La fourmi folle - Lycée Joliot Curie (Nanterre)

Une fourmi déambule sur un petit damier. A chaque seconde elle change de case mais elle ne semble pas avoir de but : elle prend arbitrairement à gauche, à droite, en haut, en bas, mais jamais en diagonale ! Peut-on prévoir où sera cette fourmi au bout d'un certain temps ?
Une autre fourmi se balade sur un damier infini. Quelle sera sa position au bout d'un temps donné ?