Jeu de mots - Lycée Alexandre Dumas (Alger)

On commence notre jeu avec un mot constituée uniquement des lettres O et H. Sous chaque paire de lettres consécutives on écrit la lettre O ou la lettre H en respectant les trois règles suivantes :
Règle 1 : si la paire de lettres est O O elle est remplacée par O
Règle 2 : si la paire de lettres est H H elle est remplacée par O
Règle 3 : si la paire de lettres est O H ou HO elle est remplacée par H
Avec par exemple O H O O, en appliquant ces règles, on obtient une deuxième ligne H H O. En continuant, on obtient une troisième ligne O H et enfin le jeu se termine par H.
On remarque que ce jeu se termine avec en tout autant de H que de O (5 pour chaque lettre). On dit dans ce cas que le mot O H O O est équitable.
Étant donné un entier n, peut-on toujours trouver un mot équitable de longueur n ?