quelles sont les surfaces rectangulaires qu'on peut carreler avec le carreau image1?

par des élèves du Collège Molière de Vitry sur Seine (94).

Enseignants : Sophie DIALLO, Hélène KRAUTLER

Chercheur: R. MNEIMNE.

Ateliers MATh.en.JEANS. Jumelage des collèges Romain Rolland (Ivry sur Seine, 94) et Molière (Vitry sur Seine, 94; projet inscrit comme "parcours différencié" en classe de 5ème: voir NOTE 1), année scolaire 1997-98. ((Les passages mis entre doubles parenthèses sont dûs aux éditeurs)).


quelles sont les surfaces rectangulaires qu'on peut carreler avec le carreau image1?


 

((On utilise indifféremment les mots "carrelage" ou "pavage" pour parler du découpage d'une surface en plusieurs morceaux juxtaposés, sans vide ni chevauchement: les morceaux sont appelés les "CARREAUX". Dans cet article, les surfaces que l'on cherche à carreler ainsi sont des RECTANGLES et tous les morceaux du carrelage doivent être "égaux" au carreau de base FIG.1 (voir NOTE 2): autrement dit, les carreaux doivent pouvoir être superposés à cette figure, par déplacement direct ou après retournement)). On ne peut pas couper les carreaux ; l'unité d'aire est le carré, l'unité de longueur est le côté du carré.

Théorème 1 - Pour qu'un rectangle soit pavable par des image1, il faut que son aire soit un multiple de 4.

 

preuve : L'aire du carreau est 4 ; en ajoutant plusieurs fois le carreau, on obtient forcément un multiple de 4.


 

Théorème 2 - Il existe des rectangles dont l'aire est un multiple de 4 qui ne sont pas pavables par des image1.

 

preuve : le rectangle (4 ; 3) n'est pas pavable. ((les élèves écrivent simplement 4 ; 3 ; pour une meilleure lisibilité de leur texte, j'introduis les parenthèses : (4 ; 3) au lieu de 4 ; 3.))

image2

(( Il est plus simple de voir que le rectangle (4 ; 1) n'est pas pavable. Mais il est plus utile pour la suite de constater que le rectangle (4 ; 3) n'est pas pavable, puisqu'on ne s'intéressera plus qu'aux rectangles dont les côtés sont plus grands que 2. ))


 

Théorème 3 - Si l'aire d'un rectangle est un multiple de 8 et que ses côtés sont plus grands que 2 alors ce rectangle est pavable par des image1.

 

preuve :

image4

2ème cas : rectangles du type (8m ; k)

a) Si k est pair, k s'écrit 2q. 8m = 4(2m).

On se retrouve avec un rectangle de type (4(2m) ; 2q). C'est le 1er cas.

b) Si k est un nombre impair, alors k = 2q+1.

On peut paver le rectangle (8 ; 3) et le rectangle (8 ; 2).

image5image6

En utilisant plusieurs fois ces rectangles, on obtient tous les rectangles du type (8m ; 2q+1).

image7


 

((Conclusion : Existe-t-il des rectangles pavables dont l'aire est multiple de 4 sans être multiple de 8 ?))


Notes des éditeurs

Note 1 - Ce parcours diversifié a bénéficié d'une dotation en heures supplémentaires intégrées à l'emploi du temps (pour les élèves comme pour le professeur).

Note 2 - Cette forme est un "QUADRIMINO", c'est à dire un morceau de damier formé de 4 cases. Collège Molière, 68 rue Molière, 94200 Ivry sur Seine
année scolaire 1997-1998.


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