La duplication du cube
(à la règle non graduée et au compas).
Mission impossible ?
par Thomas QUIE, élève de première S du Lycée Georges Braque dARGENTEUIL
enseignants : Joëlle Richard et Halim Yahiaoui
chercheur : Stéphane Labbé.
La mission qui ma été confiée cette année est de construire un cube C de volume double dun cube C avec pour seuls gadgets une règle non graduée et un compas. Je nétais pas le premier agent à m être confronté à cette difficile mission. Celle-ci est apparue au VI ième avant J.-C. et de nombreux autres agents (Platon, Descartes...) ont organisé des interventions pour résoudre le problème. Pour mon rapport, jai pris le parti de vous présenter les stratégies dattaque du sujet des agents Huygens, puis Nicomède, mais après vous avoir fait découvrir plus en détail la situation géométrique et mathématique initiale.
Le problème nous fut rapporté par lagent Eutocius au V ième siècle avant notre ère. Son informateur Erastothène parla dun village appelé Delos, apparemment tranquille, mais dont les habitants avaient reçu lordre de doubler un de leurs autels de forme cubique. Ils firent donc appel aux services géométriques spéciaux de lacadémie pour soulager leurs souffrances (mentales).
Le meilleur moyen de remplir une mission est de débroussailler la région daction et donc de décoder les phrases du sujet. Première phrase du sujet: " Construire un cube C de volume double dun cube C ".
Nous avons donc un
cube C de côté a et de volume et
un autre cube C de côté a et de volume
et a = ka,donc
![]()
On obtient :
donc k =
.
La mission est en fait la construction
dun segment de mesure alorsquest
donné le segment de mesure a
dessin 1
" Avec pour seuls gadgets une règle non graduée et un compas. "
Ce problème fut posé durant lantiquité. Les armes super - perfectionnées comme les calculatrices et les ordinateurs nétaient pas encore sorties des laboratoires ultra - secrets de nos services.
est
un nombre irrationnel. Son ecriture décimale na pas de fin. A laide
dune règle , on ne peut représenter quune valeur approchée de cette
écriture décimale. Mais une figure géométrique peut nous donner la valeur précise
de cette longueur, tout comme le théorème de lagent Pythagore permet dobtenir
la mesure a
avec
précision (voir les méthodes décrites par les dessins 2 et 3).
Dans le dessin 3, les triangles rectangles sont construits successivement en prenant pour nouveau côté de l'angle droit l'hypoténuse du triangle rectangle précédent, le deuxième côté ayant pour mesure 1.
Je vais donc vous présenter deux stratégies intéressantes pour tenter daccomplir cette mission, celle de Huygens et celle de Nicomède.