Sommes infinies de fractions - Collège Aretha Franklin (Marciac)

On s'intéresse aux sommes de fractions du type : 1/n + 1/n²+1/n^3 +... jusqu'à l'infini.

Peut-on trouver un résultat à cette somme ? Si oui lequel ?
Peut-on trouver un résultat lorsqu'on arrête cette somme à un exposant donné (par exemple quel est le résultat de cette somme si on s'arrête à 1/n^30 ?) ; somme qui n'est donc plus infinie.

Et si on remplace 1 par un entier quelconque a (entre 1 et 9). C'est à dire la somme infinie a/n + a/n² +a/n^3 +.....
Quel est le lien de cette somme avec l'écriture décimale ? C'est à dire si n=10, que représentent les fractions ?.
Peut-on faire de même avec les autres valeurs de n ?