Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Premier ou non premier, telle est la fonction ! - Lycée Saint Joseph (Bressuire)
Recherche de fonctions donnant des images premières. Nombre premier : Un nombre est premier lorsqu’il a uniquement deux diviseurs distincts : 17 est premier, 2010 est non premier, 1 n’est pas considéré comme premier [sauf dans cet article à certains passages]. Polynômes d’Euler : Avec le polynôme proposé par Euler E1(n) = n2+n+41 les 40 premières images des nombres de 0 à 39 sont des nombres premiers : on dit que sa longueur est 40. Avec un autre polynôme d’Euler E1(n) = n2+n+17 on obtient 16 images consécutives premières : sa longueur est 16. Peut-on trouver d’autres polynômes ou fonctions donnant ainsi des images consécutives premières ? Peut-on faire mieux qu’Euler ?
Mots clés : nombre premier, polynôme, image, fonction, Euler, interpolation de Lagrange, variable, suiteArticle : Le chant des sinusoïdes - Lycée d Altitude (Briancon)
Mon problème était de décomposer un signal simple sous forme de somme de sinusoïdes. On appellera « signal simple » une somme de deux sinus avec des amplitudes entières et des périodes des multiples de 2pi.
Mots clés : sinus, somme, fréquence, amplitude, décodageArticle : Une propriété des entiers naturels - Collège des Explorateurs (Cergy)
Que se passe-t-il si partant d’un entier naturel, on fait la somme des carrés de ses chiffres puis si on recommence avec la somme obtenue, puis qu’on recommence encore avec la somme obtenue etc...
Mots clés : nombre entier, calcul, somme, tableauArticle : Les produits qui ne s écrivent que avec des 1 - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens) Lycée Ozenne (Toulouse)
Certains produits remarquables ne s'écrivent qu'avec des "1" . Par exemple : 37 × 3 = 111 ou encore 12345679×9=111111111 Peut−on en trouver d'autres ? Quelles règles peut−on trouver concernant ces produits ?
Mots clés : produit, dénombrement, redondance, algorithmeArticle : Le jeu de ping - Lycée d Altitude (Briancon)
Nous allons vous présenter le jeu de ping : nous avons des pions noirs d’un coté et blancs de l’autre. On part avec un alignement de n pions noirs qu’il faut arriver à tous retourner avec la règle suivante : quand on pointe un pion, on retourne ses voisins.
Mots clés : jeu de ping, dénombrementArticle : Les voûtes - Lycée d Altitude (Briancon)
Une voûte est une succession de pierres associées pour former une arche. Comment ces pierres tiennent-elles ?
Mots clés : clé de voûte, centre de gravité, géométrie, angle, intersectionArticle : La perspective - Lycée d Altitude (Briancon)
Ce travail s'intéresse aux propriétés de la projection d'un cube sur un plan. Il se place dans le cadre d'un cube posé sur une face sur le plan de projection. On fournit plusieurs observations sur la construction de la forme de l'ombre obtenue, quelques unes de ses propriétés, et enfin des méthodes permettant de reconstruire le cube à partir d'une ombre donnée.
Mots clés : géométrie dans l'espace, géométrie projective, projection, perspectiveArticle : Détermination d une politique de pêche - Lycée Louis de Foix (Bayonne)
Cet article introduit un ensemble de modèles pour décrire l'évolution d'une population de poisson (anchois) sous l'influence de la pêche. Le modèle principal repose sur une répartition de la population en 4 classes d'âge, chacune ayant ses taux de naissance et de mort propres. Les simulations numériques permettent de voir les conséquences des différents paramètres liées à une politique de pêche (quotas, taille minimale des poissons, limitation en deçà d'un certain seuil...).
Mots clés : système dynamique, suite récurrente, simulationArticle : Pavage d’un rectangle avec des carrés - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)
Comment, en découpant un rectangle itérativement, faire apparaître le nombre d'or, les fractions continues ? On utilise le procédé suivant : on retire à un rectangle le maximum possible de carrés de côté égal à la largeur de ce rectangle. Il reste un rectangle plus petit, auquel on applique la consigne précédente, et ainsi de suite. Dans cet article, on démontre que le rapport longueur/largeur du rectangle initial est irrationnel si, et seulement si, le procédé s'ensuit infiniment, c'est à dire qu'à chaque étape, le rectangle restant a une largeur non nulle. On montre le lien entre le nombre de carrés que l'on retire à chaque étape et le développement en fraction continue du rapport longueur/largeur du rectangle initial. On démontre le lien entre cette construction et le nombre d'or et on développe plusieurs exemples concrets.
Mots clés : suite itérative, géométrie, division euclidienne, fraction continue, suite géométriqueArticle : Pac Man fait le tour du monde - Lycée Condorcet (Bordeaux) Lycée Kastler (Talence)
Le but est de trouver le plus petit tour de monde possible sur une Pac-planète qui est un tore construit sur un parallélogramme en identifiant ses côtés opposés. Les élèves étudient d'bord les cas particuliers où le parallélogramme est un carré, puis un losange et conjecturent que dans le cas d'un parallélogramme d'aire 1, le plus petit tour du monde possible est majoré par 2/√π
Mots clés : tore, parallélogrammeArticle : Les faux mélanges - Lycée Ozenne (Toulouse) Lycée Saint Sernin (Toulouse)
On dispose d’un paquet de cartes. Le nombre de cartes de ce paquet est pair. On effectue avec ce paquet de cartes plusieurs mélanges out faro. Description d’un mélange out faro : On coupe le tas de cartes en deux parties égales. En premier, on pose la carte de dessous du tas de dessous, puis la carte de dessous du tas de dessus. On continue ensuite, de manière identique, en alternant les cartes de dessous du tas de dessous et les cartes de dessous du tas de dessus. Après avoir réitéré ce mélange sur plusieurs paquets de cartes, possédant chacun un nombre différent de cartes, on remarque que l’on retombe sur la disposition initiale des cartes. Les deux questions qui se posent alors sont : Quel que soit le nombre pair de cartes et quel que soit le mélange, retombe-t-on à chaque fois sur la disposition initiale des cartes ? Si oui, en combien de mélanges ?
Mots clés : jeu de cartes, mélange de cartes, out-faro, dénombrement, suite, récurrenceArticle : Le mariage des filles de Ramdomie - Collège Gérard Philippe (Cergy) Collège des Explorateurs (Cergy)
En pays de Randomie on a voulu contrôler la natalité en envisageant de ne pas accorder systématiquement l’autorisation au mariage; et dès qu'une fille demande l'autorisation de se marier, l'officier d'état civil lui place 6 morceaux de ficelles dans la main. De chaque côté du poing fermé dépassent 6 extrémités. De chaque côté, on choisit au hasard les extrémités par paires et on les noue (figure 1). Si on obtient alors une boucle fermée (figure 2), la fille reçoit l'autorisation de se marier. Sinon, elle recommence l'épreuve un an plus tard. Angie, qui vient d'avoir 18 ans voudrait se marier. Réussira t-elle à obtenir l'autorisation de se marier. Et si le nombre de ficelles était n ?
Mots clés : ficelle, aléatoire, dénombrement, probabilitéArticle : Les polygones réguliers - Lycée Jean Moulin (Pézenas) Lycée d Altitude (Briancon)
Nous avons voulu construire des polygones réguliers mais avec des contraintes. Nous nous sommes d’abord demandé : comment les construire, en utilisant pour seuls instruments un compas et une règle non graduée ? Puis, comme nous n’avons pas réussi à tous les faire, la question de savoir quels sont ceux constructibles s’est posée.
Mots clés : polygone régulier, règle, compas, géométrie plane, angle, médiatrice, théorème de GaussArticle : Le valeureux tableau absolutique - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens) Lycée Ozenne (Toulouse)
Il s'agit d'étudier des tableaux dont chaque ligne contient les différences positives des nombres de la ligne précédente. Ce tableau se termine par des lignes de 0. Est-ce toujours le cas ? Quelles sont les propriétés de tels tableaux ?
Mots clés : tableau, valeur absolue, nombres consécutifs, colonneArticle : Le point le plus loin - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Dans un rectangulaire défini, on cherche un point M situé le plus loin possible des autres points placés au hasard dans le rectangle.
Mots clés : rectangle, point, cercle, ellipse, concentriqueArticle : Une suite à 4 chiffres - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Prenons un nombre entier appartenant à l’intervalle I =[ 1000 ;10000[ , C’est à dire des nombres à 4 chiffres . Puis ce nombre ABCD , on le « retourne » et le lui soustrait : ABCD – DCBA . On prend la valeur absolue , c’est à dire que l’on calcule l’écart , et on recommence ainsi de suite .
Mots clés : valeur absolue, tableau, algorithme, multiple, suiteArticle : Un jeu avec des entiers - Collège des Explorateurs (Cergy)
On se donne quatre entier naturel a, b, c et d que l'on place sur une ligne. Sur une nouvelle ligne les valeurs absolues de : a-b, b-c, c-d et d-a . On continu ainsi pour les lignes suivantes. En prenant a=5, b=11,c=0 et d=2 on fini par obtenir une ligne constitué de quatre 0. Et donc toute les lignes suivantes sont constitués de quatre 0. Est-ce un coup de chance ou obtient-on toujours une ligne de quatre 0?
Mots clés : nombre entier, valeur absolue, tableauArticle : Jeu, set et math - Lycée Maine de Biran (Bergerac) Lycée Kastler (Talence)
Pour gagner un match de tennis, il ne suffit pas d’être le meilleur, il faut savoir gagner les points importants ! ». Peut-on obtenir la victoire en gagnant moins de points que son adversaire ? Quel est le pourcentage minimum de points qu’un joueur peut gagner pour remporter un match ? Pour gagner la coupe Davis, vaut il mieux avoir une équipe avec un joueur fort et un joueur faible ou deux joueurs moyens ? Simulations de matches entre deux joueurs de même force ou des joueurs de forces différentes.
Mots clés : tennis, compter, moyenneArticle : En hommage à la mouche - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens)
Deux araignées fâchées dans un garage veulent se placer le plus loin l'une de l'autre. Quelles positions doivent−elles choisir, en fonction des dimensions du garage ? Où sont placés les deux points les plus éloignés sur un pavé de côtés a, b et c?
Mots clés : géodésique, distance minimale, pavé, géométrie, patronArticle : Recherche de géodésiques - Collège Adulphe Delegorgue (Courcelles Les Lens)
Une fourmi se promenant sur un solide veut rejoindre un pot de miel placé lui aussi à sa surface. Quel chemin doit-elle suivre pour que son trajet soit le plus court possible ? Le problème posé revient en fait à trouver le ou les chemins les plus courts reliant deux points situés sur la surface d’un solide. De tels chemins, si ils existent, sont appelés géodésiques du solide en question. Dans un premier temps, nous avons limité nos recherches au cas du cube et donc avons essayé de déterminer les géodésiques d’un cube.
Mots clés : géodésique, cube, distance minimale, patron, repèreArticle : Recherche d extrema... - Collège Adulphe Delegorgue (Courcelles Les Lens)
Un fermier possédant des champs régulièrement plantés d’arbres (ils forment ainsi un quadrillage régulier soit un réseau de points), veut délimiter une partie de ce champs par des barrières ayant sept de ces arbres pour extrémités. Il désire enfin obtenir soit la parcelle de plus grande surface possible soit de plus petite surface possible. Enfin, il décide de ne pas croiser ses barrières. Perdu, le fermier demande notre aide ...
Mots clés : aire, périmètre, théorème de Pythagore, heptagone, dénombrement, formule de PickArticle : La force de l eau sur un barrage - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Le sujet que nous avons choisi se nomme « La force de l’eau s’exerçant sur un barrage ». Il consiste comme son nom l’indique, de calculer la force (et non pas la pression) de l’eau s’exerçant sur un barrage. Mais pour que le sujet soit plus intéressant nous nous sommes fixé comme but de calculer cette force comme l’auraient fait de vrais chercheurs, c’est à dire en expliquant le plus possible nos formules, sans en utiliser des pré-établies.
Mots clés : force, pression, barrage, masse volumique, pesanteurArticle : Drôles d opérations - Collège Les Explorateurs (Cergy) Collège Gérard Philipe (Cergy)
Voici comment Toto procède pour faire sa multiplication : Il dresse un tableau à deux colonnes. Dans la colonne de gauche, il divise par 2 à chaque fois le nombre mais sans écrire sa partie décimale (on oublie donc 0,5) c'est-à-dire sans tenir compte du reste. Dans la colonne de droite, il multiplie le nombre par 2 à chaque fois. Il prend les nombres de la colonne de droite qui sont en face d'un nombre impair et les additionne. Pourquoi la méthode à Toto est-elle bonne?
Mots clés : méthode de calcul, multiplication, tableauArticle : Une avalanche de dominos - Lycée d Altitude (Briancon)
Comment disposer les dominos sur une longueur d’un mètre pour qu’ils tombent le plus vite possible ?
Mots clés : centre de gravité, rotation, domino, distance, théorème de Pythagore, vitesseArticle : Les coloriages du plan - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens) Lycée Ozenne (Toulouse)
Comment colorier un plan (une feuille de dimension infinie) en respectant la condition suivante : si deux points sont distants de 1 unité, ils doivent être de couleurs différentes. Quelle est le nombre de couleurs minimum pour colorier tout le plan en remplissant cette unique condition ?
Mots clés : pavage, plan, infini, cercle, couleur, géométrie planeArticle : Les codes correcteurs - Lycée de l Image et du Son (Angoulême)
Comment l’algèbre linéaire sur les corps finis permet-elle d’effectuer un codage et de détecter les erreurs de manière efficace en pratique ?
Mots clés : algèbre linéaire, code correcteur, matrice, codage, binaire, corps finiArticle : La chute des dominos - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Tout le monde connaît le jeu consistant à aligner les dominos et à les faire tomber. Nous nous sommes demandé quels étaient les paramètres impliqués dans la rotation du domino. On a remarqué que suivant la distance qui sépare les dominos ils continuent de tomber ou ils s'arrêtent.
Mots clés : distance, domino, rotationArticle : Recherche de chemin minimal - Collège Adulphe Delegorgue (Courcelles Les Lens)
Dans une société, les bureaux, aux positions fixes, de trois employés doivent être reliés à celui de leur supérieur par un réseau informatique. Bien évidemment le patron souhaite que cela soit le plus économique possible et cherche donc l’endroit où placer son bureau et permettant d’utiliser le moins de câble.
Mots clés : géométrie plane, triangle, orthocentre, distanceArticle : Comment faire une carte juste de la Terre - Lycée Ozenne (Toulouse)
Si l’on se pose la question de savoir comment on peut faire une carte de la Terre c’est parce qu’il est impossible de faire une carte juste de la Terre. En effet, le principe d’une carte est de représenter une surface courbe ( la sphère terrestre ) sur une surface plane ( une feuille de papier ). Or, une sphère ne peut être reportée dans un plan sans être déchirée ou altérée. Imaginons, par exemple, que nous pelions une orange en une seule fois et que nous essayons, ensuite, d’aplanir la peau sur une table. La peau se déchirerait sur le côté. Il en est de même pour la sphère terrestre. On ne peut donc pas conserver l’intégralité des propriétés géométriques ( angles, distances, surfaces ) de la surface à représenter. La méthode de projection retenue constituera donc un choix des caractéristiques à privilégier. Nous nous sommes ensuite posé deux questions plus précises : - Pourquoi ne peut-on pas faire une carte juste de la Terre ? - Peut-on faire une carte qui comporterait le moins d’erreurs possibles ?
Mots clés : sphère, surface, distance, carte, coordonnéeArticle : Des carrés modulo p - Lycée Saint Joseph (Bressuire)
Compte rendu du travail des élèves autour des congruences et des carrés.
Mots clés : modulo, théorème de Gauss, puissance, arithmétique, congruenceArticle : Le calculateur à billes - Lycée d Altitude (Briancon)
Le but de notre recherche consiste à créer une machine capable de réaliser des opérations relativement simples en binaire.
Mots clés : binaire, addition, maquette, billeArticle : Problème de billard - Lycée Ozenne (Toulouse) Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens)
Comment lancer une boule de billard pour qu’elle revienne à sa position de départ après 9 bandes ? Après n bandes?
Mots clés : angle, symétrie, réflexion, bande, droite, équationArticle : L'optimisation de recherche en avalanche - Lycée d Altitude (Briancon)
Habitant dans les Hautes-Alpes, nous avons pensé qu'il aurait été intéressant de travailler sur un sujet propre à la montagne tout en conservant bien sur l'aspect mathématique... L'ARVA remplissant ces conditions, nous nous sommes posés le problème suivant: Comment optimiser la recherche d'une victime prise dans une avalanche.
Mots clés : optimisation, loi de probabilité, marche aléatoireArticle : Eléphant et les bananes - Collège Joliot Curie (Fontenilles) Collège Cantelauze (Fonsorbe), Collège Victor Hugo (Colomiers)
Un élèphant doit apporter au marché, distant de 1000 km, la production d'un marchand (3000 bananes). L'éléphant mange 1 banane au km et porte 1000 bananes au maximum sur son dos.Combien de bananes va-t-il amener au marché ?
Mots clés : transport, optimisationArticle : Les nombres magiques - Collège Joliot Curie (Fontenilles) Collège Cantelauze (Fonsorbe), Collège Victor Hugo (Colomiers)
La pyramide des nombres magiques ...
Les égalités de la pyramide sont-elles vraies ?
Mots clés : pyramide, somme d'entiers, arithmétiqueLes égalités de la pyramide sont-elles vraies ?
Article : Les angles du triangle des Bermudes - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
On n’a pas pu mesurer ces angles car sur le globe le triangle est trop petit. On s'est alors posé ces questions : comment tracer un triangle sur une sphère? Qu'est-ce qu'un angle sur une sphère?
Mots clés : sphère, angle, triangleArticle : Répartir uniformément 13 points sur une sphère - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens) Lycée Ozenne (Toulouse)
Le problème s'est posé lorsqu'on a cherché à fabriquer un satellite facilement observable depuis la Terre. Il fallait placer un certain nombre de miroirs, de façon optimale, sur cette sphère de manière que, quelle que soit la position du satellite, un des miroirs soit dirigé vers la Terre. Répartir le plus uniformément possible 13 points sur une sphère signifie les répartir afin que la distance minimale entre les points soit la plus grande possible. Nous avons élargi le sujet à : comment répartir le plus uniformément possible des points sur une sphère ? Ainsi nous avons cherché pour 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13 et 14 points.
Mots clés : sphère, 3D, solide, tétraèdre, antiprisme, pentagone, dodécaèdre, polyèdre convexe, géométrie plane, géométrie dans l'espaceArticle : Si la Terre était cubique - Lycée d’Altitude (Briancon)
Notre travail de recherche a consisté à trouver les plus courts chemins entre deux points d'un cube et savoir s'ils étaient unique.
Mots clés : cube, patron, segment, cercle, chemin, intersection, médiatrice, médiane, face, arête, sommetArticle : Carrés magiques - Lycée Racine (Paris)
Un carré magique est un carré dont les sommes des nombres des cases d'une ligne verticale, d'une diagonale ou d'une ligne horizontale sont égales. Le but de notre travail est de savoir comment peut-on construire un carré magique à partir d'entiers naturels consécutifs.
Mots clés : carré magique, addition, ligne, colonne, diagonale, nombre entier, nombres consécutifs, ordreArticle : Un vélo à roues carrées - Collège Henri Wallon (Marseille)
Certaines civilisations n’ont pas utilisé la roue pour des raisons religieuses. A partir de là, nous nous sommes demandé comment ces peuples auraient dû construire leur route pour que leurs roues soient carrées.
Mots clés : vélo, roue, carré, courbe, paramètre, caustique, enveloppe, droite, infinitésimal, équation différentielleArticle : Un problème de billard - Collège Alain Fournier (Orsay)
On considère un billard rectangulaire et une boule lancée à une certaine vitesse selon un angle donné. On néglige les frottements. Que peut-on dire de la trajectoire de la boule ? Que se passe-t-il si le billard est triangulaire ?
Mots clés : billard, rectangulaire, angle, parallèle, parcours fermé, quadrillage, triangle équilatéralArticle : Un marchand intelligent - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un marchand dispose du jeu suivant auquel tout individu peut jouer pour la somme de 10€. On dispose d’un sac rempli de 50 pièces jaunes et d’une pièce rouge indiscernables au toucher, seule la couleur diffère.
Le joueur suit le principe suivant :
(1) il tire une pièce, note sa couleur et la met de côté.
(2) il tire une pièce, si elle est de la même couleur que la précédente, il la met de côté et recommence en (1), si elle est de couleur différente, il la remet dans le sac et recommence en (1). Le joueur est considéré gagnant si la dernière pièce tirée est jaune, il repart dans ce cas avec la somme de 15€ (il gagne donc 5€).
Que dire de la stratégie du marchand ? Que se passe- t-il si on change le nombre de pièces jaunes et rouges ?
Mots clés : probabilité, arbre, urne, pièce, chaîne de MarkovLe joueur suit le principe suivant :
(1) il tire une pièce, note sa couleur et la met de côté.
(2) il tire une pièce, si elle est de la même couleur que la précédente, il la met de côté et recommence en (1), si elle est de couleur différente, il la remet dans le sac et recommence en (1). Le joueur est considéré gagnant si la dernière pièce tirée est jaune, il repart dans ce cas avec la somme de 15€ (il gagne donc 5€).
Que dire de la stratégie du marchand ? Que se passe- t-il si on change le nombre de pièces jaunes et rouges ?
Article : Triangles à trois couleurs - Cité Scolaire Internationale Europole (Grenoble)
Un grand triangle est découpé en plusieurs petits triangles disposés «bord à bord» : deux petits triangles différents ne pevent partager qu’un de leurs sommets ou l’un de leurs cotés. On attribue alors à chaque sommet de petit triangle une couleur parmi 3 possibles, de manière à ce que (i) les sommets du grand triangle reçoivent des couleurs différentes, et (ii) chaque coté du grand triangle ne fait apparaître que 2 couleurs. On s’intéresse au nombre de petits triangles tricolores apparaissant dans de telles colorations : peut-il être nul ? Est-il toujours impair ?
Mots clés : triangulation, 3 couleurs, coloration, triangle, lemme de Sperner, graphe, planArticle : Stratégie gagnante dans un jeu de partage - Lycée Lucie Aubrac (Bollène)
Le jeu : on a une tablette de chocolat avec deux joueurs. Le joueur qui commence coupe cette tablette en deux rectangles et donne un rectangle à l’autre joueur. Celui-ci fait de même avec le morceaux qui lui a été donné. Le jeu se termine lorsqu’un joueur donne un seul et unique carré de chocolat à son adversaire pour gagner. Question : Que doit-on faire lorsque l’on commence pour forcément gagner ?
Mots clés : jeu, stratégie, partage, carré, rectangleArticle : Placement optimal d antennes de téléphonie mobile - Lycée Ernest Bichat (Lunéville)
Une compagnie de téléphonie mobile veut positionner ses antennes dans une ville. Elle a beaucoup de chance car elle peut les mettre où elle veut. On sait que chaque antenne a un rayon d’action (ou couverture) donné R. La compagnie souhaite qu’il n’y ait aucune zone non couverte. Comme chaque antenne coûte cher, le problème est de recouvrir tout le territoire de la ville avec le minimum d’antennes.
Mots clés : antenne, pavage, plan, couverture, recouvrement, disque, optimisation, algorithme, programmeArticle : Pile et face en solitaire - Lycée Pape Clément (Pessac)
On considère une rangée de k pièces, qui peuvent être côté pile ou côté face. Voici par exemple une rangée de cinq pièces : PFFFP. À chaque coup, on doit retirer une pièce F et retourner les pièces immédiatement voisines (s’il y en a). On cherche naturellement à retirer toutes les pièces de la rangée. La question est alors la suivante : peut-on caractériser les rangées gagnantes (c’est-à- dire celles que l’on peut complètement vider) ? Que devient le problème si à chaque coup on reforme une rangée unique en resserrant les pièces ?
Mots clés : pile ou face, solitaire, retournement, mot, parité, langageArticle : Pavage d un plan - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Notre sujet est de paver un plan. Nous avons débuté nos recherches en cherchant comment paver un plan avec une seule figure régulière puis avec deux. Nous avons ensuite pavé le plan à l’ aide de triangles d’ or (triangle isocèle dont le rapport entre ses côtés est le nombre d’or et dont les angles à la base mesurent le double du troisième angle). Nous avons ensuite crée un logo «math en jeans» avec lequel nous pouvons paver le plan.
Mots clés : pavage, plan, polygone régulier, triangle d'or, nombre d'orArticle : Marche aléatoire sur un graphe quelconque - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Prenons un graphe quelconque. Au départ, un curseur se trouve sur un des sommets du graphe. Ensuite à chaque tour au hasard, il se déplace vers un des autres points du graphe auquel il est relié. Il ne peut pas rester sur place, sauf dans le cas où le point en relié à lui-même (déplacement avec saut possible). On cherche à observer la position du curseur lorsque le nombre n de tours tend vers l’infini.
Mots clés : graphe, marche aléatoire, matrice, probabilité, triangle de PascalArticle : N!, une histoire de 0 - Collège Charles Péguy Collège Alain Fournier (Orsay)
Soit N un entier strictement positif. On appelle factorielle N, et on note N!, le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à N. Par exemple : 1!=1 2!=2×1=2 3!=3×2×1=6 Peut-on déterminer par combien de 0 se termine N! ?
Mots clés : factorielle, zéro, multiple, division euclidienne, facteurArticle : Les vergers - Collège Jules Vallès (Fontaine)
Comment comparer les aires de vergers polygonaux dont les arbres sont situés sur un réseau carré ?
Mots clés : verger, aire, réseau carré, polygone, formule de PickArticle : Les tours de Hanoi - Collège Guillaume de Lamarche (Lamarche)
Comment réussir à déplacer les disques des «tours de Hanoï» en respectant les règles du jeu. Nous disposons d’un plateau de 3 piliers. Nous les nommons 1, 2, 3 (en partant de la gauche). Nous devons déplacer une tour formée de plusieurs anneaux [de tailles différentes, empilés dans l’ordre, du plus grand en bas au plus petit en haut] du pilier 1 au début au pilier 3 à la fin. On ne peut déplacer qu’un anneau à la fois [du pilier où il est vers une autre de son choix] et à condition que son diamètre soit inférieur à celui de l’anneau sur lequel on veut le poser.
Mots clés : tour de Hanoï, puissance de 2, récurrence, algorithmeArticle : Les taquins - Lycée Prins Henrik (Copenhague)
Les Taquins : Combien de permutations possibles existe-il?
Mots clés : taquin, permutation, permutation circulaire, dénombrement, factorielleArticle : Les sudokus - Collège Le Chamandier (Gières) Collège Fantin Latour (Grenoble)
Le sudoku est un jeu. Le 9×9 est le sudoku dit « clas- sique ». On part d’une grille de 9 zones appelées régions, divisées en 9 cases. Le principe de ce jeu est de remplir la grille avec les chiffres de 1 à 9, chaque région, colonne et ligne contenant une seule fois chaque chiffre. Notre sujet était de trouver le nombre exact ou approximatif de grilles de sudokus déjà remplies.
Mots clés : grille, sudoku, dénombrement, permutation, factorielleArticle : Les rayons X - Lycée d Altitude (Briancon)
Un solide, constitué de plusieurs cubes, est placé dans une boîte de taille 3×3×3. On réalise une ou plusieurs photos de différents côtés. Une photo est constituée d’une grille de 3×3 où chaque valeur de la grille détermine la distance à l’objet. Problème : est-il possible de reconstituer le solide à partir d'une ou plusieurs photos ?
Mots clés : cube, photo, reconnaissance, vue, 3D, distanceArticle : Les pavages de terrasses - Collège Fantin Latour (Grenoble)
On cherche à paver une terrasse rectangulaire avec des pavés de 2×1 cases et des arbres de 1×1 case. La position des arbres est fixée au départ et on cherche à compléter par des pavés de 2×1 cases. Quelles sont les configurations pour lesquelles le pavage et possible ? Celles pour lesquelles il est impossible?
Mots clés : pavage, domino, rectangle, parité, damier, condition nécessaire et suffisanteArticle : Les ombres chinoises - Lycée Albert Einstein (Bagnols Sur Cèze) Collège Bernard de Ventadour (Bagnols Sur Cèze)
Les ombres formées par un objet suivant trois directions orthogonales sont des disques. Quelle peut être la forme de cet objet ? Quel objet utilise le moins de matière ?
Mots clés : ombre, cercle, sphère, cône, surface minimaleArticle : Les nombres permutables et les nombres tournant - Lycée du Parc des Loges (Evry)
Le nombre 142857 a une propriété exceptionnelle : Quand on forme ses 6 permutations circulaires (à savoir 142857, 428571, 285714, 857142, 571428 et 714285), ces 6 nombres obtenus sont multiples de 142857. Si on appelle : « 6-permutables » ou « permutable à 6 chiffres » un tel nombre ; on en cherchera d’autres ; « 5-permutables » ou « 7-... .permutables», etc.
Mots clés : nombre, permutable, diviseur, permutation circulaireArticle : Les nombres infinis a droite - Collège Camille Claudel (Paris)
Prenons le nombre 14. Multiplions-le par 2 et décalons le résultat d’une ligne et de 2 rangs vers la droite. Nous continuons le processus. Si nous additionnons, nous obtenons une suite de chiffres qui est surprenante : elle est périodique. Nous pouvons, de plus, reconnaître le début du développement décimal de 1/7. Une question se pose alors : Obtient-on toujours une suite périodique ?
Mots clés : fraction, décalage, décimale, écriture décimale, périodique, rationnel, série géométrique, somme infinieArticle : Les mouvements de foule - Lycée d Altitude (Briancon) Lycée Jean Hinglo (Le Port)
Nous cherchons à modéliser et déterminer le temps moyen d’évacuation de 35 personnes de la salle de cours.
Mots clés : aléatoire, union, événement, loi de probabilité, produitArticle : La résistance du cube - Lycée Marcelin Berthelot (Saint Maur) Lycée Christophe Colomb (Sucy-en-Brie)
Perdus dans des circuits de fils et de résistances, nous avons décidé d’enlever notre blouse de physicien et d’enfiler celle de mathématicien. Nous sommes ainsi passés du monde fini de la physique au monde infini des mathématiques. Les mains déliées des contraintes du monde concret, nous avons pu étudier des circuits en trois dimensions, puis des montages aux longueurs infinies et enfin, cette plongée dans le monde des maths nous a permis de simplifier des circuits bien compliqués...Nous nous sommes ainsi intéressés à plusieurs problèmes sur le thème de la résistance.
Mots clés : résistance, circuit électrique, cube, série, parallèle, loi d’Ohm, loi de Kirchhoff, triangle, étoile, grapheArticle : Les illusions d optique - Collège Lou Garlaban (Aubagne)
Nous avons travaillé sur les illusions d’optique : nous avons cherché à déterminer les paramètres dont elles dépendent afin de les comprendre, voire de les créer.
Mots clés : optique, illusion, paramètreArticle : Les échafaudages - Lycée d Altitude (Briancon)
On s’intéresse à un échafaudage (ou un grillage) de taille m x n dans le plan. Il est constitué de losanges de barres articulées pouvant se déformer. On peut rigidifier un carré en lui ajoutant une barre diagonale. On se pose deux questions ; combien de barres diagonales faut-il au minimum pour rigidifier l’échafaudage ? un échafaudage donné est-il rigide ? Pour nous aider dans nos recherches, notre établisse- ment nous a fabriqué des structures « échafaudages ».
Mots clés : rigidité, échafaudage, treillis, plan, barre articuléeArticle : Les carrés magiques - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Comment construire un carré magique ? Un carré magique est [une grille carrée dont chacune des cases contient un nombre et qui est telle que] toutes les lignes horizontales, verticales et diagonales ont la même somme.
Mots clés : carré magique, somme, nombres consécutifsArticle : Les beaux pavés - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Dans la tribu des Mathémacos, on considère qu’un beau pavé doit avoir la diagonale de sa base égale à sa hauteur. Une condition supplémentaire , les dimensions du pavé doivent être des nombres entiers. [Ici, un «pavé» est un parallélépipède rectangle. Le problème est de trouver les proportions possibles des «beaux pavés»]
Mots clés : triplet pythagoricien, triangle rectangle, entier, carré, théorème de PythagoreArticle : Le turlupin - Cité Scolaire Internationale Europole (Grenoble)
On dispose d’une grille 3 × 3, dans laquelle on choisit de barrer une case. On doit ensuite écrire les lettres du mot TURLUPIN dans les huit cases restantes, de façon à pouvoir lire ce mot en passant d’une case à une case voisine (verticalement ou horizontalement, mais pas en diagonale). [On s’interdit de passer deux fois sur une même lettre]. On peut imposer la position d’une ou de plusieurs let- tres au départ.
Peut-on fabriquer une grille à solution unique?
Peut-on généraliser à d’autres tailles de grille ?
Mots clés : chemin, circuit hamiltonien, graphe, condition nécessaire, parité, quadrillage, damierPeut-on fabriquer une grille à solution unique?
Peut-on généraliser à d’autres tailles de grille ?
Article : Le tour de cartes - Lycée Elie Faure (Lormont)
Vous connaissez peut-être ce tour... Prenez un paquet de 21 cartes, et faites choisir une carte à quelqu’un. [La carte est remise dans le paquet]. Disposez le paquet en trois paquets de sept cartes, et demandez-lui dans quel paquet se trouve sa carte. Ramassez en mettant ce paquet au milieu, et recommencez l’opération encore deux fois Vous pouvez ensuite retrouver sa carte, c’est la 11ème du paquet. Est-ce qu’on peut établir une stratégie similaire avec 32 cartes ? 52 cartes ? Est-ce qu’on peut imposer aussi la position à la fin ?
Mots clés : tour de cartes, jeu, permutationArticle : Le jeu d échecs - Collège Lou Garlaban (Aubagne) Collège Jean Jaures (La Ciotat)
Trouver des méthodes pour mater le roi adverse au jeu d’échecs. Le jeu des échecs a été choisi pour notre recherche. Quelles stratégies avoir à ce jeu ? Et si on simplifiait ce jeu, quelles informations aurait-on alors sur le jeu non simplifié ? Nous avons d’abord simplifié le jeu en nombre de pièces et en dimension de damier. Puis nous avons cherché des stratégies à partir de la construction d’arbres des possibles. Ces arbres ont été construits à l’endroit puis à l’envers (tentatives), ce qui nous a aidé à trouver des stratégies gagnantes que nous avons présenté au congrès (« trains », ateliers et exposé) et que l’on présente dans cet article.
Mots clés : jeu, échecs, arbre, stratégieArticle : Le billard - Lycée Prins Henrik (Copenhague)
On s’intéresse aux rebords dans un billard rectangulaire. Le problème est de déterminer l’angle de tir qui permet à une boule d’atteindre un trou prédéterminé, situé en coin.
Mots clés : billard, symétrie, tangente, angle, réflexionArticle : Le billard - Collège Lou Garlaban (Aubagne)
Nous avons essayé de comprendre, au billard français, quel angle il faut donner à la trajectoire de la boule frappée pour qu’en un seul rebond elle percute la boule visée.
Mots clés : billard, symétrie, angleArticle : Le canard et le loup - Cité Scolaire Internationale Europole (Grenoble)
Un canard se trouve au centre d’une mare circulaire et un loup au bord. Le canard ne peut s’envoler que du bord de la mare et le loup ne sait pas nager. Les deux animaux se déplacent toujours à vitesse constante car ils ne se fatiguent jamais. Quel est le plus grand rapport (vitesse loup/vitesse canard) pour lequel le canard atteint le bord de la mare avant le loup ?
Mots clés : jeu, différentiel, poursuite, stratégie, cercle, vitesseArticle : L'awalé - Lycée du Parc des Loges (Evry)
Le sujet de recherche consiste à trouver pour une configuration initiale donnée une résolution optimale, c’est à dire un enchaînement de distributions qui permet de sauver toutes les graines et qui utilise un nombre de coup minimum.
Mots clés : Awélé, Awalé, jeu, graine, solitaire, réussite, minimum, algorithme, stratégie, moduloArticle : Introduction a la tomographie - Lycée Jean Renoir (Munich)
Nous allons essayer de répondre aux questions suivantes posées par notre chercheur :
Comment reconstruire un objet plan traversé par des rayons, à partir de valeurs mesurées?
Combien de prises de vue sont nécessaires pour reconstruire un objet donné?
Comment peut-on visualiser les résultats?
Mots clés : tomographie, plan, quadrillage, équation linéaire, matriceComment reconstruire un objet plan traversé par des rayons, à partir de valeurs mesurées?
Combien de prises de vue sont nécessaires pour reconstruire un objet donné?
Comment peut-on visualiser les résultats?
Article : Géométrie tropicale - Collège Jean Jaurès (Vieux Condé)
Cette année, notre chercheur, Michaël Balan, de l’Université de Valenciennes, nous a proposé de travailler sur la géométrie tropicale. Cette géométrie tropicale a été inventée par le mathématicien brésilien Imre Simon. Elle est encore étudiée actuellement pour une utilisation en cristallographie ou en biologie. Pour pouvoir l’étudier, notre chercheur a défini l’addition tropicale et la multiplication tropicale. Il nous a demandé de réfléchir aux propriétés de ces opérations. Ensuite, il nous a demandé de travailler sur les droites et les cercles en géométrie tropicale, qu’on va définir grâce à leur équation.
Mots clés : géométrie tropicale, addition, minimum, équation, droite, cercleArticle : Fort boyard - Collège Bernard de Ventadour (Bagnols Sur Cèze)
Votre classe est sélectionnée pour participer à Fort Boyard. Face au « maître des ténèbres », vous devez jouer au jeu des allumettes : Vous avez 21 allumettes en face de vous et vous pouvez en prendre 1, 2 ou 3... Le gagnant est celui des deux joueurs qui prend les dernières allumettes. Existe-t-il une stratégie qui vous permet de gagner à tous les coups ?
Mots clés : jeu, stratégie, congruenceArticle : Echec et math - Collège Charles Péguy Collège Alain Fournier (Orsay)
Sur un jeu d’échec, le cavalier se déplace en L, c’est- à-dire deux cases dans une direction puis d’une case dans une direction perpendiculaire à la précédente. Peut-on parcourir toutes les cases d’un échiquier 8×8 en utilisant la marche classique du cavalier du jeu d’échecs sans passer plusieurs fois par la même case ?
Mots clés : cavalier, Euler, échecs, échiquier, chemin, parcours, hamiltonien, graphe, algorithme, programmeArticle : Echec aux dames - Collège Lou Garlaban (Aubagne)
Trouver des méthodes pour gagner au jeu de dames. Le jeu de dames a été choisi pour notre recherche. Quelles stratégies avoir à ce jeu ? Et si on simplifiait ce jeu, quelles informations aurait-on alors sur le jeu non simplifié ? Nous avons d’abord simplifié le jeu en nombre de pièces et en dimension de damier. Puis nous avons cherché des stratégies à partir de la construction d’arbres des possibles. Ces arbres nous ont permis de voir qu’avec une bonne stratégie, on gagne ou on fait match nul mais on ne perd pas. Au congrès, on a présenté notre travail — et des défis — (train, atelier et enfin, exposé) que l’on présente dans cet article.
Mots clés : jeu, dame, arbre, stratégieArticle : Divisons 1 par un nombre entier - Collège Jean Mermoz (Marly)
Effectuons la division de 1 par un entier naturel. Par exemple : 1/3 = 0,333333... 1/4 = 0,25 1/7 = 0,142857142857… Quels phénomènes observe-t-on concernant les chiffres «après la virgule» ? Peut-on comprendre et prévoir les phénomènes observés ?
Mots clés : division, inverse, nombre décimal, nombre rationnel, période, développement décimalArticle : Des circuits imposés - Lycée Pape Clément (Pessac)
On dispose de grilles rectangulaires de taille p × q. A certaines intersections sont placés des points numérotés [points de base]. On doit élaborer un circuit partant du point 1, passant par tous les autres points dans l’ordre du numéro qui leur est attribué puis revenant à l’origine : le point 1.
Attention : il est interdit de passer deux fois par le même côté d’un carreau de la grille ou par le même point numéroté, en revanche, il est permis de passer deux fois par un point non numéroté de la grille.
— Pour une grille et un entier n données, quels arrangements de n points de base admettent-ils un circuit solution ?
— Quelles grilles permettent-elles de tracer un circuit solution pour n’importe quelle disposition de n numéros ?
Mots clés : circuit, circuit imprimé, grille, rectangulaire, quadrillage, croisement, graphe, plan, contre-exempleAttention : il est interdit de passer deux fois par le même côté d’un carreau de la grille ou par le même point numéroté, en revanche, il est permis de passer deux fois par un point non numéroté de la grille.
— Pour une grille et un entier n données, quels arrangements de n points de base admettent-ils un circuit solution ?
— Quelles grilles permettent-elles de tracer un circuit solution pour n’importe quelle disposition de n numéros ?
Article : Découpage de polygones - Collège Bartholdi (Boulogne-Billancourt)
Comment découper une tarte rectangulaire pour obtenir une tarte ayant la forme d’un triangle équilatéral, forme préférée de notre professeur de mathématiques
Mots clés : aire, découpage, polygone, triangle, base, hauteurArticle : Compter les marmottes - Lycée d Altitude (Briancon)
On s’intéresse à une population de N individus où N est inconnu. On souhaite justement connaître N mais il est impossible de compter les individus dans leur ensemble, et donc d’avoir une réponse exacte. En revanche, on est capable de capturer un individu au hasard dans la population. On peut alors décider de marquer ou de ne pas marquer cet individu, et de le relâcher ou non. On peut le faire autant de fois que l’on veut. Comment peut-on estimer le nombre d’individus dans la population ? Proposer des méthodes, les valider par simulation et essayer de les comparer.
Mots clés : échantillon, effectif, population, inférence statistique, estimation