Les bulles dans le carré : comment bien ranger des - Collège Paul-Emile Victor (Branne)

Imagine que tu sois marchand de savons, réputé pour ses magnifiques parfaitement rondes. Un jour, un client exigeant te lance un défi : "remplis ce coffret carré avec autant de bulles que possible. Mais attention : elles ne doivent ni se chevaucher, ni déborder."
Tu essaies d'abord en rangs bien droits, comme des soldats. Puis tu testes la disposition en quinconce, comme les pépins dans une pastèque. Mais tu sens qu'il y a mieux à faire, que la géométrie cache un secret d'efficacité. Et si tu pouvais prouver mathématiquement la meilleure disposition possible ?
Y a-t-il une formule universelle ? Existe-t-il une densité maximale que l'on ne peut jamais dépasser ?
Et puis, que se passe-t-il si on change la taille du carré ? Si on autorise des bulles de tailles différentes ? Et si on laissait le carré s'agrandir à l'infini ? Peut-on alors paver le plan avec des bulles ? ou même le remplir sans jamais le saturer ?