Un point, deux états - Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles)

On considère une particule qui peut être dans trois états : au repos, excitée et désintégrée. On l’observe à chaque seconde et on note X_n l’état observée à la n-ième seconde. Quand elle est au repos, à chaque seconde, elle a une probabilité p de s’exciter. Quand elle est excitée, à chaque seconde, elle a une probabilité q de se désintégrer. Quand elle est désintégrée, on recommence l’expérience. Pour choisir l’état initial de la nouvelle expérience, on tire au hasard parmi tous les états observés jusque là (sur toutes les expériences passées). Autrement dit, si la particule se désintègre à la fin de l’étape n, X_{n+1} prend la valeur de X_K où K est un nombre aléatoire uniformément choisi entre 1 et n. Que se passe-t-il en temps long ? Ne verra-t-on plus que des états excités au bout d’un moment ? Leur proportion tendra-t-elle vers 1 ?