Les colliers de perles - Collège Villey Desmeserets (Caen)

Madame D. a un collier de perles de couleur, de k couleurs différentes. On trouve dans la figure ci-dessous k = 3 couleurs : rouge, vert et bleu. Ce collier est dit segmentable s’il est possible de couper des morceaux de collier de façon à avoir pour chaque couleur un morceau dont les deux extrémités sont
de cette couleur. (Ces morceaux de colliers doivent bien sur être disjoints).
Madame D. n’aime pas trop qu’on découpe son collier, mais elle aime avoir un collier très long. Nous souhaitons aider Madame D.
Etant donné un nombre de couleurs de perles au départ, combien peut-on mettre de perles dans un collier au maximum sans que le collier soit segmentable ? (on essaye d’équilibrer le nombre de perles de chaque couleur, bien sur !) Dans notre exemple, il y a un collier non-segmentable avec 6 perles rouges, 4 perles
bleues et 2 perles vertes. En n’utilisant que deux couleurs, on se rend compte par exemple qu’il est très difficile de créer un collier avec 5 perles rouges et
5 perles bleues qui soit non-segmentable. Serait-ce impossible ?
Mais alors, pour quels nombres de perles de chaque couleur existe-t-il des colliers non-segmentables ? On pourra commencer par se poser la question dans le cas où il y a autant de perles de chaque couleur. On pourra aussi faire varier le nombre de couleurs. On pourra enfin se demander ce qui change si l’on ferme le collier.