Travaux d'élèves récents
Nous publions directement ici les travaux d'élèves de l'année, non nécessairement aboutis, articles, narrations de recherche, diaporamas,…, en attendant relecture et validation par le comité d'édition.
Pour les posters, voir la page dédiée.
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Analysis on the Manhattan geometry - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Bazar, bizarre... Vous avez dit bizarre ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Etude du mode de construction des cartes du jeu " bazar bizarre" :
- observations
- premières propriétés
- étude exhaustive des cartes possibles
Mots clés : combinatoire, jeu combinatoire- observations
- premières propriétés
- étude exhaustive des cartes possibles
C'est quoi l'arnaque ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Un magicien propose un pari avec des cartes rouges et noires. La règle du jeu est simple : le spectateur choisit une combinaison de couleurs pour trois cartes, puis le magicien choisit à son tour une combinaison. Ensuite, on tire des cartes, successivement. Dès qu’apparaît une suite de trois cartes correspondant à la combinaison choisie par l’un des deux joueurs, celui-ci gagne la partie. Par exemple, le spectateur choisit la combinaison rouge-noir-rouge et le magicien choisit la combinaison rouge-rouge-noir. Lon tire les cartes : rouge, noir, noir, rouge, rouge, noir. C’est donc le magicien qui remporte la partie.
Dans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Mots clés : probabilité, arbre de possibilités, série géométrique, PythonDans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Procédé de Kaprekar - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes)
We take an integer (with 2 digits for the explanations);
• We put their digits in a descending order: it give us N1 = ba (such as b ≥ a);
• Then we put the same digits in an ascending order: we get N2 =ab (such as a ≤ b);
• After we subtract N1 by N2, it give us the difference D such as D = N1 – N2 = ba – ab.
And we do the algorithm again with the difference D until we find a loop or an end. We can complete the number with 0 at the left in order to always start with an integer with the same number of digits (2 in this example).
• We put their digits in a descending order: it give us N1 = ba (such as b ≥ a);
• Then we put the same digits in an ascending order: we get N2 =ab (such as a ≤ b);
• After we subtract N1 by N2, it give us the difference D such as D = N1 – N2 = ba – ab.
And we do the algorithm again with the difference D until we find a loop or an end. We can complete the number with 0 at the left in order to always start with an integer with the same number of digits (2 in this example).
Aire finie, périmètre infini - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes) (article en anglais : Infinite perimeter)
The authors study in that article the Kloch Flake; they prove, using the construction of the flake, that it is of infinite perimeter and finite area.
Mots clés : géométrie, fractal·e, suite géométriqueProbabilité d'être ruiné lors d'un Pile - Face - Lycée Jacques Amyot (Melun)
On réalise un jeu de hasard en lançant une pièce équilibrée. On gagne 2€ si on obtient PILE et on perd 1€ si on obtient FACE. L’article établit la probabilité d’être ruiné, en fonction de n, le nombre d’euros dont on dispose initialement. Cette probabilité dépend également du nombre de parties (lancers) effectuées. Après quelques expérimentations, manuelles puis informatiques, une relation de récurrence est établie sur la probabilité de perdre, ayant n euros en main, en fonction de celle de perdre avec n+2 euros et celle de perdre avec n-1 euros. La suite qui en découle est étudiée et son terme générique est calculé via l’étude de l’équation caractéristique et ses racines. Le résultat fait apparaître le nombre d’or φ : la probabilité de perdre, en débutant avec n euros, est (1/ φ)n.
Mots clés : calcul de probabilité, suite géométrique, limite, Python, polynôme, chaîne de MarkovEvolution of parasites - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This article studies how the populations P of a certain type of parasite and H of their hosts evolve in continuous or discrete time. Parasites deposit eggs on their hosts and, when the eggs hatch, the host dies. At each stage (unit of time), the number of eggs deposited depends on the probability that a parasite and a host will meet. It is assumed that this probability is proportional to the product H×P of the populations. So, in the case of discrete time, the dynamics is given by a system of recurrence equations, allowing us to calculate approximate solutions. In continuous time, this corresponds to a non-linear system of differential equations, and it is shown that the trajectory is determined explicitly by an equation linking P and H, depending on the initial data.
In our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Mots clés : système dynamique, dynamique des populations, évolution, état stationnaire, trajectoireIn our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Inflated sets - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Une figure convexe du plan étant donnée, une figure « gonflée » (« inflated set » dans le texte) vérifie la propriété suivante : lorsqu’on lui adjoint un point extérieur, puis que l’on considère l’enveloppe convexe du tout, on obtient une sur-figure dont le diamètre est strictement supérieur à celui de la figure initiale. Le travail présente la notion de figure gonflée et étudie les « gonflages » possibles (c’est-à-dire les figures gonflées à partir de celle-ci) pour quelques formes élémentaires : le triangle, le carré, le rectangle. Quelques considérations générales sont également apportées, dont le résultat final : si A et B sont deux gonflages différents d’une même figure de départ et que A est contenu dans B, alors A=B.
Mots clés : convexe, diamètre, cercle, distance, ReuleauxTurning over coins - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
L'article « Turning Over Coins » explore un problème mathématique consistant à retourner une pile de pièces pour que toutes montrent la même face. L'équipe a utilisé des pièces en plastique et en mousse pour visualiser le problème et a calculé les combinaisons possibles à l'aide du « théorème binomial ». Ils ont développé un algorithme pour optimiser le nombre de retournements nécessaires, basé sur les alternances entre les faces des pièces. Le nombre moyen de retournements a été estimé à n/2 , avec n le nombre de pièces. Une variante impose de retourner au moins deux pièces à chaque mouvement, ce qui complique la solution. L'équipe a aussi créé des programmes en C++ et Python, ainsi qu'une application web pour visualiser les solutions.
Mots clés : combinatoire discrète, comptage, algorithme, tri, coefficient binomialTraffic jams - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Our goal is to study the traffic flow and find out a general formula that expresses in how many steps the traffic will become fluid. We consider a traffic fluid when every single car can move forward.
Traffic jams are a real problem in today’s world. Not only because of the time lost by every single person in a traffic jam but because every car is polluting the atmosphere. We approached this problem differently and we tried to use an algorithmic approach. This approach will produce a result based on the number of cars in each case. We started from more particular cases and, finally, by using mathematical induction, we believe we reached some formulas.
Mots clés : comptage, récurrenceTraffic jams are a real problem in today’s world. Not only because of the time lost by every single person in a traffic jam but because every car is polluting the atmosphere. We approached this problem differently and we tried to use an algorithmic approach. This approach will produce a result based on the number of cars in each case. We started from more particular cases and, finally, by using mathematical induction, we believe we reached some formulas.
Jeu de société 2 - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Le problème traité concerne la recherche du nombre minimum de sommets d’une grille carrée à nxn points pour lequel tout sommet de la grille est sur au moins une droite passant par deux des sommets choisis, ainsi que la disposition des sommets ainsi choisis.
L’article détermine les valeurs exactes de ce nombre minimum pour des grilles de 2, 3 et 4 sommets, ainsi qu’un encadrement dans le cas général. Le minorant est de l’ordre de grandeur de la racine carrée de n et le majorant d’un peu moins de 2n.
L’article suggère finalement un moyen d’améliorer la borne supérieure en environ n, sans toutefois le prouver.
Mots clés : combinatoire, optimisation discrète, encadrementL’article détermine les valeurs exactes de ce nombre minimum pour des grilles de 2, 3 et 4 sommets, ainsi qu’un encadrement dans le cas général. Le minorant est de l’ordre de grandeur de la racine carrée de n et le majorant d’un peu moins de 2n.
L’article suggère finalement un moyen d’améliorer la borne supérieure en environ n, sans toutefois le prouver.
Footing - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Cet article étudie l’évolution dans le temps de la répartition de plusieurs coureurs effectuant des tours de stade. Il vise à montrer que la position relative des coureurs tend à se stabiliser dans le temps, partageant le disque en autant de parts égales qu’il y a de coureurs autour du stade.
Mots clés : cercle, répartition, angle, suite, matrice, valeur propreÉvolution d'une population animale - Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès) - 2022-2023
Dans cet article, on étudie l’évolution d’une population animale où à chaque pas de temps chaque couple d’adultes a un couple d’enfants et chaque couple d’enfants devient un couple d’adultes. On commence par le cas le plus simple où il n’y a que ces deux classes d’âges. Ensuite on sépare les adultes en deux classes d’âges et on introduit un coefficient de mortalité pour la dernière. On montre que ces systèmes sont régis par des systèmes de récurrence linéaires, ou des récurrences linéaires d’ordre 2 ou 3. Cela permet de calculer le nombre de couples à tout instant selon les données initiales. Enfin, une généralisation est donnée pour un nombre quelconque de classes d’âges avec une interprétation matricielle.
Mots clés : dynamique des populations, récurrence, suite récurrente, système linéaire, matriceGenerating an octagon - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
The problem studied in this article is the computation of the area of an octagon inside a square or parallelogram, constructed in its basic version as follows: the sides of the octagon are the 8 lines which join the corners of the quadrilateral with the middle of the (two) opposite sides. In this basic version, the area is shown to be one sixth of the area of the quadrilateral. A more advanced version is also worked out where the corners are joined to the near-quarter or some other ratio 1/n of the opposite sides. In this case they show that the area of the octagonal is (n-1)^2/n(n+1) the area of the quadrilateral. The regularity of the octagon is also studied. The proofs use only very classical theorems of geometry, such as the theorems of Thalès, Pythagoras, the sine rule and the theorem of similarity.
Mots clés : géométrie, construction géométriqueNombres fusibles - Collège Germaine Tillion (Marseille)
Nombres fusibles. Voici la règle du jeu : on dispose de bougies à 2 mèches (une de chaque côté), autant que l’on veut. Lorsque
l’on allume une mèches la bougie se consume entièrement en 1 heure. Si on allume les deux mèches d’une même bougie en même
temps, celle-ci se consume donc entièrement en 1/2-heure. Au départ toutes les bougies sont éteintes et on a le droit d’allumer
autant de mèches que l’on veut au temps 0. On peut ensuite allumer autant de mèches que l’on veut à chaque fois qu’une (ou
plusieurs bougies) s'éteint parce que entièrement consumée. Questions : peut-on mesurer ainsi 2h (facile) ? 3/4-d’heure (oui mais
moins facile) ? 1/4-d’heure (non mais pourquoi) ? Quelles sont les temps que l’on peut mesurer (on les appelle les temps fusibles) ?
Et ceux que l’on ne peut pas ? Quel est le plus petit temps fusible après 3/4-d’heure ? Et après 1h ? Et après 2h ? .
Mots clés : fraction, puissance de 2, fonction, récurrencel’on allume une mèches la bougie se consume entièrement en 1 heure. Si on allume les deux mèches d’une même bougie en même
temps, celle-ci se consume donc entièrement en 1/2-heure. Au départ toutes les bougies sont éteintes et on a le droit d’allumer
autant de mèches que l’on veut au temps 0. On peut ensuite allumer autant de mèches que l’on veut à chaque fois qu’une (ou
plusieurs bougies) s'éteint parce que entièrement consumée. Questions : peut-on mesurer ainsi 2h (facile) ? 3/4-d’heure (oui mais
moins facile) ? 1/4-d’heure (non mais pourquoi) ? Quelles sont les temps que l’on peut mesurer (on les appelle les temps fusibles) ?
Et ceux que l’on ne peut pas ? Quel est le plus petit temps fusible après 3/4-d’heure ? Et après 1h ? Et après 2h ? .
Têtes chercheuses - Collège Alexandre Fleming (Orsay) Collège Alain Fournier (Orsay)
Trois fusées placées aux sommets d’un triangle, équilatéral au départ, se poursuivent en pointant de manière cyclique les unes sur les autres et réajustent leurs trajectoires selon un pas de temps donné. Que se passe-t-il ?
Mots clés : théorème de Thalès, triangle, suite géométriqueL’île au trésor - Collège Alexandre Fleming (Orsay) Collège Alain Fournier (Orsay)
Un trésor est enterré sur une île sur laquelle se trouvent deux arbres. Le trésor est placé à égale distance des deux arbres et de la plage. Combien de trous (au plus) faudra-t-il creuser pour le trouver ? Comment déterminer l’emplacement de ces trous ?
Les élèves ont traité 3 cas séparément : d’abord celui où l’île est une droite, puis celui où l’île est un cercle. Ils et elles ont ensuite abordé le 3e cas restant en regardant ce qu’il advient
lorsque l’île est un polygone. Les élèves ont ensuite regardé le problème inverse, c’est-à-dire les formes d’îles possibles en fonction du nombre de trésors.
Géométrie plane, médiatrice, cercle circonscrit, distance d’un point à une droite.
Mots clés : médiatrice, cercle circonscrit, distanceLes élèves ont traité 3 cas séparément : d’abord celui où l’île est une droite, puis celui où l’île est un cercle. Ils et elles ont ensuite abordé le 3e cas restant en regardant ce qu’il advient
lorsque l’île est un polygone. Les élèves ont ensuite regardé le problème inverse, c’est-à-dire les formes d’îles possibles en fonction du nombre de trésors.
Géométrie plane, médiatrice, cercle circonscrit, distance d’un point à une droite.
Suites d'opérations - Collège Alain Fournier (Orsay)
Des plis qui se déplient - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
On plie une bande de papier toujours dans le même sens, n fois. On déplie ensuite le pliage obtenu et dispose les plis de façon à former des angles droits dans le sens où ils ont été pliés. Les figures obtenues ont une surprenante structure fractale, que vous pourrez découvrir grâce au simulateur mis à disposition dans cet article !
Mots clés : fractal·e, suite, matrice, PythonEntiers remarquables - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
Un nombre entier est dit remarquable si il existe un multiple de ce nombre dont l’écriture en base 10 est 99...900...0. Les auteurs démontrent qu’vec cette définition tous les entiers naturels sont remarquables. Ils décomposent le problème en plusieurs ca particuliers avant d’attaquer le cas général.
Mots clés : arithmétique, divisibilité, théorème d'Euler, théorème des restes chinois, théorème de FermatUn bon ascenseur - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Cet article porte sur différents algorithmes (stratégies) que peut suivre un ascenseur pour prendre en charge les personnes qui le sollicitent. A l’aide d’un programme en Python, une comparaison statistique des temps d‘attente est effectuée.
Mots clés : algorithme, optimisation, analyse de stratégie, programmation, temps d'attenteLe tour de l'île à la nage - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Afin de trouver la trajectoire optimale pour faire le tour de l’ile, nous avons utilisé deux méthodes: l'une avec le produit scalaire et l'autre reposant sur les équations de droite et le partitionnement du plan. Nous avons réalisé un programme en Python afin d'automatiser la méthode à toute ile polygonale. Enfin, nous avons commencé à étudier d'autres cas de figure où nous serions situés par exemple à 1 mètre de l'ile ce qui serait plus cohérent avec le fait de nager et non de marcher sur l'ile.
Mots clés : équation cartésienne, optimisation, programmation, distance la plus courte, enveloppe convexeTantrix 3D - Lycée Alain Chartier (Bayeux)
Compte-rendu d’une activité sur le jeu de Tantrix.
Mots clés : dénombrement, suite récurrente, jeuAnalyse et optimisation d'une mission spatiale - Lycée Stendhal (Milan)
L'objet de ce travail est de comparer du point de vue énergétique différentes manœuvres pour changer d'orbite un satellite. L’orbite de départ est un cercle de rayon centré sur le soleil et celle d’arrivée une ellipse dont le soleil est l’un des foyers. On étudie successivement le transfert direct, les transferts de Hohmann avec une demi-orbite elliptique intermédiaire et des transferts utilisant deux demi-ellipses intermédiaires, en calculant l’impulsion totale à donner au satellite dans chacun des cas.
Mots clés : Kepler, gravitation, Newton, trajectoire, ellipseDémonstrations et Dessins - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Les dessins peuvent constituer un outil intéressant sur lequel peut reposer notre
intuition mathématique. Les auteurs présentent des exemples de résultats classiques
(Théorèmes de Pythagore, Thalès, formules de sommation d’entiers,...) pour lesquels des
représentations sous forme de dessins peuvent aider à expliquer et même à trouver des idées
de preuves !
Toutefois les dessins, à eux seuls, ne constituent pas une preuve et les auteurs n’oublient pas
d’ailleurs de nous illustrer le fait que dans certains cas, les dessins peuvent aussi nous
induire en erreur !
Mots clés : géométrie, théorème de Pythagore, théorème de Thalèsintuition mathématique. Les auteurs présentent des exemples de résultats classiques
(Théorèmes de Pythagore, Thalès, formules de sommation d’entiers,...) pour lesquels des
représentations sous forme de dessins peuvent aider à expliquer et même à trouver des idées
de preuves !
Toutefois les dessins, à eux seuls, ne constituent pas une preuve et les auteurs n’oublient pas
d’ailleurs de nous illustrer le fait que dans certains cas, les dessins peuvent aussi nous
induire en erreur !
Deviner la carte cachée - Collège Le Calloud (La Tour-du-Pin)
Notre sujet se base sur un paquet de 32 cartes à jouer soit du 7 à l'as. Dans une sélection aléatoire de x cartes parmi les 32 l’une d’entre elle est retournée, face cachée. Les autres cartes sont placées à la suite en ligne, face visible. L'un de nous est sorti de la salle et n’a pas vu la carte qui a été cachée. Son but est de retrouver la couleur, l’enseigne ou la valeur de la carte cachée, en analysant comment les cartes visibles ont été déposées.
Mots clés : tour de cartesUne fourmi sur un tétraèdre régulier - Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou)
L’article propose de trouver le nombre de déplacements de longueur donnée d’une fourmi sur un tétraèdre régulier.
Les résultats sont généraux en commençant par une présentation rapide pour le cas d’un tétraèdre régulier,
puis une généralisation sur quelques formes géométriques en utilisant les graphes non orientés et leur matrice d’adjacence : le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier et le cube. La démonstration permet de faire le lien entre les coefficients de la matrice et le nombre de trajets reliant les sommets et de longueur .
Mots clés : dénombrement, graphe, matrice d'adjacence, récurrenceLes résultats sont généraux en commençant par une présentation rapide pour le cas d’un tétraèdre régulier,
puis une généralisation sur quelques formes géométriques en utilisant les graphes non orientés et leur matrice d’adjacence : le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier et le cube. La démonstration permet de faire le lien entre les coefficients de la matrice et le nombre de trajets reliant les sommets et de longueur .
Le mot le plus court (Braquage) - Lycée Paul Guérin (Niort)
Cet article s’attaque à la notion mathématique de super-permutation. Il s’agit de déterminer le « mot » le plus court contenant l’ensemble de toutes les permutations d’un certain nombre de lettres. L’article se résume principalement en un algorithme aléatoire permettant de construire des mots (pas nécessairement minimaux) contenant toutes ces permutations. Pour des alphabets de taille <6, il parvient à construire des super-permutations.
Mots clés : permutation, combinatoire des mots, algorithme, minimisation, factorielleAire minimale - Collège Sainte-Marie (Langon)
Dans un triangle de longueurs a, b et c (tel que a>b>c, inégalité non stricte), pour obtenir l’aire minimale de la partie non superposée après un seul pliage, nous nous sommes intéressés aux bissectrices de ce triangle.
On a vu que l’on peut écarter celle comprise entre la plus petite longueur et la plus grande.
Puis en fonction d’un critère très simple, le signe de ac - b², on peut choisir la bissectrice permettant d’obtenir une surface restante minimale.
Intuitivement, nous pensons avoir résolu le problème. Mais il reste à prouver que tous les autres pliages sont moins performants que celui d’une bissectrice.
On a vu que l’on peut écarter celle comprise entre la plus petite longueur et la plus grande.
Puis en fonction d’un critère très simple, le signe de ac - b², on peut choisir la bissectrice permettant d’obtenir une surface restante minimale.
Intuitivement, nous pensons avoir résolu le problème. Mais il reste à prouver que tous les autres pliages sont moins performants que celui d’une bissectrice.
Avec Ordre et Magie... - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Le codage binaire des cartes, des arbres de possibilités de rangement des cartes, un algorithme de rangement de ces cartes, des graphes nous ont permis de résoudre le problème.
Nous avons trouvé des rangements d’un jeu de 32 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 4 cartes suivantes.
Nous avons aussi vu qu’il était possible de supprimer certaines cartes bien précises et faire le tour de magie avec un jeu de 31, 30, 29, 28 cartes et même moins de cartes. Mais on ne peut supprimer une carte au hasard.
Nous savons aussi ranger un jeu de 64 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 5 cartes suivantes.
Mots clés : arbre de possibilités, graphe, algorithme, codageNous avons trouvé des rangements d’un jeu de 32 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 4 cartes suivantes.
Nous avons aussi vu qu’il était possible de supprimer certaines cartes bien précises et faire le tour de magie avec un jeu de 31, 30, 29, 28 cartes et même moins de cartes. Mais on ne peut supprimer une carte au hasard.
Nous savons aussi ranger un jeu de 64 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 5 cartes suivantes.
Jeu de Marienbad - Lycée de l'Harteloire (Brest)
Cet article étudie la réussite au jeu de Marienbad. Une statégie gagnante est obtenue à l’aide d’une décomposition en puissance de 2.
Mots clés : jeu de Nim, numération binaire, base de numérationTours de trinques dans un bar - Lycée Jean Puy (Roanne)
Un groupe de n personnes se réunit dans un bar autour d’une table ronde. Après avoir commandé leurs boissons elles ont pour objectif de trinquer une fois avec chacun le plus vite possible. Mais deux règles leurs sont imposées :
R1 : Elles ont interdiction que leurs bras se croisent quand elles trinquent.
R2 : Elles ne pourront trinquer qu’avec une seule personne à la fois.
Par conséquent elles devront procéder à plusieurs « tours de trinques », pour qu’elles puissent toutes trinquer avec tout le monde.
Le problème est de déterminer le nombre minimum de tours de trinques nécessaire.
Mots clés : trinquer, combinaison, algorithme, PythonR1 : Elles ont interdiction que leurs bras se croisent quand elles trinquent.
R2 : Elles ne pourront trinquer qu’avec une seule personne à la fois.
Par conséquent elles devront procéder à plusieurs « tours de trinques », pour qu’elles puissent toutes trinquer avec tout le monde.
Le problème est de déterminer le nombre minimum de tours de trinques nécessaire.
Fractions égyptiennes - Lycée Raynouard (Brignoles)
Le texte étudie comment écrire une fraction positive inférieure à un comme somme de fractions unitaires (numérateurs égaux à 1) dont tous les dénominateurs sont différents. Un programme Python de décomposition est proposé.
Mots clés : fraction égyptienne, algorithme, PythonVoyageur de commerce - Lycée Raynouard (Brignoles)
Cet article s’intéresse au problème du voyageur de commerce. Comment minimiser la longueur du trajet pour visiter toutes les villes d’une région donnée ?
On commence par résoudre le problème avec un très petit nombre de villes, puis on explore plusieurs méthodes, méthode naïve, force brute, puis une méthode pour trouver une solution approchée avec un temps de calcul limité, notamment à l’aide de programmes écrits en langage Python.
Mots clés : optimisation discrète, graphe, algorithme, dénombrementOn commence par résoudre le problème avec un très petit nombre de villes, puis on explore plusieurs méthodes, méthode naïve, force brute, puis une méthode pour trouver une solution approchée avec un temps de calcul limité, notamment à l’aide de programmes écrits en langage Python.
Permutation de cartes - Lycée Raynouard (Brignoles)
Combien de cartes restent à leur place initiale en moyenne lorsque l'on mélange aléatoirement un jeu de cartes ? Cet article répond à la question pour les petites valeurs du nombre de cartes et établit des formules permettant de le calculer par récurrence en général.
Mots clés : permutation, dérangement, dénombrement, espéranceSudoku - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Dans ce travail, le sudoku est représenté mathématiquement. D'abord dans une version simplifiée (4x4), on détermine le nombre de grilles possibles.
Dans la version normale (9x9), le nombre de grilles n'est pas déterminé. Le travail consiste à représenter sous forme de tableau/matrice les grilles de sudoku. On présente aussi un algorithme qui permet de vérifier (l'ordinateur connaissant la solution), une grille remplie par l'utilisateur.
Dans la version normale (9x9), le nombre de grilles n'est pas déterminé. Le travail consiste à représenter sous forme de tableau/matrice les grilles de sudoku. On présente aussi un algorithme qui permet de vérifier (l'ordinateur connaissant la solution), une grille remplie par l'utilisateur.
Correcteur d'orthographe - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Ce texte étudie le principe d’un correcteur orthographique. Après quelques idées intuitives, on étudie trois méthodes : méthode des combinaisons, distance de Levenshtein et méthode du clavier. On donne des exemples et on détaille chacune des deux premières méthodes.
Mots clés : distance, programmeLe loup, la chèvre et les choux - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Le travail concerne le célèbre problème du loup, de la chèvre et du chou. Des solutions mathématiques (éventuellement partielles) sont présentées, basées sur des matrices, des graphes, des algorithmes et des opérations logiques. Des variantes du problème classiquement connu sont également étudiées.
Mots clés : matrice, algorithme, Python, logiqueLa place de théâtre - Lycée Paul Guérin (Niort)
Dans cet article, on calcule le nombre moyen de fois où vous devez vous relever dans une salle de spectacle où vous vous asseyez au hasard et vous devez changer de place chaque fois qu’arrive le spectateur ayant réservé la place que vous avez prise. On effectue quelques simulations puis on calcule cette espérance en fonction du nombre de places que contient la salle.
Mots clés : probabilité, loi de probabilité, espérance, série harmoniqueLes puissances de 2 - Lycée Paul Guérin (Niort)
Le travail concerne la périodicité avec laquelle apparaissent les derniers chiffres dans les puissances de 2 et la distribution statistique des premiers chiffres. Sur la base des résultats obtenus à l’aide d’un programme Python, on conjecture la fréquence à laquelle se répètent les n derniers chiffres. D’autres algorithmes permettent de calculer la distribution statistique des premiers chiffres.
Mots clés : motif, puissance de 2, algorithmeLes poids cassés - Lycée du Pays d'Aunis et Collège Hélène de Fonsèque (Surgères)
Les élèves ont travaillé sur le problème suivant : "Nicolas, le marchand, possède un poids de 40 kg. Il le laisse malencontreusement tomber et celui-ci se brise en 4 morceaux.
Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.
Question 1 : en utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
Question 2 : avec un poids de 2023 kg, de combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?"
Mots clés : numération, numération en base 3Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.
Question 1 : en utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
Question 2 : avec un poids de 2023 kg, de combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?"
Couper le quadrillage - Collège Hélène de Fonsèque (Surgères)
On trace des droites sur un damier de 10x10 cases. Combien doit-on en dessiner au minimum pour que toutes les cases soient traversées au moins une fois ? Il est facile de trouver une solution à 10 droites, et bien plus ardu de faire mieux. C’est cependant possible et le groupe explique sa démarche de recherche et donne des éléments de preuve pour des damiers plus petits.
Mots clés : carré, géométrie, optimisation, droites sécantes, comptage, logique, condition nécessaireRavitaillement en vol - Collège Alain Fournier (Orsay) Collège Alexandre Fleming (Orsay)
Un avion consomme pour simplifier une quantité constante de litres de carburant par kilomètre. Son réservoir est de taille fixée. Il est accompagné d'un groupe d'avions identiques qui servent à le ravitailler. Les avions dont le réservoir est vide abandonnent le groupe et atterrissent. On veut une stratégie pour aller le plus loin possible avec un nombre d'avions n fixé.
Shortest cobweb length - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Spider Webster is fed up of investing resources and energy in building new cobwebs every day, and wants to be more pragmatic when building its cobweb. Webster wants to build a cobweb of minimum total length, which connects the n points where it is attached. The considered cases are the triangle, the rectangle, the parallelogram and the regular square-base pyramid.
Mots clés : optimiser, géométriePizza sharing - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Our task deals with being able to calculate how big a pizza is starting from a single edge of a slice and figuring out what tools are needed to do this.
We also need to figure out how to find the centre of a pizza and how to split it in half by using different tools.
Mots clés : cercle, arc, corde, rayon, centreWe also need to figure out how to find the centre of a pizza and how to split it in half by using different tools.
Tile wallpaper - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
The work considers the number of ways in which a 2×n rectangle can be covered with tiles. Various cases are considered, depending on the kind of available tiles: only 2×1 uncoloured tiles; 2×1 and 1×1 uncoloured tiles; coloured tiles of the previous shapes.
Mots clés : combinatoire, carrelageCounting configurations - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
A disc is divided into n sectors, each of which is to be painted with one of k possible colours, with the condition that two adjacent sectors have different colors. In a first part, two configurations which are obtained from each other by a rotation are considered as different, and the problem is solved firstly by a Python program for values of n, k up to n=12 and k=5. Then a general formula is obtained by means of a recurrence.
In a second part, the number of distinct configurations when we identify those that are obtained from each other by rotations is calculated for an example, but the general case remains open.
Mots clés : combinatoire, coloration, principe d'inclusion-exclusion, PythonIn a second part, the number of distinct configurations when we identify those that are obtained from each other by rotations is calculated for an example, but the general case remains open.
Homework planning - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
Passing an exam requires that among a sequence of n homeworks a student does not obtain k consecutive failures. This leads to counting sequences of n terms "P" (pass) or "F" (fail) without k consecutive "F". In this work a recurrence equation on n is established, k being fixed, and this equation is solved explicitly for k=2. Then, the authors study the probabilistic version where "P" is obtained with a certain probability p, independently for each homework.
Mots clés : combinatoire, combinatoire des mots, récurrence, probabilité
- Dans le premier chapitre, lorsque tous les segments de la grille sont de longueur uniforme, on compte les chemins d’une intersection à une autre, en ajoutant éventuellement des conditions telles que passer ou non par un point. Lorsque les segments ont des longueurs différentes, le problème devient de trouver le chemin le plus court et on utilise pour cela l’algorithme de Dijkstra.
- Dans le deuxième chapitre, on modélise la grille comme un espace métrique en utilisant la “distance de Manhattan”, en considérant seulement les intersections. On étudie dans ce cadre les droites et les coniques, puis diverses applications à des problèmes inspirés par la planification urbaine.
- Dans le dernier chapitre, on aborde le cas où les rues sont aussi prises en compte.