Enigme arithmétique - Lycée Blaise Pascal (Orsay)

Une prison abrite 100 prisonniers, chacun dans une cellule individuelle, numérotée de 1 à 100. A l’occasion du mariage du prince, le roi décide de gracier certains prisonniers. Ne voulant pas décider personnellement qui seront les heureux élus, il décide de suivre une méthode algorithmique si alambiquée qu’il est lui-même incapable de savoir qui sera libéré et qui ne le sera pas. Ainsi, pendant la nuit, alors que tous les prisonniers sont endormis, il entre avec un passe-partout et donne des tours aux cellules, comme suit. D’abord, il donne un tour de clé à toutes les cellules, les ouvrant toutes. Puis il recommence en donnant un autre tour aux cellules multiples de 2, c’est-à-dire les nombres 2, 4, 6, 8, 10, ..., 100, qui sont alors fermées. On fait ensuite de même avec les cellules multiples de 3, c’est-à-dire les nombres 3, 6, 9, 12, ..., 99. Il continue ensuite avec les multiples de 4, c’est-à-dire 4, 8, 12, 16, ..., 100 et ainsi de suite avec les multiples de tous les nombres 5, 6, 7, ... jusqu’à 100.
Le sujet peut être prolongé en faisant varier le nombre de prisonniers ou changer les règles d'ouvertures et fermetures.