Article : Des multiplications à la ronde - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)

On choisit deux entiers a et b positifs et inférieurs à 10.
On considère la suite des entiers {a, b, ab, b fois ab, .......} où chaque entier de la suite est le produit des deux entiers qui le précèdent.
On écrit alors la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les entiers de cette suite.
Pour différents entiers a et b choisis au départ, on a trouvé que ces suites de chiffres des unités forment des farandoles d'un même chiffre ou se terminent en rondes, puis on a montré pourquoi.

Cet article porte sur l'étude d'une suite particulière qui fait intervenir des notions abordables dès le collège et qui est construite de la manière suivante. Etant donnés a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 10, on considère la liste de nombres {a,b,ab,b(ab),..} où chaque élément est le produit des deux entiers qui le précèdent. La suite considérée est la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les nombres de cette liste.
Dans un premier temps, une réduction du problème est apportée en montrant qu'il suffit d'étudier le produit des chiffres des unités du produit des deux entiers constituant chaque terme de la suite.
Ensuite, des résultats sont énoncés sous forme de disjonction de cas selon la nature de a et b. D'une part, ils montrent que des choix particuliers de a et b conduisent à une suite stationnaire qu'ils appellent « farandoles ». D'autre part, selon la parité de a et b, ils montrent que certaines suites obtenues sont soit périodiques et sont appelées « rondes », soit périodiques à partir d'un certain rang et sont appelées « soleils ». Plus précisément, le caractère périodique de ces « rondes » et « soleils » est expliqué au travers d'exemples et ceci en étudiant le produit de puissances de deux entiers.
Finalement, 81 suites possibles sont dénombrées dans cet article et catégorisées de la manière suivante : 21 farandoles, 30 rondes et 30 soleils.