L'infini

Comptes Rendus MATh.en.JEANS 90-01

L'infini

par

Thierry GUILARD (TC), Monique LI(1ère S) et Seng LOC THAP (1ère S)

Elèves du Lycée Racine, Paris (8ème)

Jumelage MATh.en.JEANS entre les lycées Racine de Paris (8ème) et Jean Jaurès d'Argenteuil, année scolaire 1989-90.

Enseignants : Pierre AUDIN (Paris), René VEILLET (Argenteuil).

Chercheur : Pierre DUCHET.

[Article vérifié et annoté : les passages entre crochets sont des éditeurs]

[Sur le sujet initial : voir la note 1]

De temps en temps, dans un cours de math, il arrive qu'un élève curieux pose la question interdite : « Mais, c'est quoi l'Infini ? ». Alors le professeur, ravi, lui répond : « C'est Dieu ! ». Rien de tel pour alimenter cette curiosité naissante et l'élève, aussitôt, part à la découverte d'un domaine encore peu approfondi. Il rencontre bientôt un vieux sage qui lui pose la question suivante :

[Le problème de l'hôtel, voir note 2]

« Un hôtel au nombre de chambres fini affiche complet ; un voyageur arrive et souhaiterait en obtenir une, mais l'hôtelier ne peut que le renvoyer gentiment. Ce voyageur continue sa route et arrive devant un autre hôtel qui affiche lui aussi complet. Toutefois cet établissement comprend un nombre infini de chambres. Peut-il convaincre l'hôtelier de lui donner une chambre ? ».

L'élève réfléchit et conclut.

Détruisons les préjugés !

A vue de nez, les ensembles de nombres sont différents. Ils ne contiendraient donc pas le même nombre d'éléments. Or il s'avère que certains ensembles ont le même nombre d'éléments.

Etudions par exemple l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des entiers relatifs .

[ 1. Correspondance entreet ]

On pourrait croire que l'ensemble des entiers relatifs, contenant, en plus des nombres positifs, des nombres négatifs, serait plus grand que l'ensemble des entiers naturels...

Ô ! Stupeur ! ... Ils contiennent le même nombre d'éléments !

En effet, considérons et ; pour démontrer qu'ils sont équivalents, il faut et il suffit que l'on trouve une bijection entre eux, c'est-à-dire que chaque élément de soit en correspondance avec chaque élément de et réciproquement [note 3].

Choisissons la fonction f(n), pour tout n appartenant à .

Pour n pair, f ( n) = n/ 2 ,
Pour n impair, f ( n) = (-n-1) / 2 .

Définissons la fonction inverse pour tout q de :

Si q , f^-1( q) = 2q = n pair,
Si q , f^-1( q) = -2q-1 = n impair.
A 0 faisons correspondre 0.

Ainsi, nous avons défini une relation entre et . Par cette relation, chaque nde a une image par f dans et chaque image de f a un seul antécédent dans . Simplifions les choses : chaque élément de est relié à un élément de , et réciproquement.

Nous arrivons donc à la surprenante conclusion que et contiennent le même nombre d'éléments et et que l'on croyait différents sont en réalité équivalents.

Mais ne nous arrêtons pas sur notre lancée !

[ 2. Correspondance entreet]

Il existe aussi une correspondance entreet cependant elle est un peu plus difficile à trouver. En effet, a des nombres qui reviennent à cause des fractions réductibles, par exemple 2, 4/2, 8/4, Š Aussi, pour faciliter notre tâche, nous avons préféré n'étudier que les fractions irréductibles. La démonstration étant assez longue, nous préférons vous donner le raisonnement en gros.

Considéronset (entiers rationnels). Soient deux demi-droites [ O,x) et [ O,y) formant un repère à coordonnées entières. A chaque point de coordonnées ( x,y) correspond une fraction rationnelle de la forme y/x. Les points sur les axes du repère ne sont pas numérotés. On numérote les points du [coordonnés dans le] repère, en utilisant des entiers naturels dans l'ordre croissant.

A chaque fois que l'on numérote on supprime les autres points de la demi-droite [ O,M ). On supprime ainsi toutes les fractions réductibles équivalentes à .

[Sur la figure ci-dessous, ces demi-droites ont été tracées pour les points (1,1), (1,2) et (2,1) ; les points marqués en gras correspondent aux fractions réductibles. ]

On commence par numéroter 1/1, puis 1/2. On numérote ensuite les points d'une même diagonale parallèle à la 2ème bissectrice.

Si l'on arrive à un point de la forme y/1, on passe ensuite au point (y+1)/1 et l'on recommence à numéroter les points d'une même diagonale parrallèle à la 2ème bissectrice.
Si l'on arrive à un point de la forme 1/x, on passe ensuite au point 1/(x+1) et l'on recommence à numéroter les points d'une même diagonale parrallèle à la 2ème bissectrice.
Et ainsi de suite.

A chaque élément de on fait correspondre un élément de unique. Tout élément de est numéroté. Donc à chaque élément de on fait correspondre un élément unique de. On a alors une bijection entre et. Nous pouvons visualiser cette correspondance grâce au dessin ci-dessus, qui, avouons-le, nous a été soufflé par l'illustre Cantor. De la même manière, on obtient une bijection entre et . [Au nombre] 0 appartenant à l'ensemble , on fait correspondre [le nombre] 0 appartenant à l'ensemble.

On a donc établi une bijection entre et.

[ 3. Intervalles et segments]

A la poursuite de nos découvertes dans cette jungle d'inattendu, quelle ne fut pas notre surprise de découvrir qu'un intervalle ouvert, ou une droite, ont le même infini qu'un segment borné [c'est à dire fermé].

Ce[s] problème[s] se résume[nt] à celui de l'hôtel au nombre de chambres infini. Mais pour mieux comprendre, il n'y a rien de tel qu'un exemple concret, des chiffres enfin !

3.1. Considérons ]0,1[ , un intervalle ouvert, et [0,1[ , un intervalle semi-ouvert.

Envisageons la suite u_n = 1/2ⁿ avec n1 puis établissons une bijection entre ]0,1[ et [0,1[ en distinguant d'une part les termes de la suite u_net d'autre part tous les nombres restants.

Au premier terme de ( u_n), c'est-à-dire 1/2, faisons correspondre 0, au second terme, c'est-à-dire 1/4, faisons correspondre 1/2 et ainsi de suite, reportons chaque élément [de la forme u_n] de l'intervalle [0,1[ [vers l'élément précédent].

Les nombres restants ont pour images eux-mêmes.

Ainsi, chaque élément est relié à un autre élément. En tous cas, c'est en raisonnant de cette manière que l'élève a pu fournir une réponse fort simple au sage à propos du Problème de l'hôtel. Et vous, l'avez-vous trouvée ?... Vous donnez votre langue au chat ?... Réfléchissez encore un peu ...

Vous y êtes ? Il suffit de déplacer le locataire de la chambre 0 à la chambre 1/2 puis de déplacer le locataire de la chambre 1/2 dans la chambre 1/4 et ainsi de suite sans oublier de donner la chambre 0 au voyageur fourbu et avide de repos, qui n'attendait que ça.

3.2. Nombres et points, où s'arrête la différence...

Si l'on considère deux segments de même nature et de même longueur, il est facile d'affirmer qu'ils contiennent chacun le même nombre de points d'où la même infinité de points et de conclure qu'ils ont les mêmes infinis.

Approfondissons le problème et prenons deux segments de même nature mais cette fois-ci de longueurs différentes. Nous nous apercevons, après examen et avec étonnement, que là encore ils ont tous les deux le même nombre de points donc le même infini.

Il est possible de démontrer ce résultat par homothétie mais aussi par projection, méthode utilisée ci-dessous :

Traçons deux segments (a et b) de longueurs différentes.

Projetons sur d tous les points de a tels que M' soit le projeté de M suivant la direction.

Puis projetons tous les points de d sur le segment b tel que M" soit le projeté de M' suivant la direction .

Ainsi tous les points de a ont été projetés sur d et composent d puis de d tous les points ont été projetés sur b et composent b.

Nous obtenons bien le même nombre de points sur a que sur b.

Vous pensez bien qu'après tout ce que nous avions découvert nous ne nous arrêterions pas là, et comme vous vous en êtes sûrement doutés nous avons établi d'autres bijections comme celle entre deux segments de nature différente.

[ 3.3. Intervalle ouvert et intervalle fermé. ]

Pour cette démonstration, nous avons besoin de nous référer à la bijection entre ]0,1[ et [0,1[ développée plus haut.

En effet, assimilons les segments aux intervalles. Si nous voulons établir une bijection entre un segment ouvert et un segment fermé, tous deux de longueurs différentes, il suffit de montrer que deux segments bien que de longueurs différentes contiennent la même infinité de points comme cela a été démontré par les projections, puis d'utiliser justement cette démonstration sur les intervalles ]0,1[ et [0,1[, en établissant d'abord une bijection entre un segment ouvert et un segment semi-ouvert, puis d'établir une seconde bijection entre un segment semi-ouvert et un segment fermé.

Ainsi, par une synthèse de deux démonstrations nous pouvons en tirer une troisième tout aussi étonnante. [note 4]

[ 3.4. Segment ouvert et droite. ]

Nous vous proposons une démonstration très simpliste de la bijection entre un segment et une droite. Pour cela, utilisons par exemple la courbe représentative de la fonction Arctangente :

Considérons une droite D et le segment ]-,[. Projetons tous les points de D sur la courbe représentative de la fonstion Arctangente puis projetons tous les points de cette courbe sur le segment ]-,[ et nous obtenons facilement une bijection entre un segment ouvert et une droite.

Bien entendu, en prolongeant cette méthode et toutes celles vues précédemment l'obtention d'une bijection entre un segment semi-ouvert et une droite ou d'une bijection entre un segment fermé et une droite n'est plus très difficile à trouver.

[ 4. Un somme infinie : la série harmonique]

[La preuve qui suit a une histoire : voir la note 5, où l'on trouvera aussi deux exemples numériques qui permettent de suivre aisément les calculs présentés ci-dessous]

[ Conclusion ]

D'après ce que nous avons vu, il est possible de dire qu'il existe (au moins) deux "types" d'infini : d'une part, celui dans lequel il est possible de faire des calculs, celui qui peut être formé par exemple par l'addition d'une infinité de termes et que l'on qualifie de dénombrable. D'autre part, celui qui est une grandeur indénombrable et que nous ne pouvons qu'envisager.

D'où le lien qui rapproche l'infini mathématique de l'infini philosophique dans lequel cette notion d'infini rejoint celle de la religion, à savoir l'Absolu, Dieu : en effet, depuis toujours l'infini...

Notes des éditeurs

1. Le sujet fut annoncé aux élèves sous la forme : « L'infini. L'infiniment grand et l'infiniment petit. Histoire et histoires. La continuité ou les continuités. Le continu, le transfini. »

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2. Le problème de l'hotel est une illustration fameuse des idées de Cantor sur l'infini imaginée par le mathématicien Hilbert et dont le texte fut donné comme document d'atelier.

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3. Comme l'expliqua le chercheur au démarrage de l'atelier de recherche, c'est Georg Cantor qui montra comment tirer parti de l'idée de correspondance bijective ( ou bijection) pour définir précisément les mots "fini" et "infini" et comparer les ensembles, finis ou infinis.

Depuis Cantor, on dit que deux ensembles E et F ont le même cardinal (mot mathématique exprimant l'idée de "nombre d'éléments") si il existe une bijection de E sur F. Un ensemble E est infini s'il existe une bijection de E sur un sous-ensemble strict de E.
La relation « avoir même cardinal », est une relation d'équivalence entre ensembles, d'où le terme d'ensembles équivalents utilisé ici par les auteurs de l'article pour désigner des ensembles mis en bijection (les mathématiciens disent aussi de deux ensembles de même cardinal qu'ils ont même puissance ou qu'ils sont équipotents).

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4. En fait 4 bijections sont utilisées au final. L'une du segment ouvert donné sur ]0,1[, la seconde de ]0,1[ sur [0,1[, la troisième de [0,1[ sur [0,1] et la dernière de [0,1] sur le segment fermé donné

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5. (note des animateurs du jumelage) Ce sont en fait de patientes recherches ont conduit les auteurs à la découverte que la somme des inverses des nombres entiers était infinie (autrement dit que la série harmonique diverge). Ils avaient longtemps pensé le contraire, et même, au vu de calculs partiels réalisés sur calculatrice, exprimé la conjecture, que cette somme se rapprochait de 2 .

Voici deux exemples numériques des calculs qui conduisent à leur preuve de la divergence :

(1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) +(1/10)

(1/2) + 0 + (1/4) + (1/5) + 0 + 0 + (1/8) + 0 + 0

= (1/2) + (1/4) + (1/5) + (1/8) = 1,075 > 1

(1/11)+(1/12)+(1/13)+(1/14)+(1/15)+(1/16)+(1/17)+(1/18)+(1/19)+(1/20)

+(1/21)+(1/22)+(1/23)+(1/24)+(1/25)+(1/26)+(1/27)+(1/28)+(1/29)+(1/30)

+(1/31)+(1/32)+(1/33)+(1/34)+(1/35)+(1/36)+(1/37)+(1/38)+(1/39)+(1/40)

+(1/41)+(1/42)+(1/43)+(1/44)+(1/45)+(1/46)+(1/47)+(1/48)+(1/49)+(1/50)

+(1/51)+(1/52)+(1/53)+(1/54)+(1/55)+(1/56)+(1/57)+(1/58)+(1/59)+(1/60)

+(1/61)+(1/62)+(1/63)+(1/64)+(1/65)+(1/66)+(1/67)+(1/68)+(1/69)+(1/70)

+(1/71)+(1/72)+(1/73)+(1/74)+(1/75)+(1/76)+(1/77)+(1/78)+(1/79)+(1/80)

+(1/81)+(1/82)+(1/83)+(1/84)+(1/85)+(1/86)+(1/87)+(1/88)+(1/89)+(1/90)

+(1/91)+(1/92)+(1/93)+(1/94)+(1/95)+(1/96)+(1/97)+(1/98)+(1/99)+(1/100)

(1/20)+(1/20)+(1/20)+(1/20)+(1/20)+(1/20)+(1/20)+(1/20)+(1/20)+(1/20)

+ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0

+(1/40)+(1/40)+(1/40)+(1/40)+(1/40)+(1/40)+(1/40)+(1/40)+(1/40)+(1/40)

+(1/50)+(1/50)+(1/50)+(1/50)+(1/50)+(1/50)+(1/50)+(1/50)+(1/50)+(1/50)

+ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0

+ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0

+(1/80)+(1/80)+(1/80)+(1/80)+(1/80)+(1/80)+(1/80)+(1/80)+(1/80)+(1/80)

+ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0

+ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0

= (10/20) + (10/40) + (10/50) + (10/80) = (1/2) + (1/4) + (1/5) + (1/8) = 1,075 > 1

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