Produit de chiffres - Lycée Alfred Kastler (Denain)

On part d’un nombre N à 2 chiffres, par exemple N = 66. On fait le produit de ses chiffres :
6 × 6 = 36. Puis on recommence 3 × 6 = 18, puis 1 × 8 = 8. (On s’arrête quand le nombre
obtenu a un seul chiffre.)
— Le suite de nombres ainsi constituée est-elle toujours finie ? (Les nombres qui apparaissent peuvent-ils devenir très grands, ou bien peut-on retomber sur un résultat déjà trouvé et cycler ?)
— On choisit un chiffre a. Existe-t-il un N dont la suite conduise à a ?
— Rien qu’en voyant N, peut-on prévoir par quel chiffre se terminera sa suite ?
— Certains chiffres a sont-ils plus fréquents que d’autres en bout de suite ?
— Idem pour des nombres à 3 chiffres etc.