Liste des sujets

On considère un triangle équilatéral et on le divise en petits triangles comme ci-dessous. Par exemple à gauche on fait trois rangées et à droites 4 rangées. Sur chaque figure, combien voyez-vous de triangles en tout ? Et si on fait un découpage en 5 rangées, 6, 7, ou n rangées, pouvez-vous trouver une formule ?
On le sait tous, on peut paver parfaitement un carré avec 4 carrés plus petits :
Dans cet exemple tous les petits carrés ont la même taille, mais en général on autorise des petits carrés de tailles variables. On dira que 4 est un “nombre de pavage". En revanche, on vérifie facilement que 2 n’est pas un nombre de pavage : on ne peut pas paver exactement un carré avec 2 pavés carrés.
Quels sont les nombres de pavage possibles ?
Lors d’un goûter d’anniversaire Blanche a préparé des muffins et des cookies. Elle propose un jeu aux deux enfants les plus gourmands. Chacun son tour vous allez prendre des cookies ou des muffins selon les règles suivantes. Celui qui ne peut plus rien prendre à perdu.
Règles pour prendre des cookies ou des muffins. À chaque tour vous pouvez :
— soit prendre autant de cookies que vous voulez (mais pas de muffin) ;
— soit prendre autant de muffins que vous voulez (mais pas de cookies) ;
— soit prendre le même nombre de cookies que de muffins (autant que vous voulez…
Dans ce sujet, on cherche à écrire n’importe quel norme uniquement avec des 1. On a le droit de faire
des additions et des multiplications. Beaucoup de questions très différentes se posent. En voici deux :
(1) Si on n’a qu’un nombre limité de 1, quel est le nombre le plus grand qu’on peut obtenir? Par exemple avec dix 1, quel est le plus grand nombre que vous pouvez obtenir ?
(2) Évidemment on peut écrire tous les nombres, mais de combien de façons possibles ? Par exemple, combien de possibilités a-t-on pour écrire 15 ?
On place 5 croix sur une feuille de papier, chacune avec 4 branches. Et on va jouer au jeu suivant.
On choisit l’une des branches d’une croix et on la relie à une autre branche d’une croix en faisant une courbe comme on veut. On a le droit de relier deux branches de la même croix. Ensuite on ajoute sur la courbe qu’on vient de tracer un petit trait qui la croise. Ceci crée deux nouvelles branches qui pourront ensuite être reliées aux autres lors des tours suivants. Puis on recommence : on peut relier de nouveau deux branches existantes, mais on na pas le droit de croiser les courbes…
A l’automne, une population d’écureuils fait le plein de noisettes pour passer l’hiver. Chaque écureuil effectue sa récolte personnelle. Pour autant, afin que personne ne manque de rien, un système de partage particulier est mis en place : Quand deux écureuils se rencontrent, ils comparent leurs récoltes. L’écureuil qui a le plus de noisettes donne autant de noisettes que l’autre écureuil en a. Puis ils recommencent ce procédé jusqu’à ce que les deux écureuils aient le même nombre de noisettes. Questions :
Y-a-t-il des situations où le partage ne s’arrête pas ?
Dans le cas où il…
Le jeu se joue sur un damier 6x6, et se joue avec 2, 3 ou 4 joueurs. But du jeu: Le joueur qui a marqué le plus de points à la fin de la partie est déclaré vainqueur.
Phase de “positionnement” : Chacun son tour, chaque joueur place un pion de sa couleur sur le damier jusqu’à ce que toutes les cases soient occupées.
Phase de “mouvement”: Le joueur qui a placé le premier pion joue en premier, puis chacun son tour. Pour marquer des points, on compte le nombre de cases parcourues par le pion en ligne
droite, horizontalement ou verticalement (pas en diagonale). Un pion se…
On remplit des grilles carrées avec des 1, des 0 et des -1. Le but est d'obtenir des sommes différentes sur chaque ligne et chaque colonne. Est-ce toujours possible ?
Dans le jeu Fort-Boyard, Blanche propose le défi « Combinaison ». Elle donne les règles du jeu : « Dans ce défi, le candidat doit reconstituer une combinaison de 5 balles bleues ou blanches. Pour ce faire, il dispose de 3 essais. Après chaque essai validé (grâce à un buzzer), un écran indique au candidat le nombre de balles bleues correctement positionnées. Si le candidat parvient à trouver la bonne combinaison en moins de 3 essais, il peut retrouver son équipe, mais s’il échoue trois fois, il part en prison. »
• Si on considère le jeu tel qu’il est, quelle est la probabilité de gagner…
On considère la suite u définie par u(0) = 0 et u(1) = 1 et, pour tout entier naturel n :
- si n/2 est un entier k, alors u(n) = u(k)
- sinon, on additionne les termes dont les rangs sont les entiers encadrant n/2.
Par exemple, comme 7/2 = 3,5, u(7) = u(3) + u(4).
On explore quelques propriétés de cette suite.
On cherche à protéger une pièce carrée de taille a d'un musée en installant des détecteurs de position au sol. Un détecteur émettra un signal prévenant la police si un individu se
trouve à une distance inférieure à R du détecteur. Combien de détecteurs doit-on placer pour complètement sécuriser la salle ?
On considère un plancton qui se déplace verticalement dans la mer. Chaque jour, il ira soit d'une unité vers le haut, soit vers le bas avec probabilité 1/2. Le fond de la mer (au niveau 0) est recouvert de moules, prédatrices de planctons. La surface (au niveau a) est recouverte d'une nappe de pollution qui tue le plancton dès qu'il s'en approche. Sachant que le planton part d'une position x comprise entre 0 et a, est-il possible que le plancton survive indéfiniment ? Au bout de combien de temps en moyenne sera-t-il tué ? Selon x, est-ce qu'il y a plus de chances…
Au rugby, on peut marquer 3 points (via un drop ou une pénalité), 5 points (via un essai non transformé) ou 7 points (via un essai transformé) ? Est-ce que 13-10 est un score possible ? Est-ce que 4-3 est un score possible ? Quels scores peut-on réaliser ? Etant donné un score, combien y a-t-il de façons différentes de le réaliser ?
On cherche à stocker n paquets de dynamite dans une cave de longueur N. Attention, on ne peut pas placer deux paquets côte à côte sinon ils explosent ! Combien y a-t-il de façons de stocker la dynamite ? Même question lorsque l'on a une pièce carrée de taille N sur N. On pourra autoriser (ou non) deux dynamites à se toucher en diagonale.
Un facteur doit distribuer le courrier dans une rue. Celle-ci ne comporte qu'une seule rangée de maisons régulièrement espacées et numérotées 1 ; 2 ; ... ; n. Le facteur doit distribuer une lettre par maison. Pour cela, il laisse son vélo à la maison 1, y dépose le courrier correspondant, et ensuite distribue les lettres au hasard, puis revient à la maison 1 récupérer son vélo. Il effectue ainsi un trajet, représenté par les numéros successifs des maisons où il a déposé le courrier. Par exemple, si n = 5, un trajet possible est 1,5,2,4,3,1. La distance totale parcourue, appelée longueur…
Les bulles de savon permettent de trouver les plus courts chemins entre des points comment le trouver sans bulles ?, comment le prouver ?
Etant donnés 2 polygones de même aire, on voudrait montrer qu'il est possible d'en découper un (en plusieurs petits polygones) de manière à pouvoir reconstituer exactement l'autre.
Au départ chaque ligne d’un quadrillage rectangulaire contient un pion jaune et un pion bleu, posés au hasard.
A tour de rôle, deux joueurs, ”Bleu” et ”Jaune”, déplacent, dans une ligne de leur choix, un pion de leur propre couleur : le pion va sur n’importe quelle case libre de la ligne, à gauche ou à droite, mais sans sauter par-dessus le pion adverse.
Le dernier à pouvoir jouer est le vainqueur.
Peut-on réaliser des dés à 5, 6, 7 faces... ? Avec des faces identiques qui sont des polygones réguliers et qui auraient la même probabilité d'être obtenues en lançant le dé.
Dans le jeu de société Azul, les joueurs doivent remplir un plateau de 5x5 avec des pions colorés
Deux pions de la même couleur ne doivent pas être sur la même ligne ou la même colonne.
De combien de façons peut-on remplir le plateau ?
Peut-on réaliser à l'avance qu'un blocage va apparaître ?
Les élèves d'un collège ont décidé d'organiser un championnat de chifoumi. Il ya 85 participants. Chaque jour, plusieurs matchs ont lieu simultanément mais chaque participant n'effectue qu'un seul match au maximum. Pour que les élèves puissent se retrouver, les organisateurs ont délimité 42 zones de la cour, numérotées de 1 à 42
Créer un planning de matchs qui soit tel que:
-chaque participant rencontre tous ses adversaires une seule fois
-chaque participant peut facilement déterminer chaque jour son adversaire et sa zone de match
-le…
Le professeur Farnsworth invente une machine qui permet d'échanger les esprits de deux participants. Malheureusement après un échange initial avec Amy, le professeur réalise que la machine ne peut pas effectuer un second échange avec les mêmes corps. Il s'ensuit alors de nombreux échanges d'esprit avec d'autres personnes afin que tous puissent réintégrer leur corps.
Les différentes personnes arriveront-elles à réintégrer leur corps ? Si oui, comment; sinon, pourquoi ?
La réponse dépend-elle du nombre de personnages supplémentaires utilisés pour les échanges ?
Une blague se répand de ville en ville. Comment estimer la vitesse de propagation en fonction des liaisons entre les villes
Un robot cuisinier fabrique des pizzas en empilant les ingrédients.
On voudrait savoir combien de pizzas différentes il peut faire...
Faites votre choix
Combien y-a-t-il de manières de composer un collier avec n boules rouges et p boules vertes? Et si on ajoute en plus q boules bleues?
L’avenue d’une grande ville est équipée de 10 lampadaires, numérotés de 1 à 10. Chaque soir, l’allumeur de lampadaires les parcourt tous du dernier jusqu’au premier, et les allume ou les éteint selon la règle suivante :
si un lampadaire est allumé, alors celui qui porte le numéro suivant change d’état (s’il était allumé, il s’ éteint, et inversement).
Malheureusement, il est un peu distrait et laisse les lampadaires allumés d’un soir à l’autre. Le premier soir, seul le premier lampadaire est allumé. Y aura-t-il un soir où tous les lampadaires seront allumés ? Peut-on prédire…
Après avoir introduit la notion de graphe, on définit celle de chemin induit. Un chemin induit de longueur n-1 sur un graphe est une succession de n sommets et n-1arêtes du graphe pour lequel il n'existe pas dans le graphe et entre les sommets de ce chemin d'autres arêtes que celles du chemin. Un tel chemin est noté Pn. La question est alors de caractériser les graphes qui sont sans Pn. Au jour d’aujourd’hui on ne connaît pas de caractérisation simple de tels graphes pour n quelconque. Par contre le problème est faisable pour des petites valeurs de n : n=2, n=3, n=4. C’est l’objet…
Après avoir introduit la notion de graphe connexe, on définit celle d’isomorphisme et de k-régulier. Deux graphes sont isomorphes si on peut passer de l’un à l’autre en renumérotant les sommets. Un graphe est k-régulier si tous ses sommets sont de degré k. Rappelons que le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes adjacentes à ce sommet. Il n’existe pas de formule générale qui donne le nombre de graphes connexes non isomorphes et k-régulier mais on peut résoudre le problème pour des petites valeurs de k ou des petites valeurs de n. C’est l’objet de cette recherche.
Réussira-t-on à informer tout le monde en respectant les règles de communication en vigueur dans le réseau ?

Des personnes (ou des relais électroniques, si vous préférez) sont régulièrement disposées dans un plan.
Chaque personne peut envoyer des informations à d'autres personnes, à condition de respecter certaines règles.
Ces règles, bien précises et immuables, sont les mêmes pour toutes les personnes. En fait, à proprement parler, c'est l'ensemble de ces règles qui définit le réseau.
Deux joueurs vont s'affronter sur une grille mxn (m lignes, n colonnes).
A tour de rôle, chaque joueur pose un jeton de sa couleur sur une case inoccupée et le premier joueur parvenant à placer ses jetons aux quatre coins d'un rectangle gagne la partie.
Pour des valeurs de m et n données, peut-il y avoir des parties nulles (aucun des joueurs ne parvient à former un rectangle) ?
Pour des valeurs de m et n données, l'un des deux joueurs a-t-il une stratégie gagnante ? si oui laquelle.
On considère une grille de n x m cases. On souhaite placer des entiers 1 à k (k étant le plus petit possible) dans les cases de la grille de façon telle qu'on ne puisse trouver un rectangle dont les quatre coins contiennent le même entier.
Peut-on caractériser les grilles (c'est à dire leur dimension) que l'on peut remplir de cette façon en utilisant les entiers 1 et 2 ? les entiers 1, 2 et 3 ?
Le jeu de Ping se joue sur un damier, rectangulaire ou carré, de taille variable, où dans chaque case se trouve un pion bicolore (une face verte, l’autre rouge). Au départ du jeu, tous les pions montrent leur face verte. Le but du jeu est de réussir à retourner tous les pions sur leur face rouge, mais avec une sorte de handicap : quand on choisit un des pions du damier, il n'est pas retourné, seuls ses huit voisins le sont.
Dans une usine de fabrication de sapins en planches de bois, les planches arrivent les unes au dessus des autres en paquets mélangés.
Un robot est chargé de trier de la plus grande planche en bas à la plus petite planche en haut.

Comment doit-il faire pour arriver à un paquet bien ordonné, en le minimum d'opérations?
Au départ chaque ligne d’un quadrillage rectangulaire contient un pion jaune et un pion bleu, posés au hasard.
A tour de rôle, deux joueurs, ”Bleu” et ”Jaune”, déplacent, dans une ligne de leur choix, un pion de leur propre couleur : le pion va sur n’importe quelle case libre de la ligne, à gauche ou à droite, mais sans sauter par-dessus le pion adverse.
Le dernier à pouvoir jouer est le vainqueur.
Il y a dix ans, un richissime banquier avait été tué par l’explosion d’une bombe, qui avait également détruit son château où il s’était retiré.
A l’époque des rumeurs ont couru que le testament, détruit lui aussi par l’explosion, avait tout pour déplaire à l’une de ses sept ex-femmes. Or, avant de mourir, il les avait toutes invitées à passer quelques jours dans son château.
Ce qui est étrange, c’est que la bombe avait été fabriquée spécialement pour être cachée dans l’armure de la chambre à coucher, ce qui suppose que l’assassin a nécessairement effectué plusieurs visites au…
Quatre joueurs autour d’une table et un banquier. Au départ les quatres joueurs ont un nombre pair de pièces. A chaque tour, chaque joueur fait passer à son voisin de gauche la moitié de ses pièces. Le banquier donne une pièce à chaque joueur ayant un nombre impair de pièces. Et on
recommence.
Le jeu se termine-t-il toujours (et quel sens donner à la terminaison) ?
Le matériel du solitarium est rudimentaire :
1. des cases disposées en cercle (comme les secteurs d’une roue de loterie).
2. des pions.
Au début du jeu, on répartit des pions, au hasard, dans les cases.
Ensuite, à chaque tour de jeu, on déplace 2 pions de son choix en respectant les règles suivantes.
1. Chaque pion est déplacé vers une case voisine.
2. Les 2 pions sont déplacés en sens contraire.
Le but du jeu est d’amener tous les pions dans une même case.
Peut-on toujours gagner ? Comment ?
Noeud
Un nœud est une ficelle entrelacée dont on a joint les 2 bouts.
On code un nœud en se fixant un point de départ et en suivant le fil dans une direction. On note
A,B,C,... les intersections. On note A+ si on passe au-dessus ou A− si on passe en dessous.
A−B+C−D+E−A+B−E+D−C+
• Une suite donnée, par exemple A+B−C+A−B+C− correspond-t-elle toujours au même nœud ?
• Quelles sont les nœuds obtenus par des suites de 1, 2, 3, 4,. .lettres ?
• On dit qu’un nœud peut être démêlé si sans le couper on peut obtenir un cercle.
Peut-on reconnaitre…
On dispose d'une liste d'entiers. A chaque étape, on choisit un nombre non nul quelconque d'entiers dans cette liste auxquels on retranche une valeur quelconque.
Le but du jeu est de vider complètement la liste (mettre à zéro tous les entiers...) en un minimum de coups.
Combien de coups sont nécessaires (et suffisants ) pour vider une liste de la forme (1, 2, 3 ..., k) ?
Est-il possible de caractériser les listes "vidables" en 1 seul coup ? en 2 coups ? ....
On place à différents endroits deux escargots et une feuille de salade. On suppose que les escargots se déplacent à la même vitesse. Le problème est de déterminer quel chemin doit suivre chaque escargot pour arriver le plus vite possible à la salade, et quel escargot arrivera le premier.
Si les deux escargots et la feuille de salade sont sur un plan horizontal (le sol), la réponse est immédiate : chaque escargot doit se déplacer en ligne droite jusqu’à la salade, et celui qui en est le plus proche arrivera le premier.
Que se passe-t-il si on place les deux escargots sur un plan…
La notion de carré magique est bien connue. On propose ici d’étudier les carrés antimagiques.
On se donne un entier n ≥ 2 et un tableau à n lignes et n colonnes. Fabriquer un carré antimagique c’est remplir ce tableau en respectant deux règles :
− chaque case doit contenir l’un des trois nombres −1, 0 ou 1 ;
− quand on calcule la somme des nombres sur chaque ligne et la somme des nombres sur chaque colonne, on obtient 2n quantités qui sont deux à deux distinctes.
Pour n = 2, un exemple est donné par la grille
0 -1
1 1
La question naturelle (et…
On a sa disposition jetons. On dispose comme on le souhaite les jetons sur la table.
On marque 1 point pour chaque droite qui passe par exactement 3 jetons. Quel score peut-on atteindre ?
Atchoum et Benêt ont disposé vingt cotons-tiges en rang. Chacun à leur tour, ils en retirent 1, 2 ou 3. C’est Atchoum qui commence. Le gagnant est celui qui retire le dernier coton-tige. Comment Atchoum peut-il faire pour gagner à tous les coups ? Qui peut gagner à tous les coups si on ne peut retirer que 1 ou 2 cotons-tiges ? Et si on change le nombre de cotons-tiges ?
Colette rejoint Atchoum et Benêt. Comment jouer à trois ?
Y a-t-il un résultat général en fonction du nombre total de cotons-tiges et du nombre de ceux qu’on peut retirer à chaque coup ?
Et si Atchoum ne…
Il s'agit de créer le "plus beau carrelage du monde", d'aborder en se fixant des règles et des méthodes pour obtenir un pavage du plan qui soit suffisamment original...
Un jeu à deux joueurs se joue sur un rectangle n*m cases. A chaque tour chaque joueur choisit une case et noircit le rectangle formé de toutes les cases qui son situées au dessus et à droite de la case choisie Les cases noircies ne peuvent plus être jouées. Si un joueur choisit la case en bas à gauche, il perd.
Existe-t-il une stratégie gagnante si l'on joue en premier? si l'on joue en second?
Le dojo est une pièce carrée de côté un nombre entier de mètres. Les tapis de sol font 3m*1m. Il y a un poteau quelque part de 1m*1m. et à distance entière des murs : si on quadrille le dojo en cases de 1m de côté, le poteau occupe l'une des cases.
Peut-on disposer les tapis de sorte qu'on puisse recouvrir le sol sans qu'ils se chevauchent? Est-ce que ça dépend de la place du poteau? Est-ce que ça dépend de la taille de la pièce?
Il s'agit d'un jeu de dé à un seul joueur dans un casino. On fixe un nombre de coups maximum de 5 coups. A chaque coup, le joueur lance un dé et décide s'il empoche le montant indiqué par le dé ou s'il préfère continuer à lancer le dé pour espérer gagner plus.
Trouver une stratégie qui permette en moyenne de gagner le plus possible.
Combien le casino devrait-il faire payer l'accès au jeu pour ne pas perdre d'argent?
Le but du projet est de démontrer deux résultats importants contenus dans les Principia de Newton qui est son œuvre majeur et qui va révolutionner notre vision du monde et surtout notre façon de le modéliser : la loi des ellipses et le fait que la force qui induit le mouvement est une force centrale inversement proportionnelle au carré de la distance au soleil. Cette force sera appelée gravitation par Newton.
Décidément, l’année 2021 est une année particulière ! Remarquons une propriété intéressante du
nombre 2021 : lorsqu’on calcule le carré de 2021, on obtient le nombre 4 084 441. Autrement dit
2021^2 = 4 084 441.
Considérons maintenant le nombre obtenu en « retournant » le nombre 2021, c’est-à-dire en le lisant
de droite à gauche : 1202. Ce nombre est appelé le retourné de 2021. On observe que son carré est
égal à :
1202^2 = 1 444 804
qui est le retourné de 4 084 441.
On a donc remarqué que : Le carré du retourné de 2021 est égal au…
On considère des plantes un peu spéciales : chaque branche ou tige est une succession de points reliés
par des segments. Lorsqu’on donne un coup de sécateur sur un segment, on l’ôte ainsi que tout segment
qui n’est plus relié au sol. Les jardiniers aiment s’amuser entre eux et ont inventé un jeu : chacun à son
tour donne un coup de sécateur. Lorsqu’un joueur-jardinier ne peut plus jouer, il a perdu. Considérer
différents types de plantes et déterminer une stratégie gagnante.
Un sculpteur vient de recevoir une série de commandes un peu originales. Il doit pour cela créer
plusieurs anneaux en métal, ce qui ne lui pose aucun problème. Ensuite, il doit graduer ces anneaux
et numéroter chaque graduation de plusieurs façons :
1. Pour la première commande, il doit graduer ses anneaux respectivement tous les 180, 90, 30 et
2 degrés. Combien devra-t-il faire de graduations ?
2. Pour sa deuxième commande, il doit graduer ses anneaux tous les 100, 80, 7 et 361 degrés.
Combien devra-t-il faire de graduations ?
3. Les détails…
On construit un arbre binaire récursivement de la manière suivante :
- On trace tout d'abord un "tronc" de longueur 1.
- A l'extrémité de ce tronc partent deux branches à 120°, de longueur lambda.
- On itère ce procédé en faisant partir de chaque nouvelle extrémité 2 branches à 120°, de longueur lambda fois la longueur des branches précédentes.

Peut-on itérer le dessin indéfi niment sans que les sous-arbres de gauche et de droite ne fi nissent par s'intersecter ?
Chacun connait le jeu de kaplas, ces petites planchettes de bois, toutes identiques, qui permet de faire de nombreuses et jolies constructions. Considérons
un kapla que l'on pose au bord d'une table en le faisant dépasser un peu sur lequel on ajoute un autre kapla qui dépasse un peu du premier et ainsi
de suite. On crée ainsi le début d'une arche de pont au-dessus du vide. Quelle est la longueur maximale h du pont que l'on peut ainsi construire sans que tout ne s'effondre (le nombre de kaplas à notre disposition est illimité) ?
Le sujet sera précisé par la suite, les conditions n'ayant pas permis encore au chercheur de venir nous voir
Imaginez vous, le temps d’un instant, jardinier du dimanche. Compte tenu de la forme étrange de votre jardin, vous ne pouvez disposer des plants qu’à distances entières.
Notre sujet de recherche cherche à savoir combien de plantations vous pouvez effectuer tout en respectant cette condition.
Alors enfilez vos bottes, creusez vous les méninges et rejoignez nous dans notre jardin !
On s'intéresse à un problème qui vient de systèmes de version. Le développement logiciel se fait généralement en équipe, plusieurs programmeurs coopèrent pour mettre en place un logiciel complet (comme plusieurs maçons coopèrent pour fabriquer un immeuble). Chacun travaille de son côté et enregistre ses modifications sur un serveur, qui contient ainsi toutes les versions du logiciel. Lorsqu'on enregistre une nouvelle version, on indique une version précédente sur laquelle on s'appuie. On peut aussi indiquer qu'une version résulte de la mise en commun du travail de…
On dispose de dominos (de forme parallélépipède rectangle) en nombre illimité, dont la plus grande longueur vaut 5 centimètres et l'épaisseur vaut 1 centimètre.
On souhaite construire la plus haute pile possible de dominos en les plaçant les uns sur les autres. Malheureusement, comme nous tous, ces dominos obéissent à la loi de
la gravitation.
Dans l'ensemble des points du plan de coordonnées entières on définit une distance entre deux points A et B par le nombre minimal de sauts pour aller de A à B . Un saut correpondant au déplacement du cavalier aux échecs. Etude de cette géométrie définie par cette distance.
Une roue de rayon R roule sur une droite horizontale tracée sur le sol. Soit M un point de la roue (vue comme un cercle). On note T la trajectoire décrite par M. Pour se familiariser avec ce que décrit le point M en un tour de roue et démarrant du sol, qui s’appelle une arche de T , il est préférable de commencer par en faire plusieurs dessins...
Voici un problème a été inventé par le tchèque Lothar Collatz en 1928, il l’a exposé à Hambourg en 1952 devant l’allemand Helmut Hasse, qui en a parlé à son tour aux USA. C’est alors que cette question est devenue célèbre. Pour désigner les entiers on va utiliser la même méthode que celle du courrier électronique : si vous vous appelez Dupont et que vous prenez
un abonnement à internet, il y aura surement déjà des Dupont chez le fournisseur que vous avez choisi, par exemple 37, alors le fournisseur vous attribuera l’adresse <dupont38@fournisseur>.
Soit u un entier, c’est…
Pierre de Fermat, un mathématicien du 17ème siècle, a soulevé beaucoup de question profondes, en particulier concernant les propriétés arithmétiques des nombres. Il y a bien sûr son célèbre "théorème" dont la démonstration fut trouvée à la fin du 20ème siècle, voici une question, en fait une des rares où Fermat s’est trompé.
On pose F1 = 5, F2 = 17, etc., si n > 0 est un entier, on pose Fn = 2^(2^n) + 1.
On s’intéresse à un modèle simplifié de propagation d’épidémie. La population est représentée par les cases d’une grille rectangulaire et la maladie se propage suivant des règles déterminées.
On considère des dessins dans le plan obtenus en faisant un tracé sur la grille sans lever le stylo. A chaque croisement de la grille, l’étape suivante correspond soit à tourner à gauche (G), soit à tourner à droite (D) soit continuer tout droit (C).
On s’intéresse plus particulièrement aux dessins qu’on va obtenir via des règles de remplacement.
Un bohnomme se promene sur les nombres entiers f0; 1; 2; :::g avec les contraintes suivantes
• il part de 0,
• à chaque pas il progresse au choix soit de +3 soit de +5.
On étudie les nombres atteints et les chemins possibles
Voici une épreuve vue cet été dans Fort Boyard. Une combinaison secrète est composée à partir de trois balles bleues et deux balles blanches. Pour ne pas finir en prison, vous devez la retrouver en trois essais maximum, selon le principe suivant : un essai consiste à placer ces balles, et on vous donne l’information du nombre de balles bleues bien placées (sans vous dire lesquelles).
Pourrez-vous éviter la prison ?
Bazar bizarre est un jeu de société qui se joue de la manière suivante. On dispose de cinq objets en bois (un fantôme blanc, une souris grise, une bouteille verte, un livre bleu et un fauteuil rouge) et d’un paquet de cartes. Sur chaque carte sont dessinés deux objets :
— soit tous les deux sont de la mauvaise couleur (par exemple, un livre vert et une souris rouge),
— soit l’un des deux est de la bonne couleur, et l’autre non (par exemple, un fantôme blanc et une bouteille bleue).
Quand une carte est retournée, il faut vite attraper l’objet qui est de la bonne couleur…
9 interrupteurs sont placées pour former un quadrillage 3x3. Quand le héro tape sur l’un des interrupteurs, celui-ci devient rouge, et la même chose se produit pour ses voisins (horizontalement et verticalement). Pouvez-vous trouver un moyen de rendre tous les interrupteurs rouges ?
Un ami m’a demandé de jouer aux dés avec lui en utilisant les dés à 4 faces.
Il m’a demandé de choisir en premier mon dé à chaque fois; quand je choisissais le dé A (respectivement B, C), il choisissait le dé C (respectivement C, A). Nous avons fait énormément de parties, et j’ai perdu plus souvent que lui..
Il s'agit d'étudier la position d'un point extérieur à un polygone qui subit des symétries centrales successives par rapport aux sommets du polygone.
Il s'agit d'étudier les coordonnées des points atteints par un cavalier qui avancerait de a dans une direction, tournerait à gauche puis avancerait de b.
Comment carreler une cuisine modéliser par une grille, en variant la forme des carreaux et en tenant compte de contraintes.
On dispose d'un ensemble de gadgets électroniques. On sait qu'une **minorité stricte** de ces gadgets sont défectueux. Le but est de déterminer pour chaque gadget s'il est fonctionnel ou défectueux. Pour les tester, on peut en prendre deux, les connecter, et demander à chaque gadget l'état du gadget auquel il est relié. Un gadget fonctionnel donnera toujours correctement l'état du gadget auquel il est relié. Un gadget défectueux répondra n'importe quoi.
Bart le Noir et La Buse sont deux pirates très à cheval sur le code des pirates. Il est dit dans celui-ci
que le premier qui met la main sur un trésor le garde.
Ils arrivent tous les deux dans une crypte et aperçoivent un trésor derrière un vieux mur. Chacun
leur tour, les pirates enlèvent une, deux ou trois briques.
Celui qui enlèvera la dernière brique pourra toucher le trésor et s'en emparera.
Comment doit faire un pirate pour être sûr d’être le premier à toucher le trésor ?
Des extraterrestres sont arrivés sur Terre et ne disposent que de 2 caractères ם et ┼ pour écrire et lire.
Comment faire pour communiquer avec eux ?
Imaginer un codage de notre alphabet avec ces 2 caractères.
Il était une fois un papetier qui voulait devenir confiseur.
Malheureusement, pour emballer ses bonbons, il ne lui restait que ses feuilles A4 de son ancien travail.
Comment pourrait-il faire à partir d’une feuille A4 pour faire un emballage qui puissent être le plus volumineux possible ?
Aidez le en trouvant le meilleur patron de solide que l’on puisse faire avec une feuille A4 pour résoudre son problème.
Et s’il décidait de ne pas mettre de couvecle, serait-ce mieux ?
Peut-on trouver une stratégie gagnante pour trouver le lapin ? En combien d'essais ?
Peut-on trouver un moyen d'aligner les lampes de même couleur ?
Combien de types de structures minimales peut-on prendre pour remplir notre mission dans toutes les situations ?
Comment utiliser une antenne de télévision parabolique pour fabriquer un four solaire ?
Lors d’un goûter d’anniversaire Blanche a préparé des muffins et des cookies. Elle propose un jeu aux
deux enfants les plus gourmands. Chacun son tour vous allez prendre des cookies ou des muffins selon
les règles suivantes. Celui qui ne peut plus rien prendre à perdu.
Règles pour prendre des cookies ou des muffins. À chaque tour vous pouvez :
— soit prendre autant de cookies que vous voulez (mais pas de muffin) ;
— soit prendre autant de muffins que vous voulez (mais pas de cookies) ;
— soit prendre le même nombre de cookies que de muffins (autant…
Une fourmi se déplace dans un rectangle de dimensions entières (longueurs à l'horizontale). Elle part du coin en bas à gauche sous un angle de 45°
. Quand elle atteint la longueur du haut, elle repart verticalement vers la longueur du bas. Arrivée là, elle repart à 45°
. Quand elle atteint une des largeurs, elle repart à l'horizontale vers la longueur opposée etc.
Peut-elle revenir à son point de départ et si oui après combien de temps" ? Passe-t-elle par tous les points du rectangle ?
On a n pions, tous identiques, disposés au hasard sur une table. On peut les bouger selon deux règles seulement :
(a) deux pions peuvent se rejoindre (on les pose l’un sur l’autre) exactement au milieu du segment qu’ils formaient avant,
(b) si on a deux pions l’un sur l’autre, on peut les séparer, dans n’importe quelle direction et de n’importe quelle longueur, mais de façon symétrique par rapport à leur point de départ.
Avec ces règles, pourra-t-on tous les aligner ? tous les empiler ?
Les mathématiques de la musique : peut-on entendre les fractions et leur multiplication ?
Les mathématiques de la musique : comment accorder un clavier avec une recette mathématique du 15ème siècle ?
Les mathématiques de la musique : logarithme binaire et accord des instruments. Comment les guitares et les claviers modernes sont-ils accordés ?

Deux groupes différents travailleront sur ce sujet.
Un groupe de 4 élèves et un groupe de 2 élèves.
Deux groupes différents travailleront sur ce sujet
Un groupe de 4 élèves, et un groupe de 2 élèves
Deux groupes différents travailleront sur ce sujet
un groupe de 3 élèves et un groupe de 4 élèves
Une fourmi se promène sur un quadrillage rempli de cases de couleurs blanches et noires. Elle a un comportement très simple :
— Si elle arrive sur une case blanche, elle se tourne à gauche et avance d’une case.
— Si elle arrive sur une case noire, elle se tourne à droite et avance d’une case.
A chaque fois qu’elle quitte une case, elle change la couleur de cette dernière (si la case est noire, elle devient blanche et inversement). Étant donné un quadrillage de taille 8×8 et deux carrés de ce quadrillage, est-il (toujours) possible de colorier le quadrillage pour que la…
Soit une grille de N cases contenant les N plus petits nombres entiers naturels non nuls. Ce jeu se joue à deux joueurs de la façon suivante : le premier joueur coche un nombre de la grille, puis tour à tour les joueurs cochent, parmi les nombres de la grille pas encore utilisés, un multiple ou un diviseur du nombre qui vient d’être choisi par l’adversaire. Le joueur ne pouvant plus jouer est déclaré perdant.
Pour un nombre N donné, existe-t-il une stratégie gagnante pour l’un des deux joueurs ? Si c’est le cas, comment la mettre en place ? Quelle est l’influence de la valeur de N sur…
Des physiciens ont réussi à construire 4 aimants très spéciaux qu’ils ont baptisés Ampère, Boltzmann, Coulomb et Dirac. Les forces d’attraction entre ces aimants ne sont pas classiques puisque chacun est attiré seulement par un seul autre suivant la règle suivante : Ampère est attiré par Boltzmann qui est attiré par Coulomb qui est attiré par Dirac qui est attiré par Ampère.
Les physiciens placent chacun de ces aimants à un sommet d’un carré ABCD puis ils les lâchent simultanément à un instant donné.
Dessiner la trajectoire de chacun de ces aimants en supposant qu’aucun obstacle…
Sur une grille infinie on place des grains de sable en certains sommets. Soit n le nombre de grains en un sommet.
– Si n<= 3 rien ne se passe
– Si n>3, une avalanche se crée : 4 des n grains se répartissent sur les 4 sommets voisins, un chacun.
Si on commence avec 100 grains en (0;0), que se passe-t-il après ? arrive-t-on à une situation stable ?
Combien faut-il mettre de grains en (0;0) au départ pour qu'au moins un grain arrive en (100;0) ?
Que se passe-t-il si on commence avec 50 grains en (0;30) et 50 en (0;-30) ?
Pour déverrouiller un smartphone on peut soit utiliser un code à 4 chiffres, soit utiliser une grille 3 x 3 en créant un dessin selon certaines règles.
Quel est le nombre minimum de points que l'on doit relier pour que ce code soit plus sûr que celui à 4 chiffres ?
Par la règle qui suit on définit une suite de chiffres : partant de 4 chiffres, par exemple 1 - 7 - 8 - 9, chaque nouveau terme est le chiffre des unités de la somme des 4 précédents.
Quel est le 20ème chiffre de la suite ? Si on part de 5 - 5 - 5 - 5 que se passe-t-il ? Si on part de 2 - 0 - 1 - 8, rencontrera-t-on 2 - 0 - 1 - 7 ? Si on part de 2 - 0 - 1 - 9, rencontrera-t-on 2 - 0 - 1 - 9 à nouveau ?
Le jeu de Hex se joue sur un damier en forme de losange dont toutes les cases sont hexagonales. Il y a un joueur bleu et un joueur rouge. Chaque joueur, à tour de rôle, colorie une case du damier avec sa couleur. Le but du jeu, pour le joueur rouge, est d'arriver à relier les deux côtés rouges du damier par un chemin constitué de cases rouges et vice versa pour le joueur bleu.Mettre en place une stratégie gagnante.
Soit un parasol de rayon R = 65cm et de hauteur h = 1.5m placé verticalement sur le sol terrestre. On souhaite savoir où se placer afin de maximiser le temps pendant lequel on se trouve à l’ombre du parasol.
6 grilles de morpions définissent une nouvelle grille de morpions… Les règles du jeu sont un peu différentes mais est-il possible de gagner, faire match nul, d'avoir une stratégie gagnante pour gagner au "Grand morpion" ?