Que de dames ! - Cité scolaire André Honnorat (Barcelonnette)

Dans le jeu d'échecs, la dame est une pièce capable de se déplacer sur la grille de 8x8 cases selon les lignes, les colonnes et les diagonales passant par sa case. Le déplacement peut se faire d'autant de cases que souhaité. On cherche à placer le plus de dames possibles sur l'échiquier, sans qu'aucune dame ne se trouve sur une case directement accessible par une autre dame. Combien de dames peut-on placer au maximum ?
Bien entendu, on pourra généraliser le problème à une grille de nxn cases, et se poser la même question pour d'autres pièces que la dame.