Ranger les nombres sous contraintes - Collège du Septentrion (Bray-Dunes)

On trace trois colonnes et on veut y ranger chacun des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... (si on y place 12, par exemple, alors tous les nombres inférieurs à 12 doivent aussi figurer dans les colonnes) en respectant les deux règles suivantes:
- si une colonne contient déjà le nombre a, alors il est interdit d'y placer le double ou le carré de a.
- si elle contient les nombres a et b (distincts), alors il est interdit d'y placer aussi la somme de a et de b ou le produit de a et de b.

Peut-on ranger ainsi tous les nombres entiers positifs? Sinon, jusqu'où peut-on aller et peut-on y arriver en augmentant le nombre de colonnes?

Prolongements et aménagements possibles:
Supprimer la première règle; ne pas interdire les carrés et les produits; augmenter le nombre de colonnes.