Un carré (un peu) magique - Collège Pierre et Marie Curie (Gravelines)

On dispose d’un tableau carré, composé de 3 lignes et 3 colonnes, et d’un certain nombre N de grains de blé. Le défi consiste à disposer les grains de blé dans les cases du tableau de façon que la ligne et la colonne portant le même numéro contiennent le même nombre de grains.
On voit très vite qu’il suffit de placer tous les grains dans les cases de la diagonale principale du tableau pour que le défi soit relevé et que, dans certains cas, on peut utiliser la symétrie par rapport à cette diagonale pour construire aisément d’autres solutions. C’est pourquoi on considère trois règles :
règle 1 : on interdit de placer tous les grains dans la diagonale principale :
règle 2 : on interdit de placer le moindre grain dans la diagonale principale :
règle 3 : on interdit de placer le moindre grain dans la diagonale principale et on interdit les répartitions symétriques par rapport à la diagonale principale.
On pourra choisir la règle que l’on veut suivre ou suivre successivement deux des trois règles ou chacune des trois règles.
• Peut-on faire la liste des solutions (pour les valeurs de N allant de 1 à 10, par exemple) ?
• Peut-on construire des solutions pour de grandes valeurs de N à partir de solutions pour des valeurs inférieures de N ? Cela suffit-il pour construire toutes les solutions pour de grandes valeurs de N ?
• Peut-on reconnaître des familles de solutions ?
On pourra ensuite considérer un tableau de 4 lignes et 4 colonnes, puis de 5 lignes et 5 colonnes, etc. Trouvera-t-on des propriétés générales fonctions du (ou indépendantes du) nombre de lignes et de colonnes ?