité qui nous ont été utiles pour trouver les nombres premiers.
Mots clés : divisibilité, nombre premier, nombre entier, multiple, critère de divisibilitéArticle : Surfaces, volumes et PI - Collège de l arche Guédon (Torcy) Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Dans la nature, quelle forme trouve-t-on le plus souvent ? La boule : planète, Soleil, astres... Si on a deux figures de même périmètre et qu'on transforme ces figures en volumes, ont-elles le même volume?
Mots clés : Nombre π, volume, surface, sphère, approximation, algorithme, surface minimale, solideArticle : Les défauts dans les verres - Lycée Fustel de Coulanges (Massy)
Etude du verre, de sa structure, de la matière et de ses défauts. Si le travail des élèves de Massy ne relève pas à proprement parler de MATh.en.JEANS, la démarche qui leur a été imposé s'apparente à celle de l'Opération 1000 classes 1000 chercheurs dont dérive MATh.en.JEANS.
Mots clés : solide, matière, verre, cristal, pavage, plan, géométrie dans l'espace, défautArticle : Le tore - Lycée Racine (Paris) Lycée Georges Braque (Argenteuil), Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Surface de révolution engendrée par un petit cercle tournant autour d'un axe contenu dans le plan du tore. On obtient un tore en roulant une feuille quadrillée dans le sens de la longueur puis dans le sens de la largeur.
Mots clés : tore, géométrie, droite, pente, cercleArticle : A la quête du disque perdu... - Lycée Racine (Paris) Lycée Georges Braque (Argenteuil), Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Nous avons essayé de réaliser une géométrie non-euclidienne, différente de la géométrie habituelle. Nous nous sommes, pour cela, inspirés des assiettes du dessinateur Escher. Nous avons l'impression qu'il y a une fuite vers l'infini lorsque nous nous approchons des bords. Ce qui paraît fini est en fait délimité par un cercle. Notre géométrie a pour support un disque appelé "Disque Jean", de centre 0 et de rayon 2 dans un repère orthonormal.
Mots clés : géométrie non euclidienne, disque, rayon, distance, pointArticle : La sphère - Lycée Racine (Paris) Lycée Georges Braque (Argenteuil), Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Etudions les droites et leurs propriétés sur la sphère, d'après les connaissances que l'on a du plan. Nous verrons que certains axiomes vérifié dans le plan ne le sont pas sur la sphère. La sphère n'est pas une figure appartenant à la géométrie Euclidienne.
Mots clés : sphère, géométrie non euclidienne, géométrie plane, géométrie sphérique, droite, axiome, géodésiqueArticle : Dénombrement - Lycée Racine (Paris) Lycée Georges Braque (Argenteuil), Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Nous nous sommes proposé de trouver une formule permettant d'obtenir le nombre de combinaisons au LOTO et autres jeux où l'ordre des tirages n'a pas d'importance.
Mots clés : tableau, jeu de hasard, combinaison, dénombrement, jeu de cartes, aléatoireArticle : Graphes - Lycée Racine (Paris) Lycée Georges Braque (Argenteuil), Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Tout au long de l'année nous nous sommes penchés sur différents problèmes qui pouvaient se résoudre en utilisant la théorie des graphe: Les 7 ponts de Königsberg, le problème des 4 cubes coloriés, Sherlock Holmes.
Mots clés : graphe, théorie des graphes, arête, sommet, enquête policièreArticle : Les paradoxes - Lycée Georges Braque (Argenteuil) Lycée Jean Jaurès (Argenteuil), Lycée Racine (Paris)
Qu'est-ce qu'un paradoxe mathématique? C'est la formulation d'une proposition contraire à l'opinion résultant de l'expérience quotidienne. Le plus souvent elle permet de découvrir sous une apparence illogique, une vérité inattendue. Mais parfois des paradoxes résistent à l'analyse. Nous allons en étudier quelques-uns comme : l'hôtel infini, le paradoxe de Xénon, l'anneau de Moebius et les figures impossibles.
Mots clés : paradoxe, infini, distance, Möbius, géométrie, géométrie dans l'espaceArticle : Le lanceur de balle - Collège Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Comment lancer une balle à plus de 5m, de telle façon que le lanceur puisse la rattraper dans le temps le plus court possible ?
Mots clés : trajectoire, parabole, courbe, vitesse, angleArticle : Les ombres du cube - Collège Charles Lebrun (Montmorency) Collège Ardillière de Nézant (St Brice)
Nous sommes le groupe du fantôme du cube et sommes ici pour vous présenter notre projet en cours. Notre but est de trouver le plus de formes possibles qui auraient la même ombres que le cube, puis construire un objet qui aurait la même ombres dans n'importe quels positions et qui aurait la plus petite surface possible.
Mots clés : cube, ombre, polygone, géométrie plane, aireArticle : Les tours sur l échiquier 3D - Collège Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
L'échiquier à trois dimensions est un cube partagé en n x n x n cases, chacun des côtés étant divisé en n intervalles égaux. Une "tour" contrôle les trois lignes de cases parallèles aux côtés passant par la case où elle se trouve. On se demande combien au maximum peut-on placer de tours, et comment doit-on les placer, de façon qu'aucune d'elles n'en menace une autre. Combien au minimum faut-il en placer, et comment, de façon qu'ensemble elles contrôlent toutes les cases de l'échiquier.
Mots clés : échiquier, remplissage, minimum, maximumArticle : Mini black jack - Collège L Ardillière de Nézant (St Brice)
Voici un jeu inspiré du black Jack, très simplifié. Vous jouez contre la « banque » et on tire des dés au lieu de cartes. Au début d’une partie, on lance deux dés pour vous et un dé pour la banque, et vous voyez les résultats. Alors vous pouvez demander un autre lancer de dé, puis un autre, ceci autant de fois que vous voulez tant que votre total ne dépasse pas 12. Vous pouvez aussi décider de vous arrêter à tout moment. Ensuite la banque lance des dés pour elle-même, mais avec une règle forcée : jusqu’à un total de 10, elle relance le dé et dès qu’elle a au moins 11 elle est obligée de s’arrêter. Vous avez gagné si votre total est supérieur à celui de la banque à condition qu’il ne dépasse pas 12, ou si la banque a dépassé 12 mais pas vous. La banque gagne dans le cas opposé. En cas d’égalité la partie est remise. Pouvez-vous trouver la meilleure stratégie à ce jeu ? C’est-à-dire comment décider quand il est mieux de redemander un lancer de dé ou de s’arrêter ? Cela dépend de votre total de points et du…
Mots clés : Black Jack, jeu, stratégie gagnante, dé, probabilité, événementArticle : Le constructeur de villes - Collège L Ardillière de Nézant (St Brice)
Ce sujet est inspiré du jeu « Sim City » : on vous propose de vous mettre à la place d’un cabinet d’urbanistes chargé de dessiner le plan d’une ville nouvelle. On part d’abord d’un cadre fixé : un terrain divisé en lots à bâtir, avec un espace central réservé pour les équipements collectifs (école, mairie, poste, commerces, transports...). Les urbanistes doivent tracer des rues pour desservir tous les lots à partir du centre. a) Le constructeur souhaite que la longueur totale des rues à construire soit la plus petite possible. b) Les habitants souhaitent que les trajets à faire pour rejoindre le centre soient les plus courts possibles, en supposant qu'il y a toujours une porte dans le coin de leur terrain le plus proche du centre. c) Le facteur souhaite distribuer le courrier dans toutes les maisons en parcourant le chemin le plus court possible, en supposant qu'il y a toujours une boite aux lettres située au meilleur endroit possible. Les urbanistes commencent par chercher les solutions sur des…
Mots clés : plan, ville, enumération, route, minimalArticle : Théorème de Fermat-Wiles - Lycée Jean Hinglo (Le Port)
On se propose de résoudre l'équation: x^n + y^n = z^n Avec x, y et z entiers naturels non nuls et n = 2.
Mots clés : algorithme, nombres premiers entre eux, équation, triplet pythagoricienArticle : Le jeu des allumettes - Collège Fantin Latour (Grenoble)
Il s'agit d'étudier des stratégies gagnantes au jeu des allumettes. On trouve des stratégies gagnantes pour certains joueurs dans un grand nombre de situations particulières.
Mots clés : jeu, stratégie gagnanteArticle : Quel chemin as tu pris petite bille ? - Ecole des pupilles de l air (Montbonnot St Martin)
Dans un premier temps, l'article étudie la planche de Galton : en lançant des billes sur une planche où se trouvent des clous placés en quinconce, on peut observer une répartition gaussienne.
Ensuite, le but est de construire une nouvelle planche pour observer une répartition qui n'est plus gaussienne mais suit une densité de probabilité donnée.
Mots clés : planche de Galton, modélisation, courbeEnsuite, le but est de construire une nouvelle planche pour observer une répartition qui n'est plus gaussienne mais suit une densité de probabilité donnée.
Article : Les bulles de savon - Lycée d Altitude (Briancon)
On considère un polygone P sur lequel on cherche à construire le plus court chemin passant par tous les sommets. Physiquement cela revient à chercher comment un film de savon se disposerait pour relier tous les sommets d'un polygone.
On recherche dans un triangle, puis dans des quadrilatères, à minimiser une certaine distance. L'article permet de suivre les recherches effectuées, et conclue dans le cas des triangles. Quelques pistes sont fournies pour les quadrilatères.
Mots clés : géométrie, optimisation, distance, bulle de savon, cercle, polygone, point de TorricelliOn recherche dans un triangle, puis dans des quadrilatères, à minimiser une certaine distance. L'article permet de suivre les recherches effectuées, et conclue dans le cas des triangles. Quelques pistes sont fournies pour les quadrilatères.
Article : Modélisation d’avalanches - Lycée d’Altitude (Briancon) Collège Fontreyne (Gap), Lycée français de Vienne (Vienne - Autriche)
Au départ, on a une grille de taille n*n, avec dans chaque case un nombre entier (correspondant à un nombre de flocons). Si dans une case (ou cellule), l'entier n est supérieur ou égal à 4, alors à l'étape suivante dans cette case on a l'entier n-4, et dans chaque case voisine l'entier augmente de 1. La taille de la grille ne change pas et on ne s'occupe pas de ce qu'il se passe à l'extérieur de la grille. On s'arrête lorsque la grille ne contient que des entiers strictement inférieurs à 4. La durée de l'avalanche est le nombre d 'étapes.
Un modèle pour étudier l'évolution de telles grilles a été mis en place à l'aide du tableur. Les cas traités sont ceux où les valeurs initiales dans chaque case de la grille sont identiques. Pour les grilles de taille 4*4, on a une étude de la durée de l'évolution. Une formule pour déterminer cette durée en fonction de la valeur initiale est exhibée mais non démontrée.
Les grilles de…
Mots clés : grille, entier, tableur, division euclidienne, modélisationUn modèle pour étudier l'évolution de telles grilles a été mis en place à l'aide du tableur. Les cas traités sont ceux où les valeurs initiales dans chaque case de la grille sont identiques. Pour les grilles de taille 4*4, on a une étude de la durée de l'évolution. Une formule pour déterminer cette durée en fonction de la valeur initiale est exhibée mais non démontrée.
Les grilles de…
Article : Le voyageur - Collège Bartholdi (Boulogne-Billancourt)
Etant donnée une configuration de villes et de routes les reliant, le problème est de trouver un parcours qui visite toutes les villes mais qui passe exactement une fois par chaque route. Les auteurs étudient tout d’abord des exemples pour ensuite démontrer un critère général.
Mots clés : graphe, graphe eulérien, chemin eulérienArticle : Le mirage prend l’eau - École des pupilles de l’Air (Montbonnot St Martin)
L'article s'intéresse à la naissance des mirages, et plus particulièrement étudie la trajectoire d'un rayon lumineux dans une bassine contenant deux liquides superposés, d'indices de réfraction différents. En modélisant l'interface entre les deux liquides comme un milieu mince où l'indice varie continûment entre les deux indices, et en discrétisant ce milieu en k sous-couches dans lesquelles l'indice est constant (puis en faisant tendre k vers l'infini), l'article démontre que le rayon à l'intérieur de l'interface suit une forme de parabole. En particulier, le rayon descendant peut remonter et ainsi créer un mirage.
Mots clés : modélisation, réfraction, discrétisation, analyse géométrique, équation différentielle, paraboleArticle : Géométrie tropicale - Collège Fontreyne (Gap)
Dans cet article sont étudiées les propriétés des opérations tropicales (min pour l'addition, l'addition « classique » pour la multiplication) : commutativité, associativité, éléments neutres, absorbants …
Puis les élèves présentent une étude des droites tropicales et terminent par cette constatation : deux points du plan sont toujours alignés sur une même droite tropicale , mais il existe plusieurs droites tropicales passant par deux point quelconques
Mots clés : géométrie tropicale, addition, multiplication, commutativité, associativité, puissance, racine, droite tropicalePuis les élèves présentent une étude des droites tropicales et terminent par cette constatation : deux points du plan sont toujours alignés sur une même droite tropicale , mais il existe plusieurs droites tropicales passant par deux point quelconques
Article : Un peu de combinatoire - Collège Fontreyne (Gap)
Roméo veut offrir un collier à Juliette. a) Roméo a trois perles blanches identiques et quatre perles noires identiques. Combien peut-il faire de modèles de colliers différents? b) Roméo a quatre perles blanches et cinq perles noires. Combien peut-il faire de modèles de colliers différents? Roméo veut préparer des brochettes à Juliette. A) Il a trois cubes d'agneau identiques et quatre morceaux de merguez identiques. Combien peut-il faire de modèles de brochettes différents ? B) Il a quatre cubes d'agneau et cinq morceaux de merguez. Combien peut-il faire de modèles de brochettes différents ? Roméo et Juliette ont un damier 3*3 (9 cases). Roméo doit peindre quatre positions en bleu et Juliette doit peindre cinq positions en rouge. Combien de damiers différents peuvent-ils obtenir ?
Mots clés : dénombrement, combinatoire, enumérationArticle : Les surplombs - Lycée d Altitude (Briancon)
Comment peut on empiler des briques de même taille l'une au dessus de l'autre en réalisant un surplomb maximal par rapport à la brique « support » tout en maintenant l'édifice en équilibre, et en utilisant le moins de briques possible ? L'article montre que cela est possible en indiquant la manière dont sont disposées les briques les unes au dessus des autres.
Mots clés : surplomb, modélisation, centre de gravité, suite, sérieArticle : Roulement à billes - Lycée d Altitude (Briancon)
Considérons des billes qui forment un roulement à billes entre deux cercles ayant même centre. Combien de billes pourra-t-on insérer si on bouge le cercle intérieur du roulement à billes ? Ce texte propose des majorations dans le cas où on ne bouge pas le cercle intérieur ainsi que dans le cas où les deux cercles se touchent.
Mots clés : cercle, géométrie plane, optimisation, périmètre, remplissage, angle, billeArticle : Topologie - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Deux problèmes sont abordés: Quels graphes peuvent être dessinés en un seul coup de crayon sans passer plusieurs fois par une arête ? Trouver pour un polyèdre la relations entre les nombres de sommets d’arêtes et de faces. La première question est illustrée par le problème des ponts de Könisberg.
Mots clés : topologie, graphe, polyèdreArticle : Cryptographie - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Trois techniques de chiffrement (César, monoalphabétique et Vigenère) sont proposées par le chercheur, qui donne également des textes chiffrés. Dans l'article il est expliqué comment déchiffrer ces textes..
Mots clés : cryptographie, codage de VigenèreArticle : Les pingouins shadok - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Les pingouins shadoks ne savent prononcer que trois syllabes : Ga, Bu et Meu. Le grammairien Gaga a instauré une règle de langage : il est interdit de répéter le même groupe de syllabes consécutivement. Par exemple Gabumeumeu est interdit car la syllabe «meu» est répétée consécutivement, de même pour Meubugabumeugabumeubu car le groupe de syllabes «gabumeu» est répété consécutivement. Au contraire un mot comme Gabumeugameubumeugabumeubuga est correct car il n'y a aucune répétition de groupe de syllabes consécutivement. Donc si X,Y et Z sont 3 groupes de syllabes différents, un mot est interdit si il peut s'écrire XYYZ avec X et Z pouvant être nuls. Pour simplifier on notera A,B et C les 3 syllabes différentes (cela ne veut pas dire que ga=A ,bu=B et meu=C).
Mots clés : mot, dénombrement, algorithmeArticle : Chaînes d additions - Lycée Fragonard (L Isle-Adam)
Etant donné un entier n, quelle est la plus courte suite d'entiers telle que le premier terme est 1, le dernier terme est n, et tout terme hormis le premier est la somme de deux des termes précédents (avec répétitions possibles) ? L'élève donne ici une borne supérieure explicite à l'aide de l'écriture en binaire de n, et une borne supérieure implicite à l'aide de sa décomposition en facteurs premiers.
Mots clés : suite de nombres entiers, exponentiation rapideArticle : Les voûtes - Lycée d Altitude (Briancon)
Pour qu'un système composé de plusieurs « pierres » soit en équilibre il faut respecter les règles suivantes: Les frottements étant négligés, il reste la force du poids s'appliquant aux surfaces de contact de la pierre.
Mots clés : force, rotation, barycentre, voûteArticle : Volume du tétraèdre en fonction des côtés - Lycée Pierre d Aragon (Muret)
Le carré de l’aire d’un triangle peut s’exprimer en fonction du carré des longueurs de ses côtés. Qu’en est il pour le tétraèdre ? En effet, la formule dite de Héron nous donne le carré de l’aire d’un triangle en fonction des carrés des longueurs des côtés. On peut donc se demander si une formule semblable existe pour le volume du tétraèdre.
Mots clés : tétraèdre, aire, carré, côté, hauteur, sinus, angle, volumeArticle : Une partie de chasse - Collège Gérard Philippe (Cergy)
Lors d'une partie de chasse, un chien court derrière un lièvre. Le lièvre court à foulées régulières, toujours à la même vitesse et dans une direction constante. Le chien, un peu à gauche du lièvre, court à la même vitesse que celui-ci et infléchit toujours sa trajectoire de façon à ce que chacune de ses foulées le dirige vers l'extrémité de la dernière foulée du lièvre. Le chien arrivera t-il à rattraper le lièvre? Dans le cas négatif, de quelle façon le chien devra-t-il modifier sa stratégie de poursuite (vitesse, position au départ, inflexion de la trajectoire) pour qu'il puisse rattraper le lièvre? Au bout de combien de temps le rattrapera-t-il alors ?
Mots clés : distance, vitesse, poursuite