Exigeons des triangles balancés - Lycée Léonard de Vinci (Calais)

Partons d'un mot binaire constitué des symboles 0 et 1. Son mot dérivé s'obtient en remplaçant chaque paire consécutive de symboles par leur somme : 0 + 0 = 1 + 1 = 0 ; 0 + 1 = 1 + 0 = 1. Par exemple, en partant du mot 0010, le mot dérivé est 011. Le triangle dérivé s'obtient en répétant cette opération jusqu'au bout. Dans le triangle obtenu à partir du mot 0010, il y a autant de 0 que de 1 : on dit que ce triangle est balancé.
But : construire des triangles dérivés balancés aussi grands que possible. Quelles tailles peut-on atteindre ?