Rencontre au sommet - Collège Jean Bauhin (Audincourt)

Alice et Bob courent autour d’un stade d'athlétisme. Alice met 7 minutes pour faire le tour du stade. Bob quand à lui met 11 minutes. Ils partent les deux du même points de départ. Lorsque Alice part le chronomètre affiche 2 minutes. Bob part ensuite. Le chronomètre est à 4 minutes.
(1) Qu’indiquera le chronomètre la première fois que Alice et Bob se croiseront à leur point de départ ?
(2) Ils ont décidé de courir pendant deux heures. Combien de fois vont-il se croiser au point de départ ?
La comète de Halley a été aperçue en 1986 la dernière fois et elle passe toutes les 76 ans. La comète de Gauss a été aperçue la dernière fois en 1954 et elle passe toutes les 105 ans.
(1) Dans combien de temps pourra-t-on voir ces deux comètes en même temps ?
(2) Quelles sont toutes les années où ce phénomène aura lieu ?
Généralisation : soient p1, p2 deux nombres premiers et soient x1, x2 deux entiers naturels, on reprend le problème avec Alice et Bob. Cependant Alice met p1 minutes pour faire le tour du stade et Bob en met p2 minutes. De plus, Alice part au bout de x1 minutes et Bob au bout de x2 minutes.
(1) Sommes-nous sûrs que Alice et Bob vont se croiser au point de départ au bout d’un moment ?
(2) Si oui, dans quel intervalle de temps minimum, vont-ils se croiser ?