Coloriages de nombres - Lycée Franklin Roosevelt (Reims)

On considère le problème suivant : étant donnés deux entiers naturels n et k avec 1 ≤k≤n, on souhaite colorier tous les nombres entiers entre 1 et n avec k couleurs différentes numérotées de 1 à k, en respectant certaines conditions. Plus précisément, on appelle coloriage additif de l'ensemble {1, …, n} un coloriage tel qu'il n'existe pas dans {1, …, n} de nombres a, b, c (non nécessairement distincts) tous coloriés de la même couleur et tels que a+b=c. Similairement, on appelle coloriage multiplicatif de {1, …, n} un coloriage tel qu'il n'existe pas de nombres a, b, c dans {1, …, n} tous coloriés de la même couleur et tels que a · b=c. L'objectif de ce problème est d'essayer de déterminer s'il existe de tels coloriages de {1, …, n} avec k couleurs. On se propose d'essayer de répondre à la question suivante.
Étant donné un entier naturel n≥1, quel est le plus petit entier k≥1 tel qu'il existe un coloriage additif de {1, …, n} ? Et pour un coloriage multiplicatif ?