Comptes Rendus MATh.en.JEANS 01-05 

Jumelage MATh.en.JEANS entre les lycées d'altitude de Briançon (05) (Atelier Scientifique et Action "Passion Recherche") et Jean Moulin de Pézenas (34), année scolaire 2000-01.
Enseignants : Hubert PROAL (Briançon), avec la participation de Luc SAVIGNEUX (Pézenas)
Chercheur (correspondant) : Patric VEROVIC

Problème : on souhaite construire le plus grand surplomb possible à l'aide de briques de même taille et sans colle. (N.B : ces briques ont un poids et une dimension identique )

On se place dans le cas où l'on évolue que dans un seul sens (sans revenir en arrière ! ! !)

Pour que l'ensemble des pièces tienne en équilibre , il faut que l'isobarycentre des pièces superposées soit à l'aplomb du bord de la pièce support . Exemple avec trois pièces : L'isobarycentre G des pièces 1 et 2 est à la vertical du bord de la pièce 3. De plus, le centre de gravité de la pièce 2 est au-dessus de la pièce 1. Par conséquent cela tient en équilibre .

I) Surplomb avec marche régulière .

On s'aperçoit que pour réaliser le plus grand surplomb possible avec deux pièces , on crée une marche de longueur x =( le surplomb a une longueur de ).

Pour trois pièces, on a x =et le surplomb a une longueur de . Pour quatre pièces, on a x = et le surplomb a une longueur de . On émet l'hypothèse que pour n pièces, la longueur de la marche est x= et la longueur du surplomb est l= .

Pour quelques pièces cela semble fonctionner et on peut en venir à penser que cela fonctionne également pour un très grand nombre de pièces, mais nous ne sommes pas arrivés à le démontrer.

Pour définir le plus grand surplomb on étudie la limite de l en l'infini. Or

Cela signifie que :

les surplombs fait avec des marches régulières n'excéderont pas la taille d'une pièce.

II) Surplomb avec marches irrégulières.

On se place toujours dans le cas où on évolue dans un seul sens .

1) Cas avec trois pièces .

On cherche la plus grande valeur de y tel que et

Afin de trouver la solution on résonne à l'aide d'un repère orthonormé dans lequel on trace les droites d'équations respectives y = - x+1 et On trouve la plus grande valeur de y : y = avec x =.

Les marches sont alors (de haut en bas) : et .

2) Cas avec quatre pièces .

Il faut trouver la valeur maximale de z tel que et .

Avec l'ordinateur, on fait un dessin en 3 dimensions et on trouve, pour valeur maximale de z : z =[avec] y =, x =

Les tailles des marches sont :  ;;.

On peut penser que pour ajouter une 5ème marche, il faut reprendre la structure précédente et l'ajouter par le bas en faisant une marche de.

Démonstration par récurrence :

*On sait que pour n=2 pièces, la première marche est de

*On suppose que pour k pièces on a la 1ere marche :

*Vérifions que pour k+1 pièces la 1ere marche soit :

Soit Bary(k-1) le barycentre des k-1 pièces du dessus.

On prend cette structure et on rajoute 1 pièce par dessous pour avoir une structure de k+1 pièces.

On vérifie que l'aplomb de l'isobarycentre des k pièces soit au dessus de la pièce du bas.

Soit Bary(k) le barycentre des k pièces du dessus.

L'aplomb de l'isobarycentre est sur la pièce du bas donc ça tient.

De cette façon on a vu qu'on pouvait faire, avec un grand nombre de pièces, des surplombs supérieur à 1, mais on n'a pas réussit à trouver la longueur maximale du surplomb. Pour cela, il faut connaître :

[voir note 1]

1- La somme ++ ^... +est la moitié de la somme 1+++ ^... +qui est la (n-1)-ième somme de la série harmonique, étudiée en 1990 par des lycéens : L'infini, Actes MATh.enJEANS 1993, pp.117-121 et Comptes Rendus MATh.en.JEANS 90-01

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