Une dualité géométrique - Lycée Jules Ferry (Paris) Lycée Darius Milhaud (Le Kremlin-Bicêtre)

Prenons deux nombre réels a et b. Ce couple de nombres (a,b) peut permettre de définir le point M, de coordonnées (a,b) d’un plan noté P. Le couple (a,b) peut également permettre de définir la droite d, d’équation y = ax + b, du plan noté D. On dira que la droite d est duale du point M, et que le plan D est dual du plan P, qui sera appelé le plan primal.
Considérons à présent deux points de P, et la droite qui les rejoint. Tracer dans D les droites qui sont les duales de ces deux points. Ces droites ont un point d’intersection. Quelle est la droite duale de ce point d’intersection ? Cette droite appartient à ce que l’on appelle le bidual, c’est à dire le dual du dual.
Explorez cette dualité. Quelques questions, par exemple (mais soyez libres d’en explorer d’autres que celles-ci) : quelles sont les figures duales de certaines figures géométriques simples ? Quelle relation entre primal et bidual ? Pouvez-vous inventer une dualité analogue, mais différente ?