Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Graphes numérotés - Lycée Paul Guérin (Niort)
Narration de recherche : Une couverture pour un petit serpent - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Explications du sujet "La couverture du petit serpent" expliqué par les élèves le samedi 27 juin
Mots clés : aireArticle : Les tours de Hanoï dans tous leurs états - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Cet article en anglais étudie le nombre minimal de coups nécessaires au déplacement d’une tour de Hanoi dans le cas classique et en imposant la contrainte supplémentaire que chaque pièce ne soit déplacée que sur un pilier voisin.Les solutions sont données par une récurrence et par un algorithme en C++.
Mots clés : combinatoire, algorithmiqueArticle : Constructions par pliage - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This work presents geometric constructions by folding paper. It is shown how to obtain any arbitrary positive rational length, the square root of any given length already built and finally the trisection of an angle. The structure of all numbers that are constructible by folding paper is investigated and they are put in comparison to those obtained by straightedge and compass constructions, showing that paper folding allows more possibilities.
Mots clés : pliage, nombre constructible, nombre rationnel, racine carrée, trisection de l'angleArticle : The construction of fair 5-sided dice - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Is it possible to construct a solid, with 5 faces for example, such that the probability of getting each face is the same, 1/5 in the example with 5 faces?
The problem's statement is equivalent to constructing a 5-sided fair dice. Such dice with 4 and 6 faces respectively already exist and are quite popular (for 4 faces there is the tetrahedron and for 6 faces the cube). In this article we will try to construct a 5-sided dice and from there an n-sided dice (n >= 4).
Mots clés : probabilité, dé, polyèdre, approche expérimentaleThe problem's statement is equivalent to constructing a 5-sided fair dice. Such dice with 4 and 6 faces respectively already exist and are quite popular (for 4 faces there is the tetrahedron and for 6 faces the cube). In this article we will try to construct a 5-sided dice and from there an n-sided dice (n >= 4).
Article : Titus et Pollux: Un jeu de points et de traits - Lycée Jean-Paul Sartre (Bron) Lycée Edouard Herriot (Lyon)
Deux joueurs s'affrontent dans un jeu sur le plan, Titus et Pollux.
Titus trace des traits de longueur 1 et Pollux dessine des points dans le plan, ils jouent à tour de rôle. L'objectif de Titus est de fermer une surface d'aire la plus grande possible qui ne contienne aucun point de Pollux. L'objectif de Pollux est de limiter le plus possible l'aire que Titus va créer.
Les traits de Titus peuvent se croiser mais il n'a pas le droit de faire des traits sur les points de Pollux. De la même façon, Pollux n'a pas le droit de faire des points sur les traits de Titus.
Comment doivent jouer Pollux et Titus pour se rapprocher de leurs objectifs ?
Pour un entier k, quel est le plus grand polygone à k côtés que Titus peut réussir à fermer ?
Mots clés : jeu, polygone, aire, stratégieTitus trace des traits de longueur 1 et Pollux dessine des points dans le plan, ils jouent à tour de rôle. L'objectif de Titus est de fermer une surface d'aire la plus grande possible qui ne contienne aucun point de Pollux. L'objectif de Pollux est de limiter le plus possible l'aire que Titus va créer.
Les traits de Titus peuvent se croiser mais il n'a pas le droit de faire des traits sur les points de Pollux. De la même façon, Pollux n'a pas le droit de faire des points sur les traits de Titus.
Comment doivent jouer Pollux et Titus pour se rapprocher de leurs objectifs ?
Pour un entier k, quel est le plus grand polygone à k côtés que Titus peut réussir à fermer ?
Diaporama : Colonie de fourmis - Collège Alain Fournier (Orsay)
On dispose sur un segment un certain nombre de fourmis, orientées vers un côté ou l’autre. Le segment mesure un mètre et les fourmis se déplacent à la vitesse d’un mètre par minute. Lorsque deux fourmis se rencontrent, elles changent de sens et continuent leur route. Lorsqu’elles arrivent au bord du segment, elles tombent. Au bout de combien de temps toutes les fourmis seront-elles tombées ?
Mots clés : somme de distances, segmentDiaporama : Galerie d’art - Collège Alain Fournier (Orsay)
Comment surveiller une galerie d'art de forme polygonale avec un minimum de gardiens ?
Mots clés : polygone, convexe, triangle, optimisationDiaporama : Ruches d’abeilles - Collège Alain Fournier (Orsay)
Analyse de différents pavages du plan, l’objectif étant de trouver des pavages du plan par des motifs polygonaux, de telle façon que ces pavages maximisent le rapport (aire du motif/périmètre du motif).
Mots clés : géométrie du plan, trigonométrie, théorème de Pythagore, polygone régulierDiaporama : Polyominos de périmètre minimal - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un polyomino est un assemblage de carrés unité collés bord à bord. Etant donné un certain nombre de carrés n, quel est le plus petit périmètre que l'on peut obtenir en construisant des polyominos à n carrés ?
Diaporama : Théorème des 5 couleurs - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un graphe planaire est obtenu de la façon suivante : on choisit des points du plan que l'on appelle les sommets. On peut ensuite choisir de les relier des points distincts par des segments, appelés arêtes, telles qu'elles ne s'intersectent pas.
Un coloriage de graphe consiste à attribuer à chaque sommet du graphe une couleur, de façon que deux sommets reliés par une arête soient de couleurs différentes.
Étant donné un graphe planaire, est-il possible de le colorier avec cinq couleurs ?
Mots clés : graphe, arête, sommetUn coloriage de graphe consiste à attribuer à chaque sommet du graphe une couleur, de façon que deux sommets reliés par une arête soient de couleurs différentes.
Étant donné un graphe planaire, est-il possible de le colorier avec cinq couleurs ?
Diaporama : Coloriage de polyèdres - Collège Alain Fournier (Orsay)
Le sujet initial est le suivant : combien y a t il de manières de colorier un cube avec une, deux, trois, … ou six couleurs distinctes. Le diaporama répond à cette question en utilisant la représentation du cube sous forme de patron et en tenant compte des rotations qui conservent le cube. Les élèves ont ensuite étendu leur étude au cas du dodécaèdre en cherchent le nombre de coloriages du dodécaèdre avec 12 couleurs différentes.
Mots clés : polyèdre régulier, cube, dodécaèdreArticle : Fixed points - Liceo Scientifico R. Bruni (Padova)
Les auteur·es se sont intéressé·es à l’existence de fonctions croissantes sans aucun point fixe définies d’un ensemble dans lui-même.
Mots clés : fonction croissante, point fixe, raisonnement par l'absurdeArticle : Half-plane geometry - Liceo Scientifico R. Bruni (Padova)
This article studies the geometry of Poincaré's half-plane, i.e. the half-plane limited by a straight h where the lines are half-circles centered on h, and where the axioms of classical Euclidean geometry hold except for the axiom of parallel lines. Lacking the notion of distance, congruence between segments is introduced by constructing shifts from one line to another. After that, it is shown that the sum of the angles of a triangle is always less than 180 degrees and then the properties of many polygons are investigated.
Mots clés : géométrie hyperbolique, demi-plan de Poincaré, triangle, polygoneArticle : Savoir compter jusqu’à 1 - Collège André Abbal (Carbonne) Collège Nelson Mandela (Noé)
Il s'agit de trouver un/les nombre/s N tels que, lorsqu'on écrit en base 10 tous les nombres entre 1 et N, le nombre de 1 dans cette écriture est exactement égal au nombre N lui-même.
Ce qui est fait : les élèves établissent une formule donnant le nombre de un dans l'écriture en base 10 de 10^n. Au vu de cette formule ils pensent que des réponses à la question posée doivent se trouver vers 10^{10}
En utilisant un petit programme, ils en trouvent un certain nombre.
Mots clés : base de numérationCe qui est fait : les élèves établissent une formule donnant le nombre de un dans l'écriture en base 10 de 10^n. Au vu de cette formule ils pensent que des réponses à la question posée doivent se trouver vers 10^{10}
En utilisant un petit programme, ils en trouvent un certain nombre.
Article : Les triangles magiques - Collège André Abbal (Carbonne) Collège Nelson Mandela (Noé)
Un triangle de nombres entiers est dit parfait s'il contient une fois, unique, chacun des nombres de 1 au nombre d'éléments du triangle, et que sous deux nombres du triangle soit placée la différence de ces nombres en valeur absolue. On détermine tous les triangles parfaits de hauteur 2 ou 3, certains triangles parfaits de hauteur 4, et quelques propriétés générales sont établies ou conjecturées.
Mots clés : entier naturel, différenceArticle : Don’t cross the streams - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Les chasseurs de fantômes « Ghostbusters » utilisent des rayons pour neutraliser les fantômes. Mais ces rayons ne se doivent pas se croiser. Pour un même nombre donné, quelconque, de fantômes et de Ghostbusters, on montre que, si il n'y a pas trois points alignés, il est possible d'associer un fantôme à tout Ghosbuster de façon que les rayons joignant chaque Ghostbuster à son fantôme ne se croisent pas. Deux preuves différentes sont données, et on montre comment l'une d'elles permet de construire une solution.
Mots clés : bijection, somme de distances, algorithme récursifArticle : Dessinons un mot plié - Lycée Jean-Paul Sartre (Bron) Lycée Edouard Herriot (Lyon)
Prenez une longue bande de papier et pliez la en deux en ramenant le côté droit sur le côté gauche. Recommencez ainsi jusqu’à ne plus pouvoir plier (toujours en ramenant le côté droit sur la gauche). Marquez bien tous les plis puis dépliez. Sur le morceau de papier, il y a une suite de plis creux (C) et de plis bosse (B). Si l’on a plié trois fois la bande, on devrait obtenir la séquence (appelée mot) suivante : CCBCCBB. Pouvez-vous deviner quelle serait le mot obtenu en pliant plus de fois la bande ?
Si on reprend notre morceau de papier qu’on laisse naturellement le papier se plier avec des angles à 90° (sens trigonométrique pour les plis
bosse et horaire pour les plis creux), quelle forme obtient-on ?
Voici les questions que nous nous sommes posées et auxquelles nous avons tâché de répondre. Pour ce faire, nous avons trouvé deux méthodes
pour construire les mots sans papier. De ces méthodes nous avons dégagé des propriétés. Nous avons ensuite étudié la représentation…
Mots clés : combinatoire des mots, mot à 2 lettresSi on reprend notre morceau de papier qu’on laisse naturellement le papier se plier avec des angles à 90° (sens trigonométrique pour les plis
bosse et horaire pour les plis creux), quelle forme obtient-on ?
Voici les questions que nous nous sommes posées et auxquelles nous avons tâché de répondre. Pour ce faire, nous avons trouvé deux méthodes
pour construire les mots sans papier. De ces méthodes nous avons dégagé des propriétés. Nous avons ensuite étudié la représentation…
Article : Trouver des règles pour l’addition de surréels - Lycée Jean Monnet (Blanquefort)
Cet article étudie l'écriture des nombres rationnels dyadiques comme nombres surréels, représentés sous forme de suites finies de symboles + et - ; on établit des algorithmes pour la lecture et l’écriture d’un nombre sous ce format, puis pour l’addition de deux surréels de ce type ; la représentation est étendue ensuite à quelques rationnels non dyadiques.
Mots clés : nombre surréel, addition, algorithmeArticle : Bataille Navale - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Dans un jeu de bataille navale sur une grille de taille n*N, on se demande, étant donné un bateau dont on connaît la forme, combien de coups sont nécessaires pour être assuré de toucher le bateau. Les élèves résolvent précisément le cas d’un bateau 1*3 sur une grille n*n, et fournissent un programme informatique pour toucher un bateau de taille 1*k sur une grille n*N (sans prouver la correction de ce programme).
Mots clés : combinatoire discrèteArticle : Le jeu des 50 boîtes - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Le problème consiste à chercher une stratégie gagnante dans un jeu appelé “jeu des boîtes”. Il y a un certain nombre fixé des boîtes alignées ; chacune contient un certain montant, connu. Deux joueurs, alternativement, prennent une boîte à l’une des extrémités de la ligne. Le gagnant est qui a le plus gros score quand toutes les boîtes ont été prises. Les élèves ont analysé au début le cas où il y a une boite qui, si elle est prise, permet au premier joueur de gagner, le “nombre fort”. Initialement avec 4 boîtes, après pour un nombre pair quelconque de boîtes. Enfin ils ont trouvé une stratégie pour permettre au premier joueur de gagner (ou au pire d’égaliser), avec un nombre pair de boites, mais sans qu'il y ait nécessairement un nombre fort.
Mots clés : récurrence, stratégie, stratégie gagnante, partageArticle : La tablette empoisonnée - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Sur une plaquette de chocolat dont un carreau est empoisonné, deux joueurs s’affrontent pour ne pas avoir à manger le carreau en question. La question posée est la suivante : y a-t-il une stratégie gagnante à tous les coups ? Après avoir proposé plusieurs stratégies, les auteurs étudient le nombre de coups nécessaires pour gagner, et étendent le problème à des dimensions supérieures.
Mots clés : jeu, jeu de Chomp, combinatoire, récurrence, stratégie, aléatoireArticle : Permutation of digits - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
À partir d’un entier donné n, on choisit de prendre son écriture en base 2 ou en base 3, puis on applique aux chiffres ainsi obtenus une permutation de son choix, puis on convertit le résultat en base 10 pour obtenir un résultat T(n). Cette transformation n → T(n) n’est pas déterministe, elle dépend du choix de la base et du choix de la permutation.
Le sujet consiste à étudier l’effet de l’itération de cette transformation. La première question consiste à déterminer si on peut parvenir au résultat 1 à partir de n’importe quel entier (en faisant à chaque étape des choix judicieux). La deuxième question est de savoir si il existe des entiers pour lesquels on peut obtenir une suite d’itérations non bornées.
La troisième question est d’étudier une généralisation en remplaçant les bases 2 et 3 par p et q.
La réponse à la question 1 est oui, une preuve élégante et constructive en est donnée.
Des éléments de réflexions sont donnés pour les question 2. et 3. mais la réponse n’est pas…
Mots clés : arithmétique, numérationLe sujet consiste à étudier l’effet de l’itération de cette transformation. La première question consiste à déterminer si on peut parvenir au résultat 1 à partir de n’importe quel entier (en faisant à chaque étape des choix judicieux). La deuxième question est de savoir si il existe des entiers pour lesquels on peut obtenir une suite d’itérations non bornées.
La troisième question est d’étudier une généralisation en remplaçant les bases 2 et 3 par p et q.
La réponse à la question 1 est oui, une preuve élégante et constructive en est donnée.
Des éléments de réflexions sont donnés pour les question 2. et 3. mais la réponse n’est pas…
Article : Problème d’échiquier - Lycée Valin (La Rochelle) Lycée Cordouan (Royan)
Sur un échiquier n x n, une tour est placée sur la case en bas à gauche et doit rejoindre la case en haut à droite en ne se déplaçant que vers le haut ou vers la droite. On détermine les nombres de manières de placer n pions sur l’échiquier, deux pions ne pouvant se trouver ni sur une même ligne ni sur une même colonne et en excluant les cases de départ d’arrivée de la tour, de façon que celle-ci soit empêchée, ou non, d’atteindre sa destination.
Mots clés : combinatoire, dénombrementArticle : Des particules qui s’agglutinent - Lycée Carnot (Paris)
Des particules se trouvent dans l'espace, à chaque instant les deux plus éloignées se rejoignent en leur milieu. Les questions qui se posent sont les suivantes : ce système converge-t-il vers un unique point final en un nombre fini d’étapes ? Si oui, peut-on déterminer ce nombre ? Peut-on connaître les coordonnées du point final ?
Les auteurs ont montré que le seul point possible qui peut être atteint à la fin de l’algorithme est le barycentre du système. Ils ont illustré le comportement du système à 4 points par des simulations numériques et montré que le système à 3 points termine sur un seul point en un nombre infini d’étapes, sauf cas exceptionnels.
Mots clés : système dynamique discret, centre de gravité, PythonLes auteurs ont montré que le seul point possible qui peut être atteint à la fin de l’algorithme est le barycentre du système. Ils ont illustré le comportement du système à 4 points par des simulations numériques et montré que le système à 3 points termine sur un seul point en un nombre infini d’étapes, sauf cas exceptionnels.
Article : Évitons les carrés constants - Collège Jean Jaurès (Calais)
On considère des tableaux rectangulaires binaires (ne contenant que des 0 et des 1). On voudrait en construire satisfaisant la contrainte suivante: ne contenir aucun sous tableau 2*2 constant de forme carrée.
Le but est de former le plus grand tableau binaire.
Mots clés : tableau, binaire, carré, combinatoireLe but est de former le plus grand tableau binaire.
Article : Des cadenas et des lettres - Lycée d’Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Once we obtained the answer to the problem-proper, we decided to extend the research and determine the letters which should be written on the dials considering how many dials and how many letters per dial we take into account. It is important to specify that this approach to the problem is a practical one.
Mots clés : combinatoire, étude de fréquenceArticle : Terrier de marmottes - Lycée d’Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This article provides an algorithm to compute a tree with minimum weighted path length from the root.
Mots clés : arbre binaire, HuffmanArticle : SOS fantômes - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Sur un plan on a dix chasseurs et dix fantômes, chacun représenté par un point, tels que trois de ces points ne soient jamais alignés. On veut relier chaque chasseur à un unique fantôme de sorte que les segments formés ne se coupent pas. Trois approches ont étés explorées : la première ne donne pas un résultat concluant, la deuxième appelée “méthode des partages” consiste à séparer intelligemment le plan pour ramener le problème à deux problèmes avec moins de personnages, et enfin la dernière dite “méthodes des croisements/décroisements” donne un algorithme constructif fonctionnel.
Mots clés : géométrie du plan, distance, algorithmique, ScratchNarration de recherche : Les graphes - Collège la Rose blanche (Paris)
Ce compte-rendu de recherche présente l'objet " graphe" et les premières définitions qui lui sont associées ainsi que trois résultats accessibles pour les lecteurs de 5ème, le lemme des poignées de main, le théorème d'Euler-Descartes et le théorème des quatre couleurs.
Mots clés : graphe, formule d'Euler, théorème des quatre couleursNarration de recherche : La monnaie à Diophantie - Collège la Rose blanche (Paris)
On se demande quels sont les prix payables avec uniquement deux pièces de monnaies de valeur entière, en rendant la monnaie. Les auteurs énoncent le résultat : on peut payer tous les prix si et seulement si les valeurs sont deux entiers premiers entre eux. Ils prouvent que cette condition est nécessaire et la réciproque est illustrée par des exemples.
Mots clés : arithmétique, théorème de BézoutArticle : Le dobble - Collège la Rose blanche (Paris)
Le Dobble est un jeu d’observation et de rapidité, composé de 55 cartes, sur chacune desquelles sont imprimés 8 symboles. Au total, le jeu présente 57 symboles différents. La règle est simple : lorsque deux cartes sont retournées, il faut être le premier à trouver le symbole commun. Il est fondé sur la propriété suivante : deux cartes quelconques possèdent exactement un seul symbole en commun. Comment créer le jeu pour respecter cette propriété ?
Narration de recherche : La pyramide habitée - Collège la Rose blanche (Paris)
Dans une très grande pyramide habitée, les appartements sont disposés et numérotés à la suite à partir du haut. Marc habite au numéro 2012. Yann, son voisin du dessus joue de la musique beaucoup trop fort. Marc en a assez et voudrait aller le voir. Dans ce travail, on l'aide à trouver le numéro de l’appartement de Yann.
Mots clés : carré, racine carrée, partie entière, pyramide de nombresArticle : La danse des planètes - Lycée Arago (Perpignan)
Partant de la loi de gravitation universelle d'Isaac Newton, cet article établit et résout les équations du mouvement d'une planète soumise à l'attraction du Soleil. Les conséquences d'un changement de cette loi sur la trajectoire des planètes sont étudiées dans les cas où les équations peuvent être résolues.
Avertissement : la lecture de cet article nécessite des connaissances au delà du niveau lycée.
Mots clés : mécanique, gravitation, planète, équation différentielleAvertissement : la lecture de cet article nécessite des connaissances au delà du niveau lycée.
Article : The Big Gap- Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) Collège Sainte Véronique (Liège)
À partir d'une suite de 4 nombres , on calcule leurs écarts en valeur absolue, circulairement ; on recommence en calculant les écarts de ces derniers et on continue ainsi de suite tant qu'on n'a pas obtenu des écarts tous nuls. Arrivera-t-on à une ligne de 0 ? On résout ici les cas de nombres entiers, rationnels ou réels, et on établit les résultats pour ce problème dans le cas général d'une suite de n nombres, selon la valeur de n.
Mots clés : différence, itération, puissance de 2, modulo 2, équation algébriqueArticle : Let's change the rules - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
Des critères de divisibilité par 7, 11, 13 et 19 sont présentés.
Mots clés : congruence, critère de divisibilitéArticle : Les routes de la ville - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) Collège Sainte Véronique (Liège)
Il était une fois une ville comptant 10 maisons mais aucune route. Il était fort difficile de se déplacer en temps de pluie car les voitures avaient une fâcheuse tendance à s'embourber. Après de nombreuses plaintes des habitants le bourgmestre se décide à faire construire des routes et demande donc à des experts de préparer un plan de ville sur base de deux principes simples et sains : il faut que n'importe quelles deux maisons soient joignables par la route ; il faut que cela coûte le moins cher possible. Si le prix d'une route est linéaire en sa longueur, quelle est la construction optimale?
Article : Light trap - Lycée Żmichowska (Varsovie) Lycée Vicat (Souillac)
Consider a plane figure f made of two sides AB and BC of a triangle and a ray of sun that slides into f and then emerges after 3 reflections. Find the measure of the angle and the direction of the ray so that we will obtain the maximum of reflections? Is it possible to obtain 4 / 5/ 6 / 11 reflections? Is it possible that the ray never comes out, that is to say, the number of reflections is infinite? If not, can we build another non-closed plane figure for which we can determine a ray of sun that gets trapped?
Mots clés : géométrie, Geogebra, réflexionArticle : Bras articulés I - Lycée Stéphane Hessel (Vaison la Romaine)
Il s’agit de déterminer les ponts atteignables par l’une des extrémités d’un bras articulé lorsque l’autre extrémité est fixe. Deux cas sont étudiés : le bras articulé-en deux parties (cas entièrement traité) et le cas où le bras est formé de trois segments (dans ce cas seules des conjectures sont données)
Mots clés : lieu géométrique, cercle, distanceArticle : Des couples - Collège Fernand Puech (Laval)
Trois, quatre ou cinq couples dansent ensemble avec la contrainte que ni deux hommes ni deux femmes ne dansent ensemble, et qu'aucune femme ne danse avec son conjoint. On détermine le nombre de danses possibles si on veut changer de configuration à chaque danse.
Mots clés : permutation, dérangementArticle : Les dominos - Collège Fernand Puech (Laval)
Peut-on recouvrir un échiquier avec des dominos, en retirant une ou deux cases?
Mots clés : domino, pair, impair, recouvrementArticle : Déplacement et arithmétique - Lycée Montchapet (Dijon)
Le texte s'intéresse aux cases atteignables sur une droite, puis sur un plan, en itérant un certain nombre de translations entières. Le cas du problème du cavalier d'Euler (mais sur un échiquier infini) est typique de cette problématique.
Mots clés : arithmétique, échiquier, BézoutArticle : A constant sum - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie) Lycée Arago (Perpignan)
Un polygone convexe est appelé équilibré si la somme des distances entre un point à
l’intérieur du polygone et les côtés de ce polygone ne dépend pas de la position du point.
Cet article s’intéresse à la catégorisation de polygones équilibrés. Les auteurs y recherchent en
particulier des propriétés des polygones équilibrés afin d’aboutir à une généralisation de cette
caractéristique. Après avoir observé plusieurs polygones réguliers, cet article montre que tout
polygone régulier est équilibré, et s’intéresse enfin aux caractéristiques que doivent présenter
des quadrilatères pour être équilibrés.
Mots clés : géométrie plane, aire, triangulationl’intérieur du polygone et les côtés de ce polygone ne dépend pas de la position du point.
Cet article s’intéresse à la catégorisation de polygones équilibrés. Les auteurs y recherchent en
particulier des propriétés des polygones équilibrés afin d’aboutir à une généralisation de cette
caractéristique. Après avoir observé plusieurs polygones réguliers, cet article montre que tout
polygone régulier est équilibré, et s’intéresse enfin aux caractéristiques que doivent présenter
des quadrilatères pour être équilibrés.
Article : Propagation d’une épidémie - Lycée Koeberlé (Sélestat) Lycée Marguerite Yourcenar (Erstein)
On étudie la propagation d’une épidémie, en s’intéressant particulièrement à l’effet de la vaccination d’une partie de la population. L’étude montre, en s’appuyant sur des simulations au moyen d’un programme, que vacciner une partie de la population protège également les non-vaccinés.
Mots clés : épidémie, modélisationArticle : Solar system - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
This topic's purpose is finding what happens of the planets of the Solar System if we remove the Sun. In the article we are trying to answer the question and more to generalise the subject: what happens to the Solar System if any of the planets is removed?
Mots clés : loi, simulationArticle : Check-mate - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie) Lycée Arago (Perpignan)
Il s’agit de déterminer le nombre de positions possibles de n Rois disposés sur un échiquiers de 2x2n cases de sorte qu’aucun ne soit en prise.
Mots clés : suite, combinatoireArticle : „Leaky choice” game - Lycée Żmichowska (Varsovie) Lycée Vicat (Souillac)
Two players alternately pull stones out of a hat which contains 7 stones (our players know that there are 7 of them). At each move, each player has only two possibilities: he removes either 1 or 3 stones (he cannot pull out 2 stones – that is why the choice is “leaky”). The one who pulls out the last stone wins. It is easy to find a winning strategy for one of the players. Then the problem is generalized to any number of stones and to different “leaky choices” for the number of stones the players are allowed to remove.
Mots clés : jeu, stratégie de jeuArticle : Graduations perdues - Collège Robespierre (St Pol sur Mer) Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jean Zay (Dunkerque)
On dispose d'une règle dont la longueur est un nombre entier supérieur à 4.
On place un certain nombre de graduations sur la règle.
On se demande si ces graduations permettent d'effectuer toutes les mesures entières
possibles, auquel cas on dira que la graduation est optimale.
Mots clés : algèbreOn place un certain nombre de graduations sur la règle.
On se demande si ces graduations permettent d'effectuer toutes les mesures entières
possibles, auquel cas on dira que la graduation est optimale.
Article : Sotto la pioggia - Sous la pluie - Lycée Stendhal (Milan)
Sous la pluie, vaut-il mieux courir ou marcher pour être moins mouillé ? Sur ce sujet jumelé avec le Liceo R. Bruni de Padoue, les élèves du lycée Stendhal de Milan donnent une modélisation du problème et déterminent la quantité de pluie reçue en fonction de la vitesse de la personne, selon celles de la pluie et du vent. Il apparaît qu’il n’est pas toujours optimal de se déplacer le plus vite possible…
Mots clés : modélisation, minimisationArticle : Un ascenseur particulier - Collège Michelet (Toulouse) Collège Stendhal (Toulouse)
Il s'agit de trouver les sommes possibles d'un ensemble d'entiers naturel fixé et de trouver le nombre minimal à partir duquel tous les entiers s'écrivent comme sommes d'éléments de l'ensemble initial.
Mots clés : arithmétiqueArticle : Échanger sur Internet de manière sûre - Collège Côte Rousse (Chambéry) Lycée Louis Armand (Chambéry Le Haut)
Comment échanger des données de manière sûre ? Nous avons essayé d'inventer de nouveaux codes (3 propositions) pour brouiller nos messages, puis face à la difficulté de programmation des symboles (ou méthodes) imaginés, nous avons travaillé sur le codage affine, facile d'accès à tous, plus difficile à programmer. Quels sont ses avantages et inconvénients ?
Mots clés : cryptographie, codage affineArticle : Le décorateur farceur - Collège Michelet (Toulouse) Collège Stendhal (Toulouse)
Un décorateur farceur est chargé d’accrocher des tableaux dans une maison. Il lui vient alors l’idée d’accrocher un tableau avec plusieurs clous et une ficelle, de telle sorte que si on enlève n’importe quel clou, le tableau tombe. Existe-t-il un nœud pour accrocher ainsi le tableau avec 4 clous ? L’article analyse la situation avec 1, 2 puis 3 clous et en déduit une formulation permettant d’étendre un nœud solution lorsqu’on ajoute un clou supplémentaire. Une solution est ainsi donnée pour 4 clous et il est démontré qu’elle répond à la question posée.
Mots clés : nœud, récurrence, formalisation algébriqueArticle : Nombranagrammes - Lycée Jean Lurçat (Perpignan)
Un nombre de k chiffres en base 10 est dit "nombranagramme" si chacun de ses produits avec les nombres,1,2, 3,..., k donne une" anagrammme" de ce nombre, c'est-à-dire un nombre obtenu par permutation du nombre initial par permutation de ses chiffres. Existe-t-il de tels nombres ? Le but de cet article est de montrer qu'excepté les nombres à un chiffre, il n'existe qu'un seul nombranagramme.
Mots clés : nombre entierArticle : Aire d’un polygone dans un réseau de points - Collège Stella Maris (Saint Quay Portrieux)
Dans cet article, les élèves cherchent une formule qui donne l'aire A d'un polygone dont les sommets sont des points à coordonnées entières dans un repère orthonormé, en fonction du nombre B de points à coordonnées entières sur le bord du polygone et du nombre I de points à coordonnées entières à l'intérieur du polygone. Les points à coordonnées entières sont figurés par des clous plantés dans une planche à intervalle régulier de 1 cm et les polygones par des élastiques tendus entre ces clous.
Les auteurs trouvent une formule qui est valable pour tous les polygones qu'ils ont testés en cherchant d'abord une formule à I fixé puis en généralisant. Ils conjecturent que cette formule A=B/2+I-1 reste valable pour tous les polygones dont les sommets sont des points à coordonnées entières et ils réussissent à la montrer pour tous les rectangles.
Leur recherche documentaire montre que cette formule est la formule de Pick.
Mots clés : géométrie, réseau, formule de PickLes auteurs trouvent une formule qui est valable pour tous les polygones qu'ils ont testés en cherchant d'abord une formule à I fixé puis en généralisant. Ils conjecturent que cette formule A=B/2+I-1 reste valable pour tous les polygones dont les sommets sont des points à coordonnées entières et ils réussissent à la montrer pour tous les rectangles.
Leur recherche documentaire montre que cette formule est la formule de Pick.
Article : Survie de papillons - Collège Stella Maris (Saint Quay Portrieux)
On a un pays rectangulaire de taille mxn. Chaque cellule de ce pays est un champ dans lequel il peut y avoir ou non une colonie de papillons.
Les papillons peuvent migrer dans les champs adjacents suivant des règles précises. Ainsi, leur position évolue en fonction du temps.
La question est de savoir s'il est possible de trouver une position de départ pour chaque taille de pays afin que les papillons vivent éternellement.
Nous avons trouvé que cela était possible pour tout pays à l'exception des pays de taille 1x1 et 3x1.
Nous avons même réussi à construire des pays qui vivaient éternellement uniquement à partir de pays de taille 2x1, 6x1, 7x1 et 3x3.
Mots clés : jeu de la vie, automate cellulaire, système dynamiqueLes papillons peuvent migrer dans les champs adjacents suivant des règles précises. Ainsi, leur position évolue en fonction du temps.
La question est de savoir s'il est possible de trouver une position de départ pour chaque taille de pays afin que les papillons vivent éternellement.
Nous avons trouvé que cela était possible pour tout pays à l'exception des pays de taille 1x1 et 3x1.
Nous avons même réussi à construire des pays qui vivaient éternellement uniquement à partir de pays de taille 2x1, 6x1, 7x1 et 3x3.
Article : Des couples - Lycée Douanier Rousseau (Laval)
Cinq couples sont invités à une soirée dansante. A chaque morceau de musique, les dix personnes danseront simultanément, chaque fois un homme avec une femme, et sans répéter deux fois la même configuration. De plus, il est convenu que deux époux ne danseront jamais ensemble. Combien de morceaux de musique pourra-t-on passer pendant la soirée ? Comment résoudre ce problème pour n couples ?
Mots clés : permutation, dérangementArticle : Accès à l’électricité - Lycée français Théodore Monod (Abu Dhabi) Lycée Bellepierre (Saint Denis De La Reunion), Lycée franco-qatarien Voltaire (Doha, Qatar)
Sur une planète carrée de 1km de côté, seules les personnes habitant plus proches du centre que d’un côté ont accès à de l’électricité. Dans quelle zone de la planète peuvent-ils habiter ? Quelle est l’aire de cette partie ? Que se passe-t-il si la planète est un triangle équilatéral, un rectangle, un pentagone régulier, un hexagone ou plus généralement un polygone régulier convexe à n-cotés ? Réponses à ces questions.
Mots clés : algorithme, distance, distance minimale, théorème de Pythagore, polygoneArticle : Dominos anthragoniens - Collège Alain Fournier (Orsay)
Les règles du jeu de dominos anthragoniens sont très simples. Dans un jeu complet, il n'y a que quatre dominos, de valeur un, deux, trois ou quatre. Un côté de chaque domino est blanc, l'autre noir. A partir d'un arrangement initial proposé par un joueur, son adversaire
doit mettre, en moins de 13 coups, les quatre dominos dans l'ordre, et avec leur face blanche visible. A chaque coup, on doit permuter deux dominos adjacents et, en même temps, retourner un de ces dominos. Si l'on n’y parvient pas en moins de treize coups, on a perdu.
Proposez une solution à partir de cet arrangement initial : 4 noir - 3 blanc - 2 noir - 1 blanc.
Et à partir de celui-ci : 3 blanc - 2 blanc - 1 blanc - 4 blanc.
Plus généralement, quels sont les arrangements initiaux qui permettent de gagner ?
Mots clés : permutationdoit mettre, en moins de 13 coups, les quatre dominos dans l'ordre, et avec leur face blanche visible. A chaque coup, on doit permuter deux dominos adjacents et, en même temps, retourner un de ces dominos. Si l'on n’y parvient pas en moins de treize coups, on a perdu.
Proposez une solution à partir de cet arrangement initial : 4 noir - 3 blanc - 2 noir - 1 blanc.
Et à partir de celui-ci : 3 blanc - 2 blanc - 1 blanc - 4 blanc.
Plus généralement, quels sont les arrangements initiaux qui permettent de gagner ?
Article : Algorithme de Kaprekar - Collège Alain Fournier (Orsay)
Ce sujet étudie l'action de l'algorithme de Kaprekar sur les nombres dont l'écriture décimale est constituée d'au plus quatre chiffres.
Mots clés : algorithme, Kaprekar, numérationArticle : Formule d’Euler - Collège Alain Fournier (Orsay)
On choisit des points (les sommets), on relie certains de ces sommets par des arêtes ; les arêtes dessinent des faces. A-t-on une formule d'Euler, qui relie les nombres de sommets, d'arêtes et de faces ? L'article discute la question dans le cas des graphes planaires ainsi que dans celui des polyèdres en dimension 3.
Mots clés : graphe planaire, géométrie, polyèdre, formule d'Euler, triangulationArticle : Balade en chameau - Collège Alain Fournier (Orsay)
Nous sommes avec un chameau au centre d’un désert, décrit par un carré de 10 km recollé sur les bords. Lorsqu'on traverse un côté, on réapparaît au même endroit sur le côté opposé. Nous choisissons une direction et lançons notre chameau, depuis le centre, en ligne droite dans cette direction.
On se demande si le chameau va toujours revenir au point de départ et si c'est le cas, sachant que le chameau se déplace à 3 km/h, combien de temps il mettra.
Mots clés : carré, recollement, tore, distance, théorème de PythagoreOn se demande si le chameau va toujours revenir au point de départ et si c'est le cas, sachant que le chameau se déplace à 3 km/h, combien de temps il mettra.
Article : The coin changing problem - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Le but de ce travail est tout d'abord d'étudier les propriétés de la puissance itérée d'une application qui a deux ensembles A et B associe le nouvel ensemble formé des sommes x+y d'éléments de A et de B. On calcule alors le cardinal de la puissance itérée d'un ensemble A, dans plusieurs cas de figure en fonction du cardinal de A et des propriétés des éléments de A. Dans une deuxième partie, l'objectif est d'étudier un système de monnaie consistant en une famille finie d'entiers et de savoir dans quelle mesure n'importe quelle somme d'argent peut être obtenue avec un minimum de pièces constituant ce système. La notion de système canonique est alors évoquée par le biais d'un algorithme glouton et plusieurs résultats de canonicité sont énoncés et montrés pour des familles de petite taille (1, 2, 3, 4) ainsi que pour des cas particuliers (article en anglais).
Mots clés : cardinal, système monétaire, algorithme glouton, arithmétiqueArticle : Jeux des pousses et du métro - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Une étude du jeu des pousses et d'une des variantes, le jeu du métro
Mots clés : analyse de cas, analyse de jeuArticle : Le jeu de Hex - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Les élèves ont étudié le jeu de Hex. Elles ont cherché des stratégies gagnantes sur
les plateaux de petite dimension et développé des attaques ou contre-attaques à certaines configurations en grande dimension.
Mots clés : Jeu de Hex, théorie des jeux, stratégie gagnante, optimisationles plateaux de petite dimension et développé des attaques ou contre-attaques à certaines configurations en grande dimension.
Article : Les Tours de Hanoï - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Les auteur·trice·s ont étudié les tours de Hanoï. Il s’agit d’un jeu de réflexion consistant à déplacer des anneaux de tailles différentes d’une colonne de départ à une autre passant par une colonne intermédiaire, en respectant certaines contraintes et si possible en un minimum de coup.
Ils ont réalisé deux algorithmes, un en Scratch et un en Python, fournissant pour tout nombre d’anneaux une procédure réalisant le déplacement. Ils ont également énoncer et montrer le nombre de déplacements minimal pour réaliser l’objectif.
Mots clés : tour de HanoïIls ont réalisé deux algorithmes, un en Scratch et un en Python, fournissant pour tout nombre d’anneaux une procédure réalisant le déplacement. Ils ont également énoncer et montrer le nombre de déplacements minimal pour réaliser l’objectif.
Article : Escalier de Kapla - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
En posant des Kapla les uns sur les autres, de manière décalée, les auteurs s'intéressent aux deux questions : quelle longueur aura le plus grand escalier qu'ils pourront construire et de combien de marches sera-t-il formé ?
Mots clés : centre de gravité, série harmoniqueArticle : Jouer avec des allumettes - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Il s'agit un jeu d’allumettes pour deux joueurs. On connaît le nombre d’allumettes sur la table. Le premier joueur prend 1 ou 2 allumettes. Ensuite, à tour de rôle, chaque joueur prend sur la table un nombre d’allumettes compris entre 1 et le double du nombre d’allumettes pris par l’autre joueur au coup précédent. Le gagnant est celui qui prend la dernière allumette sur la table. On cherche une stratégie qui permet de gagner dès que la situation le permet.
Mots clés : jeu, stratégie de jeu, jeu de Nim, suite de Fibonacci, FibonacciArticle : Les espions au téléphone - Lycée Baudelaire (Cran Gevrier) Collège Ernest Perrier de la Bathie (Ugine)
Le problème s’intéresse au nombre d’échanges minimum entre des espions pour se communiquer des informations.
Un nombre suffisant de relations est démontré mettant bien en évidence la différence entre une condition suffisante et la condition nécessaire et suffisante que doit vérifier un minimum.
Il y a de nombreux éléments de logiques et de mathématiques intéressants. Ainsi pour résoudre ce problème de dénombrement, les auteurs ont fait appel à des raisonnements par récurrence, à l’utilisation de graphes ou encore à de la programmation. Le traitement de la situation à l’aide des graphes les a orientés vers une approche plutôt intuitive soulevant des questions sur l’exhaustivité des cas.
Pour vérifier la solidité de la conjecture (non démontrée) du nombre minimal de relation, les auteurs ont utilisé un programme testant de façon aléatoire tous les cas possibles et l’ont fait tourner un grand nombre de fois. L’idée est séduisante.gra
Mots clés : graphe, récurrence, suite, minimum, dénombrementUn nombre suffisant de relations est démontré mettant bien en évidence la différence entre une condition suffisante et la condition nécessaire et suffisante que doit vérifier un minimum.
Il y a de nombreux éléments de logiques et de mathématiques intéressants. Ainsi pour résoudre ce problème de dénombrement, les auteurs ont fait appel à des raisonnements par récurrence, à l’utilisation de graphes ou encore à de la programmation. Le traitement de la situation à l’aide des graphes les a orientés vers une approche plutôt intuitive soulevant des questions sur l’exhaustivité des cas.
Pour vérifier la solidité de la conjecture (non démontrée) du nombre minimal de relation, les auteurs ont utilisé un programme testant de façon aléatoire tous les cas possibles et l’ont fait tourner un grand nombre de fois. L’idée est séduisante.gra
Article : Amida Kuji : Répartitions de rôles - Lycée Jean Puy (Roanne)
L'amida-kuji est un jeu de hasard japonais qui permet de faire une répartition aléatoire de tâches. Les auteurs se posent le problème de l’atteignabilité de chaque répartition possible.
Mots clés : permutation, transpositionArticle : Barycentre sur une sphère - Lycée Paul Guérin (Niort)
Dans cet article nous essayons de définir une notion du barycentre de trois points sur la sphère. Pour cela,
nous utilisons une projection sur la sphère. Nous aboutissons à une construction stable de l’isobarycentre
mais qui ne vérifie pas la relation vectorielle.
Mots clés : géométrie, barycentre, isobarycentre, sphère, projectionnous utilisons une projection sur la sphère. Nous aboutissons à une construction stable de l’isobarycentre
mais qui ne vérifie pas la relation vectorielle.
Article : Jeu du Maximum - Collège des Petits Ponts (Clamart) Collège Penn Ar C’hleuz (Brest)
Le jeu du maximum est un jeu de dés. Le but est d'obtenir avec un certain nombre de lancer de dés le plus grand score possible (de 1 à 6). Pour cela il faut choisir à chaque lancer si on garde ou on relance sachant qu'au dernier lancer (s’il a lieu) il est obligatoire de garder le score affiché sur le dé. Pour être le plus performant à ce jeu, il faut avoir une stratégie. Nous avons donc étudié ce jeu, et trouvé la stratégie optimale.
Mots clés : jeu, maximum, optimisation, probabilités, lancer de dés, espérance, stratégie optimaleArticle : Jeu des 100 boîtes - Lycée de la Venise Verte (Niort) Lycée Paul Guérin (Niort)
On considère un jeu auquel cent personnes, numérotées de un à cent, participent. On a disposé cent boîtes, et l'on a réparti aléatoirement les nombres de un à cent dans ces boîtes. Les boîtes ont été déposées dans une salle sans fenêtres.
Chacun leur tour, les joueurs vont rentrer dans la salle et ouvrir cinquante boîtes. Si chacun des joueurs a réussi à trouver son numéro, tous les joueurs gagnent, sinon ils perdent tous.
Dans cet article, les autrices proposent l'analyse de différentes stratégies afin de maximiser les chances de gagner au jeu décrit ci-dessus. Après avoir proposé une analyse des chances de gagner si les joueurs ouvrent les boîtes au hasard, les autrices étudient les chances de réussite des joueurs si il décident quelles boîtes ouvrir à l'avance, ou si ils décident des boîtes à ouvrir en fonction du numéro trouvé dans les boîtes ouvertes au début du tour du joueur.
Leur analyse s'appuie sur une modélisation informatique du jeu et des stratégies, ce…
Mots clés : analyse de stratégie, probabilités, modélisation informatiqueChacun leur tour, les joueurs vont rentrer dans la salle et ouvrir cinquante boîtes. Si chacun des joueurs a réussi à trouver son numéro, tous les joueurs gagnent, sinon ils perdent tous.
Dans cet article, les autrices proposent l'analyse de différentes stratégies afin de maximiser les chances de gagner au jeu décrit ci-dessus. Après avoir proposé une analyse des chances de gagner si les joueurs ouvrent les boîtes au hasard, les autrices étudient les chances de réussite des joueurs si il décident quelles boîtes ouvrir à l'avance, ou si ils décident des boîtes à ouvrir en fonction du numéro trouvé dans les boîtes ouvertes au début du tour du joueur.
Leur analyse s'appuie sur une modélisation informatique du jeu et des stratégies, ce…
Article : Paper cups - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
On étudie la propagation d’une épidémie, en s’intéressant particulièrement à l’effet de la vaccination d’une partie de la population. L’étude montre, en s’appuyant sur des simulations au moyen d’un programme, que vacciner une partie de la population protège également les non-vaccinés.
Mots clés : épidémiologie, programme, cylindre, côneArticle : Tiling design - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
This work focuses on counting the number of different tiling designs that can be obtained on a rectangular grid, using three types of tiles: 1 x 1 squares, dominos and L-shaped trominos. For 2 x n grids, the authors consider tilings by dominos, or by dominos and 1 x 1 squares, or by triominos, dominos and 1 x 1 squares; they study also the number of tilings of a 3 x n grid by dominos. In each case they derive appropriate recurrence relations and they able to find the number of all possible tilings.
Mots clés : pavage, domino, triomino, dénombrementArticle : All the stones on the white face - Lycée Vicat (Souillac) Lycée Żmichowska (Varsovie)
Consider a game with following rules:
• It is a one player game
• There is a rectangular board m x n
• On each square there are stones with two sides - white and black (these are regular game pawns)
• At the beginning of the game all of the stones are on their black side (the board is all black)
• Every time a stone is chosen, stones around reverse, except for the one that had been chosen
• The objective is to obtain a completely white board
Mots clés : jeu, stratégie• It is a one player game
• There is a rectangular board m x n
• On each square there are stones with two sides - white and black (these are regular game pawns)
• At the beginning of the game all of the stones are on their black side (the board is all black)
• Every time a stone is chosen, stones around reverse, except for the one that had been chosen
• The objective is to obtain a completely white board
Article : Le billard - Collège Max Linder (Saint-Loubès)
On considère un billard rectangulaire dont les côtés ont des longueurs entières. Une boule de billard, considérée comme un point, est placée dans un coin. Elle est tirée avec un angle de 45°.
Elle se déplace en ligne droite et lorsqu'elle touche un côté du billard, elle rebondit de telle sorte que l'angle de la trajectoire avec la perpendiculaire au côté est conservé.
Est-ce que la boule finira par arriver dans un coin ? Si oui, lequel ? Au bout de combien de rebonds ?
Mots clés : billardElle se déplace en ligne droite et lorsqu'elle touche un côté du billard, elle rebondit de telle sorte que l'angle de la trajectoire avec la perpendiculaire au côté est conservé.
Est-ce que la boule finira par arriver dans un coin ? Si oui, lequel ? Au bout de combien de rebonds ?
Article : Algorithme des jeux vidéo - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d’Altitude (Briancon)
A two-dimensional modelisation of the flight of birds in groups.
Mots clés : modélisation, simulation, algorithmeArticle : Distances on Earth - Lycée Vicat (Souillac) Lycée Żmichowska (Varsovie)
Les auteurs se posent le problème de trouver le plus grand nombre de points pouvant être placés à la surface de la Terre en imposant que la distance entre chacun d'eux soit d'au moins 10 000 kilomètres. Ils se posent également le même problème dans trois autres cas en remplaçant 10 000 par 16 000, 8300 et 7800.
Mots clés : géométrie sphérique, aire, arc de courbe, cosinus, distanceArticle : Le loup, la chèvre et le chou - Lycée Edouard Herriot (Lyon) Collège Raoul Dufy (Lyon)
Les élèves se sont intéressés au problème suivant : un berger, un loup, une chèvre et une salade sont sur une même rive. Comment le berger doit-il faire pour faire traverser tout le monde sans laisser le loup seul avec la chèvre ou la chèvre seule avecla salade. Le berger ne disposant que de deux places dans sa barque.
Ils ont cherché à démontrer — à un nombre de chèvres, loups et salades donné — le nombre optimal de traversées nécessaires. Puis ont étudié le cas — à nombre d’animaux et traversée fixés — du nombre de places nécessaires. Enfin, pour complexifier le modèle, ils ont envisagé la possibilité
d’introduire de nouveaux types de prédateurs et de traiter le problème à l’aide de graphes.
Mots clés : dénombrement, optimisation discrète, grapheIls ont cherché à démontrer — à un nombre de chèvres, loups et salades donné — le nombre optimal de traversées nécessaires. Puis ont étudié le cas — à nombre d’animaux et traversée fixés — du nombre de places nécessaires. Enfin, pour complexifier le modèle, ils ont envisagé la possibilité
d’introduire de nouveaux types de prédateurs et de traiter le problème à l’aide de graphes.
Article : La route des fourmis - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d’Altitude (Briancon)
The problem we were presented with is:
The first ant makes 10 random moves, each having a length of one unit and, at each moves, she leaves a mark. After the tenth move, she reaches food and sends a radio signal back to the anthill. A second ant goes along the first half of the first segment, then, from the middle of it to the middle of the second and so on, until she reaches the middle of the last segment, from where it goes to the food. A third ant follows the same strategy, following the second ant’s path.
a) Is the second path shorter than the first?
b) Will the ants tend to find the shortest itinerary between the two points?
What question B asks for is to actually describe howa given polygonal chain behaves, asymptotically, after the above described algorithm, is repeated infinitely.
Mots clés : inégalité, triangle de Pascal, limiteThe first ant makes 10 random moves, each having a length of one unit and, at each moves, she leaves a mark. After the tenth move, she reaches food and sends a radio signal back to the anthill. A second ant goes along the first half of the first segment, then, from the middle of it to the middle of the second and so on, until she reaches the middle of the last segment, from where it goes to the food. A third ant follows the same strategy, following the second ant’s path.
a) Is the second path shorter than the first?
b) Will the ants tend to find the shortest itinerary between the two points?
What question B asks for is to actually describe howa given polygonal chain behaves, asymptotically, after the above described algorithm, is repeated infinitely.
On traite ici le cas des graphes "en ligne", "en pissenlit" et cycliques.