En route vers le chaos - Lycée Caroline Aigle (Nort-sur-Erdre)

Étant donné un nombre réel 0 < a ≤ 1, on considère les suites (x_n) de réels obtenues par la donnée d’un premier terme x_0 dans l’intervalle [0 ; 1] et la récurrence x_(n+1) = 1–a(x_n)² pour tout n ≥ 0, qui apparaissent dans certains problèmes de dynamique des populations.
On montre que pour a ≤ 3/4 la suite converge vers le point fixe de la fonction d’itération dans cet intervalle ; ensuite on montre que pour a > 3/4 la sous-suite des termes d’indice pair et celle des termes d’indice impair convergent vers des limites distinctes. Ce phénomène est d’abord observé numériquement, grâce à un calcul sur ordinateur, puis justifié mathématiquement.