Travaux d'élèves récents
Nous publions directement ici les travaux d'élèves de l'année, non nécessairement aboutis, articles, narrations de recherche, diaporamas,…, en attendant relecture et validation par le comité d'édition.
Pour les posters, voir la page dédiée.
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Gravity calculator - Lycée Val de Durance (Pertuis)
We’ve solved the problem for various numeration bases, including binary and decimal bases. The problem could’ve been approached in different ways and in different numeration bases. More than just the theoretical approach, we’ve built a physical system that manages to prove what we’ve discovered through the theoretical approach.
Mots clés : base de numération, numération binaireModelling of forest fires - Lycée Val de Durance (Pertuis)
In today’s world, forest fires have become a global threat to both animals and humans. These fires are occurring more frequently and are increasingly difficult to contain. Due to global warming, firefighters struggle to keep up with the rapid expansion of forest fires. Although they employ sophisticated techniques to halt the spread of fires, these methods often demand substantial resources and physical strength, sometimes proving insufficient.
Our objective is to create a model of cellular automata and conduct simulations based on simple rules of fire expansion. By doing so, we aim to identify a distribution of trees and gather useful information that can be applied in real-life scenarios. Discovering specific patterns will help balance fire expansion and the preservation of trees, ultimately providing firefighters with a more efficient and effective strategy.
In this article, we present 3 approaches to solving the problem as well as the solution we found.
Mots clés : algorithme, automate cellulaireOur objective is to create a model of cellular automata and conduct simulations based on simple rules of fire expansion. By doing so, we aim to identify a distribution of trees and gather useful information that can be applied in real-life scenarios. Discovering specific patterns will help balance fire expansion and the preservation of trees, ultimately providing firefighters with a more efficient and effective strategy.
In this article, we present 3 approaches to solving the problem as well as the solution we found.
Des grilles harmonieuses - Lycées J.-P. Sartre (Bron) et E. Herriot (Lyon)
On dispose d’une grille carrée vide à autour de laquelle des nombres sont écrits. Le but est de remplir la grille de sorte que chaque case soit la moyenne des cases qui lui sont adjacentes.
Peut-on toujours compléter une grille donnée ? Il est montré en général qu’il y a au plus une seule solution, et le problème est résolu pour les grilles 1 x n, les grilles 2 x 2 et les grilles 3 x 3 avec un calcul explicite des valeurs obtenues dans chaque case.
Mots clés : harmonium, grille, moyenne, système linéairePeut-on toujours compléter une grille donnée ? Il est montré en général qu’il y a au plus une seule solution, et le problème est résolu pour les grilles 1 x n, les grilles 2 x 2 et les grilles 3 x 3 avec un calcul explicite des valeurs obtenues dans chaque case.
Dominos - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Nous disposons d’échiquiers de dimensions 2×n . Nous souhaitons recouvrir les échiquiers entièrement de dominos. Chaque pièce de domino couvre exactement deux cases adjacentes. On se demande de combien de façons différentes il est possible de couvrir l’ensemble de l’échiquier.
Chemins sur une grille - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
On imagine une grille carrée de n*n cases allant d’un point de départ en bas à gauche à un point d’arrivée en haut à droite. En supposant que l’on ne puisse aller que vers la droite et le haut :
-Combien existe-t-il de chemins allant du départ à l’arrivée ?
-Combien existe-t-il de chemins si on ne peut passer que dans la moitié nord-ouest de la grille ?
-Combien existe-t-il de chemins sur une grille rectangle de côtés n et k avec n et k quelconques ?
-Combien existe-t-il de chemins allant du départ à l’arrivée ?
-Combien existe-t-il de chemins si on ne peut passer que dans la moitié nord-ouest de la grille ?
-Combien existe-t-il de chemins sur une grille rectangle de côtés n et k avec n et k quelconques ?
Plan d'attaque - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Sujet: On étudie une armée composée d’une générale et d’un nombre inconnu d’officiers et de sous officiers. Cette armée doit attaquer une ville caractérisée par les quatre points cardinaux : nord, sud, est et ouest. On décide que l’attaque va avoir lieu au point nord. La générale a 5 minutes pour diffuser l’information dans son armée. Elle doit informer les officiers mais surtout les sous-officiers car ce sont eux qui dirigent les troupes.
La générale transmet toujours l’information nord. En revanche, les officiers et les sous-officiers peuvent se tromper au moment de la transmission. Ainsi, les officiers n’ont que 80 % de chance de transmettre l’information qu’ils ont reçue et les sous-officiers seulement 60 %.
On cherche donc à transmettre l’information nord au maximum de personnes possibles dans un temps limité de 5 minutes.
Production: Nous avons d'abord étudié un cas possible en 5 minutes afin d'optimiser le nombre de sous-officiers informés. Puis nous avons…
Mots clés : arbre de possibilités, probabilité, suite, dénombrementLa générale transmet toujours l’information nord. En revanche, les officiers et les sous-officiers peuvent se tromper au moment de la transmission. Ainsi, les officiers n’ont que 80 % de chance de transmettre l’information qu’ils ont reçue et les sous-officiers seulement 60 %.
On cherche donc à transmettre l’information nord au maximum de personnes possibles dans un temps limité de 5 minutes.
Production: Nous avons d'abord étudié un cas possible en 5 minutes afin d'optimiser le nombre de sous-officiers informés. Puis nous avons…
Captain Kirk - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Sujet: Le Captain Kirk se trouve sur une planète carrée de 1000 km par 1000 km et veut trouver une ville. Il se trouve au début dans le coin en bas à gauche de la planète. A chaque téléportation, il peut savoir grâce à une machine s’il s'est rapproché ou s’il s’est éloigné de la ville. Le Captain Kirk considère qu'il a trouvé la ville quand elle se trouve dans un rayon de 1km autour de lui. Son objectif est de trouver la ville avec le moins de téléportation possible.
Production: Pour faire nos tests, nous avons principalement utilisé Géogébra qui est un logiciel permettant de tracer des figures géométriques, des droites et des segments sur un plan orthonormé. Nous avons utilisé des coordonnées pour placer les points à l’endroit exact voulu.
Nous avons ainsi trouvé deux stratégies utilisant une succession de zones en forme de carrés ou de triangles qui permettent d'obtenir rapidement la position, l'une étant meilleure que l'autre. Nous avons établi le nombre…
Mots clés : médiatrice, aléatoire, surface, optimisation, carré, triangleProduction: Pour faire nos tests, nous avons principalement utilisé Géogébra qui est un logiciel permettant de tracer des figures géométriques, des droites et des segments sur un plan orthonormé. Nous avons utilisé des coordonnées pour placer les points à l’endroit exact voulu.
Nous avons ainsi trouvé deux stratégies utilisant une succession de zones en forme de carrés ou de triangles qui permettent d'obtenir rapidement la position, l'une étant meilleure que l'autre. Nous avons établi le nombre…
Robinson - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Sujet: Robinson s’est échoué sur une île déserte et y a rencontré un autochtone appelé
Vendredi. Chacun d’entre eux doit récupérer des vivres afin de survivre. Ils ont tous
deux des rendements différents et un besoin hebdomadaire précis.
Est-il intéressant pour eux de collaborer afin de passer moins de temps à
récolter des vivres ?
Production: Nous avons étudié plusieurs cas: travail seul, travail en collaboration. Pour le cas en collaboration, nous avons envisagé plusieurs possibilités d'équité: gain du même temps, gain d'une même proportion de temps, travail à temps égaux. Puis nous avons commencé à étudier le cas de trois personnes.
Mots clés : équation, optimisation, système d'équationsVendredi. Chacun d’entre eux doit récupérer des vivres afin de survivre. Ils ont tous
deux des rendements différents et un besoin hebdomadaire précis.
Est-il intéressant pour eux de collaborer afin de passer moins de temps à
récolter des vivres ?
Production: Nous avons étudié plusieurs cas: travail seul, travail en collaboration. Pour le cas en collaboration, nous avons envisagé plusieurs possibilités d'équité: gain du même temps, gain d'une même proportion de temps, travail à temps égaux. Puis nous avons commencé à étudier le cas de trois personnes.
Les voûtes nubiennes - Lycée de l'Harteloire (Brest)
La voûte nubienne est une technique ancestrale de construction de voûte sans utilisation d'échafaudage ni structure en bois ("cintre") lors de sa construction.
Plusieurs variantes existent mais le principe fondamental consiste à empiler des éléments de construction (à l'origine dans la haute antiquité égyptienne, des briques en terre crue), en réalisant un porte-à-faux qui reste dans la limite de l'équilibre, jusqu'à ce que se rejoignent les deux arches de la voûte.
On souhaite construire une voûte dont la hauteur n'excède pas 2,50 m avec des briques carrées de côté 40 cm et de hauteur 10 cm. Quelle largeur maximale peut-on se permettre entre bases des deux arches ?
Nous proposons plusieurs approches, la première est expérimentale, la deuxième est basée sur le fractionnement des briques et la troisième sur l'utilisation des barycentres, qui corrobore l'approche expérimentale.
Plusieurs variantes existent mais le principe fondamental consiste à empiler des éléments de construction (à l'origine dans la haute antiquité égyptienne, des briques en terre crue), en réalisant un porte-à-faux qui reste dans la limite de l'équilibre, jusqu'à ce que se rejoignent les deux arches de la voûte.
On souhaite construire une voûte dont la hauteur n'excède pas 2,50 m avec des briques carrées de côté 40 cm et de hauteur 10 cm. Quelle largeur maximale peut-on se permettre entre bases des deux arches ?
Nous proposons plusieurs approches, la première est expérimentale, la deuxième est basée sur le fractionnement des briques et la troisième sur l'utilisation des barycentres, qui corrobore l'approche expérimentale.
Les jours fériés tombent-ils souvent le week-end ? - Collège Pompidou (Cajarc) Lycée Savignac (Villefranche de Rouergue)
Nous avons souvent l’impression que les jours fériés tombent (trop) souvent le week-end. Nous chercherons à analyser la répartition de ces jours fériés dans la semaine pour savoir si cette impression en est bien une et combien de jours fériés minimum et maximum tombent le week-end dans la même année.
Pour cela, nous devrons trouver un moyen de prévoir si un jour férié tombe un week-end ou non, puis chercher des régularités d’apparition et enfin utiliser ces conclusions pour répondre au sujet.
Mots clés : arithmétiquePour cela, nous devrons trouver un moyen de prévoir si un jour férié tombe un week-end ou non, puis chercher des régularités d’apparition et enfin utiliser ces conclusions pour répondre au sujet.
Fabrique de puzzles - Collège Pompidou (Cajarc) Lycée Savignac (Villefranche de Rouergue)
On veut fabriquer des puzzles. A partir de pièces carrées de coté fixé, on est autorisé à modifier les cotés en enlevant un triangle ou en ajoutant un triangle de sorte que les pièces s'emboîtent parfaitement.
Combien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non…
Mots clés : puzzle, dénombrementCombien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non…
Construire des nombres entiers sous contrainte - Collège Pompidou (Cajarc) Lycée Savignac (Villefranche de Rouergue)
• Avec les opérations habituelles (+, -, x, ) et en utilisant les 5 nombres 5, comment obtenir le nombre 24 ?
• On observe deux catégories de nombres. Si on fait la même chose avec 6 fois le nombre 6, qu'est-ce qu'on remarque ?
• En généralisant à n fois le nombre entier n, comment décrire toutes les possibilités ?
Mots clés : nombre, opération, programmation• On observe deux catégories de nombres. Si on fait la même chose avec 6 fois le nombre 6, qu'est-ce qu'on remarque ?
• En généralisant à n fois le nombre entier n, comment décrire toutes les possibilités ?
Castells de a - Lycée Arago (Perpignan)
Cet article traite de 3 “empilements” infinis composés avec un réel a>0. L'objectif est de trouver pour quelles valeurs de a ces empilements définissent bien un nombre. On modélise chaque empilement sous forme d'une suite récurrente. Pour les deux premiers empilements, construits avec la racine carrée puis comme fraction continue, on montre que la suite converge et on détermine sa limite, que l'on interprète comme la solution du problème. Pour le troisième, construit avec une suite d’exposants a, on détermine un intervalle I tel que la suite converge si a appartient à I et diverge si a est extérieur à I.
Mots clés : itération, racine carrée, fraction continue, puissance, suite récurrente, point fixeSentinelles - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un château a une forme polygonale. Du haut de ses remparts sont postées des sentinelles qui peuvent voir à un kilomètre. Où vaut-il mieux les placer pour voir l'ennemi le plus tôt possible dans la plupart des cas si le château est carré ? Que dire si l'on remplace le carré par un cercle ? par un autre polygone ?
A journey through the wonders of Fermat's Point - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
The Fermat point is a remarkable point of a triangle introduced by the French mathematician Pierre de Fermat in the XVII century. In this article we studied some known properties of such point, also managing to discover some new interesting characteristics. We started analysing triangles, moving to quadrilaterals and finally to polygons. Regarding triangles, by slightly modifying the definition of Fermat point, we obtained a new set of points and we proved that the Fermat point belongs to this set as well as the triangle centroid and the orthocenter. Moving away from triangles, we obtained some results involving regular polygons, but because of the complexity of the task we were not able to find a method to determine the Fermat point in irregular polygons. For this reason, we used calculus to develop an algorithm to approximate Fermat point.
Laser Guess - Collège Saint-Exupéry (Mulhouse)
Nous avons une grille et nous essayons de trouver une figure cachée à l’aide de valeurs situées aux côtés de la grille : peut-on trouver la figure cachée seulement à l’aide de ces valeurs ? Y a-t-il une figure unique associée des valeurs ou des valeurs uniques à une figure ?
Si l’on prend pour exemple cette grille, au-dessus de la première ligne horizontale, il y a un 0, il ni donc pas une partie de la figure cachée dans cette ligne. Sur la deuxième ligne horizontale il y a un 2, on sait donc qu’il y a une partie de la figure cachée dans cette ligne, on va s’aider des lignes verticales pour la trouver. En remplissant les cases supposées faire partie de la figure cachée on obtient ce résultat.
Pour en revenir à la problématique, on peut affirmer que les valeurs ne sont pas uniques à une figure car si l’on prend une grille plus simple (2x2) avec 1 comme valeur de chaque côté, il y a deux possibilités.
Si l’on prend pour exemple cette grille, au-dessus de la première ligne horizontale, il y a un 0, il ni donc pas une partie de la figure cachée dans cette ligne. Sur la deuxième ligne horizontale il y a un 2, on sait donc qu’il y a une partie de la figure cachée dans cette ligne, on va s’aider des lignes verticales pour la trouver. En remplissant les cases supposées faire partie de la figure cachée on obtient ce résultat.
Pour en revenir à la problématique, on peut affirmer que les valeurs ne sont pas uniques à une figure car si l’on prend une grille plus simple (2x2) avec 1 comme valeur de chaque côté, il y a deux possibilités.
Mètre pliant - Lycée de l'Harteloire (Brest)
L'étude d'un mètre pliant non gradué débouche sur les deux questions suivantes. Comment s'assurer que toutes les mesures qu'il permet sont distinctes ? Comment s'assurer que toutes les mesures qu'il permet sont consécutives à partir de 1 ?
L'article propose une réponse à la première question en définissant le mètre pliant le plus court ayant des mesures toutes distinctes. Pour la deuxième question, plusieurs systèmes de mètres à mesures consécutives sont proposés dont le plus performant présente un taux de mesures non distinctes qui tend vers zéro.
Mots clés : puissance de 2, suite géométrique, base de numérationL'article propose une réponse à la première question en définissant le mètre pliant le plus court ayant des mesures toutes distinctes. Pour la deuxième question, plusieurs systèmes de mètres à mesures consécutives sont proposés dont le plus performant présente un taux de mesures non distinctes qui tend vers zéro.
Croissance d'un cristal - Collège Alain Fournier (Orsay)
On considère un rectangle dont les quatre côtés s'éloignent du centre avec des vitesses v1,v2, v3, v4. Comment évolue l'aire du rectangle ?
Et si on considère un polygone dont les côtés s'éloignent à des vitesses constantes mais différentes : que se passe-t-il pour un parallélogramme ? pour un triangle ? pour un polygone régulier ? Est-ce que le nombre de côtés change ?
Et si on considère un polygone dont les côtés s'éloignent à des vitesses constantes mais différentes : que se passe-t-il pour un parallélogramme ? pour un triangle ? pour un polygone régulier ? Est-ce que le nombre de côtés change ?
Couleurs, cercles et carrés - Collège Alain Fournier (Orsay)
On trace des cercles dans le plan. La figure obtenue délimite des régions du plan. Deux régions sont dites adjacentes si elles ont au moins un arc de cercle en commun. Combien de couleurs au minimum faut-il pour colorier les régions de sorte que deux régions adjacentes soient de couleurs différentes (et si on dit que deux régions sont adjacentes si elles sont séparées par une ligne de longueur non nulle) ? Et si on fait en sorte que l’intersection de deux côtés de carrés distincts soit ou bien vide, ou bien deux points ? Le résultat est-il encore vrai si on remplace les cercles par des carrés ? Peut-on généraliser à d'autres polygones ?
Mots clés : couleurUn problème d'urnes et de boules - Collège Alain Fournier (Orsay)
On répartit dans deux urnes identiques N boules blanches et N boules noires indistinguables au toucher, puis on tire une boule dans l'une des deux urnes au hasard.
Pour quelle répartition a-t-on le plus de chances de tirer une boule blanche ? Et pour des nombres quelconques d’urnes, de boules blanches et de boules noires ?
Mots clés : probabilité, urnePour quelle répartition a-t-on le plus de chances de tirer une boule blanche ? Et pour des nombres quelconques d’urnes, de boules blanches et de boules noires ?
Échecs et maths - Collèges Fleming et Fournier (Orsay)
On place un cavalier sur une grille carrée infinie. Le cavalier est situé à un point d’intersection de la grille, et non dans une des cases comme un échiquier classique ! Il se déplace suivant les règles usuelles (un pas en avant, deux de côté).
Après chaque déplacement, le cavalier double de taille. En particulier, son prochain déplacement sera deux fois plus grand que le précédent !
Dessiner l’ensemble des points que l’on peut atteindre en 1 coup, 2 coups, 3 coups.
Que remarque-t-on ? Peut-on le démontrer ?
Après chaque déplacement, le cavalier double de taille. En particulier, son prochain déplacement sera deux fois plus grand que le précédent !
Dessiner l’ensemble des points que l’on peut atteindre en 1 coup, 2 coups, 3 coups.
Que remarque-t-on ? Peut-on le démontrer ?
Les diamants sont éternels mais ont un prix - Collèges Fleming et Fournier (Orsay)
Le prix du diamant est proportionnel au carré de sa masse. Selon quelles proportions doit-on découper un diamant en deux pour que le prix devienne minimal ? et en trois morceaux ? et en n morceaux ? Le prix d’un saphir est proportionnel au cube de sa masse. Le découpera t-on de la même manière ?
Mots clés : proportionnalitéThe marmots - Lycée Val de Durance (Pertuis) Colegiul National Emil Racovita (Cluj)
The methodology involved is using Divide and Conquer, Mathematical Induction, and Greedy Methods to devise a C++ code solution. Mathematical formulas were crafted to model the problem, and optimization techniques were applied to find the most efficient solution. The C++ code was implemented, tested, and validated across various scenarios. Performance analysis was conducted to evaluate efficiency and scalability, with optimizations made as necessary. The entire process was documented comprehensively, emphasizing systematic problem-solving and rigorous validation.
Mots clés : modélisation informatiqueAwelé or Mancala game - Lycée Val de Durance (Pertuis) Colegiul National Emil Racovita (Cluj)
At first, we wanted to understand the game better, therefore we tried all sorts of online apps. After a few days we saw how many different versions there are, some are solvable while others are not yet completed. All of the teams who contributed to this research decided to use an app as a first reference. We analysed the algorithm of the AI which the app was using and tried to optimise it. In order to do this we needed to find some basic strategies to create our starting point.
So, we competed with our teammates and tried to solve the puzzles the app had to offer, which helped us make the best moves in certain situations and develop some techniques.
While the Romanian teams used the app to construct strategies and analyse the software trained to win Mancala, the French team spent a good amount of time calculating specific positions. They considered that because the value of a strategy is very positional, an absolute statement for the best strategies is not what we should strive for, all of…
Mots clés : jeu de stratégieSo, we competed with our teammates and tried to solve the puzzles the app had to offer, which helped us make the best moves in certain situations and develop some techniques.
While the Romanian teams used the app to construct strategies and analyse the software trained to win Mancala, the French team spent a good amount of time calculating specific positions. They considered that because the value of a strategy is very positional, an absolute statement for the best strategies is not what we should strive for, all of…
En route vers le chaos - Lycée Caroline Aigle (Nort-sur-Erdre)
Étant donné un nombre réel 0 < a ≤ 1, on considère les suites (x_n) de réels obtenues par la donnée d’un premier terme x_0 dans l’intervalle [0 ; 1] et la récurrence x_(n+1) = 1–a(x_n)² pour tout n ≥ 0, qui apparaissent dans certains problèmes de dynamique des populations.
On montre que pour a ≤ 3/4 la suite converge vers le point fixe de la fonction d’itération dans cet intervalle ; ensuite on montre que pour a > 3/4 la sous-suite des termes d’indice pair et celle des termes d’indice impair convergent vers des limites distinctes. Ce phénomène est d’abord observé numériquement, grâce à un calcul sur ordinateur, puis justifié mathématiquement.
Mots clés : système dynamique, itération, suite récurrente, suite logistique, point fixeOn montre que pour a ≤ 3/4 la suite converge vers le point fixe de la fonction d’itération dans cet intervalle ; ensuite on montre que pour a > 3/4 la sous-suite des termes d’indice pair et celle des termes d’indice impair convergent vers des limites distinctes. Ce phénomène est d’abord observé numériquement, grâce à un calcul sur ordinateur, puis justifié mathématiquement.
Une drôle d'opération - Cité scolaire Émile Zola (Rennes)
Peut-on trouver une "addition" de deux points qui ait des propriétés intéressantes ?
Les tactiques de TIC & TAC - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Il s’agit d’un jeu de course-poursuite de TIC, le chasseur, contre TAC, le chassé. Sur un graphe, TIC se place le premier sur un sommet qu’il choisira puis TAC se place sur un autre sommet qu’il aura convenablement choisi. Ensuite, les déplacements se font à chaque fois d’un sommet à un sommet voisin du graphe le long d’une arête, à tour de rôle et sans possibilité de rester sur place. TIC doit attraper TAC, c’est-à-dire arriver sur le même sommet que TAC.
Le but est de déterminer si un graphe est TIC-gagnant ou TAC-gagnant.
L’article présente des résultats pour plusieurs types de graphes, et pour un large éventail de cas particuliers.
Mots clés : graphe, jeu, analyse de jeu, cycle, arbre, graphe bipartiLe but est de déterminer si un graphe est TIC-gagnant ou TAC-gagnant.
L’article présente des résultats pour plusieurs types de graphes, et pour un large éventail de cas particuliers.
Le roi de la forêt... - Lycée français Pierre Loti (Istanbul)
Article écrit à l'issue du congrès sur la comparaison de différents types d'élections.
Repeated patterns - Colegiul Național Emil Racoviță (Cluj)
We looked at this research topic from different perspectives. We found a formula for calculating the number of triangles in each phase, we studied the number of angles, the total perimeter, and the total surface. We also created a model of a 3D pyramid, and we brought our research topic to “life” by drawing a massive equilateral triangle with chalk in our schoolyard.
Mots clés : motifUn casse-tête - Lycée Alfred Mézière (Longwy)
Article bilan écrit par les élèves
Des carrés et des 4 - Lycée Scheurer-Kestner (Thann)
Ce travail répond à deux questions concernant les carrés des nombres entiers : “Quel est le nombre maximum de 4 à la fin d'un carré parfait ? Quel est le nombre maximum de 4 au début d'un carré parfait ?”. On détermine les entiers dont le carré s’écrit avec à la fin un, deux, ou trois 4 et on montre qu’il ne peut pas y en avoir quatre. Par contre il est montré avec des exemples explicites qu’il peut y en avoir autant que l’on veut au début.
Mots clés : arithmétique, carré parfait, écriture décimaleHaute-couture mathématique - Lycée Koeberlé (Sélestat)
Optimisation du positionnement de deux disques dans un rectangle et d'un triangle dans un triangle pour minimiser les pertes de tissus dans un problème de couture.
Mots clés : géométrie du planLes circuits électriques - Lycée Jean Lurçat (Bruyères)
Cet article est le fruit du travail des trois élèves de 1ère générale spécialité mathématique au lycée Claude Gellée d'Epinal, il fait suite à l'exposé oral au congrès à Esch Sur Alvette.
Mots clés : résistanceLes jetons sauteurs - Lycée Georges Imbert (Sarre-Union)
Le sujet des jetons sauteurs se déroule en deux parties : la première partie comporte les règles du jeu, la solution trouvée « au hasard » puis la démonstration avant de conclure ; dans la seconde partie, certaines possibilités supplémentaires avec plusieurs solutions sont évoquées afin de conclure l’entièreté du projet.
Scaffolding - Colegiul National Emil Racovita (Cluj)
Our topic is named scaffolding. Scaffolding, also called scaffold or staging, is a temporary structure used to support a work crew and materials to aid the construction, to maintain, and repair buildings, bridges, and all other human-made structures. We have to study a 2D structure in a grid of size m*n, composed of rhombuses made of merged bars that may be distorted. We aimed to strengthen the rhombuses by adding the minimum number of diagonal bars to form a stable structure.
Mots clés : structurePing game - Lycée Val de Durance (Pertuis) Colegiul National Emil Racovita (Cluj)
We use a row of counters, white on one side and black on the other.
Starting with a number of n white counters which all need to be turned to black according to the following rule: When we indicate a counter, the counters either side are turned to black. How should we proceed?
We have developed a formula that determines the number of moves required in a ping game. Additionally, we have devised a strategy to solve the game irrespective of the initial number of coins flipped to black. Moreover, we’ve explored similar concepts as those applicable to a single row of coins, but extended to two rows.
Mots clés : stratégie de jeuStarting with a number of n white counters which all need to be turned to black according to the following rule: When we indicate a counter, the counters either side are turned to black. How should we proceed?
We have developed a formula that determines the number of moves required in a ping game. Additionally, we have devised a strategy to solve the game irrespective of the initial number of coins flipped to black. Moreover, we’ve explored similar concepts as those applicable to a single row of coins, but extended to two rows.
Dénombrer - Lycées d'Estienne d'Orves (Carquefou) et Grand-Air (La Baule)
On s’intéresse à un problème de biologie. Des polymères sont constitués de chaînes d’atomes pouvant aller vers le haut, vers le bas ou à droite, elles ne peuvent en aucun cas aller vers la gauche ou retourner sur leurs pas. Combien de chaînes à 1000 atomes existent ? Le problème est modélisé par un graphe et par des équations de récurrence qui amènent à une première solution formelle en termes de matrices, ainsi qu’à un programme de résolution Python. Ensuite, on montre que l’on peut se ramener à une unique suite récurrente d’ordre 2, et on obtient un programme plus simple et finalement une solution explicite.
Mots clés : dénombrement, matrice d'adjacence, récurrence, système linéaireCompter sans compter - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Les biologistes des poissons recherchent une méthode pour estimer le nombre de poissons (d'une certaine espèce) présents dans un lac.
Ils ont prévu de le faire en attrapant et en marquant les poissons puis ils les relâchent dans le lac. Lendemain, ils attrapent des poissons et comptent ceux qui sont marqués.
Qu’en pensez-vous ?
Mots clés : estimation, proportionnalité, tableur, fonction affineIls ont prévu de le faire en attrapant et en marquant les poissons puis ils les relâchent dans le lac. Lendemain, ils attrapent des poissons et comptent ceux qui sont marqués.
Qu’en pensez-vous ?
Tour de magie - Lycée du Pays d'Aunis (Surgères)
Mon partenaire fait piocher 5 cartes par le public, d’un jeu de 52 cartes, qu’il pose ensuite sur une table. Il en place 4 faces visibles et 1 face cachée.
Problématique : Par quel stratagème puis-je trouver la carte cachée a chaque fois ?
Problématique : Par quel stratagème puis-je trouver la carte cachée a chaque fois ?
Un camion à ressorts - Lycée du Pays d'Aunis (Surgères)
Tout d’abord il faut visualiser un camion, il pèse 3 tonnes. On y ajoute 15 blocs de 1 tonne. Le camion va donc peser 18 tonnes.
Ce camion est doté d’un mécanisme : il peut envoyer un bloc dans les airs pendant 2 secondes.
Á l’origine : 1 sec → bloc : 1 tonne. Avant s’envoler : 1 sec → bloc : 2 tonnes. Pendant qu’il est en l’air : 2 sec → bloc : 0 tonne. Après l’envol (atterrissage) : 1 sec → bloc : 2 tonnes.
Le camion va devoir passer sur un pont où le poids maximum est de 17 tonnes, pendant 6 secondes.
Comment faire pour traverser ce pont ?
Ce camion est doté d’un mécanisme : il peut envoyer un bloc dans les airs pendant 2 secondes.
Á l’origine : 1 sec → bloc : 1 tonne. Avant s’envoler : 1 sec → bloc : 2 tonnes. Pendant qu’il est en l’air : 2 sec → bloc : 0 tonne. Après l’envol (atterrissage) : 1 sec → bloc : 2 tonnes.
Le camion va devoir passer sur un pont où le poids maximum est de 17 tonnes, pendant 6 secondes.
Comment faire pour traverser ce pont ?
Motifs labyrinthiques - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Notre but est de pouvoir prévoir la forme d’une bande de papier après l’avoir pliée plusieurs fois par la moitié. Lors du dépliage de nos bandes de papier, il faut que les angles des plis mesurent 90°. Le sujet se nomme “ motif labyrinthiques “ car la forme finale ressemble à celle d’un labyrinthe.
Mots clés : motif, suite, programmationDes horloges plus ou moins étranges ! - Lycée Lavoisier (Mayenne)
Article détaillant les recherche de l'année sur le sujet de la superposition des aiguilles d'une horloge
Polygonalisation d’aires optimales - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Au début de l’année scolaire, nous avons reçu un objectif plutôt vague : trouver un moyen de déterminer de manière systématique les polygones avec les aires maximale et minimale d’un ensemble S de points dans un plan.
Nous avons entrepris diverses recherches pour définir le mot « polygone » (sans et avec trous) et trouver comment déterminer l’aire d’un polygone dans chacun des cas.
Nous avons entrepris diverses recherches pour définir le mot « polygone » (sans et avec trous) et trouver comment déterminer l’aire d’un polygone dans chacun des cas.
Le jeu du gendarme et du voleur - Lycée Raynouard (Brignoles)
Nous allons chercher s’il est possible de trouver une stratégie gagnante pour le jeu Scotland Yard si on joue les gendarmes : le jeu se déroule sur un maillage et l’objectif des gendarmes est d’attraper le voleur. Chacun se déplace à son tour de jeu.
Mots clés : jeuMarche aléatoire - Lycée Raynouard (Brignoles)
L’article s’intéresse à une marche aléatoire sur un quadrillage avec coloriage des cases visitées et retour au point de départ lorsqu’on tombe sur une case vierge (qu’on aura alors coloriée). L’auteur regarde alors la probabilité de colorier les quatre cases adjacentes de la case de départ en exactement quatre étapes (une étape consistant au déroulé de la marche aléatoire entre deux retours à la case de départ suite à la coloration d’une nouvelle case) et démontre qu’elle est d’environ 14 %.
Mots clés : marche aléatoire, probabilitéRépartition de chaleur - Lycée Raynouard (Brignoles)
Les pièces d’une maison sont représentées par des cases d’un quadrillage et à chaque pas de temps la température d’une pièce intérieures s’obtient en calculant la moyenne des températures des 4 cases voisines. On étudie l’évolution de la température d’une maison à une puis à deux pièces en fonction destempératures extérieures, qui restent fixées.
Mots clés : système dynamique discret, diffusion, suite récurrenteLiaison satellite - Lycée Raynouard (Brignoles)
Une chaîne de télévision souhaite faire passer leurs signaux par satellite pour que ses programmes TV puissent être renvoyés sur les télévisions des spectateurs.
Ces signaux sont émis par la Terre pour être envoyés vers ces satellites.
Les antennes d'émission et de réception sont placées les une en face des autres, deux à deux, pour faire circuler ces signaux.
Dans certains cas, des pannes se produisent sur les antennes qui émettent et reçoivent les signaux.
Pour contrer ça, des commutateurs peuvent être placés afin que les signaux envoyés par la Terre puissent être reliés à plusieurs antennes à la fois. Un commutateur peut être relié au maximum avec 4 antennes ou commutateurs grâce à des pattes qui vont permettre de faire circuler les signaux.
Le problème est le suivant : ces commutateurs ont un coût plutôt élevé et le but est donc d’en mettre le minimum en fonction du nombre de pannes estimées.
Ces signaux sont émis par la Terre pour être envoyés vers ces satellites.
Les antennes d'émission et de réception sont placées les une en face des autres, deux à deux, pour faire circuler ces signaux.
Dans certains cas, des pannes se produisent sur les antennes qui émettent et reçoivent les signaux.
Pour contrer ça, des commutateurs peuvent être placés afin que les signaux envoyés par la Terre puissent être reliés à plusieurs antennes à la fois. Un commutateur peut être relié au maximum avec 4 antennes ou commutateurs grâce à des pattes qui vont permettre de faire circuler les signaux.
Le problème est le suivant : ces commutateurs ont un coût plutôt élevé et le but est donc d’en mettre le minimum en fonction du nombre de pannes estimées.
Paradoxe d'anniversaires - Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld)
Étude des dates d'anniversaires des élèves du collège de La Rochefoucauld.
1er cas : par classe, 16 classes dans le collège. 2eme cas : par niveau, 4 niveaux.
1er cas : par classe, 16 classes dans le collège. 2eme cas : par niveau, 4 niveaux.
Boîte de conserve - Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld)
Il s'agit de construire une boîte de conserve de 850 ml avec un minimum de métal
Construction d'un tableau automatisé sur tableur permettant de calculer la surface latérale la plus précise et plus petite possible.
Le rayon 5,1 cm et une hauteur de 10,4 cm se sont imposés.
Construction d'un tableau automatisé sur tableur permettant de calculer la surface latérale la plus précise et plus petite possible.
Le rayon 5,1 cm et une hauteur de 10,4 cm se sont imposés.
Maths for the best match - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
We want to choose the best score from a series of n scores that we receive successively at random. The proposed strategy consists in setting an integer k<n, discarding the first k draws, then choosing the first one whose score is higher than those of the irst k. The aim is to estimate the probability of success and to determine the value of k that gives the largest one.
[On veut choisir le meilleur parmi une série de n scores que l’on reçoit successivement, au hasard. La stratégie proposée consiste à fixer un entier k<n, écarter les k premiers tirages, puis choisir le premier dont le score est supérieur à ceux des k premiers. Il s’agit d’estimer la probabilité de succès et de déterminer la valeur de k qui en donne la plus grande.]
Mots clés : probabilité, optimisation, série harmonique[On veut choisir le meilleur parmi une série de n scores que l’on reçoit successivement, au hasard. La stratégie proposée consiste à fixer un entier k<n, écarter les k premiers tirages, puis choisir le premier dont le score est supérieur à ceux des k premiers. Il s’agit d’estimer la probabilité de succès et de déterminer la valeur de k qui en donne la plus grande.]
Game of life on Various Tilings - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
This article explores variants of John Horton Conway's Game of Life on hexagonal and triangular tilings, looking for stable, periodic or gliding configurations. Two one-dimensional variants are also studied, the latter leading to a construction of the Sierpiński triangle.
[On explore les variantes du jeu de la vie de John Horton Conway sur des pavages hexagonaux et triangulaires, en recherchant des configurations stables, périodiques ou glissantes. Deux variantes unidimensionnelles sont également étudiées, la dernière conduisant à une construction du triangle de Sierpiński.]
Mots clés : automate cellulaire, jeu de la vie, Conway, pavage régulier, tapis de Sierpinski[On explore les variantes du jeu de la vie de John Horton Conway sur des pavages hexagonaux et triangulaires, en recherchant des configurations stables, périodiques ou glissantes. Deux variantes unidimensionnelles sont également étudiées, la dernière conduisant à une construction du triangle de Sierpiński.]
Are all infinities the same? - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Infinity is a crucial concept in mathematics. Although abstract, we encounter it from the moment we begin learning about natural numbers, given their endlessness. Despite infinity seeming like the ultimate descriptor, are all infinities equal in magnitude? Can we identify different types of infinities? To explore these questions, we will compare the sizes of various infinite sets, including natural numbers, rational numbers, intervals of real numbers, and even the entire set of real numbers.
Mots clés : cardinalCoin Problem - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Problems of calculating different sums of money can often occur in real life. Although the number of coins used may differ, this research topic offers a fascinating glimpse into the intricacies of a unique currency system. In this paper we are presenting multiple methods of computing the possible sums of money an individual can pay according to the coins we have. We considered a limited number of coins (2 or 3) and even with this reduced number, it can be observed that there could be obtained almost all the sums, when the values of the coins are chosen properly, depending on the value of their greatest common divisor. We also present different possibilities of giving change back as well as give a programming solution to the problem.
Mots clés : arithmétique, division euclidienne, nombres premiers entre eux, théorème de BézoutLa bibliothèque de Babel - Lycée Français François Mitterrand de Brasilia
Article présentant la réponse élaborée par les élèves au problème posé par la nouvelle de Jorge Borges.
Jouons avec les polyominos - Collège Notre Dame du Rocher (Chambéry)
Par quelles méthodes peut-on déterminer les différents agencements de pentaminos ?
Un voyage infini ! - Lycées français Notre Dame de Sion et Pierre Loti (Istanbul)
Article sur le train infini, rédigé à l'issue du congrès de Potsdam
Plus court chemin sur une sphère - Association Science Ouverte (Bobigny)
On montre que le plus court chemin sur une sphère qui relie deux points A et B est le plus petit des deux arcs de cercles dessinés sur la sphère, joignant A et B.
Mots clés : géométrie sphérique, inégalité triangulaireConduite économe - Faculté des Sciences d'Orsay
Modélisation d'un problème : optimiser, par un profil de vitesse adapté, la consommation d'énergie d'un véhicule qui traverse une rue interrompue par des feux. Calcul de l'espérance de l'optimum lorsque le temps d'entrée du véhicule est uniformément réparti dans une période des feux.
Résultat exposé en congrès mais ne figurant pas dans le compte-rendu : jusqu'à 3 feux, il existe toujours un temps d'arrivée qui permet de passer les feux sans ralentir.
Mots clés : modélisationRésultat exposé en congrès mais ne figurant pas dans le compte-rendu : jusqu'à 3 feux, il existe toujours un temps d'arrivée qui permet de passer les feux sans ralentir.
L'élastique - Groupe scolaire Jean de la Fontaine (Fès)
Un élastique est fixé par un bout à un mur et par l’autre l’autre à un disque tournant enduit de colle. Quand le disque tourne, la partie de l’élastique qui entre en contact avec le disque est collée et ne se déforme plus tandis que la partie de l’élastique entre le mur et la zone de contact avec le disque s’étire. Il s’agit de déterminer le rayon du disque sachant que la longueur initiale de l’élastique est de 1m et que quand le disque a fait un tour complet sur lui-même, 90% de sa longueur initiale a été collée.
En remplaçant le disque par un polygone régulier à n côtés, on calcule la proportion de longueur initiale collée en fonction de la longueur d’un côté, en s ‘aidant d’un programme Scratch. On en déduit par tâtonnements la longueur du côté telle que 90 % de la longueur de l’élastique soit collée.
Mots clés : cercle, polygone régulier, discrétisation, ScratchEn remplaçant le disque par un polygone régulier à n côtés, on calcule la proportion de longueur initiale collée en fonction de la longueur d’un côté, en s ‘aidant d’un programme Scratch. On en déduit par tâtonnements la longueur du côté telle que 90 % de la longueur de l’élastique soit collée.
Pont de kapla - Lycée Baudelaire (Annecy) Lycée de l'Albanais (Rumilly)
Dans l'article, on considère un escalier de Kapla, composé d’un kapla par étage, tous exactement identiques et placés dans un espace idéalisé. On détermine une distance maximale qu’il est possible d’atteindre en optimisant au maximum notre structure.
Mots clés : Kapla, suite numériqueQuoridor - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Le Quoridor est un jeu de stratégie combinatoire abstrait de 2 à 4 joueurs, dont le but est de traverser un plateau tout en empêchant l’adversaire de le faire. Les auteurs proposent et étudient différentes stratégies gagnantes ou non sur différents plateaux simplifiés, et proposent une implémentation en Python du jeu qui leur permettra, par la suite, de tester algorithmiquement les stratégies proposées.
Mots clés : théorie des jeux, stratégie, algorithmique, modélisation, mathématiques discrètesQuantik - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Cet article présente les recherches d’une stratégie gagnante au jeu de société quantik. Une première méthode qui donne le joueur 2 vainqueur semble prometteuse mais grâce à un programme, on exhibe une partie qui la met en défaut. Cependant, en changeant de méthode au moment critique, le joueur 2 parvient à gagner cette partie. Il est donc conjecturer que le joueur 2 peut toujours gagner sans d’autres éléments de preuve.
Mots clés : jeu, stratégie gagnante, raisonnement logique, algorithmeAnalysis on the Manhattan geometry - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Dans une ville les rues sont perpendiculaires les unes aux autres, formant une grille. L’article étudie plusieurs problèmes associés à une telle grille.
- Dans le premier chapitre, lorsque tous les segments de la grille sont de longueur uniforme, on compte les chemins d’une intersection à une autre, en ajoutant éventuellement des conditions telles que passer ou non par un point. Lorsque les segments ont des longueurs différentes, le problème devient de trouver le chemin le plus court et on utilise pour cela l’algorithme de Dijkstra.
- Dans le deuxième chapitre, on modélise la grille comme un espace métrique en utilisant la “distance de Manhattan”, en considérant seulement les intersections. On étudie dans ce cadre les droites et les coniques, puis diverses applications à des problèmes inspirés par la planification urbaine.
- Dans le dernier chapitre, on aborde le cas où les rues sont aussi prises en compte.
Mots clés : géométrie, géométrie non euclidienne, dénombrement, chemin le plus court, algorithme de Dikjstra, médiatrice, conique, diagramme de Voronoï, recouvrement- Dans le premier chapitre, lorsque tous les segments de la grille sont de longueur uniforme, on compte les chemins d’une intersection à une autre, en ajoutant éventuellement des conditions telles que passer ou non par un point. Lorsque les segments ont des longueurs différentes, le problème devient de trouver le chemin le plus court et on utilise pour cela l’algorithme de Dijkstra.
- Dans le deuxième chapitre, on modélise la grille comme un espace métrique en utilisant la “distance de Manhattan”, en considérant seulement les intersections. On étudie dans ce cadre les droites et les coniques, puis diverses applications à des problèmes inspirés par la planification urbaine.
- Dans le dernier chapitre, on aborde le cas où les rues sont aussi prises en compte.
Bazar, bizarre... Vous avez dit bizarre ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Etude du mode de construction des cartes du jeu " bazar bizarre" :
- observations
- premières propriétés
- étude exhaustive des cartes possibles
Mots clés : combinatoire, jeu combinatoire- observations
- premières propriétés
- étude exhaustive des cartes possibles
C'est quoi l'arnaque ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Un magicien propose un pari avec des cartes rouges et noires. La règle du jeu est simple : le spectateur choisit une combinaison de couleurs pour trois cartes, puis le magicien choisit à son tour une combinaison. Ensuite, on tire des cartes, successivement. Dès qu’apparaît une suite de trois cartes correspondant à la combinaison choisie par l’un des deux joueurs, celui-ci gagne la partie. Par exemple, le spectateur choisit la combinaison rouge-noir-rouge et le magicien choisit la combinaison rouge-rouge-noir. Lon tire les cartes : rouge, noir, noir, rouge, rouge, noir. C’est donc le magicien qui remporte la partie.
Dans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Mots clés : probabilité, arbre de possibilités, série géométrique, PythonDans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Procédé de Kaprekar - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes)
We take an integer (with 2 digits for the explanations);
• We put their digits in a descending order: it give us N1 = ba (such as b ≥ a);
• Then we put the same digits in an ascending order: we get N2 =ab (such as a ≤ b);
• After we subtract N1 by N2, it give us the difference D such as D = N1 – N2 = ba – ab.
And we do the algorithm again with the difference D until we find a loop or an end. We can complete the number with 0 at the left in order to always start with an integer with the same number of digits (2 in this example).
• We put their digits in a descending order: it give us N1 = ba (such as b ≥ a);
• Then we put the same digits in an ascending order: we get N2 =ab (such as a ≤ b);
• After we subtract N1 by N2, it give us the difference D such as D = N1 – N2 = ba – ab.
And we do the algorithm again with the difference D until we find a loop or an end. We can complete the number with 0 at the left in order to always start with an integer with the same number of digits (2 in this example).
Aire finie, périmètre infini - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes) (article en anglais : Infinite perimeter)
The authors study in that article the Kloch Flake; they prove, using the construction of the flake, that it is of infinite perimeter and finite area.
Mots clés : géométrie, fractal·e, suite géométriqueProbabilité d'être ruiné lors d'un Pile - Face - Lycée Jacques Amyot (Melun)
On réalise un jeu de hasard en lançant une pièce équilibrée. On gagne 2€ si on obtient PILE et on perd 1€ si on obtient FACE. L’article établit la probabilité d’être ruiné, en fonction de n, le nombre d’euros dont on dispose initialement. Cette probabilité dépend également du nombre de parties (lancers) effectuées. Après quelques expérimentations, manuelles puis informatiques, une relation de récurrence est établie sur la probabilité de perdre, ayant n euros en main, en fonction de celle de perdre avec n+2 euros et celle de perdre avec n-1 euros. La suite qui en découle est étudiée et son terme générique est calculé via l’étude de l’équation caractéristique et ses racines. Le résultat fait apparaître le nombre d’or φ : la probabilité de perdre, en débutant avec n euros, est (1/ φ)n.
Mots clés : calcul de probabilité, suite géométrique, limite, Python, polynôme, chaîne de MarkovEvolution of parasites - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This article studies how the populations P of a certain type of parasite and H of their hosts evolve in continuous or discrete time. Parasites deposit eggs on their hosts and, when the eggs hatch, the host dies. At each stage (unit of time), the number of eggs deposited depends on the probability that a parasite and a host will meet. It is assumed that this probability is proportional to the product H×P of the populations. So, in the case of discrete time, the dynamics is given by a system of recurrence equations, allowing us to calculate approximate solutions. In continuous time, this corresponds to a non-linear system of differential equations, and it is shown that the trajectory is determined explicitly by an equation linking P and H, depending on the initial data.
In our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Mots clés : système dynamique, dynamique des populations, évolution, état stationnaire, trajectoireIn our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Inflated sets - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Une figure convexe du plan étant donnée, une figure « gonflée » (« inflated set » dans le texte) vérifie la propriété suivante : lorsqu’on lui adjoint un point extérieur, puis que l’on considère l’enveloppe convexe du tout, on obtient une sur-figure dont le diamètre est strictement supérieur à celui de la figure initiale. Le travail présente la notion de figure gonflée et étudie les « gonflages » possibles (c’est-à-dire les figures gonflées à partir de celle-ci) pour quelques formes élémentaires : le triangle, le carré, le rectangle. Quelques considérations générales sont également apportées, dont le résultat final : si A et B sont deux gonflages différents d’une même figure de départ et que A est contenu dans B, alors A=B.
Mots clés : convexe, diamètre, cercle, distance, ReuleauxTurning over coins - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This topic is about sorting a stack of coins. First of all, we present the topic statement. Then, we show the steps in our approach and our findings. In the end, we link the programs we created based on the algorithm we discovered, as well as a web application.
Mots clés : combinatoire discrète, comptageTraffic jams - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Our goal is to study the traffic flow and find out a general formula that expresses in how many steps the traffic will become fluid. We consider a traffic fluid when every single car can move forward.
Traffic jams are a real problem in today’s world. Not only because of the time lost by every single person in a traffic jam but because every car is polluting the atmosphere. We approached this problem differently and we tried to use an algorithmic approach. This approach will produce a result based on the number of cars in each case. We started from more particular cases and, finally, by using mathematical induction, we believe we reached some formulas.
Mots clés : comptage, récurrenceTraffic jams are a real problem in today’s world. Not only because of the time lost by every single person in a traffic jam but because every car is polluting the atmosphere. We approached this problem differently and we tried to use an algorithmic approach. This approach will produce a result based on the number of cars in each case. We started from more particular cases and, finally, by using mathematical induction, we believe we reached some formulas.
The machine to play the sticks game - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This topic consists of studying a "machine" made of a cup and legos. It will play against a human. According to its victories and defeats, it will learn and after a few games, it will be able to beat any person.
Our research focuses on determining how many games it takes for the machine to always win. After completing the task, we programmed a new machine for altered game parameters, such as the number of initial sticks, while also analyzing the outcomes.
Mots clés : simulation, probabilité, théorie des jeuxOur research focuses on determining how many games it takes for the machine to always win. After completing the task, we programmed a new machine for altered game parameters, such as the number of initial sticks, while also analyzing the outcomes.
Jeu de société 2 - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Le problème traité concerne la recherche du nombre minimum de sommets d’une grille carrée à nxn points pour lequel tout sommet de la grille est sur au moins une droite passant par deux des sommets choisis, ainsi que la disposition des sommets ainsi choisis.
L’article détermine les valeurs exactes de ce nombre minimum pour des grilles de 2, 3 et 4 sommets, ainsi qu’un encadrement dans le cas général. Le minorant est de l’ordre de grandeur de la racine carrée de n et le majorant d’un peu moins de 2n.
L’article suggère finalement un moyen d’améliorer la borne supérieure en environ n, sans toutefois le prouver.
Mots clés : combinatoire, optimisation discrète, encadrementL’article détermine les valeurs exactes de ce nombre minimum pour des grilles de 2, 3 et 4 sommets, ainsi qu’un encadrement dans le cas général. Le minorant est de l’ordre de grandeur de la racine carrée de n et le majorant d’un peu moins de 2n.
L’article suggère finalement un moyen d’améliorer la borne supérieure en environ n, sans toutefois le prouver.
Footing - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Cet article étudie l’évolution dans le temps de la répartition de plusieurs coureurs effectuant des tours de stade. Il vise à montrer que la position relative des coureurs tend à se stabiliser dans le temps, partageant le disque en autant de parts égales qu’il y a de coureurs autour du stade.
Mots clés : cercle, répartition, angle, suite, matrice, valeur propreÉvolution d'une population animale - Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès) - 2022-2023
Dans cet article, on étudie l’évolution d’une population animale où à chaque pas de temps chaque couple d’adultes a un couple d’enfants et chaque couple d’enfants devient un couple d’adultes. On commence par le cas le plus simple où il n’y a que ces deux classes d’âges. Ensuite on sépare les adultes en deux classes d’âges et on introduit un coefficient de mortalité pour la dernière. On montre que ces systèmes sont régis par des systèmes de récurrence linéaires, ou des récurrences linéaires d’ordre 2 ou 3. Cela permet de calculer le nombre de couples à tout instant selon les données initiales. Enfin, une généralisation est donnée pour un nombre quelconque de classes d’âges avec une interprétation matricielle.
Mots clés : dynamique des populations, récurrence, suite récurrente, système linéaire, matriceGenerating an octagon - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
The problem studied in this article is the computation of the area of an octagon inside a square or parallelogram, constructed in its basic version as follows: the sides of the octagon are the 8 lines which join the corners of the quadrilateral with the middle of the (two) opposite sides. In this basic version, the area is shown to be one sixth of the area of the quadrilateral. A more advanced version is also worked out where the corners are joined to the near-quarter or some other ratio 1/n of the opposite sides. In this case they show that the area of the octagonal is (n-1)^2/n(n+1) the area of the quadrilateral. The regularity of the octagon is also studied. The proofs use only very classical theorems of geometry, such as the theorems of Thalès, Pythagoras, the sine rule and the theorem of similarity.
Mots clés : géométrie, construction géométriqueNombres fusibles - Collège Germaine Tillion (Marseille)
Nombres fusibles. Voici la règle du jeu : on dispose de bougies à 2 mèches (une de chaque côté), autant que l’on veut. Lorsque
l’on allume une mèches la bougie se consume entièrement en 1 heure. Si on allume les deux mèches d’une même bougie en même
temps, celle-ci se consume donc entièrement en 1/2-heure. Au départ toutes les bougies sont éteintes et on a le droit d’allumer
autant de mèches que l’on veut au temps 0. On peut ensuite allumer autant de mèches que l’on veut à chaque fois qu’une (ou
plusieurs bougies) s'éteint parce que entièrement consumée. Questions : peut-on mesurer ainsi 2h (facile) ? 3/4-d’heure (oui mais
moins facile) ? 1/4-d’heure (non mais pourquoi) ? Quelles sont les temps que l’on peut mesurer (on les appelle les temps fusibles) ?
Et ceux que l’on ne peut pas ? Quel est le plus petit temps fusible après 3/4-d’heure ? Et après 1h ? Et après 2h ? .
Mots clés : fraction, puissance de 2, fonction, récurrencel’on allume une mèches la bougie se consume entièrement en 1 heure. Si on allume les deux mèches d’une même bougie en même
temps, celle-ci se consume donc entièrement en 1/2-heure. Au départ toutes les bougies sont éteintes et on a le droit d’allumer
autant de mèches que l’on veut au temps 0. On peut ensuite allumer autant de mèches que l’on veut à chaque fois qu’une (ou
plusieurs bougies) s'éteint parce que entièrement consumée. Questions : peut-on mesurer ainsi 2h (facile) ? 3/4-d’heure (oui mais
moins facile) ? 1/4-d’heure (non mais pourquoi) ? Quelles sont les temps que l’on peut mesurer (on les appelle les temps fusibles) ?
Et ceux que l’on ne peut pas ? Quel est le plus petit temps fusible après 3/4-d’heure ? Et après 1h ? Et après 2h ? .
Têtes chercheuses - Collège Alexandre Fleming (Orsay) Collège Alain Fournier (Orsay)
Montante-Descendante - Collège Alexandre Fleming (Orsay) Collège Alain Fournier (Orsay)