Article : La constante de Darchicourt - Lycée Darchicourt (Hénin-Beaumont)

Considérons la suite récurrente dont le premier terme est le nombre « 1 », chaque
terme suivant s’obtenant en lisant le précédent à haute voix et en notant les chiffres ainsi cités. Les
premiers termes de la suite sont donc 1, 11 (un « 1 »), 21 (deux « 1 »), 1211 (un « 2 » un « 1 »),
111221, … Cette suite est appelée suite « audioactive » de Conway. En notant L_n la longueur du
nième terme de la suite, Conway a obtenu en 1986 la valeur de la limite des rapports L_(n+1)/L_n;
la constante ainsi obtenue (unique racine positive d’un polynôme du 71ème degré) est appelée
« constante de Conway ». Dans cet article, l’auteur s’intéresse à une variation sur la suite de
Conway, obtenue en énumérant non plus les termes en système numérique décimal (c’est-à-dire
avec les chiffres de 0 à 9) mais en système numérique binaire (c’est-à-dire uniquement avec des 0 et
des 1). Les premiers termes sont maintenant 1, 11, 101 (deux s’écrivant 10 en binaire), 111011, …
En notant A_n la longueur du nième terme de la suite, l’objectif est de calculer la limite des
rapports A_(n+1)/A_n. La constante ainsi obtenue est appelée « constante de Darchicourt ».
L’article comporte deux parties. La première, de nature exploratoire, décrit les différentes façons
dont la suite a été apprivoisée : après avoir calculé les 20 premiers termes à la main, des
algorithmes ont été implémentés dans le langage Python. Ces algorithmes sont détaillés clairement
et les 46 premiers rapports ainsi obtenus ont permis de conjecturer une valeur de la constante de
Darchicourt aux alentours de 1.465. La seconde partie de l’article décrit une résolution exacte du
problème. La solution a été obtenue en établissant une récurrence linéaire dont la résolution a
nécessité la diagonalisation d’une matrice 6x6. La conjecture de la première partie se trouve ainsi
validée, et l' expression algébrique exacte de la constante est donnée. L’article se conclut par une
brève description des résultats de Conway concernant la suite originelle.