Comptes Rendus MATh.en.JEANS 01-07

Enseignants : Véronique CHAUVEAU (Paris), Michel LAMARRE, Marie-Josèphe SCHMITT (Cluses).

Chercheur : Caroline JAPHET-MOUNIER (Institut Galilée, Villetaneuse)

Jumelage MATh.en.JEANS entre les lycées Charles Poncet de Cluses (74) et Camille Sée de Paris (34), année scolaire 2000-2001.

Sommaire

1. Présentation du problème
2. Cas particuliers
3. Idée des angles
4. L'ellipse
5. L'ellipse dans le billard
6. Mise en équation
7. Conclusion

Notre problème est le suivant :

" Imaginez une table de billard circulaire avec deux balles dessus (les balles sont supposées être des points). Dans quelles directions faut-il frapper la première balle de sorte qu'elle rebondisse une seule fois sur le billard et touche ensuite la deuxième balle ? "

Nous avons modélisé le billard par un cercle trigonométrique [de centre ], les 2 boules par les points P (projectile) et F (fixe). Le point M, lui, représente le point-solution du billard, où la boule P va rebondir. Notre but est donc de rechercher l'ensemble des points M qui seront les solutions. Dès le début de la recherche, le trajet de la boule P a été assimilé à un trajet lumineux, et la boule P à une source lumineuse (car la lumière se comporte comme les boules, dans notre billard). La loi de la réflexion de la lumière a donc été utilisé. Mais les lois de reflexion de la lumière ne sont applicables que sur un miroir plan. On assimilera donc la tangente en M à un miroir plan.  D'après les lois de la réflexion de la lumière, l'angle d'incidence est égal à l'angle de relexion. Donc l'angle PM est égal à l'angle MF, donc (M) est la bissectrice de l'angle PMF.

2. Cas particuliers

Pour nous aider dans notre recherche et pour nous permettre de mieux comprendre le problème, nous avons alors décidé de chercher des cas particuliers.

1) Le premier cas que nous ayons trouvé, c'est quand les deux boules P et F sont confondues [avec] le centre du billard. Nous sommes ici dans un cas limite où les boules doivent être considérées comme des points lumineux (voir section1).

Illustration : caspart1.html

Dans ce cas nous trouvons une infinité de solutions : tous les points du billard.

2) Le deuxième cas particulier trouvé se produit lorsque les 2 boules P et F sont symétriques par rapport à un rayon.

Illustration : caspart2.html

Dans ce cas nous trouvons 2 solutions diamétralement opposées

3) Le troisième cas que nous ayons trouvé, c'est quand les deux boules P et F sont sur un diamètre du billard. Dans ce cas il y a 2 cas de figures : si P et F sont considérées comme boules de billard, on connait une seule solution ; et si P et F sont considérées comme sources lumineuses, on connait 2 solutions. L'illustration animée ci-dessous permet de mieux comprendre.

Illustration : caspart3.html

4) Le quatrième et dernier cas trouvé, c'est quand les deux boules P et F sont symétriques par rapport à , le centre du billard.

Illustration : caspart4.html

Dans ce cas on trouve 3 solutions, si P et F sont des boules de billard, et 4 solutions si P et F sont considérées comme sources lumineuses. (voir illustration ci-dessus).

Après avoir étudié ces cas particuliers, il nous a fallu commencer à étudier le cas général. Et nous avons d'abord eu l'idée des angles.

3. Idée des angles

Pour commencer à généraliser notre recherche nous avons commencé par rechercher des relations entre certains angles de notre figure. Nous sommes donc partis à l'envers : nous avons choisis 2 points M₁ et M₂ du cercle, diamétralement opposés. Puis nous avons tracé 2 angles OM₁P et OM₁F égaux et nous avons placé respectivement les points P et F sur les droites (M₁P) et (M₁F). Sur la figure ci- dessous, C et C' sont les points de coupure [les points d'intersection] de et de (PF) :

On s'est rendu-compte que l'on retrouve les angles et (qui sont inconnus) et (qui est connu) à plusieurs reprises sur la figure. On a donc essayé de chercher une équation ou un système pour arriver à connaître ou (puisque si on connaît ces angles, on connait les solutions M₁ et M₂).

La seule équation que l'on ait trouvée est : + + = 90 [les mesures sont en degrés]. Mais cette équation a deux inconnues et nous n'avons pu trouver de deuxième équation.

Nous avons donc dû abandonner cette piste de recherche et en trouver une autre !

4. L'ellipse

A ce moment là de la recherche, la chercheuse qui nous orientait dans notre recherche, nous a conseillé d'utiliser l'ellipse sans nous préciser à quoi elle pourrait nous servir [note 1].

A titre de rappel, l'ellipse de foyers P et F est l'ensemble des points M tels que la longueur PM+MF est constante.

On s'est donc mis en quête d'une (ou plusieurs !) propriété de l'ellipse qui pourrait nous aider dans notre problème. Et on en a trouvé une :

On sait que la lumière emprunte toujours le plus court chemin pour atteindre un point donné (propriété de la lumière assez connue et que nous ne démontrerons pas).

On sait aussi que dans notre ellipse, il n'y a pas de "chemin" PM+MF plus court puisqu'ils sont tous égaux. Donc la lumière ne va pas en priviligier un.

Donc si on envoie un rayon lumineux dans n'importe quelle direction depuis un foyer, on est sûr que ce rayon lumineux passera par l'autre foyer après une reflexion sur l'ellipse.

Et on a tout de suite pensé que si l'on avait un billard elliptique avec les 2 boules P et F sur les 2 foyers, on est sûr qu'en envoyant une boule dans n'importe quelle direction, on va toucher l'autre boule après un rebond sur le billard elliptique.

Illustration : ellipseanim.html

Et il nous est tout de suite venu à l'idée que si on plongeait l'ellipse (avec les 2 boules sur les 2 foyers) dans notre billard circulaire, les points communs à l'ellipse et au cercle seraient solution. Mais, [ce n'est pas le cas : voir le dessin en annexe 1]. On s'est donc rendu compte que les solutions n'allaient pas être aussi simples ! Vous verrez pourquoi dans la section suivante.

5. L'ellipse dans le billard

- On a vu dans la section précédente que si on envoie un rayon lumineux depuis un foyer d'une ellipse, dans n'importe quelle direction, ce rayon passera obligatoirement par l'autre foyer, après réflexion sur l'ellipse. (voir section précédente).

Or on sait aussi que, d'après les lois de réflexion de la lumière de Descartes, l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion.

Donc la normale à la tangente en tout point M à l'ellipse est bissectrice de l'angle PMF .

- On sait aussi que la normale à toute tangente à un cercle passe par le centre de ce cercle.

- A titre de rappel, pour qu'un point du billard soit solution du problème, il faut que (M) soit bissectrice de l'angle PMF . (voir section1).

- De plus si l'ellipse est tangente au billard en M, alors ils ont une tangente commune. La normale à cette tangente est à la fois bissectrice de l'angle PMF et passe par .

Donc, pour résumer, si l'ellipse de foyers P et F est tangente au billard en M, alors ce point est solution du problème.

Nous allons donc, dès maintenant, chercher les ellipses de foyers P et F tangentes au billard, comme sur le shéma suivant, où il y a 2 solutions, (trouvées par ordinateur) ; le billard est en vert :

Nous pouvons maintenant nous lancer dans la mise en équation.

6. Mise en équations

On s'est rendu compte, à ce moment là, que le cas général pouvait toujours se ramener au cas où le vecteur PF est colinéaire au vecteur i (en faisant tourner le repère) :

On a alors décidé, pour simplifier les équations à venir, de choisir un nouveau repère (O ; i ; j) centré sur le milieu de [PF]. Les nouvelles notations sont donc :

( r; s)

P ( e; 0 )

F ( -e; 0)

M ( x; y)

Dans l'ellipse, nous avons également exprimé les 2 inconnues a et b (demi grand axe et demi petit axe), sous la forme d'une seule inconnue
[qui désigne maintenant la longueur MF] :

Le point M( x; y)  étant sur le cercle, sur l'ellipse et sur la tangente, ses coordonnées vérifient donc le système :

Pour ceux qui sont un peu perdus, les inconnues dans ce système sont  x, y et .

Pour comprendre d'où sortent ces équations : voir l'annexe 2

Pour se rassurer et pour vérifier la véracité de notre système, on a alors vérifié si notre système marchait avec le cas particulier où les 2 boules sont symétriques par rapport au centre W du cercle (Voir caspart4.html ) . Dans ce cas on a r = s = 0 .

On obtient alors bien les résultats auxquels on s'attendait : (0;1) ; (0;-1) ; (1;0) ; (-1;0)

Apparemment le système marche : on peut se lancer dans sa résolution. On vous épargnera des étapes de calcul, non-pas qu'on ne les connaisse pas (puisqu'on les a faites), mais parce qu'elles sont très compliquées (plusieurs changements de variables, passage du mode cartésien au paramétrique, longues expressions, ...).

A la fin on obtient le polynôme du 4° degré suivant, où l'inconnue est t :

Avec t= tan(/2) (voir dessin ci-contre pour comprendre ).

Le problème de ce polynôme, maintenant qu'on l'a, est qu'il est de degré 4. Or on ne sait pas résoudre analytiquement (à la main) un tel polynôme.

Il existe cependant des méthodes pour le résoudre graphiquement.

7. Conclusion

Pour résoudre graphiquement ce polynôme, qui est irrésolvable analytiquement (voir section précédente), il existe une méthode : on demande à un ordinateur de vérifier une quantité énorme de points sur le cercle et de conserver les points solutions. Cette méthode s'appelle le balayage. Elle serait bien évidemment trop longue à la main.

Une autre méthode nous a aussi été donnée. Elle ne nous permet pas tout à fait de trouver les points solution :

Sur la photo ci-contre, on a placé une source lumineuse (cachée pour la photo), dans une tasse de café. Cette source lumineuse représente la boule P de notre billard, car on a vu que les boules dans le billard se comportent comme des rayons lumineux. Au fond de la tasse on peut voir une zone faiblement éclairée, une zone fortement éclairée, et à la séparation de ces 2 zones on peut voir une courbe très éclairée, que l'on appelle une caustique.   Mais à quoi sert donc cette expérience ? En fait, - si on place l'autre boule F dans la zone claire, on trouvera, pour notre problème, 4 points-solutions ; - si on place F dans la zone sombre, on trouvera 2 points-solutions ; - et si on place F sur la ligne caustique, on trouvera 3 points solutions.