combiner 2 carrés

Comptes Rendus MATh.en.JEANS 01-09

[combiner deux carrés]

par

Rakibe GUNDAG, Estelle RIVALLAN, et Amélie SERVOL,

élèves de Première et Terminale du lycée Romain Rolland d'Argenteuil

Atelier MATh.en.JEANS du lycée Romain Rolland d'Argenteuil (Val d'Oise). Année scolaire 2000-2001 (atelier scientifique).
Enseignants : Dominique GUY, Fabrice LOARER
Chercheur : Loïc ALLYS (Université du Mans)

[Article vérifié et commenté : les passages entre crochets sont des éditeurs]

Sujet

Il s'agit de trouver les entiers naturels N pouvant s'écrire sous la forme :

N = x²+ ay² avec a {0, ±1, ± 2, ± 3} et x et y entiers relatifs.

Nous avons traité ici les deux cas : a = -1 [1ère partie] et a = +1 [2ère partie]

1) N = x² - y² [cas a=-1]

1a. Étude expérimentale

x	y	x² - y²
0	0 1 2	0 -1 impossible () -4 impossible ()
1	0 1 2	1 0 -3 impossible (*)
2	0 1 2	4 3 0
...	...	...
10	0 1 2 ... 10	100 99 96 ... 0
		() Remarque*: "impossible" car N ne peut pas être négatif

1b. Résultats obtenus

Nous avons fait des essais en prenant pour N toutes les valeurs entières de 0 à 170 et en essayant de les décomposer sous la forme (x-y)(x+y) [factorisation classique de l'expression x² - y²]

Les premiers nombres, obtenus de cette manière pouvant s'écrire sous la forme N= x² - y² sont :

0,1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, ...

Par contre, nous avons observé que ne peuvent pas s'écrire sous la forme N= x² - y² les nombres : 2, 6, 10, 14, 18, 22, ..

1c. Propriétés

[Théorème] (1.1) Tous les nombres impairs et les nombres pairs multiples de 4 peuvent s'écrire sous la forme x² - y² [et les nombres pairs non multiples de 4 ne peuvent s'écrire sous cette forme.]

Démonstration :

a) Démontrons que les nombres pairs qui sont des multiples de 4, c'est-à-dire les nombres s'écrivant sous la forme 4p, peuvent s'écrire sous la forme x² - y².

p est un entier naturel. 4p peut toujours s'écrire 2x2p.

Existe-t-il x et y, entiers, tels que x² - y² = 2x2p ?

Cette égalité est réalisée si les entiers x et y sont tels que

soit

ou

soit

Donc, quel que soit p entier naturel, on peut trouver x et y entiers relatifs tels que 4p = x²-y².

b) Démontrons que les nombres impairs (c'est à dire les nombres s'écrivant sous la forme 2p+1) peuvent s'écrire sous la forme x²-y².

Existe-t-il x et y tels que x = 2p + 1 ?

Cette égalité est réalisée si :

On trouve x= p+1 et y = -p , ou x= p+1 et y = p

Donc, quel que soit p entier naturel, on peut trouver x et y entiers relatifs tels que 2p+1 = x²-y²

c) Démontrons que les nombres pairs qui ne sont pas multiples de 4 (c'est à dire les nombres s'écrivant sous la forme 4p+2) ne peuvent s'écrire sous la forme x²-y²

Existe-t-il x et y tels que x²-y² = 4p+2 ?

Le nombre entier 4p+2 est forcément le produit d'un nombre pair 2m et d'un nombre impair 2m'+1, où m et m' sont des entiers naturels.

Or si x+y = 2m et x-y = 2m'+1 alors 2x = 2(m+m')+1 ce qui est impossible.

De même si x+y = 2m'+1 et x-y = 2m, alors 2x = 2(m+m')+1 ce qui est impossible.

Conclusion : Les nombres pairs qui ne sont pas multiples de 4 ne peuvent pas s'écrire sous la forme x²-y².

[ signifie : la preuve du théorème est complète]

2) N = x² + y² [cas a=+1]

2a. Étude expérimentale

Nous avons procédé de la même manière que précédemment et nous avons obtenu les résultats suivants :

Les nombres entre 0 et 100 pouvant s'écrire sous la forme N = x²+y² sont :

0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50,
52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100.

B. Propriétés

[Théorème] (2.1) Si N est un carré parfait alors N peut s'écrire sous la forme N = x² + y²,

Car on pourra toujours prendre x²= N et y = 0 (ou l'inverse).

Exemple : N = 36 36 = 6²+ 0 ²

[Théorème] (2.2) De plus, si N est un carré parfait alors N+1 = x²+ y ² avec x² = N et y² = 1²

[Théorème] (2.3) Si N = x²+ y ², alors 2 N = x₁² + y₁²

Démonstration :

N= x² + y²2N = 2x² +2y²2N = x² + y² + x² + y²2N = x² + 2xy + y² + x²- 2xy +y²2N = (x+y)² + (x-y)²

On peut prendre x₁ = x + y et y₁ = x - y et on a bien 2N = x₁² + y₁²

Exemple : N = 13 = 3² + 2² ;  26 = x₁² + y₁²  [avec]  x₁ = 3 + 2 et y₁ = 3 - 2, donc 26 = 5² + 1².

[Théorème] (2.4) S'il n'existe pas (x ; y) tel que x ² + y² = N, alors il n'existe pas (x₁ ; y₁) tel que x₁² + y₁² = 2N

Démonstration :

Supposons qu'il existe (x₁ ; y₁) tel que x₁² + y₁² = 2N

Peut-on trouver x et y tels que x ² + y² = N ?

x₁ et y₁ sont de même parité (c'est à dire les deux pairs ou les deux impairs), puisque la somme de leurs carrés est un nombre pair.

x₁² + y₁² = 2N

[Donc,] si x₁ et y₁ sont de même parité, alors x=et y= [satisfont l'égalité x ² + y² = N.]

[En conclusion] si 2N est la somme des carrés de 2 entiers, ils sont nécessairement de même parité et N peut s'écrire aussi comme somme des carrés de 2 entiers.

[Théorème] (2.5) Si N = a² + b² et N' = c² + d², alors N N' [est de la forme] x² + y².

Démonstration :

NN' = (a² + b² )(c² + d²) = a²c² + b²d² + a²d²+ b²c²
NN' = a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² - 2abcd + b²c²
NN' = (ac + bd)² + (ad - bc)²

On pose x = ac + bd et y = ad - bc ; [on obtient] N N' = x² + y².

[Théorème] (2.6) [Dans le] cas où N est un multiple de 3, N = 3N', [le nombre] 3N' ne peut être somme de carrés d'entiers non tous deux multiples de 3. [Autrement dit si un multiple de 3 est la somme des carrés de deux entiers, ces entiers sont eux aussi multiples de 3.]

Démonstration :

[Raisonnons par l'absurde :] Supposons [que 3N = x² + y² et] que x et y ne soient pas multiples de 3, alors :

et , avec p et q [est l'ensemble des entiers relatifs ]

3N' = x² + y² équivaut à N' = , on a donc [suivant les 4 cas possibles] :

Si x = 3p + 1 et y = 3q + 1

Alors

= 3p² + 2p +

+ 3q² + 2q +

= 3(p² + q²) + 2(p+q) +

3(p² + q²) car p et q
2 ( p + q) car p et q
( ensemble des entiers naturels )

Conclusion: 3(p² + q²) + 2(p+q) +

[Cela contredit une des hypothèses.] Donc si x = 3p + 1 et y = 3q + 1, 3N' ne peut pas s'écrire sous la forme x² + y².

Si x = 3p + 2 et y = 3q + 2

Alors

[...] [En développant comme précédemment on obtient :] N' =

= 3(p² + q²) + 4(p+q) +

[...] [Contradiction] Donc si x = 3p + 1 et y = 3q + 1, 3N' ne peut pas s'écrire sous la forme x² + y².

Si x = 3p + 1 et y = 3q + 2

Alors

[...] [on obtient :] N' =

= 3(p² + q²) + 2(p+2q) +

[...] Donc si x = 3p + 1 et y = 3q + 2, 3N' ne peut pas s'écrire sous la forme x² + y².

On se ramène au cas précédent si x = 3p + 2 et y = 3q + 1

[ En résumant ce qui précède, l'un des nombres x ou y doit être multiple de 3, cas qu'il convient d'examiner et qui s'avère impossible (note 1); donc x et y doivent tous deux être multiples de 3].

En résumé, un multiple de 3 est somme des carrés de 2 entiers [seulement] si ces entiers sont eux-mêmes multiples de 3

Mais si x = 3p et y = 3q, alors, (3p)²+(3q)² = 9(p²+q²)= 3(3p²+3q²) : ce multiple de 3 est alors aussi multiple de 9.

Conclusion

Si a = -1, nous savons donc que seuls les entiers naturels pairs non multiples de 4 ne peuvent s'écrire sous la forme x² -ay². Mais, si a = 1, nous n'avons obtenu que des résultats partiels. [note 2]
Et il resterait encore à traiter les cas a = ±2 et a = ±3.

Notes des éditeurs

Note 1. Nous complétons ici la démonstration du théorème (2.6). Quitte à échanger les rôles de x et y, on peut supposer x = 3p.

Si x = 3p et y = 3q + 1, alors N' = et on obtient N' = 3(p² + q²) + 2q +

Si x = 3p et y = 3q + 2, alors N' =et on obtient N' = 3(p² + q²) + 4q +

Dans chaque cas, 3N' ne peut pas s'écrire sous la forme x² + y².

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Note 2. Les théorèmes (2.5) et (2.6) suggèrent en particulier d'étudier le problème lorsque N est un nombre premier, c'est à dire un nombre autre que 1 qui n'a pas d'autre diviseur que lui-même et 1.

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Mots clefs

CARRÉ SOMME DIFFERENCE EQUATION PELL ABSURDE

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