Le coureur solitaire - Lycée Fernand Renaudeau (Cholet)

On considère un cercle de longueur 1 et on place n coureurs au point le plus à droite du cercle. Chacun des n coureurs va parcourir le cercle dans le sens trigonométrique à une vitesse constante. On suppose en particulier qu'il n'y a pas deux coureurs qui courent à la même vitesse. On dira alors qu'un coureur est solitaire à un moment donné s'il est tout seul dans un arc de cercle de longueur au moins 1/n dont il est au centre. La question la suivante : peut-on montrer que pour chaque coureur, il y a un moment ou ce coureur est solitaire (ce moment n'étant pas forcément le même pour tous les coureurs) ?