Répartition de chaleur - Lycée Raynouard (Brignoles)

On considère une pièce, représentée par un rectangle, et on cherche à savoir comment la chaleur se répartit dans la pièce quand on impose la température sur les bords (murs, sol et plafond). Physiquement, la température dans une zone est la moyenne arithmétique des températures des zones voisines, par exemple si les pièces sont les cases d'un quadrillage, la température d'une pièce intérieure est la moyenne de ses quatre voisines. On supposera que les températures sur le bord sont fixées.
On s’intéressera aux questions suivantes : Peut-on toujours remplir un rectangle ? Comment faire ? Pour des températures fixées au bord, existe-t-il plusieurs répartitions de températures admissibles ?
Un premier exemple simple : que se passe-t-il si toutes les températures au bord sont égales à 0 ?
On pourra aussi considérer des cas un peu plus compliqués, par exemple si on suppose que certaines parties du bord sont munies d’un isolant. Dans ce cas la température est la moyenne des températures voisines qui restent.
On pourra par exemple mettre des isolants sur le toit et le sol, et une partie des murs (mais il y a aussi des radiateurs et des fenêtre sur les murs, qui imposent une source de chaleur !).
Un premier exemple simple : que se passe-t-il si toutes les cases du bord son isolées sauf une case pour laquelle on impose la température ?