Des carrés dans les rectangles, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 04-01

Notes des éditeurs

Note 1. Le codage correspondant à une proportion donné est la suite des coefficients de ce que les mathématiciens appellent un développement en fraction continue. Voir les Echos de la recherche MATh.en.JEANS sur ce thème.

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Note 2. Il s'agit du coté des derniers carrés obtenu dans le passage d'une fraction à son code (ainsi qu'il a été vu précédemment). Ces derniers carrés sont devenus les premiers, puisque le code est maintenant lu de droite à gauche. Les auteurs prenne le coté de ce carré comme unité et lui attribue donc la valeur 1.
On peut remarquer que le procédé de codage d'une fraction peut stopper sans aboutir à 1, si l'écriture fractionnaire dont on part est simplifiable (refaire le codage sur l'exemple du format 16/9 en prenant 32/18 comme fraction de départ).

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Note 3. Les auteurs sautent ici quelques détails qu'il semble utile d'indiquer. Dans le découpage proposé ici (les auteurs montrent que l'on peut aussi procéder par pliage), chaque passage d'un rectangle de proportion à un autre plus petit ne correspond pas à une étape de construction du code (suivant les règles décrites en introduction et calculées en première partie), mais en fait à deux moitiés de deux étapes successives :

- Le rectangle courant initial contribue pour 1 carré comptant dans étape numéro i du passage au code puis pour 1 carré de l'étape numéro   i+1 du passage au code.
- Le rectangle suivant, ayant les mêmes proportions, fera de même, il contribue pour 1 carré comptant dans l'étape numéro i+1 du passage au code, puis pour 1 carré comptant pour l'étape numéro i+2.

Schématiquement, les contributions successives s'ajoutent sous la forme suivante

1-1
  1-1
    1-1
      1-1
        ...
___________
1-2-2-2-...

Le résultat est le code infini associé à , comme annoncé.

--> Pour diverses contributions (collège, lycée) et prolongements sur ce thème des codages infinis de proportions ("fractions continues") , voir les Echos de la recherche MATh.en.JEANS

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