par des élèves du Collège Molière de Vitry sur Seine (94).
Enseignants : Sophie DIALLO, Hélène KRAUTLER
Chercheur: R. MNEIMNE.
Ateliers MATh.en.JEANS. Jumelage des collèges Romain Rolland (Ivry sur Seine, 94) et Molière (Vitry sur Seine, 94; projet inscrit comme "parcours différencié" en classe de 5ème: voir NOTE 1), année scolaire 1997-98. ((Les passages mis entre doubles parenthèses sont dûs aux éditeurs)).
quelles sont les surfaces rectangulaires qu'on peut carreler avec le carreau ?
((On utilise indifféremment les mots "carrelage" ou "pavage" pour parler du découpage d'une surface en plusieurs morceaux juxtaposés, sans vide ni chevauchement: les morceaux sont appelés les "CARREAUX". Dans cet article, les surfaces que l'on cherche à carreler ainsi sont des RECTANGLES et tous les morceaux du carrelage doivent être "égaux" au carreau de base FIG.1 (voir NOTE 2): autrement dit, les carreaux doivent pouvoir être superposés à cette figure, par déplacement direct ou après retournement)). On ne peut pas couper les carreaux ; l'unité d'aire est le carré, l'unité de longueur est le côté du carré.
Théorème 1 - Pour qu'un rectangle soit pavable par des , il faut que son aire soit un multiple de 4. |
preuve : L'aire du carreau est 4 ; en ajoutant plusieurs fois le carreau, on obtient forcément un multiple de 4.
Théorème 2 - Il existe des rectangles dont l'aire est un multiple de 4 qui ne sont pas pavables par des . |
(( Il est plus simple de voir que le rectangle (4 ; 1) n'est pas pavable. Mais il est plus utile pour la suite de constater que le rectangle (4 ; 3) n'est pas pavable, puisqu'on ne s'intéressera plus qu'aux rectangles dont les côtés sont plus grands que 2. ))
Théorème 3 - Si l'aire d'un rectangle est un multiple de 8 et que ses côtés sont plus grands que 2 alors ce rectangle est pavable par des . |
1er cas : rectangles du type (4n ; 2p)
En utilisant plusieurs fois ce rectangle, on obtient tous les rectangles (4n ; 2p).
2ème cas : rectangles du type (8m ; k)
a) Si k est pair, k s'écrit 2q. 8m = 4(2m).
On se retrouve avec un rectangle de type (4(2m) ; 2q). C'est le 1er cas.
b) Si k est un nombre impair, alors k = 2q+1.
On peut paver le rectangle (8 ; 3) et le rectangle (8 ; 2).
En utilisant plusieurs fois ces rectangles, on obtient tous les rectangles du type (8m ; 2q+1).
((Conclusion : Existe-t-il des rectangles pavables dont l'aire est multiple de 4 sans être multiple de 8 ?))
Notes des éditeurs
Note 1 - Ce parcours diversifié a bénéficié d'une dotation en heures supplémentaires intégrées à l'emploi du temps (pour les élèves comme pour le professeur).
Note 2 - Cette forme est un
"QUADRIMINO", c'est à dire un morceau de damier formé de 4 cases. Collège
Molière, 68 rue Molière, 94200 Ivry sur Seine
année scolaire 1997-1998.
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