Partage équitable - Collège Pierre et Marie Curie (Gravelines)

La face supérieure d'une bûche de Noël glacée a été garnie de plusieurs types de fruits confits qui ont été répartis à intervalle régulier, mais de façon anarchique (par exemple, 2 fraises, puis 3 mûres, etc). On suppose que le nombre de fruits de chaque type est un multiple du nombre de convives. Les convives exigent d'avoir tous autant de fruits confits d'un même type. Par exemple, s'il y a 10 fraises, 8 mûres et 2 convives, les 2 convives veulent avoir chacun 5 fraises et 4 mûres.
Le défi consiste, pour un nombre donné T de types de fruits confits et un nombre donné C de convives, à déterminer le nombre minimum de coupes suffisant à réaliser un partage équitable quelle que soit la disposition des fruits confits.

• Vérifier d'abord que, s'il y a 4 fraises, 6 mûres et 2 convives, alors 2 coupes suffisent quelle que soit la disposition. Considérer ensuite 6 fraises et 10 mûres (et toujours C=2).
• Pour un nombre pair quelconque de fraises, un nombre pair quelconque de mûres (et toujours C=2), 2 coupes suffisent-elles toujours ?
• Passer au cas T=2 et C=3 (le nombre de fraises et le nombre de mûres sont donc des multiples de 3 ; commencer par exemple avec 6 fraises et 9 mûres). Puis, si possible, passer au cas T=2 et C quelconque (les nombres de fruits par type sont donc des multiples de C).
• Une autre situation semble abordable (quoique difficile) : celle où C=T=3 et où il y a 3 fruits confits de chaque type. Si ce cas est résolu essayer de passer à C et T quelconques et C fruits confits de chaque type.
…/ …
• Essayer de trouver d'autres situations pour lesquelles il est possible de relever le défi.
Pour un défi de ce genre il y a plusieurs types de théorèmes possibles : "le nombre minimium de coupes dans la situtation étudiée vaut exactement ..." ou "ce nombre est supérieur ou égal à ..." ou "ce nombre est inférieur ou égal à ..." ou encore "ce nombre est compris entre ... et ...".