Remplir des échiquiers (ébréchés) - Collège Simone Veil (Verdun-sur-Garonne)

On prend un échiquier, c’est-à-dire un carré de 8 x 8 cases, on peut le recouvrir (sans chevauchement!) avec des « dominos », c’est-à-dire des rectangles de deux cases. Avec 7 x 7, on ne peut pas (pourquoi?) Quels rectangles de n x m cases peut-on recouvrir ainsi ?
C’était trop facile ! Et si on enlève les cases en haut à gauche et en bas à droite de l’échiquier 8 x 8 ? Et si on enlève une case dans un coin du 7 x 7 ? Et pour 4 x 4 privé de deux cases ? Ici encore, y a-t-il un moyen de savoir si ce sera possible ?