Un solitaire empilé - Collège Villey Desmeserets (Caen)

On part d'une grille sur laquelle se trouve (une pile de) un jeton sur chaque case. Le seul mouvement autorisé dans le jeu consiste à prendre une pile de jetons et la la mettre toute entière sur la pile de jetons d'une case voisine, à la condition cependant que la pile déplacée ne soit pas plus haute que la pile de la destination. En particulier, il est donc impossible de déplacer une pile sur une case vide !
Le but du jeu est de finir la partie avec le plus petit nombre de piles possible.
La question, bien entendu, est de trouver le nombre minimum de piles que vous pouvez atteindre.
Par exemple, à partir d'une grille 2 par 2, on arrive à ne faire qu'une pile de 4 jetons.
Sur des grilles plus grandes, combien de piles laisse-t-on ? On s'intéressera aux différentes tailles de grille, mais on pourra aussi regarder d'autres formes de grilles, des grilles hexagonales, des grilles avec les diagonales, des triangles de Sierpinski, etc.
Une autre question pertinente est celle de la plus haute pile que l'on peut faire. Y a-t-il une limite à la taille de la tour que l'on peut faire ? Si oui, laquelle ?
Cela dépend-il de la grille sur laquelle on joue ?