Le constructeur de villes - Collège L Ardillière de Nézant (St Brice)

Ce sujet est inspiré du jeu « Sim City » : on vous propose de vous mettre à la place d’un cabinet d’urbanistes chargé de dessiner le plan d’une ville nouvelle. On part d’abord d’un cadre fixé : un terrain divisé en lots à bâtir, avec un espace central réservé pour les équipements collectifs (école, mairie, poste, commerces, transports...). Les urbanistes doivent tracer des rues pour desservir tous les lots à partir du centre. a) Le constructeur souhaite que la longueur totale des rues à construire soit la plus petite possible. b) Les habitants souhaitent que les trajets à faire pour rejoindre le centre soient les plus courts possibles, en supposant qu'il y a toujours une porte dans le coin de leur terrain le plus proche du centre. c) Le facteur souhaite distribuer le courrier dans toutes les maisons en parcourant le chemin le plus court possible, en supposant qu'il y a toujours une boite aux lettres située au meilleur endroit possible. Les urbanistes commencent par chercher les solutions sur des domaines simples : par exemple le terrain est un carré avec 12 lots sur un côté, avec un espace central carré de lots. Pouvez-vous trouver toutes les solutions pour la première condition (et comment les reconnaître sans calculer chaque fois la longueur) ? Pour chacune des autres conditions ? Comment concilier les trois ?