par Marion Bordes, Sylvie Clap, Bérengère Collinot, Alvaro D. S. Carvalho, Anne Franey, Stéphane Simon, Leslie Wimmers, Nicolas Zerling, élèves de 1°S du lycée Jules Ferry de Coulommiers (77)

Enseignante : Sandrine LEFRANC.

Chercheur : Olivier BODINI

Ateliers MATh.en.JEANS. Jumelage des collèges Victor Hugo (Noisy-le-Grand, 94) & Condorcet (Pontault-Combault, 77), année scolaire 1996-1997.

[article vérifié et commenté, les passages entre crochets sont des éditeurs]

la fin des carrés

Sujet. - Certains nombres de pions peuvent se mettre en forme carrée : 1=1x1, 4=2x2, 9=3x3, 16=4x4, 25=5x5, 36=6x6, puis 49, 64, 81, 100, 121, etc. On appelle ces nombres des carrés parfaits ou simplement des carrés. Quels sont ces nombres ? Par quels chiffres se terminent-ils ? Comment les reconnaître ?

Nous avons remarqué certaines propriétés en faisant la liste de carrés des premiers entiers naturels.

Tout d'abord, le chiffre des unités d'un entier élevé au carré ne peut pas être n'importe quel entier. Ensuite, ce chiffre se répète de dix en dix et on remarque une symétrie de répartition par rapport au milieu de chaque dizaine, un effet de miroir.

Nous avons également remarqué certaines propriétés concernant les nombres obtenus en supprimant le chiffre des unités au carré d'un entier.

Remarque. - Tout nombre peut se décomposer en une somme de la forme: 10k+x, où k est un entier naturel et x un chiffre de 0 à 9.

Théorème. - Soit x un chiffre entre 0 et 9 et soit k un entier naturel. Alors x2 et (10k+x)2 possèdent le même chiffre des unités, ce qui équivaut à dire que l'on a une répétition du chiffre des unités des carrés de 10 en 10.

Preuve. -On a: (10k+x)²=100k²+20kx+x²

Or 100k²+20kx est un nombre se terminant par 0, il n'a aucune influence sur le chiffre des unités de (10k+x)² qui a donc le même chiffre des unités que x².

Conséquence. - Les seuls chiffres des unités qui peuvent apparaître dans le carré d'un entier sont 0,1,4,5,6,9. Il n'existe aucun carré se terminant par 2,3,7 ou 8.

Propriété. - Soit x un entier compris entre 0 et 4. Alors (5-x)2 et (5+x)2 ont le même chiffre des unités.

Preuve. - C'est x² qui influe sur le chiffre des unités. C'est un miroir et donc, à l'intérieur d'une dizaine, les chiffres des unités se reflètent de part et d'autre des milieux de dizaines tels que 5, 15, 25, 35...

Autre remarque. - On constate une règle s'appliquant aux nombres des dizaines.

Lorsqu'on écrit à la suite différents carrés de nombres qui se suivent, on constate que quatre fois de suite, on ajoute le même nombre n au chiffre des dizaines du carré précédent ; puis on ajoute six fois de suite ce nombre n + 1 au chiffre des dizaines du carré précédent ; puis quatre fois de suite à nouveau en ajoutant 1 au nombre précédent, etc.

[Voir le Schéma]