Une invitation a la topologie symplectique. - IUFM Midi-Pyrénées (Narbonne)

Archimède s’est beaucoup intéressé aux solides de l’espace que sont le cône, le cylindre et la sphère. Sont données ici deux preuves d’un résultat célèbre qui figure dans ses œuvres et qui concerne le cylindre et la sphère: la preuve initiale d’Archimède, datant du 3ème siècle avant Jésus-Christ, utilise des outils du collège aujourd’hui; la seconde preuve utilise des outils de calcul différentiel et intégral appliqués à la géométrie qui ont été construits au dix-septième siècle et que l’on apprend aujourd’hui au lycée. Les outils plus sophistiqués de cette deuxième preuve permettent de comprendre l’essence du résultat qui devient alors un exercice de géométrie différentielle ou symplectique (Voir [McDS], p.82).
Le point de départ de ce travail a été un exposé au colloque “MATh.en.JEANS” 2002 qui s’est tenu à l’université d’Orsay-Paris XI. Ce texte peut intéresser aussi les professeurs de mathématiques de collège et de lycée. Il a été proposé à mes étudiants du PLC1Maths de l’IUFM Midi-Pyrénées, en formation pour devenir professeurs, lors d’un “gouˆter mathématique” — comment raconter aux futurs professeurs des mathématiques qui débouchent directement sur la recherche d’aujourd’hui et “qui peuvent servir dans leur métier”, mˆeme si elles ne sont pas explicitement au programme de leur concours de recrutement. Enfin, mes collègues M. Guillemot et M. Spiesser, historien-ne-s des mathématiques à l’université Paul Sabatier de Toulouse, m’ont fourni une documentation accessible pour écrire le premier paragraphe de ce texte. Et cette version finale tient compte des remarques de Dusa Mc Duff, mathématicienne spécialiste de topologie symplectique, lors du congrès franco-canadien qui s’est tenu à Toulouse en juillet 2004. Je les remercie tous les trois.