Article : Pavage d’un rectangle avec des carrés - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)

Comment, en découpant un rectangle itérativement, faire apparaître le nombre d'or, les fractions continues ? On utilise le procédé suivant : on retire à un rectangle le maximum possible de carrés de côté égal à la largeur de ce rectangle. Il reste un rectangle plus petit, auquel on applique la consigne précédente, et ainsi de suite. Dans cet article, on démontre que le rapport longueur/largeur du rectangle initial est irrationnel si, et seulement si, le procédé s'ensuit infiniment, c'est à dire qu'à chaque étape, le rectangle restant a une largeur non nulle. On montre le lien entre le nombre de carrés que l'on retire à chaque étape et le développement en fraction continue du rapport longueur/largeur du rectangle initial. On démontre le lien entre cette construction et le nombre d'or et on développe plusieurs exemples concrets.