Sommes de Carrés - Lycée Alfred Kastler (Denain)

Pour tout nombre naturel N, on note S2(N) le nombre obtenu en faisant la somme des carrés des chiffres de N.
Exemple : N = 326
On trouve S2(N) = 32 + 22 + 62 = 49.
On réitère la même opération : on trouve S2(49) = 97. Puis S2(97) = 130, S2(130) = 10,
S2(10) = 1, et puis la suite devient constante.
— Aboutit-on toujours à 1, quel que soit le nombre N de départ ? Sinon, à quel autre
nombre ?
— Ou bien y a-t-il des trajectoires cycliques, ou cycliques au-delà d’un certain rang ?
— Y a-t-il des comportements plus fréquents que d’autres ?
— Peut-on prévoir, sans la calculer explicitement, la trajectoire d’un N donné ?