Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Les maths, ça nous boîtes ! - Lycée Notre Dame (Bordeaux) Lycée de la mer (Gujan Mestras)
On considère un ensemble fini E d'entiers naturels, et on cherche à classer les entiers dans des boites de telle façon que 2 entiers ne sont pas dans la même boite si la valeur absolue de la différence est dans E. Le but est de trouver le nombre minimum de boites. On répond à la question pour certains ensembles E.
Mots clés : arithmétique, triArticle : Thésée et le dédale magique - Lycée Notre Dame (Bordeaux) Lycée de la mer (Gujan Mestras)
Un promeneur cherche à parcourir toutes les cases d'un damier à m lignes et n colonnes, en respectant les règles de déplacement suivantes :
• La première case est toujours la case, en haut à gauche.
• On passe d'une case à une autre horizontalement ou verticalement.
• On ne repasse jamais par une case déjà visitée.
Les auteurs cherchent le nombre de parcours possibles, ils établissent un résultat lorsque m=1 et m=2, ils proposent un algorithme récursif qui répond à la question, sans pouvoir trouver de formule.
Mots clés : dénombrement, arbre de choix, chemin, algorithme, algorithme récursif• La première case est toujours la case, en haut à gauche.
• On passe d'une case à une autre horizontalement ou verticalement.
• On ne repasse jamais par une case déjà visitée.
Les auteurs cherchent le nombre de parcours possibles, ils établissent un résultat lorsque m=1 et m=2, ils proposent un algorithme récursif qui répond à la question, sans pouvoir trouver de formule.
Article : Une histoire de pompons - Lycée Louis Massignon (Casablanca)
Les professeurs d’une classe de neige ont proposé un jeu à leurs élèves :
• Ces élèves sont réunis en cercle et les professeurs déposent un pompon soit jaune soit vert sur leur tête. Ils peuvent voir la couleur du pompon de leurs camarades, mais pas la leur.
Quelle(s) stratégie(s) développer pour qu'un maximum d'élèves devine la couleur du pompon qu'il porte.
Mots clés : parité• Ces élèves sont réunis en cercle et les professeurs déposent un pompon soit jaune soit vert sur leur tête. Ils peuvent voir la couleur du pompon de leurs camarades, mais pas la leur.
Quelle(s) stratégie(s) développer pour qu'un maximum d'élèves devine la couleur du pompon qu'il porte.
Article : Bien gérer sa taverne - Lycée V. et H. Basch (Rennes)
Étude des probabilités de résultats d’un modèle où à la fin de chaque mois on obtient aléatoirement soit une perte, soit un gain de montant donnés. Plusieurs variantes sont envisagées.
Mots clés : probabilités, schéma de BernoulliArticle : La constante de Darchicourt - Lycée Darchicourt (Hénin-Beaumont)
Considérons la suite récurrente dont le premier terme est le nombre « 1 », chaque
terme suivant s’obtenant en lisant le précédent à haute voix et en notant les chiffres ainsi cités. Les
premiers termes de la suite sont donc 1, 11 (un « 1 »), 21 (deux « 1 »), 1211 (un « 2 » un « 1 »),
111221, … Cette suite est appelée suite « audioactive » de Conway. En notant L_n la longueur du
nième terme de la suite, Conway a obtenu en 1986 la valeur de la limite des rapports L_(n+1)/L_n;
la constante ainsi obtenue (unique racine positive d’un polynôme du 71ème degré) est appelée
« constante de Conway ». Dans cet article, l’auteur s’intéresse à une variation sur la suite de
Conway, obtenue en énumérant non plus les termes en système numérique décimal (c’est-à-dire
avec les chiffres de 0 à 9) mais en système numérique binaire (c’est-à-dire uniquement avec des 0 et
des 1). Les premiers termes sont maintenant 1, 11, 101 (deux s’écrivant 10 en binaire), 111011, ……
Mots clés : suite récurrente, suite de Conway, diagonalisation, valeur propre, vecteur propreterme suivant s’obtenant en lisant le précédent à haute voix et en notant les chiffres ainsi cités. Les
premiers termes de la suite sont donc 1, 11 (un « 1 »), 21 (deux « 1 »), 1211 (un « 2 » un « 1 »),
111221, … Cette suite est appelée suite « audioactive » de Conway. En notant L_n la longueur du
nième terme de la suite, Conway a obtenu en 1986 la valeur de la limite des rapports L_(n+1)/L_n;
la constante ainsi obtenue (unique racine positive d’un polynôme du 71ème degré) est appelée
« constante de Conway ». Dans cet article, l’auteur s’intéresse à une variation sur la suite de
Conway, obtenue en énumérant non plus les termes en système numérique décimal (c’est-à-dire
avec les chiffres de 0 à 9) mais en système numérique binaire (c’est-à-dire uniquement avec des 0 et
des 1). Les premiers termes sont maintenant 1, 11, 101 (deux s’écrivant 10 en binaire), 111011, ……
Article : Le couloir semi-infini - Collège de Staël (Paris)
Un enfant est perdu dans un couloir qui a une porte d’un côté et qui continue à l’infini de l’autre côté. On suppose que l’enfant n’a pas de moyen visuel ni auditif qui lui indique de quel côté se trouve la sortie. Comment fait l’enfant pour sortir du couloir ?
Mots clés : algorithme, stratégie, suite de nombres entiers, suite croissanteArticle : La Tour de Pise - Collège de Staël (Paris)
On empile des dominos identiques en porte à faux. Comment obtenir la plus grande avancée possible ?
Mots clés : centre de gravité, suite, série harmoniqueArticle : Analyse du jeu Tetris - Collège de Staël (Paris)
L’article présente le problème de dénombrement de pièces de tetris à n carrés. Les auteurs proposent deux modélisations des pièces construites à partir de plus petites qui leurs permettent de majorer le nombre de pièces possibles.
Mots clés : dénombrement, configuration, combinatoireArticle : Fractions with a nice profile - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
A positive fraction is said to have a nice profile if it can be written as a sum of other fractions, all different, each one of the form 1/p with p a positive integer.
For instance, the fraction 5/6=1/2+1/3 has a nice profile.
There are a lot of questions that can be asked about that topic. For example, which fractions have a nice profile? Is it possible to find general and automatic methods to write any given fraction in this way? If a fraction has a nice profile, how many ways are there to break it down? What if we are interested in sums of two fractions only? etc…
Mots clés : fraction, fraction égyptienne, calcul algébriqueFor instance, the fraction 5/6=1/2+1/3 has a nice profile.
There are a lot of questions that can be asked about that topic. For example, which fractions have a nice profile? Is it possible to find general and automatic methods to write any given fraction in this way? If a fraction has a nice profile, how many ways are there to break it down? What if we are interested in sums of two fractions only? etc…
Article : Les prisonniers et les chapeaux - Lycée Bichat (Luneville)
Cet article présente des problèmes classiques de prisonniers et de chapeaux :
un directeur de prison propose à des prisonniers un jeu dans lequel il leur donne un chapeau de couleur chacun et propose de les libérer si ils devinent la couleur de leur chapeau. Dans le premier cadre que les auteurs étudient, les prisonniers sont mis en file indienne sur un escalier, il n’y a que deux couleurs de chapeau et les prisonniers doivent deviner la couleur de leur chapeau chacun leur tour en commençant par la fin. Ils compliquent ensuite la situation en autorisant plus que deux couleurs. Enfin, dans la dernière situation, les prisonniers sont placés en rond mais cette fois, chaque prisonnier indique la couleur de son chapeau sans que les autres ne l’entendent. Cependant, pour que tous les prisonniers soient libérés, il suffit qu’un seul des prisonniers devine la couleur de son chapeau. Dans les deux premiers cas, les auteurs donnent une solution qui permet de sauver tous les prisonniers sauf peut-être un et,…
Mots clés : parité, congruenceun directeur de prison propose à des prisonniers un jeu dans lequel il leur donne un chapeau de couleur chacun et propose de les libérer si ils devinent la couleur de leur chapeau. Dans le premier cadre que les auteurs étudient, les prisonniers sont mis en file indienne sur un escalier, il n’y a que deux couleurs de chapeau et les prisonniers doivent deviner la couleur de leur chapeau chacun leur tour en commençant par la fin. Ils compliquent ensuite la situation en autorisant plus que deux couleurs. Enfin, dans la dernière situation, les prisonniers sont placés en rond mais cette fois, chaque prisonnier indique la couleur de son chapeau sans que les autres ne l’entendent. Cependant, pour que tous les prisonniers soient libérés, il suffit qu’un seul des prisonniers devine la couleur de son chapeau. Dans les deux premiers cas, les auteurs donnent une solution qui permet de sauver tous les prisonniers sauf peut-être un et,…
Article : Suicide collectif - Université de Bordeaux (Talence) Université de La Rochelle
Des soldats se tuent mutuellement suivant un procédé déterminé à l'avance.
Cet article donne des algorithmes pour déterminer le survivant, ainsi que des formules permettant de trouver le survivant en fonction du nombre de soldats.
Mots clés : algorithme, suite récurrente, numération binaireCet article donne des algorithmes pour déterminer le survivant, ainsi que des formules permettant de trouver le survivant en fonction du nombre de soldats.
Article : Bleu Blanc Rouge - Lycée Henri Matisse (Cugnaux) Lycée Jean Pierre Vernant (Pins-Justaret)
Soit un quadrillage rectangulaire de cases blanches. Deux joueurs, un bleu et un rouge, qui à tour de rôle choisissent une case blanche.Cela a pour effet de colorier dans leur couleur toute la ligne et toute la colonne correspondante.
Soit l la plus petite dimension et L la plus grande du quadrillage . On prouve que le joueur jouant en premier gagne avec L cases coloriées de plus lorsque l est impair et perd avec l cases en moins lorsque l est pair. Cela est obtenu en calculant les scores algébriques de chaque joueur à chaque coup et en effectuant leur somme.
Mots clés : analyse de jeu, arithmétiqueSoit l la plus petite dimension et L la plus grande du quadrillage . On prouve que le joueur jouant en premier gagne avec L cases coloriées de plus lorsque l est impair et perd avec l cases en moins lorsque l est pair. Cela est obtenu en calculant les scores algébriques de chaque joueur à chaque coup et en effectuant leur somme.
Article : La course aux décimales - Collège de Marciac (Marciac)
Plusieurs méthodes sont présentées en vue d'obtenir une valeur approchée de π, puis leur efficacité est comparée.
Mots clés : Nombre π, approximation décimale, périmètre, aire, Geogebra, ScratchArticle : Plan de table - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un maître d'hôtel, mathématicien amateur, a disposé 9 verres sur une table de réception de manière à ce qu'ils forment 10 alignements de 3 verres. Dans cet article, on donne cette disposition, puis on montre que c'est la seule possible et qu'il n'est pas possible de faire mieux que 10 alignements.
Mots clés : géométrie plane, dénombrement, alignementArticle : Noix de coco dans la tour Montparnasse - Collège Alain Fournier (Orsay)
Cet article présente un problème de dénombrement et d’optimisation de stratégie.
Les noix de coco ont une certaine résistance et se cassent quand on les lâche depuis une certaine hauteur, toujours la même, qui est inconnue. On se propose de déterminer cette hauteur par essais successifs sachant qu’on ne dispose que d’un nombre limité de noix de coco.
L’article présente plusieurs stratégies et évalue le coût de chacune d’entre elles en termes de déplacements.
Mots clés : stratégie, algorithme, dénombrement, optimisationLes noix de coco ont une certaine résistance et se cassent quand on les lâche depuis une certaine hauteur, toujours la même, qui est inconnue. On se propose de déterminer cette hauteur par essais successifs sachant qu’on ne dispose que d’un nombre limité de noix de coco.
L’article présente plusieurs stratégies et évalue le coût de chacune d’entre elles en termes de déplacements.
Article : A special sequence - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
A sequence of integers is defined by a_1=2, a_2=3 and, for each n≥2:
either a_(n+1)=2a_(n-1) or a_(n+1)=3a_n-2a_(n-1).
Can that sequence reach any of the following numbers: 17? 21? 1600? 1536? 2017?
Mots clés : suiteeither a_(n+1)=2a_(n-1) or a_(n+1)=3a_n-2a_(n-1).
Can that sequence reach any of the following numbers: 17? 21? 1600? 1536? 2017?
Article : Needle thread - Lycée Arago (Perpignan)
On lance une aiguille au hasard sur un parquet composé de lattes parallèles de même largeur. Quelle est alors la probabilité pour que l'aiguille tombe à cheval sur deux lattes ? Cet article présente une méthode apportant une réponse à cette question en fonction de la longueur de l'aiguille.
Mots clés : probabilité, intégrale, dérivée, trigonométrie, aiguille de BuffonArticle : We get 2017 - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
The question: "At the beginning you only have an empty blackboard. At each step you can either write twice the number 1 on the blackboard or delete two numbers equal to n already written and replace them by n-1 and n+1. How many steps at least will be necessary in order to reach the number 2017?"
A "good" strategy leads to the result much more efficiently than what can appear at first approach. Then, the authors give a complete description of the process, and determine the number of steps.
Mots clés : récurrence, algorithme, complexité algorithmiqueA "good" strategy leads to the result much more efficiently than what can appear at first approach. Then, the authors give a complete description of the process, and determine the number of steps.
Article : Navettes spéciales - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Des navettes spatiales endommagées sont réparties sur les différentes planètes d’un système solaire. Elles doivent retrouver leurs planètes d’origine, tout en respectant des contraintes fortes en termes de déplacement (nombre de places limité sur les planètes, trajet entre des planètes consécutives uniquement, etc).
Dans l’article, les auteurs se confrontent à plusieurs choix de contraintes. Ils cherchent des algorithmes permettant à toutes les navettes de retrouver leurs planètes d’origine, et ce quelle que soit la configuration de départ. Les algorithmes trouvés sont testés à l’aide de Scratch, mais restent à l’état de conjectures.
Mots clés : algorithmique, programmationDans l’article, les auteurs se confrontent à plusieurs choix de contraintes. Ils cherchent des algorithmes permettant à toutes les navettes de retrouver leurs planètes d’origine, et ce quelle que soit la configuration de départ. Les algorithmes trouvés sont testés à l’aide de Scratch, mais restent à l’état de conjectures.
Article : Duels de gaufres - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Le duel consiste à manger alternativement un morceaux d'une gaufre sachant que le carré de gaufre en bas à gauche est empoisonné. Manger un morceau de gaufre, c'est choisir un carré de gaufre, le manger ainsi que tous ceux qui sont à sa droite et au dessus. Celui qui mange le carré empoisonné a perdu le duel.
On montre que le premier joueur a une stratégie gagnante et on indique cette stratégie dans le cas de gaufres rectangulaires en allant jusqu’au cas de gaufres à 4 lignes et 5 colonnes. Puis on se pose la même question avec les règles du duel légèrement différentes. Il y a une contrainte supplémentaire, on ne peut choisir un carré de gaufre que s'il est situé sur la même ligne, la même colonne ou la diagonale qui passe par le carré qui vient d’être mangé. Là encore le premier joueur a une stratégie gagnante
Mots clés : stratégie gagnante, jeu de ChompOn montre que le premier joueur a une stratégie gagnante et on indique cette stratégie dans le cas de gaufres rectangulaires en allant jusqu’au cas de gaufres à 4 lignes et 5 colonnes. Puis on se pose la même question avec les règles du duel légèrement différentes. Il y a une contrainte supplémentaire, on ne peut choisir un carré de gaufre que s'il est situé sur la même ligne, la même colonne ou la diagonale qui passe par le carré qui vient d’être mangé. Là encore le premier joueur a une stratégie gagnante
Article : Quadrille de Conway - Lycée Henri Matisse (Cugnaux) Lycée Jean Pierre Vernant (Pins-Justaret)
Quatre danseurs sont munis de deux cordes. Ils effectuent des suites de deux instructions (échange et rotation). L'article donne deux manières de déterminer comment revenir au point de départ,
Mots clés : algorithme, division euclidienne, nœud, groupeArticle : Drawing Fibonacci - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) Collège Sainte Véronique (Liège)
Define the Fibonacci word sequence as follows:
f_0 = 0, f_1 = 01, f_n = f_(n-1)f_(n-2) (the concatenation of f_(n-1) and f_(n-2)), for n ≥ 2. For example, f_2 = 010, f_3 = 01001, f_4 = 01001010, f_5 = 0100101001001, ...
The infinite Fibonacci word is the "limit" of these sequences. Let w_n be the n-th symbol in the infinite Fibonacci word.
The Fibonacci curve is a sequence of segments, drawn as follows:
- at step 0, draw a segment of length 1 from left to right;
- at step n,
- if w_n = 0, then draw segment of length 1 in the same direction as the previous segment
- if w_n = 1, then draw segment of length 1, turning 90º right if n is even and 90º left if n is odd.
Which are the properties of the given curve (e.g.: Does it intersect itself, does it have autosimilarities...). What happens if we change the angle of rotation? What if we change the Fibonacci word with a Sturm word?
Mots clés : suite de Fibonacci, algorithme récursiff_0 = 0, f_1 = 01, f_n = f_(n-1)f_(n-2) (the concatenation of f_(n-1) and f_(n-2)), for n ≥ 2. For example, f_2 = 010, f_3 = 01001, f_4 = 01001010, f_5 = 0100101001001, ...
The infinite Fibonacci word is the "limit" of these sequences. Let w_n be the n-th symbol in the infinite Fibonacci word.
The Fibonacci curve is a sequence of segments, drawn as follows:
- at step 0, draw a segment of length 1 from left to right;
- at step n,
- if w_n = 0, then draw segment of length 1 in the same direction as the previous segment
- if w_n = 1, then draw segment of length 1, turning 90º right if n is even and 90º left if n is odd.
Which are the properties of the given curve (e.g.: Does it intersect itself, does it have autosimilarities...). What happens if we change the angle of rotation? What if we change the Fibonacci word with a Sturm word?
Article : Une suite de chiffres - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
On étudie le développement décimal d'un quotient de deux entiers.
Mots clés : suite, développement décimalArticle : Un nouvel opérateur - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Dans cet article, il est question d’étudier un nouvel opérateur arithmétique sur des paires d’entiers suivant certains axiomes. Le but de cet article est d’exhiber une formule fermée découlant des axiomes. La formule fermée proposée utilise le pgcd des deux opérandes. La preuve du résultat principal se base sur l’algorithme d’Euclide.
Mots clés : algorithme d’EuclideArticle : Les nombres parfaits - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Dans cet article, on s’intéresse aux nombres parfaits et plus exactement à la façon de les reconnaitre. Après avoir caractérisé les nombres parfaits pairs, on trouve l’étude de quelques formats de nombres impairs et des liens possibles ou non avec les nombres parfaits.
Attention : un minimum de connaissances en arithmétique est nécessaire pour lire cet article.
Mots clés : parfait, arithmétiqueAttention : un minimum de connaissances en arithmétique est nécessaire pour lire cet article.
Article : Illusions d’optique - Collège Gaston Fébus (Orthez)
Au travers de trois exemple classiques, dont le triangle de Penrose, les élèves montrent qu’on doit se méfier de notre œil quand on regarde des dessins géométriques. Ce qui semble être une ligne droite peut être en effet une ligne brisé, des droites visiblement sécantes peuvent être parallèles et méfions-nous d’objets 3D dessinés sur un papier : l’objet 3D peut ne même pas exister ! Conclusion : les démonstrations en mathématiques sont bien utiles, voire indispensables.
Mots clés : triangle, théorème de Thalès, homothétieArticle : Des nombres un peu particuliers… - Lycée de Carquefou (Carquefou) Lycée la Herdrie (Basse-Goulaine)
Un entier naturel est un nombre Harshad (« nombre H ») s’il est divisible par la somme de ses chiffres. Par exemple 18 : 1 + 8 = 9 et 18 est divisible par 9. En revanche, 17 n’est pas un nombre H (1 + 7 = 8 et 8 ne divise pas 17). Cet article présente un algorithme pour trouver ces nombres nombres H et étudie quelques unes de leurs propriétés. On recherche en particulier les nombres H consécutifs et plus généralement les pas entre un nombre H et le suivant.
Mots clés : écriture décimale, divisibilité, HarshadArticle : Robot et labyrinthe - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges) Lycée Alain Fournier (Bourges)
L’article s’intéresse à plusieurs stratégies permettant de sortir d’un labyrinthe, avec des notions de théorie des graphes et de probabilités.
Mots clés : labyrinthe, robot, matrice, graphe, stratégie, algorithmeArticle : Mathématiques et Musique - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
L’article s’intéresse à l’utilisation des mathématiques pour comprendre et analyser les gammes musicales. Les auteurs expliquent d’abord comment le cycle des quintes permet de créer différentes gammes (les différents modes) puis comment, en considérant les approximations rationnelles données par l’algorithme des fractions continues, on arrive à créer d’autres gammes dont la gamme classique à 12 degrés.
Mots clés : gamme musicale, fraction continue, approximation rationnelle, logarithmeArticle : Suite de nombres - Lycée Rive Gauche (Toulouse)
On prend un entier naturel. On fait le produit de tous les chiffres qui le composent. On répète cette opération avec le résultat du calcul précédent à chaque fois jusqu’à obtenir un chiffre. La conjecture est qu'il semblerait que la suite se finisse toujours en moins de 11 étapes. L'article établit quelques propriétés de ces suites et présente les programmes réalisés.
Mots clés : arithmétique, suite de nombres entiers, persistanceArticle : La cueillette - Collège Théodore Monod (Lesquin) Collège Jacques Monod (Pérenchies)
Cet article présente une étude statistique du jeu de la « cueillette ». Après une présentation du jeu, de la problématique et des stratégies étudiées, une description des développements informatiques réalisés en Scratch, Python et à l’aide d’un tableur est donnée. Enfin, les résultats de simulation pour chacune des 3 réalisations sont comparés et permettent de valider l’approche utilisée.
Mots clés : jeu, simulation, statistiqueArticle : À la poursuite du dernier carré - Lycée de la mer (Gujan Mestras)
Il s'agit d'un jeu à deux sur un damier rectangulaire quadrillé. À tour de rôle, chaque joueur colorie une zone carrée du damier dont aucune case n'est encore coloriée. Le joueur qui colorie la dernière case gagne la partie.
Les élèves établissent des stratégies gagnantes pour le premier joueur dans un grand nombre de cas (longueur et largeur de même parité ou longueur paire). Le cas d'une longueur impaire et d'une largeur paire reste ouvert.
Mots clés : jeu, stratégie de jeu, stratégie gagnanteLes élèves établissent des stratégies gagnantes pour le premier joueur dans un grand nombre de cas (longueur et largeur de même parité ou longueur paire). Le cas d'une longueur impaire et d'une largeur paire reste ouvert.
Article : La boîte de gateaux - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
L’étude porte sur le remplissage de boites avec un étage de gâteaux circulaires. Les rédacteurs ont commencé par des boites carrées, puis triangulaires, en forme de losange et ont fini par des boites circulaires. Trois types d’outils sont utilisés : un logiciel de géométrie, un tableur et des calculs algébriques (malheureusement les démonstrations ne sont pas présentes)
Mots clés : géométrie, optimisation, triangle équilatéral, trigonométrieArticle : Les embouteillages - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Ce travail modélise la circulation de véhicules sur un circuit fermé. Il étudie la formation d’embouteillages en fonction du nombre de véhicules et de leur vitesse. Le circuit est modélisé par des cases, chaque case ne pouvant contenir qu’un seul véhicule. A chaque étape les véhicules tentent de se déplacer d’un certain nombre de cases vers l’avant. Les simulations effectuées montrent qu’en fonction de la densité du trafic les embouteillages vont se résorber ou non. Ces simulations sont en accord avec les propriétés démontrées par la suite.
Mots clés : modélisation, simulation, embouteillage, graphe, algorithme, programme, AlgoboxArticle : L’anneau des nains - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Recherche de patrons d'un anneau formé de huit cubes.
Mots clés : 3D, patron, arbre de possibilitésArticle : Problème des reines - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Il s’agit de placer n reines sur un échiquier de dimension n x n, sans qu’elles soient en prise, de voir si c’est toujours possible, de recenser les cas où cela est impossible.
En première partie on propose une méthode générale de construction de configuration valide et on s’aperçoit que la méthode proposée ne convient pas quand n=6k+2
En deuxième partie, on propose une méthode pour obtenir une configuration de taille n+1 à partir d’une configuration de taille n sans reines sur la diagonale.
En troisième partie, un programme de détermination de toutes les configurations possibles rédigé avec le logiciel Xcas.
En quatrième partie, on démontre pourquoi l’algorithme de construction de configuration proposé en première partie marche dans le cas n=6k, n=6k+4 et pas dans le cas n=6k+2.
En dernière partie, on propose un autre algorithme de construction de configuration dans le cas n=6k+2.
Mots clés : échecs, combinatoireEn première partie on propose une méthode générale de construction de configuration valide et on s’aperçoit que la méthode proposée ne convient pas quand n=6k+2
En deuxième partie, on propose une méthode pour obtenir une configuration de taille n+1 à partir d’une configuration de taille n sans reines sur la diagonale.
En troisième partie, un programme de détermination de toutes les configurations possibles rédigé avec le logiciel Xcas.
En quatrième partie, on démontre pourquoi l’algorithme de construction de configuration proposé en première partie marche dans le cas n=6k, n=6k+4 et pas dans le cas n=6k+2.
En dernière partie, on propose un autre algorithme de construction de configuration dans le cas n=6k+2.
Article : Balade à New-York - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Un personnage se déplace sur une grille infinie modélisant la ville de New York. A l’étape i, il parcourt une distance i en ligne droite. On impose de changer de direction (selon les points cardinaux) à chaque étape. De plus la première et la dernière direction doivent être différentes. Le problème consiste à étudier l’existence d’un parcours qui revient à son point de départ.
Les auteurs commencent par trouver des solutions au problème avant de caractériser la longueur des solutions en montrant que ces longueurs sont exactement les multiples de 8.
Pour finir, ils comptent le nombre solutions possibles pour des longueurs valant 8, 16, 24 et 32. Ces dernières valeurs sont obtenues grâce à un algorithme implémenté en AlgoBox
Mots clés : polygone, grille, dénombrementLes auteurs commencent par trouver des solutions au problème avant de caractériser la longueur des solutions en montrant que ces longueurs sont exactement les multiples de 8.
Pour finir, ils comptent le nombre solutions possibles pour des longueurs valant 8, 16, 24 et 32. Ces dernières valeurs sont obtenues grâce à un algorithme implémenté en AlgoBox
Article : Stationnement sur le périphérique... - Lycée Charles-Augustin Coulomb (Angoulême) Lycée Marguerite de Valois (Angoulême), Lycée Saint Paul (Angoulême)
Il s’agit de déterminer le nombre moyen de voitures qu’on peut garer dans un parking à partir des données géométriques (parking circulaire ou linéaire).
Mots clés : algorithme, récurrenceArticle : Gare aux tricheurs ! - Collège Alain Fournier (Orsay)
A l'université d'O., pendant les examens, les tables sont placées régulièrement. N'ayant pas révisé, les étudiants essayent tous de tricher et les surveillants, s'asseyant à certaines places, ne peuvent contrôler que les 4 étudiants qui l'entourent. Nous avons trouvé le minimum de surveillants nécessaires pour surveiller de petites salles « carrées », jusqu'à 5 tables sur un côté, et pour les autres, nous avons formulé un encadrement. Nous avons aussi décrit une technique pour placer les surveillants en nombre réduit même si ce n'est pas toujours le minimum.
Mots clés : optimisation discrète, pavageArticle : Courbes fermées ou infinies ? - Collège Alain Fournier (Orsay)
Ce travail présente une analyse des courbes obtenues en répétant une séquence de déplacement donnée composées d’une alternance entre déplacement et rotation de 90°. Cette analyse porte sur le caractère fermé des courbes obtenues fonction du nombre et de la longueur des déplacements. L’étude porte sur un cas précis d’une séquence de 3 mouvements qui est ensuite étendue à des longueurs et un nombre de séquences variables. Enfin, une conjecture est donnée pour caractériser le caractère finie ou infinie de la courbe obtenue en fonction des propriétés de la séquence répétée.
Mots clés : géométrie, simulationArticle : A sweet problem - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
A cake as a cuboid has to be served by 100 persons at a birthday party. The person who celebrates his birthday has to cut the cake such that everybody who is there can eat a piece in order to taste the sweet cake. Pieces can be every shape or size; they do not have to be equal, but they cannot be rearranged after any cut. The cake can be cut every direction. We find out which one is the minimum number of cuts the celebrated person should do in order to satisfy all guests (everybody tastes the cake), which one is the minimum number of cuts in order to get equal pieces, the dimensions of the cake that has maximum volume.
Mots clés : cube, volume maximal, minimumArticle : Snowflakes - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Les élèves s'intéressent aux objets fractals et notamments au flocon de von Koch. Ils retrouvent le ''paradoxe'' bien connu de cet objet, à savoir qu'ils possèdent une aire finie mais un périmètre de longueur infinie. Ils calculent notamment l'aire exacte du flocon.
Mots clés : fractal·eArticle : On time - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Our team has completed a set of tasks related to a classic clock, such as: how many degrees lie between the hour hand and the minute hand when the clock shows 4:32, which is the first moment between 7 and 8 o’clock when the angle determineted by the hour hand and the minute hand measures 1000, which is the probability that the hour hand lies between 7 and 10 o’clock.
Mots clés : temps, angle, probabilitéArticle : Pizza time - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Cet article étudie cinq problèmes indépendants qui s’intéressent à des propriétés géométriques de découpages de pizzas.
Mots clés : géométrie, cercle, combinatoireArticle : A not so fair game - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Cet article (en anglais) étudie un jeu de hasard avec trois dés préparés où le premier joueur en choisit un et, quelque soit son choix, le second peut en choisir un autre avec plus de chances de gagner. À chaque lancer, le perdant verse une somme fixée au gagnant et le temps moyen mis pour que l'un des joueurs soit ruiné est calculé.
Mots clés : probabilité, dé, effet CondorcetArticle : Lattice - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Dans cet article les auteurs cherchent à répondre aux questions suivantes :
1. Combien de lignes traversent exactement deux nœuds d'un réseau ?
2. Combien peut-on construire de carrés dont les sommets sont les nœuds d'un réseau ?
3. Quelle est la probabilité que 4 points d'un réseau soient les sommets d'un carré ?
4. Quelle est la probabilité que 3 points d'un réseau soient les sommets d'un triangle ?
Mots clés : géométrie plane, combinatoire, probabilités, réseau1. Combien de lignes traversent exactement deux nœuds d'un réseau ?
2. Combien peut-on construire de carrés dont les sommets sont les nœuds d'un réseau ?
3. Quelle est la probabilité que 4 points d'un réseau soient les sommets d'un carré ?
4. Quelle est la probabilité que 3 points d'un réseau soient les sommets d'un triangle ?
Article : A very short alphabet - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
The number of words of length 7 in an alphabet of 4 letters is calculated under several constraints: forbidden sub-words, even number of apparitions of a letter. Induction formulas give a more general result applying to words of all lengths. [On calcule le nombre de mots de longueur 7 dans un alphabet de 4 lettres sous plusieurs contraintes : sous-mots interdits, nombre pair d’apparitions d’une lettre. Des formules de récurrence donnent un résultat plus général s’appliquant aux mots de toutes longueurs].
Mots clés : mot, combinatoire, combinatoire des motsArticle : Dents et engrenage - Lycée Saint Paul (Roanne)
Quelle forme faut-il choisir pour les dents d'un engrenage ?
Question plus difficile qu'il n'y paraît, où apparaissent des développantes de cercle !
Mots clés : géométrie, trigonométrieQuestion plus difficile qu'il n'y paraît, où apparaissent des développantes de cercle !
Article : Flower Beds and a Little Geometry - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Cet article, écrit en anglais, introduit une transformation de triangles et de quadrilatères ainsi que les cercles de Conway d'un triangle. Ainsi, des triangles sont construits à partir de triangles initiaux, des quadrilatères à partir de quadrilatères initiaux, avec des propriétés de conservation du centre de gravité, entre autres. On démontre aussi que les cercles de Conway sont tous centrés sur le centre du cercle inscrit. Ces différentes formes permettent de dessiner des jolies figures que l'on peut imaginer sur le sol d'un jardin public, avec fontaines, statues, arbres, portes d'entrées, et plate-bandes fleuries...
Mots clés : géométrie, géométrie des triangles, symétrie, quadrilatère, cercle de ConwayArticle : Géométrie Tropicale - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Cet article donne une présentation générale des algèbres Min-Plus et leur version symétrisée. Ces algèbres sont étroitement reliées à la notion d’analyse idempotente. L’article fait apparaître les difficultés et spécificités liées à ces algèbres et notamment à leur symétrisations qui est incompatible, dans des cas non triviaux, avec l’associativité et l’idempotence. A cet effet il est montré comment l’on peut construire une classe d’équivalence permettant de contourner cette difficulté. Cette structure est parallèle, dans son principe, à celle qui permet de passer des nombres naturels aux entiers relatifs.
Mots clés : algèbre tropicale, analyse idempotente, algèbre min-plus, géométrie tropicaleArticle : Simulateur d’avalanches - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo) Liceo de Mirano (Mirano, Italie)
This article presents some experiments for a problem named “Avalanche simulator”.
It consists in considering a grid a cell containing a given number of snow flake. If this number is greater than 4, at a given timestep, then 4 flakes are flowing on each neighboring cell (let, right, up, down). This process repeats until it reaches stability. The problem consists in finding a relation between the radius r when stability is reached and the number N of snow flake that is put initially in the central cell of the grid. They have implemented a program to produce simulation results and analyzed them to figured out a possible relation.
Mots clés : automate cellulaire, Conway, jeu de la vieIt consists in considering a grid a cell containing a given number of snow flake. If this number is greater than 4, at a given timestep, then 4 flakes are flowing on each neighboring cell (let, right, up, down). This process repeats until it reaches stability. The problem consists in finding a relation between the radius r when stability is reached and the number N of snow flake that is put initially in the central cell of the grid. They have implemented a program to produce simulation results and analyzed them to figured out a possible relation.
Article : Fractions Egyptiennes - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Cet article, rédigé en anglais, propose au cours des 43 pages d’étudier différentes méthodes pour trouver la décomposition d’une fraction inférieure à 1 (« proper fraction ») en somme de fractions égyptiennes (fractions dont le numérateur est 1). Les auteurs commencent par présenter la méthode de Fibonacci. Elle est simple et les preuves utilisent essentiellement les résultats sur les fractions. Mais elle est peu efficace. L’algorithme de calcul est dit « glouton » : il prend vite du temps. Elle a aussi l’inconvénient de donner des décompositions où les dénominateurs deviennent vite grands.
Les auteurs proposent ensuite d’étudier la méthode de Golomb. Plus complexe, elle s’appuie sur les le théorème de Bézout et l’algorithme d’Euclide. Les preuves sont de bons exercices d’arithmétique avec un travail d’encadrement utilisant la partie entière. En outre, l’algorithme permet d’avoir une décomposition en fraction égyptienne avec des dénominateurs moins grands que la première et bornés par b(b-a) où b…
Mots clés : fraction égyptienne, Fibonacci, méthode de GolombLes auteurs proposent ensuite d’étudier la méthode de Golomb. Plus complexe, elle s’appuie sur les le théorème de Bézout et l’algorithme d’Euclide. Les preuves sont de bons exercices d’arithmétique avec un travail d’encadrement utilisant la partie entière. En outre, l’algorithme permet d’avoir une décomposition en fraction égyptienne avec des dénominateurs moins grands que la première et bornés par b(b-a) où b…
Article : Les critères de divisibilité - Lycée Żmichowska (Varsovie)
L'article s'intéresse au critère de divisibilité par 3 ou 9 en base 10 et montre que ce critère est vrai seulement pour 3 ou 9. Il montre également que ce critère est vrai en base p pour tout diviseur de p-1.
Mots clés : critère de divisibilité, système de numérationArticle : Arbres - Lycée Jean Puy (Roanne)
Cette étude consiste à déterminer l’aire et le périmètre d’un arbre construit à l’aide d’un procédé itératif à partir d’un carré de base.
Mots clés : aire, périmètre, théorème de Pythagore, itération, fractal·eArticle : Un tableau pas très bien attaché - Collège Henri de Navarre (Coutras) Collège Paul-Emile Victor (Branne)
Est-il possible d’accrocher un tableau à un mur avec des clous et une ficelle de telle sorte que si l’on enlève un des clous, le tableau tombe ? A l’aide d’un codage sous forme de mots, les élèves prouvent que cela est possible pour un nombre arbitraire de clous !
Mots clés : groupe, groupe libre, commutateurArticle : Des cartes, de la magie et des maths. - Collège Henri de Montherlant (Neuilly en Thelle)
L'article étudie un tour de cartes : "un magicien dispose sur une table 15 cartes à jouer différentes en 3 lignes et 5 colonnes, faces visibles. Il vous demande de choisir une carte, puis de lui dire dans quelle ligne elle se trouve ; il rassemble les cartes et les redistribue de façon différente. Après avoir demandé trois fois dans quelle ligne se trouve votre carte il est capable de vous dire quelle carte vous avez choisie.
Mots clés : tour de cartesArticle : Le porteur d’eau - Collège Henri de Montherlant (Neuilly en Thelle)
On veut apporter le maximum d'eau à un champ avec un âne âgé. Sachant que le champ est séparé d'une citerne (de contenance 150L) par 50m de distance et que l'âne ne peut porter que 50L à l'aide d'un bidon percé qui perd 1L par mètre, et qu'on dispose d'une réserve qu'on peut poser où on veut sur le chemin.
Mots clés : optimisationArticle : gateaux empoisonnés - Lycée Edouard Herriot (Lyon) Collège Raoul Dufy (Lyon)
L'objectif est d’endormir son professeur en lui offrant un nombre de gâteaux dont certains contiennent du somnifère. Le professeur mange deux gâteaux et s'endort s'il ingère au moins un gramme de somnifère. L'article commence par traiter quelques exemples puis étudie différents cas en fonction de la décomposition du grammage. Enfin, la question de l'optimisation de la répartition du grammage en fonction du nombre de gâteaux et de la quantité de somnifère est étudiée.
Mots clés : optimisation discrète, probabilitéArticle : Une analyse combinatoire autour du jeu de Dobble - Lycée Żmichowska (Varsovie)
L'article décrit mathématiquement les ensembles de Dobble (basés sur un jeu de société) : ensemble de cartes portant toutes un même nombre k de symboles tel que 2 cartes différentes ont toujours un unique symbole commun. L'article montre que l'ensemble des cartes du jeu du commerce n'est pas maximal (on peut en rajouter 2), et donne un critère permettant de savoir si un ensemble est maximal. Il donne également une méthode pour construire un ensemble de Dobble pour un ensemble de symboles donné.
Mots clés : Dobble, jeu, ensemble, inégalité, optimisationArticle : Localiser un robot - Lycée la Versoie (Thonon les Bains)
Localiser un robot qui se déplace sur un graphe en connaissant certaines distance à certains points.
Mots clés : graphe, graphe completArticle : Qui chat peut être ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
L’article porte sur une analyse un jeu proche du « Qui est-ce ? ». Les auteurs recherchent tout d’abord le nombre de questions maximum pour retrouver le bon personnage sous condition que l’autre joueur ne ment pas. Puis ils proposent une amélioration du jeu pour pouvoir détecter et corriger un éventuel mensonge de l’adversaire.
Mots clés : code correcteur, jeu, binaireArticle : C’est du lard. - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)
Dans l’article, les auteurs proposent une méthode géométrique pour déterminer le nombre de gardiens à placer dans une galerie d’art pour pouvoir surveiller toute la galerie.
Les résultats ne sont pas démontrés mais expliqués avec des schémas.
Mots clés : polygone, convexe, concave, construction géométrique, triangulationLes résultats ne sont pas démontrés mais expliqués avec des schémas.
Article : Un jeu de Nim - Lycée Douanier Rousseau (Laval)
Les jeux de Nim sont des jeux de stratégie se jouant à 2. Ce travail étudie la variante où chaque joueur doit prendre dans un tas d’un certain nombre de bâtons tour à tour. Le premier joueur doit en laisser au moins un, puis chacun peut prendre un nombre de bâtons au plus égal au double du nombre de bâtons pris par le précédent. Celui qui gagne est celui qui prend le dernier bâton. Selon le nombre de bâtons au départ, il est établi une stratégie gagnante pour l'un ou l'autre des joueurs, qui fait apparaître la suite de Fibonacci et la décomposition de Zeckendorf.
Mots clés : jeu, jeu de Nim, stratégie de jeu, suite de Fibonacci, ZeckendorfArticle : Nombres premiers d’un certain type fixé à l’avance - Lycée Emile Duclaux (Aurillac)
Ce sujet repose sur l’étude d’un objet mathématique créé par le mathématicien Stanisław Marcin Ulam : la spirale d’Ulam. Elle s'obtient en enroulant les entiers naturels selon des carrés croissants, puis en mettant en évidence les nombres premiers. On peut alors rapidement observer que les nombres premiers ont une tendance à s’aligner sur certaines diagonales. Le but du sujet est de comprendre l’origine de ces alignements. Les élèves en viennent à étudier la fréquence des nombres premiers parmi les valeurs de polynômes du second degré à coefficients entiers.
Mots clés : spirale d'Ulam, nombre premierArticle : Smileys tassés et pokémons bien serrés. - Collège Carnot (Lille)
Comment mettre un maximum de smileys dans un espace rectangulaire? Par une approche expérimentale, les élèves ont testé différentes configurations, puis ils ont démontré leurs conjectures. Il se sont ensuite demandé quelles seraient les dimensions d'un rectangle "parfaitement ajusté" pour placer un grand nombre de smileys.
Mots clés : optimisation, aire, disque, triangle, carré, rectangle, aire maximale, proportionArticle : Quelques automates cellulaires - Lycée de Provence (Marseille)
Comment se crée un embouteillage de voitures sur une route ? À quelles conditions sur le trafic peut-il au contraire se résorber ? Dans cet article, la circulation des voitures sur une route au cours du temps est modélisée par un automate cellulaire. Un code en TI-Basic est donné permettant la simulation directe. Enfin, sous certaines conditions de trafic (les voitures arrivent sur la route selon des instants périodiques) une condition nécessaire et suffisante est donnée pour la résorption (ou au contraire la préservation) d'un bouchon.
Mots clés : modélisation, automate cellulaire, programmation, suite récurrenteArticle : Une crêpe très fragile - Lycée Carnot (Paris) Lycée Maurice Ravel (Paris)
En partant d’une crêpe cuite sur seulement une de ses deux faces, initialement face cuite dessous, on fixe un angle a et on retourne une portion de la crêpe sur le secteur angulaire [0,a]. On fait ensuite de même sur le secteur angulaire [a,2a], et ainsi de suite. Pour quelles valeurs de a ce processus aboutit-il à un retournement complet de la crêpe ? Les élèves démontrent que les angles de type a=360°/n pour un entier positif n conviennent, et seulement ceux-ci.
Mots clés : géométrie, système dynamiqueArticle : Parking - Collège Michelet (Toulouse) Collège Jolimont (Toulouse)
Les élèves des collèges Michelet et Jolimont ont étudié les possibilités qu’ont un certain nombre de
voitures de se garer dans un parking comportant autant de places que de voiture, chacune de ces
dernières ayant une « place préférée ». Ils se sont intéressés à l’existence et au dénombrement de cas
permettant à toutes les voitures de se garer. Ils ont pour cela relié leur sujet aux projets « Arbres
binaires planaires » et « Triangulation » de leurs établissements.
Mots clés : combinatoire, dénombrement, arbre binairevoitures de se garer dans un parking comportant autant de places que de voiture, chacune de ces
dernières ayant une « place préférée ». Ils se sont intéressés à l’existence et au dénombrement de cas
permettant à toutes les voitures de se garer. Ils ont pour cela relié leur sujet aux projets « Arbres
binaires planaires » et « Triangulation » de leurs établissements.
Article : Arbres binaires planaires - Collège Michelet (Toulouse) Collège Jolimont (Toulouse)
Les élèves des collèges Michelet et Jolimont ont dénombré le nombres d'arbres binaires planaires possibles en fonction du nombre d'entrées. Pour la formule générale, le sujet a été mis en relation avec le sujet de recherche triangulation donc les solutions sont au même nombre.
Mots clés : arbre binaire, dénombrement, nombre de CatalanArticle : Triangulation - Collège Michelet (Toulouse) Collège Jolimont (Toulouse)
Les élèves des collèges Michelet et Jolimont ont trouvé une formule déterminant le nombre de découpages en triangles de polygones convexes. La formule a été mis en évidence et vérifiée mais non démontrée pour le cas général.
Mots clés : polygone, triangle, dénombrement, nombre de CatalanArticle : Magic’ Maths - Lycée Claude Bernard (Villefranche-sur-Saône)
Un magicien, aidé par un complice, va épater un joueur. Le joueur choisit p lettres dans un alphabet de n lettres, qu'il dit au complice. Ce dernier en dit p-1 au magicien, qui trouve alors la dernière carte choisie par le joueur. L'article établit à l'aide du lemme des mariages la condition entre p et le nombre de lettres de l'alphabet pour que le tour soit possible, et décrit des stratégies possibles pour quelques valeurs de n et de p.
Mots clés : tour de magie, combinatoire, arrangement, combinaison, lemme des mariagesArticle : Faire routage - Collège Le Grand Som (St Laurent du Pont)
Cet atelier propose une étude combinatoire de répartitions de nombres satisfaisant différentes contraintes arithmétiques.
Mots clés : combinatoire, somme d'entiers, ScratchArticle : Tu coches, je te coupe et te mange... - Collège Saint Pierre (Plouha)
Ce jeu se joue à deux sur un rectangle quadrillé de dimensions m x n. Les joueurs jouent à tour de rôle. le premier joueur place une croix où il le souhaite dans une case, puis le second joueur coupe sur une ligne du quadrillage et enlève la partie contenant la croix. À son tour, il place sa croix dans une case et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une seule case ; le joueur qui met sa croix dans la dernière case gagne la partie. Les dimensions du rectangle initial et les stratégies qui permettent soit au premier joueur, soit au second, de gagner à coup sûr sont établies pour un bon nombre de cas, avec une conjecture pour le cas général
Mots clés : jeu, stratégie, stratégie gagnanteArticle : Piques et Pick et polygrammes...Heu ! Polygones ! - Collège Saint Pierre (Plouha)
Former un polygone en étirant un élastique sur les clous d'une planche de fakir, compter le nombre de clous à l'intérieur du polygone, le nombre de clous sur le bord du polygone... et en déduire l'aire ? C'est l'objet de cet article qui étend même le résultat à des polygones "troués" (c'est-à-dire auxquels on retire des polygones eux-mêmes formés sur la grille). Ainsi, la formule de Pick est conjecturée par une accumulation d'exemples, puis démontrée pas à pas en commençant par des rectangles alignés sur la grille, en continuant par les triangles, et en finissant par les polygones (comme réunion de triangles) et les polygones "troués".
Mots clés : géométrie, grille, calcul d'aire, polygone, formule de PickArticle : La bataille d’eau VS le linge de maman - Lycée Diderot (Carvin)
Un enfant joue avec un pistolet à eau dans un jardin alors que du linge est étendu sur la terrasse. Il s'agit de déterminer la probabilité que l'enfant touche le linge avec son tir. Partant d'une étude géométrique, plusieurs méthodes sont présentées, conduisant à des estimations de la probabilité que le linge soit mouillé : en utilisant un quadrillage et un tableur ou une simulation à l'aide d'un algorithme. L'article détaille les méthodes utilisées et les formules trouvées.
Mots clés : probabilité, géométrie, algorithme, simulation, tableurArticle : Décrochage de décorations - Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne) Cité scolaire Lacassagne (Lyon)
L'article reprend certaines des configurations présentées lors du Congrès de Marseille.
Mots clés : jeu de Hackenbush, jeu combinatoireArticle : le théorème de Pick - Collège de Marciac (Marciac)
Sur une feuille quadrillée, on dessine un polygone (non aplati et sans trou) dont les sommets sont des points d’intersection des lignes verticales et horizontales du quadrillage. Trouvez une formule mathématique simple qui déduit l’aire dudit polygone en fonction des points du quadrillage qu’il contient.
Ces points étant distingués en i points intérieurs et b points sur le bord, l’article établit la formule, associée au théorème de Pick, pour l’aire A du polygone : A = i + b/2 – 1
Celle-ci est établie pour un rectangle, puis un triangle rectangle, puis un triangle quelconque avant d’être généralisée à tout polygone pouvant se construire par ajouts successifs de triangles, bord à bord.
Mots clés : géométrie discrète, polygone, triangulation, formule de PickCes points étant distingués en i points intérieurs et b points sur le bord, l’article établit la formule, associée au théorème de Pick, pour l’aire A du polygone : A = i + b/2 – 1
Celle-ci est établie pour un rectangle, puis un triangle rectangle, puis un triangle quelconque avant d’être généralisée à tout polygone pouvant se construire par ajouts successifs de triangles, bord à bord.
Article : Puissances de 2 - restes de divisions euclidiennes - Collège Alain Fournier (Orsay)
Cet article décrit le comportement des restes des puissances d'un nombre entier dans leur division euclidienne par un diviseur. Les auteurs s'intéressent d'abord aux restes des puissances de 2 divisés par 5 puis généralisent à d'autres diviseurs et puissances. Des règles assez générales sont énoncées et démontrées pour calculer rapidement certains restes.Quelques conjectures, notamment sur « les sommes des restes » sont aussi énoncées.
Mots clés : arithmétique, division euclidienneArticle : Accident ferroviaire - Collège Alain Fournier (Orsay)
Le problème étudié dans cet article est le suivant: deux trains identiques sont rentrés en collision et se sont accrochés en désordre formant un cercle. On s'intéresse au nombre minimal de coupes qu'il faut faire pour reconstituer les deux trains (sans tenir compte de l'ordre original des wagons). Les auteurs établissent que le nombre minimal de coupes est pair et supérieur ou égal à deux, décrivent totalement le cas où les wagons de différents types sont alternés et formulent une conjecture pour le cas général.
Mots clés : combinatoire des mots, mot cyclique, partition, optimisation discrèteArticle : Résolution de sudoku - Lycée Mont Blanc René Dayve (Passy)
Cet article présente la résolution des sudokus par un algorithme récursif, et deux programmes de création de grilles aléatoires permettant de tester l'algorithme et de comparer le nombre de solutions obtenues au nombre de chiffres pré-remplis pour ces grilles. Les algorithmes présentés ont été écrits par les élèves en langage Scilab, avec l'aide des chercheurs et des professeurs.
Mots clés : sudoku, algorithme, algorithme récursif