Une histoire de chapeaux colorés - Lycée Fernand Renaudeau (Cholet)

Pour éviter de devoir relire les 20 copies de ses élèves lors du dernier contrôle un professeur décide de proposer un jeu à ses élèves. Tous les élèves seront en cercle dans la salle de classe avec un chapeau sur la tête. Chaque élève peut voir le chapeau sur la tête des autres mais pas le sien (il n'y a pas de miroir ni de reflet nul part). Chaque chapeau est soit vert, soit jaune. Les élèves sont placés en cercle. Chacun leur tour ils ne peuvent dire que le mot "vert" ou "jaune". Le prof donnera alors pour tous la note correspondant au nombre de personnes à avoir donné la couleur du chapeau sur leur tête.

Sachant que le prof utilise régulièrement cette méthode, les élèves peuvent se mettre d'accord à l'avance sur une stratégie à adopter pour être sûr d'avoir un maximum de points. D'après vous, y a-t-il une stratégie pour être sûr d'avoir au moins 10? au moins 13? au moins 19? On essaiera de trouver des stratégies qui ne dépendent pas du nombre d'élèves afin que les anciens élèves de ce prof puissent donner leurs astuces aux suivants même s'ils ne sont pas le même nombre.
Le prof se rendant compte que les élèves ont de trop bonnes notes décide de passer le nombre de couleurs possibles pour les chapeaux de 2 à 12. Les élèves peuvent-ils continuer d'avoir de très bonnes notes ?