La constante de Darchicourt - Lycée Darchicourt (Hénin-Beaumont)

Voici une suite de nombres, appelée suite de Conway (du nom de son créateur) :
1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 …
Pouvez-vous donner le terme suivant ?
Voici un indice : « look and say » … écris ce que tu vois …
Cette suite possède de nombreuses propriétés. Nous allons nous intéresser à la longueur de chaque terme de la suite : le premier terme (1) est de longueur 1, les deuxième et troisième termes (11 et 21) sont de longueur 2, le quatrième terme (1211) est de longueur 4, le cinquième (111221) est de longueur 6 … le dix-neuvième est de longueur 226, le vingtième de longueur 302 ! On remarque que la longueur des termes de la suite augmente mais peut-on quantifier cette augmentation ? La réponse est oui : Conway a prouvé qu’à partir d’un certain rang, la longueur d’un terme est environ 30% supérieure à la longueur du terme précédent.
Et si on étudiait cette suite en binaire ? Peut-on démontrer une propriété similaire à celle démontrée par Conway pour cette nouvelle suite ?