et
un autre cube C’ de côté a’ et de volume
La duplication du cube
(à la règle non graduée et au compas).
Mission impossible ?
par Thomas QUIE, élève de première S du Lycée Georges Braque d’ARGENTEUIL
enseignants : Joëlle Richard et Halim Yahiaoui
chercheur : Stéphane Labbé.
La mission qui m’a été confiée cette année est de construire un cube C’ de volume double d’un cube C avec pour seuls gadgets une règle non graduée et un compas. Je n’étais pas le premier agent à m’ être confronté à cette difficile mission. Celle-ci est apparue au VI ième avant J.-C. et de nombreux autres agents (Platon, Descartes...) ont organisé des interventions pour résoudre le problème. Pour mon rapport, j’ai pris le parti de vous présenter les stratégies d’attaque du sujet des agents Huygens, puis Nicomède, mais après vous avoir fait découvrir plus en détail la situation géométrique et mathématique initiale.
Le problème nous fut rapporté par l’agent Eutocius au V ième siècle avant notre ère. Son informateur Erastothène parla d’un village appelé Delos, apparemment tranquille, mais dont les habitants avaient reçu l’ordre de doubler un de leurs autels de forme cubique. Ils firent donc appel aux services géométriques spéciaux de l’académie pour soulager leurs souffrances (mentales).
Le meilleur moyen de remplir une mission est de débroussailler la région d’action et donc de décoder les phrases du sujet. Première phrase du sujet: " Construire un cube C’ de volume double d’un cube C ".
Nous avons donc un
cube C de côté a et de volume et
un autre cube C’ de côté a’ et de volume
et a’ = ka,donc
On obtient : 
donc k =
.
La mission est en fait la construction
d’un segment de mesure alorsqu’est
donné le segment de mesure a
dessin 1
" Avec pour seuls gadgets une règle non graduée et un compas. "
Ce problème fut posé durant l’antiquité. Les armes super - perfectionnées comme les calculatrices et les ordinateurs n’étaient pas encore sorties des laboratoires ultra - secrets de nos services.
est
un nombre irrationnel. Son ecriture décimale n’a pas de fin. A l’aide
d’une règle , on ne peut représenter qu’une valeur approchée de cette
écriture décimale. Mais une figure géométrique peut nous donner la valeur précise
de cette longueur, tout comme le théorème de l’agent Pythagore permet d’obtenir
la mesure a
avec
précision (voir les méthodes décrites par les dessins 2 et 3).
Dans le dessin 3, les triangles rectangles sont construits successivement en prenant pour nouveau côté de l'angle droit l'hypoténuse du triangle rectangle précédent, le deuxième côté ayant pour mesure 1.
Je vais donc vous présenter deux stratégies intéressantes pour tenter d’accomplir cette mission, celle de Huygens et celle de Nicomède.