Comptes Rendus MATh.en.JEANS 98-02 

Enseignants : Hélène KRAEUTLER, (clg. Molière), Sophie DIALLO, (clg. Romain Rolland)

Chercheur : R. MNEIMNÉ.

Jumelage MATh.en.JEANS entre les collèges Molière & Romain Rolland d'Ivry sur Seine. Le projet au collège Molière avait la forme d'un parcours différencié en classe de 5ème avec horaire supplémentaire intégré à l'emploi du temps pour les élèves comme pour le professeur. Les deux établissement participaient à une Action "Passion Recherche" du CNRS pour l'année scolaire 1997-98.

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[Article vérifié et annoté : les passages entre crochets sont des éditeurs]

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[Le sujet]

[Le texte exact du problème traité ne nous est pas parvenu. Il s'agissait d'étudier la visibilité à l'intérieur de diverses formes planes, comme si celles-ci étaient le plan d'une pièce à surveiller. Au lieu de chercher pour une forme donnée la meilleure manière de disposer des caméras (qui permettent d'observer sans être vu), comme dans le problème "des gardiens de musées" (voir note 1), il s'agit ici d'étudier les formes qui permettent la surveillance de tout l'intérieur (bord compris) avec un nombre donné de postes d'observation. Le titre de l'exposé des auteurs au congrès 1998 était "Étude d'écrans".]

Généralités

Deux points se voient si il n'y a pas d'obstacle entre eux, c'est-à-dire : le segment d'extrémités ces deux points reste dans la pièce.

Deux points ne se voient pas si il y a un obstacle entre eux, c'est-à-dire : le segment d'extrémités ces deux points rencontre le contour de la pièce.

Pour déterminer les postes d'observation d'un point :

• on trace des droites car la vision se fait selon des droites ;
• on trace les tangentes à la courbe, car les tangentes sont les droites qui à un endroit donné représentent le mieux la courbe.

Pièces convexes

Définition. Une pièce est convexe si deux points dans la pièce, où qu'ils soient, se voient.

Description d'une pièce convexe.

Les angles vus de la pièce doivent être saillants. Quand l'angle est saillant, les tangentes sont à l'extérieur de la figure. A cet endroit, deux points se voient où qu'ils soient.

Quand l'angle est rentrant, les tangentes traversent la figure. On peut trouver deux points qui ne se voient pas.

Les courbes doivent être tournées vers l'extérieur. Quand la courbe est tournée vers l'intérieur, les tangentes traversent la figure. On peut trouver deux points qui ne se voient pas.

Quand la courbe est tournée vers l'extérieur, les tangentes restent à l'extérieur de la figure. A cet endroit, deux points se voient, où qu'ils soient.

Pièces étoilées.

Définition. Une pièce est étoilée par rapport à un point A si une personne qui se place en A peut voir toute la pièce. Donc le point A est une sorte de poste d'observation.

Méthode pour trouver les postes d'observation éventuels.

A chaque sommet rentrant, tracer les tangentes à la courbe, ainsi que celles à l'extrémité des portions courbées vers l'intérieur.

A l'intersection des secteurs angulaires faits à partir des tangentes, on obtient les postes d'observation éventuels.

Propriété. Une pièce convexe est étoilée.

Preuve. Tout point dans la pièce convexe voit toute la pièce ; donc tout point de la pièce convexe est un poste d'observation. Une pièce convexe est étoilée en n'importe lequel de ses points.

Pièces flexées.

Définition. Une pièce est flexée si quelque soit l'endroit où se placent deux points dans la pièce, il existe un poste d'observation de ces deux points.

Propriété. Une pièce étoilée est flexée.

Preuve. Une pièce étoilée admet un poste d'observation pour toute la pièce ; quel que soit l'endroit où se placent deux points dans la pièce, le poste d'observation précité convient.

Un exemple de pièce flexée qui n'est pas étoilée : un disque évidé d'un triangle.

Dans cette pièce, il y a deux sortes de zones : celles qui s'appuient sur les côtés du triangle (zones 2, 4 et 6), et celles qui correspondent aux pointes des secteurs angulaires (zones 1, 3 et 5). Chacune de ces zones est convexe.

1. Cette pièce n'est pas étoilée.

   Il n'y a pas de poste d'où on peut observer à la fois les points A, B, C et D : cette pièce n'est pas étoilée. [voir note 2]

   

1. Cette pièce est flexée.

1er cas : Les deux points [à observer] sont dans la même zone. Aucun problème car la zone est convexe.

2ème cas : Les points [à observer] sont dans des zones adjacentes (1 et 2, ou 2 et 3, ou 3 et 4, ou 4 et 5, ou 5 et 6, ou 6 et 1). La partie formée par la réunion des deux zones est convexe.

3ème cas : Les points [à observer] sont dans les zones 1 et 3 (ou 3 et 5, ou 5 et 1). La partie formée par la réunion des trois zones 1, 2 et 3 est convexe.

4ème cas : Les points [à observer] sont dans les zones 2 et 4 (ou 4 et 6, ou 6 et 2). La partie formée par la réunion de trois zones 2, 3 et 4 est étoilée : de la zone 3 on voit les zones 2 et 4.

5ème cas : Les points [à observer] sont dans les zones 3 et 6 (ou 2 et 5, ou 4 et 1). La partie formée par la réunion des quatre zones 3, 4, 5 et 6 est étoilée : de la zone 5, on voit les zones 6, 4, 3.

1. Conclusion : cette pièce est flexée et n'est pas étoilée. [v. note 3]

1. Combien de gardiens doit-on embaucher pour surveiller tous les murs d'un musée ? Voir Musées à surveiller, par M. Pierre Duchet et Charles Payan, Actes MATh.en.JEANS 1995, pp. 37-39 (présentation du sujet et premières pistes de recherches, dans le cadre d'un stage de formation d'enseignants). Pour un bref énoncé du sujet et l'information disponible.

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2. En fait les points A,C et D ne peut être observé simultanément. Cela suggère une généralisation de la question traitée : disons d'une pièce qu'elle est flexée à l'ordre k (kest un entier positif) si quelque soit le choix de k points intérieurs à cette pièce, il existe un lieu qui permet de les observer simultanément. Pur chaque valeur de k, peut-on construire une pièce flexée à l'ordre k mais non flexée a l'ordre  k+1 ?

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3. Deux gardiens suffisent ici à surveiller la pièce : on les place par exemple dans les zones 1 et 3. Est-ce un hasard, ou bien suffit-il toujours de deux gardiens pour surveiller une pièce flexée donnée ?

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